2015年江西省中考数学试题解析

准考证号 姓名 (在此卷上答题无效) 机密★2015年 6月 19日 江西省 2015年中等学校招生考试 数学试题卷 说明：1．本卷共有六个大题，24个小题，全卷满分 120分，考试时间 120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则 不给分． 一、选择题(本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分．每小题只有一个正确选项) 1．计算(－1)°的结果为( ) A．1 B．－1 C．0 D．无意义 2．2015年初，一列 CRH5型高速车组进行了“300 000公里正线运营考核”，标志着中国高 铁车从“中国制造”到“中国创新”的飞跃．将数 300 000用科学计数法表示为( ) A． 63 10 B． 53 10 C． 60.3 10 D． 430 10 3．如图所示的几何体的左视图为( ) 4．下列运算正确的是( ) A． 2 3 6(2 ) 6a a B． 2 2 3 2 53 3a b ab a b    C． 1b a a b b a      D． 2 1 1 1 1 a a a      5．如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架 ABCD，B 与 D两点之间用一根橡皮筋．．．拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下面 判断错误．．的是( ) A．四边形 ABCD由矩形变为平行四边形 B．BD的长度增大 C．四边形 ABCD的面积不变 D．四边形 ABCD的周长不变 6．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a>0)过(－2，0)，(2，3)两点，那么抛物线的对称轴( ) A．只能是 x＝－1 B．可能是 y轴 C．在 y轴右侧且在直线 x＝2的左侧 D．在 y轴左侧且在直线 x＝－2的右侧 二、填空题(本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分) 7．一个角的度数为 20°，则它的补角的度数为 ． 8．不等式组 1 1 0 2 3 9 x x      ≤ ， 的解集是 ． 9．如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于 E，PF⊥ON于 F，OA＝OB．则图中有 对 全等三角形． 10．如图，点 A，B，C在⊙O上，CO的延长线交 AB于点 D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ ADC的度数为 ． 11．已知一元二次方程 x2－4x－3＝0的两根为 m，n，则 m2－mn＋n2＝ ． 12．两组数据：3，a，2b，5与 a，6，b的平均数都是 6，若将这两组数据合并为一组数据， 则这组新数据的中位数为 ． 13．如图 1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图 2所示的几何图形，已 知 BC＝BD＝15cm，∠CBD＝40°，则点 B 到 CD 的距离为 cm(参考数据： sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766．计算结果精确到 0.1cm，可用科 学计算器)． 14．如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线 CO上的一个动点，∠AOC＝60°， 则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 ． 三、(本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分) 15．先化简，再求值： 22 ( 2 ) ( 2 )a a b a b   ，其中 1a   ， 3b  ． 16．如图，正方形 ABCD与正方形 A1B1C1D1关于某点中心对称．已知 A，D1，D三点的坐 标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)． (1)求对称中心的坐标； (2)写出顶点 B，C，B1，C1的坐标． 17．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺．．．．．．．．，根据下列条件分别在图 1，图 2中画出 一条弦．，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法)． (1)如图 1，AC＝BC； (2)如图 2，直 线 l 与⊙O 相切与点 P， 且 l∥BC． 18．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的 10个小球，其中红球 4个，黑球 6个． (1)先从袋子中取出 m(m>1)个红球，再从袋子中随机摸出 1个球，将“摸出黑球”记为事件 A．请完成下列表格： 事件 A 必然事件 随机事件 m的值 (2)先从袋子中取出 m个红球，再放入 m个一样的黑球并摇匀，随机摸出 1个球是黑球的概 率等于 4 5 ，求 m的值． 四、(本大题共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分) 19．某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调 查，发出问卷 140份，每位学生的家长 1份，每份问卷仅表明一种态度．将回收的问卷进行 整理(假设回收的问卷都有效)，并绘制了如下两幅不完整的统计图． 学生家长对孩子使用手机的态度情况统计图 根据以上信息回答下列问题： (1)回收的问卷数为 份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为 ； (2)把条形统计图补充完整； (3)若将“稍加询问”和“从来不管”视为“管理不严”，已知全校共 1500名学生，请估计 该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有多少人？ 20．(1)如图 1，纸片□ABCD中，AD＝5，S□ABCD＝15．过点 A作 AE⊥BC，垂足为 E，沿 AE剪下△ABE，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形 AEE'D，则四边形 AEE'D的形状为 ( ) A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 (2)如图 2，在(1)中的四边形纸片 AEE'D中，在 EE'上取一点 F，使 EF＝4，剪下△AEF，将 它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形 AFF'D． ①求证：四边形 AFF'D是菱形； ②求四边形 AFF'D的两条对角线的长． 21．如图，已知直线 y＝ax＋b与双曲线 ( 0)ky x x   交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(A与 B 不重合)，直线 AB与 x轴交于点 P(x0，0)，与 y轴交于点 C． (1)若 A，B两点坐标分别为(1，3)，(3，y2)．求点 P的坐标； (2)若 b＝y1＋1，点 P的坐标为(6，0)，且 AB＝BP，求 A，B两点的坐标； (3)结合(1)，(2)中的结果，猜想并用等式表示 x1，x2，x0之间的关系(不要求证明)． 22．甲、乙两人在 100米直道 AB上练习匀速往返跑，若甲、乙分别在 A，B两端同时出发， 分别到另一端点掉头，掉头时间不计，速度分别为 5m/s和 4m/s． (1)在坐标系中，虚线表示乙离．．A．端．的距离 s(单位：m)与运动时间 t(单位：s)之间的函数图象 (0≤t≤200)，请在同一坐标系中用实线画出甲离 A端的距离 s与运动时间 t之间的函数图象 (0≤t≤200)； (2)根据(1)中所画图象，完成下列表格： 两人相遇次数 (单位：次) 1 2 3 4 … n 两人所跑路程之和 (单位：m) 100 300 … (3)①直接写出甲、乙两人分别在第一个 100m 内，s与 t的函数解析式，并指出自变量 t的 取值范围； ②求甲、乙第 6此相遇时 t的值． 五、(本大题共 10 分) 23．如图，已知二次函数 L1：y＝ax2－2ax＋a＋3(a>0)和二次函数 L2：y＝－a(x＋1)2＋1(a>0) 图像的顶点分别为 M，N，与 y轴分别交于点 E，F． (1)函数 y＝ax2－2ax＋a＋3(a>0)的最小值为 ；当二次函数 L1，L2的 y值同时随着 x 的增大而减小时，x的取值范围是 ； (2)当 EF＝MN时，求 a的值，并判断 四 边 形 ENFM的形状(直接写出，不必证明)； (3)若二次函数 L2的图象与 x轴的右交 点为 A(m， 0)，当△AMN为等腰三角形时，求方 程 －a(x＋1)2＋1＝0的解． 六、(本大题共 12 分) 24．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图 1，图 2，图 3中，AF， BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为 P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设 BC＝a，AC＝b，AB＝c． 特例探索 (1)如图 1，当∠ABE＝45°，c＝2 2时，a＝ ，b＝ ； 如图 2，当∠ABE＝30°，c＝4时，a＝ ，b＝ ； 归纳证明 (2)请你观察(1)中的计算结果，猜想 a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用 图 3证明你发现的关系式； 拓展应用 (3)如图 4，在□ABCD 中，点 E，F，G分别是 AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝ 2 5， AB＝3．求 AF的长． 2015 年江西省中考数学解析 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分，每小题只有一个正确选项) 1.解析：选 A. ∵除 0 外，任何数的 0 次方等于 1. ∴选 A. 2.解析：选 B.∵科学记数法是：把一个数写成“ 10´ na ,其中 1≤a＜10”. ∴选 B. 3.解析：选 D. ∵ ( ) 1b a b a b a a b a b b a a b a b a b a b - - - + = - = = = - - - - - - - .∴选 D. 4.解析：选 C. ∵根据光的正投影可知，几何体的左视图是图 C. ∴选 C. 5.解析：选 C.∵向右扭动框架, 矩形变为平行四边形 ,底长不变，高变小，所以面积变小.∴ 选 C. 6.解析：选 D. ∵抛物线 2 ( 0)y ax bx c a= + + > 过（-2,0），（2,3）两点，∴ 4 2 0 4 2 3 a b c a b c ì - + =ï í + + =ïî ， 解得 3 4 b = ，∴对称轴 3 0 2 8 bx a a = - = - < ，又对称轴在（-2,2）之间， ∴选 D. 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分) 7.解析：∵两角互补，和为 180°，∴它的补角=180°-20°=160°. 8.解析: 由 1 1 2 x - ≤0 得 x≤2 ,由-3x＜9 得 x＞-3，∴不等式组的解集是-3＜x≤2. 9.解析：∵∠POE=∠POF,∠PEO=∠PFO=90°OP=OP,∴△POE≌△POF(AAS), 又 OA=OB,∠POA=∠POB,OP=OP,∴△POA≌△POB(AAS), ∴PA=PB,∵PE=PF, ∴Rt△PAE≌Rt△PBF(HL). ∴图中共有 3 对全的三角形. 10.解析：∵∠A=50°,∴∠BOC=100°,∴∠BOD=80°,∴∠ADC=∠B+∠BOD=30°+ 80°=110° 11.解析：由一元二次方程根与系数关系得 m+n=4,mn=﹣3，又 ( )2 2 2 3m mn n m n mn- + = + - ∴原式= ( )24 3 3 25- ´ - = . 12.解析：由题意得 3 2 5 6 4 6 6 3 a b a b ì + + + =ï ï í + +ï =ï î ，解得 8 4 a b ì =ï í =ïî ，∴这组新数据是 3,4,5,6,8,8,8,其中位 数是 6. 13.解析：如右图，作 BE⊥CD 于点 E. ∵BC=BD, BE⊥CD, ∴∠CBE=∠DBE=20°, 在 Rt△BCD 中， cos ,BE DBE= BD Ð ∴ cos BE 20 15 °= ， ∴BE≈15×0.940=14.1 14.解析：如图，分三种情况讨论： 图（1）中，∠APB=90°， ∵AO=BO,∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2, 又∠AOC=60°,∴△APO 是等边三角形， ∴AP=2； 图（2）中，∠APB=90°， ∵AO=BO,∠APB=90°，∴PO=AO=BO=2, 又∠AOC=60°,∴∠BAP=30°, 在 Rt△ABP 中，AP=cos30°×4=2 3 . 图（3）中，∠ABP=90°,∵BO=AO=2 ,∠BOP=∠AOC=60°, ∴PB=2 3 ,∴AP= ( )2 24 2 3 2 7+ = ∴AP 的长为 2，2 3或2 7 三、(本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分) 15.解析：原式 ( )[ ( )] ( )( ) 2 22 2 2 2 2 4a b a a b a b a b a b= + - + = + - = - 把 ,1a = - 3b = 代入得，原式= ( ) ( )2 21 4 3 11- - ´ = - 16.解析：(1)∵正方形 ABCD 与正方形 A1B1C1D1关于某点中心对称， ∴A,A1 是对应点，∴AA1 的中点是对称中心， ∵A(0,4)，D(2,0)，∴AD=2,∴A1D1 = AD=2, 又∵D1(0,3) ，∴A1(0,1)， ∴对称中心的坐标为（0, 2.5）； （2）∵正方形的边长为 2， 点 A,D1 ,D ,A1在 y 轴上， ∴B(-2,4), C(-2,2), B1(2,1)， C1(2,3) . 17.解析：如右图所示. 图 1，∵AC=BC,∴ ) ) AC BC= , ∴点 C 是 ) AB的中点，连接 CO， 交 AB 于点 E，由垂径定理知， 点 E 是 AB 的中点， 延长 CE 交⊙O 于点 D， 则 CD 为所求作的弦； 图 2，∵l 切⊙O 于点 P, 作射线 PO，交 BC 于点 E，则 PO⊥l, ∵l∥BC ,∴PO⊥BC, 由 垂径定理知，点 E 是 BC 的中点，连接 AE 交⊙O 于 F，则 AF 为所求作的弦. 18. 解析：(1)若事件 A 为必然事件，则袋中应全为黑球，∴m=4, 若事件 A 为随机事件， 则袋中有红球， ∵m>1 ，∴m=2 或 3. （2） 6 4 10 5 m+ = ， ∴m=2 . 四、(本大题共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分) 19.解析：(1) 30÷25%=120 10÷120×360°=30° ∴回收的问卷数为 120 份，圆心角的度数 为 30° (2) 如下图： (3) (30+80)÷120×1500=1375 ∴对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有 1375人. 事件 A 必然事件 随机事件 m 的值 4 2、3 20.解析：(1) 由平移知：AE / / DE′,∴四边形 AEE′D是平行四边形，又 AE⊥BC,∴∠AEE′=90°, ∴四边形 AEE′D是矩形，∴C 选项正确. (2) ①∵AF / / DF′,∴四边形 AFF′D 是平行四边形，∵AE=3, EF=4 ,∠E=90°,∴AF=5, ∵S□ABCD=AD·AE=15,∴AD=5 ,∴AD=AF , ∴四边形 AFF′D 是菱形. ② 如下图， 连接 AF′, DF ， 在 Rt△AEF′中， AE=3, EF′=9, ∴AF′=3 10 在 Rt△DFE′中， FE′=1, DE′=AE=3, ∴DF= 10 ∴四边形 AFF′D 两条对角线的长分别是3 10和 10 . 21.解析：(1) 把 A(1,3)代入 ky x = 得： 3k = ， 把 B ( , )23 y 代入 3y x = 得： 2 1y = ，∴B(3,1). 把 A(1,3),B(3,1)分别代入 y ax b= + 得： 3 3 1 a b a b ì + =ï í + =ïî ，解得： 1 4 a b ì = -ï í =ïî ， ∴ 4ABy x= - + ，令 0ABy = ，得 4x = ， ∴ ( , )4 0P (2) ∵ AB PB= ,∴ B是 AP的中点，由中点坐标公式知： ,1 1 2 2 6 2 2 x yx y+ = = ， ∵ ,A B两点都在双曲线上，∴ 1 1 1 1 6 2 2 x yx y + = ´ ，解得 1 2x = ， ∴ 2 4x = . 作 AD⊥ x于点 D（如右图）, 则△ PAD∽△ PDO， ∴ AD PD CO PO = ，即 1 4 6 y b = ， 又 1 1b y= + ， ∴ 1 2y = ，∴ 2 1y = . ∴ ( , ), ( , )2 2 4 1A B (3) 结论： 1 2 0x x x+ = . 理由如下：∵A( ,1 1x y ),B( ,2 2x y )，∴ 1 1 2 2 ax b y ax b y ì + =ï í + =ïî ， ∴ 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 y y x y x yy x x x x x - - = - - - 令 0y = ，得 1 2 2 1 2 1 x y x yx y y - = - ，∵ 1 1 2 2x y x y= ， ∴ ( )( )1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 x y x y y y x xx y y y y - - + = = - - = 1 2x x+ ， 即 1 2 0x x x+ = 22.解析：（1）如下图： （2）填表如下： 两人相遇次数 （单位：次） 1 2 3 4 … n 两人所跑路程之和 (单位：m) 100 300 500 700 … 100（2n-1） (3) ① =5S t甲 (0≤t≤20) , =-4 100S t +乙 (0≤t≤25). ② ( )5 4 100 6 2 1t t+ = 创 - , ∴ 1100 9 t = , ∴第六次相遇 t 的值是 1100 9 . 五、(本大题共 10 分) 23.解析：（1）∵ ( )2 22 3 1 3y ax ax a a x= - + + = - + ， ∴ min=3y ； ∵ ( , ), ( , )M N -1 3 1 1 ，∴当 x -1时， L2 的 y值随着 x的增大而减小， ∴ x的取值范围是 x- <