2015年嘉兴市中考数学试题解析

浙江省嘉兴市 2015 年中考数学试卷 卷Ι（选择题） 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，请选出各题中唯一的正确选项，不选， 多选，错选，均不得分） 1.计算 2-3 的结果为（▲） （A）-1 （B）-2 （C）1 （D）2 考点：有理数的减法． . 分析：根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可． 解答：解：2﹣3=2+（﹣3）=﹣1，故选：A． 点评：本题主要考查了有理数的减法计算，减去一个数等于加上这个数的相反数． 2.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（▲） （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 考点：中心对称图形． . 分析：根据中心对称的概念对各图形分析判断即可得解． 解答：解：第一个图形是中心对称图形， 第二个图形不是中心对称图形， 第三个图形是中心对称图形， 第四个图形不是中心对称图形， 所以，中心对称图有 2 个． 故选：B． 点评：本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两 部分重合． 3.2014 年嘉兴市地区生产总值为 335 280 000 000 元，该数据用科学记数法表示为（▲） （A）33528×107 （B）0.33528×1012 （C）3.3528×1010 （D）3.3528×1011 考点：科学记数法—表示较大的数． . 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：将 335 280 000 000 用科学记数法表示为：3.3528×1011． 故选：D． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4.质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共 10 000 件产品中随机抽取 100 件进行 检测，检测出次品 5 件。由此估计这一批次产品中的次品件数是（▲） （A）5 （B）100 （C）500 （D）10 000 考点：用样本估计总体．. 分析：先求出次品所占的百分比，再根据生产这种零件 10000 件，直接相乘得出答案即可． 解答：解：∵随机抽取 100 件进行检测，检测出次品 5 件， ∴次品所占的百分比是： ， ∴这一批次产品中的次品件数是：10000× =500（件）， 故选 C． 点评：此题主要考查了用样本估计总体，根据出现次品的数量求出次品所占的百分比是解题 关键． 5.如图，直线 l1// l2// l3，直线 AC 分别交 l1， l2， l3 于点 A，B，C；直线 DF 分别交 l1， l2， l3 于点 D，E，F .AC 与 DF 相较于点 H，且 AH=2，HB=1，BC=5，则 的值为（▲） （A） （B）2 （C） （D） 考点：平行线分线段成比例．. 分析：根据 AH=2，HB=1 求出 AB 的长，根据平行线分线段成比例定理得到 = ，计算 得到答案． 解答：解：∵AH=2，HB=1， ∴AB=3， ∵l1∥l2∥l3， ∴ = = ， 故选：D． 点评：本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解 题的关键． 6.与无理数 最接近的整数是（▲） （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 考点：估算无理数的大小． . 分析：根据无理数的意义和二次根式的性质得出 ＜ ＜ ，即可求出答案． 解答：解：∵ ＜ ＜ ， ∴ 最接近的整数是 ， =6， 故选：C． 点评：本题考查了二次根式的性质和估计无理数的大小等知识点，主要考查学生能否知道 在 5 和 6 之间，题目比较典型． 7.如图， 中，AB=5，BC=3，AC=4，以点 C 为圆心的圆与 AB 相切，则☉C 的 半径为（▲） （A）2.3 （B）2.4 （C）2.5 （D）2.6 考点：切线的性质；勾股定理的逆定理． . 分析：首先根据题意作图，由 AB 是⊙C 的切线，即可得 CD⊥AB，又由在直角△ABC 中， ∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得 AB 的长，然后由 S△ABC= AC•BC= AB•CD， 即可求得以 C 为圆心与 AB 相切的圆的半径的长． 解答：解：在△ABC 中， ∵AB=5，BC=3，AC=4， ∴AC2+BC2=32+42=52=AB2， ∴∠C=90°， 如图：设切点为 D，连接 CD， ∵AB 是⊙C 的切线， ∴CD⊥AB， ∵S△ABC= AC•BC= AB•CD， ∴AC•BC=AB•CD， 即 CD= = = ， ∴⊙C 的半径为 ， 故选 B． 点评：此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法．此 题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用． 8.一元一次不等式 2（x+1）≥4 的解在数轴上表示为（▲） 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．. 分析：首先根据解一元一次不等式的方法，求出不等式 2（x+1）≥4 的解集，然后根据在数 轴上表示不等式的解集的方法，把不等式 2（x+1）≥4 的解集在数轴上表示出来即可． 解答：解：由 2（x+1）≥4， 可得 x+1≥2， 解得 x≥1， 所以一元一次不等式 2（x+1）≥4 的解在数轴上表示为： ． 故选：A． 点评：（1）此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集的方法，要熟练掌握，解答此题的关 键是要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意， 点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定 方向的原则是：“小于向左，大于向右”．（2）此题还考查了解一元一次不等式的方法，要熟 练掌握，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号； ③移项；④合并同类项；⑤化系数为 1． 9.数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线 l 和 l 外一点 P，用直尺和圆规 作直线 PQ，使 PQ⊥l 与点 Q .”分别作出了下列四个图形. 其中做法错误的是（▲） 考点：作图—基本作图．. 分析：A、根据作法无法判定 PQ⊥l； B、以 P 为圆心大于 P 到直线 l 的距离为半径画弧，交直线 l，于两点，再以两点为圆心， 大于它们的长为半径画弧，得出其交点，进而作出判断； C、根据直径所对的圆周角等于 90°作出判断； D、根据全等三角形的判定和性质即可作出判断． 解答：解：根据分析可知， 选项 B、C、D 都能够得到 PQ⊥l 于点 Q；选项 A 不能够得到 PQ⊥l 于点 Q． 故选：A． 点评：此题主要考查了过直线外以及过直线上一点作已知直线的垂线，熟练掌握基本作图方 法是解题关键． 10.如图，抛物线 y=-x2+2x+m+1 交 x 轴于点 A（a，0）和 B（B，0），交 y 轴于点 C， 抛物线的顶点为 D.下列四个判断：①当 x>0 时，y>0；②若 a=-1，则 b=4；③抛物 线上有两点 P（x1,y1）和 Q（x2,y2），若 x12，则 y1> y2；④点 C 关于 抛物线对称轴的对称点为 E，点 G，F 分别在 x 轴和 y 轴上，当 m=2 时，四边形 EDFG 周长的最小值为 ，其中正确判断的序号是（▲） （A）① （B）② （C）③ （D）④ 考点：二次函数综合题．. 分析：①根据二次函数所过象限，判断出 y 的符号； ②根据 A、B 关于对称轴对称，求出 b 的值； ③根据 ＞1，得到 x1＜1＜x2，从而得到 Q 点距离对称轴较远，进而判断出 y1＞y2； ④作 D 关于 y 轴的对称点 D′，E 关于 x 轴的对称点 E′，连接 D′E′，D′E′与 DE 的和即为四 边形 EDFG 周长的最小值．求出 D、E、D′、E′的坐标即可解答． 解答：解：①当 x＞0 时，函数图象过二四象限，当 0＜x＜b 时，y＞0；当 x＞b 时，y＜0， 故本选项错误； ②二次函数对称轴为 x=﹣ =1，当 a=﹣1 时有 =1，解得 b=3，故本选项 错误； ③∵x1+x2＞2， ∴ ＞1， 又∵x1＜1＜x2， ∴Q 点距离对称轴较远， ∴y1＞y2，故本选项正确； ④如图，作 D 关于 y 轴的对称点 D′，E 关于 x 轴的对称点 E′， 连接 D′E′，D′E′与 DE 的和即为四边形 EDFG 周长的最小值． 当 m=2 时，二次函数为 y=﹣x2+2x+3，顶点纵坐标为 y=﹣1+2+3=4，D 为（1，4），则 D′ 为（﹣1，4）；C 点坐标为 C（0，3）；则 E 为（2，3），E′为（2，﹣3）； 则 DE= = ；D′E′= = ； ∴四边形 EDFG 周长的最小值为 + ，故本选项错误． 故选 C． 点评：本题考查了二次函数综合题，涉及函数与不等式的关系、二次函数的对称轴、函数图 象上点的坐标特征、轴对称﹣﹣最短路径问题等，值得关注． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11.因式分解：ab – a=____▲____. 考点：因式分解-提公因式法． . 分析：提公因式 a 即可． 解答：解：ab﹣a=a（b﹣1）． 故答案为：a（b﹣1）． 点评：本题考查了提取公因式法因式分解．关键是求出多项式里各项的公因式，提公因式． 12.右图是百度地图的一部分（比例尺 1:4 000 000）.按图可估测杭州 在嘉兴的南偏西____▲____度方向上，到嘉兴的实际距离约为____▲____. 考点：比例线段；方向角． . 分析：先根据方向角得到杭州在嘉兴的方位，再量出杭州到嘉兴的图上距离，再根据比例尺 的定义即可求解．解答： 解：测量可知杭州在嘉兴的南偏西 45 度方向上， 杭州到嘉兴的图上距离是 4cm， 4×4000000=1600 0000cm=160km． 故答案为：45，160km． 点评：考查了方向角和比例尺的定义，比例尺=图上距离：实际距离． 13.把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是____▲____. 考点:列表法与树状图法． . 分析：举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可． 解答：解：共 4 种情况，正面都朝上的情况数有 1 种，所以概率是 ． 故答案为： ． 点评：本题主要考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得 到所求的情况数是解决本题的关键． 14.如图，一张三角形纸片 ABC，AB=AC=5.折叠该纸片使点 A 落在边 BC 的中点上，折痕经过 AC 上的点 E，则线段 AE 的长为____▲____. 考点：翻折变换（折叠问题）．. 分析：如图，D 为 BC 的中点，AD⊥BC，因为折叠该纸片使点 A 落在 BC 的中点 D 上，所 以折痕 EF 垂直平分 AD，根据平行线等分线段定理，易知 E 是 AC 的中点，故 AE=2.5． 解答：解：如图所示， ∵D 为 BC 的中点，AB=AC， ∴AD⊥BC， ∵折叠该纸片使点 A 落在 BC 的中点 D 上， ∴折痕 EF 垂直平分 AD， ∴E 是 AC 的中点， ∵AC=5 ∴AE=2.5． 故答案为：2.5． 点评：本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质以及平行线等分线段定理，意识到折痕 EF 垂直平分 AD，是解决问题的关键． 15.公元前 1700 年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题：“它的全部， 加上它的七分之一，其和等于 19.”此问题中“它”的值为____▲____. 考点：一元一次方程的应用．. 专题：数字问题． 分析：设“它”为 x，根据它的全部，加上它的七分之一，其和等于 19 列出方程，求出方程 的解得到 x 的值，即可确定出“它”的值． 解答：解：设“它”为 x， 根据题意得：x+ x=19， 解得：x= ， 则“它”的值为 ， 故答案为： ． 点评：此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键． 16.如图，在直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0,1），点 P 在线段 OA 上，以 AP 为半径的☉P 周长为 1.点 M 从 A 开始沿☉P 按逆时针方向转动，射线 AM 交 x 轴于点 N（n，0），设点 M 转过的路程为 m（00）的图像交于点 A（1，a），点 B 是此反 比例函数图形上任意一点（不与点 A 重合），BC⊥x 轴于点 C. （1）求 k 的值. （2）求△OBC 的面积. 考点：反比例函数与一次函数的交点问题．. 分析：（1）由直线 y=2x 与反比例函数 y= （k≠0，x＞0）的图象交于点 A（1，a），先将 A （1，a）代入直线 y=2x 求出 a 的值，从而确定 A 点的坐标，然后将 A 点的坐标代入反比例 函数 y= 中即可求出 k 的值； （2）由反比例函数 y= 的比例系数 k 的几何意义，可知△BOC 的面积等于 |k|，从而求出 △OBC 的面积． 解答：解：（1）∵直线 y=2x 与反比例函数 y= （k≠0，x＞0）的图象交于点 A（1，a），先 ∴将 A（1，a）代入直线 y=2x，得： a=2 ∴A（1，2）， 将 A（1，2）代入反比例函数 y= 中得：k=2， ∴y= ； （2）∵B 是反比例函数 y= 图象上的点，且 BC⊥x 轴于点 C， ∴△BOC 的面积= |k|= ×2=1． 点评：本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满 足两个函数解析式是解题的关键． 21.嘉兴市 2010~2014 年社会消费品零售总额及增速统计图如下： 请根据图中信息，解答下列问题： （1）求嘉兴市 2010~2014 年社会消费品零售总额增速．．这组数据的中位数. （2）求嘉兴市近三年（2012~2014 年）的社会消费品零售总额．．．．这组数据的平均数. （3）用适当的方法预测嘉兴市 2015 年社会消费品零售总额（只要求列出算式，不必计算出 结果）. 考点：折线统计图；条形统计图；算术平均数；中位数．. 分析：（1）根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数即可得出答案； （2）根据平均数的定义，求解即可； （3）根据增长率的中位数，可得 2015 年的销售额． 解答：解：（1）数据从小到大排列 10.4%，12.5%，14.2%，15.1%，18.7%， 则嘉兴市 2010～2014 年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数 14.2%； （2）嘉兴市近三年（2012～2014 年）的社会消费品零售总额这组数据的平均数是： （799.4+948.6+1083.7+1196.9+1347.0）÷5=1075.12（亿元）； （3）从增速中位数分析，嘉兴市 2015 年社会消费品零售总额为 1347×（1+14.2%）=1538.274 （亿元）． 点评：本题考查了折线统计图，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中 位数是一组由小到大排列的数据中间的一个或中间两个数的平均数．平均数是表示一组数据 集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标．解答平均数应用题的关键在于确定“总 数量”以及和总数量对应的总份数． 22.小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏 OB 与底板 OA 所在水平线的夹角为 120° 时，感觉最舒适（如图 1），侧面示意图为图 2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架 ACO＇后，电脑转到 AO＇B＇位置（如图 3），侧面示意图为图 4.已知 OA=OB=24cm，O＇C⊥OA 于点 C，O＇C=12cm. （1）求∠CAO＇的度数. （2）显示屏的顶部 B＇比原来升高了多少？ （3）如图 4，垫入散热架后，要使显示屏 O＇B＇与水平线的夹角仍保持 120°，则显示屏 O＇ B＇应绕点 O＇按顺时针方向旋转多少度？ 考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．. 分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果； （ 2 ） 过 点 B 作 BD⊥AO 交 AO 的 延 长 线 于 D ， 通 过 解 直 角 三 角 形 求 得 BD=OB•sin∠BOD=24× =12 ，由 C、O′、B′三点共线可得结果； （3）显示屏 O′B′应绕点 O′按顺时针方向旋转 30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏 O′B′应绕点 O′按顺时针方向旋转 30°． 解答：解：（1）∵O′C⊥OA 于 C，OA=OB=24cm， ∴sin∠CAO′= ， ∴∠CAO′=30°； （2）过点 B 作 BD⊥AO 交 AO 的延长线于 D， ∵sin∠BOD= ， ∴BD=OB•sin∠BOD， ∵∠AOB=120°， ∴∠BOD=60°， ∴BD=OB•sin∠BOD=24× =12 ， ∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°， ∴∠AO′C=60°， ∵∠AO′B′=120°， ∴∠AO′B′+∠AO′C=180°， ∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12 =3﹣12 ， ∴显示屏的顶部 B′比原来升高了（36﹣12 ）cm； （3）显示屏 O′B′应绕点 O′按顺时针方向旋转 30°， 理由；∵显示屏 O′B 与水平线的夹角仍保持 120°， ∴∠EO′F=120°， ∴∠FO′A=∠CAO′=30°， ∵∠AO′B′=120°， ∴∠EO′B′=∠FO′A=30°， ∴显示屏 O′B′应绕点 O′按顺时针方向旋转 30°． 点评：本题考查了解直角三角形的应用，旋转的性质，正确的画出图形是解题的关键． 23.某企业接到一批粽子生产任务，按要求在 15 天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只 6 元.为按时完成任务，该企业招收了新工人.设新工人李明第 X 天生产的粽子数量为 y 只，y 与 x 满足如下关系： （1）李明第几天生产的粽子数量为 420 只？ （2）如图，设第 x 天每只粽子的成本是 p 元，p 与 x 之间的关系 可用图中的函数图形来刻画.若李明第 x 天创造的利润为 w 元，求 w 关于 x 的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润时多 少元？（利润=出厂价-成本） 考点：二次函数的应用．. 分析：（1）把 y=420 代入 y=30x+120，解方程即可求得； （2）根据图象求得成本 p 与 x 之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整 理即可得到 W 与 x 的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答； 解答：解：（1）设李明第 n 天生产的粽子数量为 420 只， 由题意可知：30n+120=420， 解得 n=10． 答：第 10 天生产的粽子数量为 420 只． （2）由图象得，当 0≤x≤9 时，p=4.1； 当 9≤x≤15 时，设 P=kx+b， 把点（9，4.1），（15，4.7）代入得， ， 解得 ， ∴p=0.1x+3.2， ①0≤x≤5 时，w=（6﹣4.1）×54x=102.6x，当 x=5 时，w 最大=513（元）； ②5＜x≤9 时，w=（6﹣4.1）×（30x+120）=57x+228， ∵x 是整数， ∴当 x=9 时，w 最大=714（元）； ③9＜x≤15 时，w=（6﹣0.1x﹣3.2）×（30x+120）=﹣3x2+72x+336， ∵a=﹣3＜0， ∴当 x=﹣ =12 时，w 最大=768（元）； 综上，当 x=12 时，w 有最大值，最大值为 768． 点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问 题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式． 24.类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”. （1）概念理解 如图 1，在四边形 ABCD 中，添加一个条件使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形”.请写 出你添加的一个条件. （2）问题探究 ①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗？请说明理 由。 ②如图 2，小红画了一个 Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将 Rt△ABC 沿 ∠ABC 的平分线 BB＇方向平移得到△A＇B＇C＇，连结 AA＇，BC＇.小红要是平移后的四边形 ABC＇A＇是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段 BB＇的长）？ （3）应用拓展 如图 3，“等邻边四边形”ABCD 中，AB=AD，∠BAD+∠BCD==90°，AC，BD 为对角线，AC= AB. 试探究 BC，CD，BD 的数量关系. 考点：四边形综合题． . 分析：（1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论； （2）①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相 等，得出结论； ②由平移的性质易得 BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC= ，再利 用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论； （3）由旋转的性质可得△ABF≌△ADC，由全等性质得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC， AF=AC，FB=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性质和四边形内角和 得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代换得出结论． 解答：解：（1）AB=BC 或 BC=CD 或 CD=AD 或 AD=AB（任写一个即可）； （2）①正确，理由为： ∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形， ∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等， ∴这个“等邻边四边形”是菱形； ②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1， ∴AC= ， ∵将 Rt△ABC 平移得到△A′B′C′， ∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC= ， （I）如图 1，当 AA′=AB 时，BB′=AA′=AB=2； （II）如图 2，当 AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′= ； （III）当 A′C′=BC′= 时， 如图 3，延长 C′B′交 AB 于点 D，则 C′B′⊥AB， ∵BB′平分∠ABC， ∴∠ABB′= ∠ABC=45°， ∴∠BB′D=′∠ABB′=45°， ∴B′D=B， 设 B′D=BD=x， 则 C′D=x+1，BB′= x， ∵在 Rt△BC′D 中，BD2+（C′D）2=（BC′）2 ∴x2+（x+1）2=（ ）2， 解得：x1=1，x2=﹣2（不合题意，舍去）， ∴BB′= x= ， （Ⅳ）当 BC′=AB=2 时，如图 4， 与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2， 设 B′D=BD=x， 则 x2+（x+1）2=22， 解得：x1= ，x2= （不合题意，舍去）， ∴BB′= x= ； （3）BC，CD，BD 的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图 5， ∵AB=AD， ∴将△ADC 绕点 A 旋转到△ABF，连接 CF， ∴△ABF≌△ADC， ∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD， ∴∠BAD=∠CAF， = =1， ∴△ACF∽△ABD， ∴ = = ，∴ BD， ∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°， ∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°， ∴∠ABC+∠ABF=270°， ∴∠CBF=90°， ∴BC2+FB2﹣CF2=（ BD）2=2BD2， ∴BC2+CD2=2BD2． 点评：本题主要考查了对新定义的理解，菱形的判定，勾股定理，相似三角形的性质等，理 解新定义，分类讨论是解答此题的关键．