2015年衡阳市中考数学试题及答案

2015 年衡阳市初中毕业学业水平考试试卷 数学 考生注意：1、本学科试卷共三道大题，满分 120 分，考试时量 120 分钟。 2、本试卷的作答一律答在答题卡上，选择题用 2B 铅笔按涂写要求将你认为正确的选项涂黑；非选择题用黑色墨水签 字笔作答，作答不能超出黑色矩形边框。直接在试卷上作答无效。 一、 选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，满分 36 分．在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．计算   21 0  的结果是（ D ）． A．-3 B．1 C．-1 D．3 2．下列计算正确的是（ A ）． A． aaa 2 B． 333 2bbb  C． 33 aaa  D．   725 aa  3．如下左图的几何体是由一个圆柱体和一个长方体组成的，则这个几何体的俯视图是（ C ）． A． B． C． D． 4．若分式 1 2   x x 的值为 0，则 x 的值为（ C ）． A．2 或-1 B．0 C．2 D．-1 5．函数 1 xy 中自变量 x 的取值范围为（ B ）． A． 0x B． 1x C． 1x D． 1x 6．不等式组      1 2 x x 的解集在数轴上表示为（ B ）． A． B． C． D． 7．已知等腰三角形的两边长分别是 5 和 6，则这个等腰三角形的周长为（ D ）． A．11 B．16 C．17 D．16 或 17 8．若关于 x 的方程 2 3 0x x a   有一个根为-1，则另一个根为（ B ）． A．-2 B．2 C．4 D．-3 9．下列命题是真命题的是（ A ）． A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 10．在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组 7 名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数 额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（ C ）． A．50 元，30 元 B．50 元，40 元 C．50 元，50 元 D．55 元，50 元 11．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为 900 平方米的矩形绿地，并且长比宽多 10 米．设绿地 的宽为 x 米，根据题意，可列方程为（ B ）． A．  10 900x x   B．  10 900x x   C．  10 10 900x   D．  2 10 900x x     12．如图，为了测得电视塔的高度 AB，在 D 处用高为 1 米的测角仪 CD，测得电视塔 顶端 A 的仰角为 30°，再向电视塔方向前进 100 米到达 F 处，又测得电视塔顶 端 A 的仰角为 60°，则这个电视塔的高度 AB（单位：米）为（ C ）． A． 50 3 B．51 C． 50 3 1 D．101 二、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，满分 24 分．） 13．在-1，0，-2 这三个数中，最小的数是-2． 14．如图，已知直线 a ∥ b ，∠1＝120°，则∠2 的度数是 60°． 15．计算： 8 2  2 ． 16．方程 1 3 2x x   的解为 1x   ． 17．圆心角为 120°的扇形的半径为 3，则这个扇形的面积为 3 （结果保留 ）． 18．如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度 AB，选取可以直达 A、B 两点的点 O 处，再分别取 OA、OB 的中点 M、N， 量得 MN＝20 m ，则池塘的宽度 AB 为 40 m ． 19．已知 3a b  ， 1a b   ，则 2 2a b 的值为-3． 20．如图，△ 1 1 2A B A ，△ 2 2 3A B A ，△ 3 3 4A B A ，…，△ n n n 1A B A  ，都是等腰直角三角 形．其中点 1A ， 2A ，…， nA 在 x 轴上，点 1B ， 2B ，…， nB ，在直线 y x 上． 已知 1OA 1 ，则 2015OA 的长为 20142 ． 三、 解答题（本大题共 8 个小题，满分 60 分．解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤．） 21．（本小题满分 6 分）先化简，再求值    22a a b a b   ，其中 1a   ， 2b  ． 解：原式＝ 2 2 22 2a ab a ab b    ＝ 2 22a b ∵ 1a   ， 2b  ∴ 2 22a b ＝ 2 2 ＝4． 22．（本小题满分 6 分） 为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质揣测．体质 揣测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格；根据调查结果绘制了下列两幅不完整．．．的统计图，请你根据统计 图提供的信息回答以下问题： （1）在扇形统计图中，“合格“的百分比为 40%． （2）本次体质抽测中，抽测结果为“不合格“等级的学生有 16 人． （3）若该校九年级有 400 名学生，估计该校九年级体质为“不合格“等级的学生约有 128 人． 23．（本小题满分 6 分） 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）． （1）在平面直角坐标系中画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1； （2）把△ABC 绕点 A 顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2， 点 C2 在 AB 上． ①旋转角为多少度？ ②写出点 B2 的坐标． 解：（1）△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1 如图所示； （2）①由图可知，旋转角为 90°； ②点 B2 的坐标为（6，2）． 24．（本小题满分 6 分） 某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从 4 名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担 任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率． 解：画树状图如下所示： 第一名主持人： 男① 男② 女① 女② 第二名主持人：男② 女① 女② 男① 女① 女② 男① 男② 女② 男① 男② 女① 共有 12 种可能出现的结果，其中“恰好为一男一女”的有 8 种； ∴P＝ 8 12 ＝ 2 3 ． 25．（本小题满分 8 分） 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物深度 y （微克 /毫升）与服药时间 x 小时之间的函数关系如图所示（当 4 10x  时， y 与 x 成反比）． （1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段 y 与 x 之间的函数关系式； （2）问血液中药物浓度不低于 4 微克/毫升的持续时间为多少小时？ 解：（1）由图象可知，当 0 4x  时， y 与 x 成正比例关系，设 y kx ． 由图象可知，当 4x  时， 8y  ，∴ 4 8k  ，解得： 2k  ； ∴  2 0 4y x x   又由题意可知：当 4 10x  时， y 与 x 成反比，设 my x  ． 由图象可知，当 4x  时， 8y  ，∴ 4 8 32m    ； ∴  32 4 10y xx    即：血液中药物浓度上升时  2 0 4y x x   ；血液中药物浓度下降下  32 4 10y xx    ． （2）血液中药物浓度不低于 4 微克/毫升即： 4y  ∴ 2 4x  且 32 4x  ，解得 2x  且 8x  ； ∴ 2 8x  ，即持续时间为 6 小时． 26．（本小题满分 8 分） 如图，AB 是⊙O 的直径，点 C、D 为半圆 O 的三等分点，过点 C 作 CE⊥AD，交 AD 的延长线于点 E． （1）求证：CE 为⊙O 的切线； （2）判断四边形 AOCD 是否为菱形？并说明理由． 解：（1）证明：连接 OD，∵点 C、D 为半圆 O 的三等分点， ∴∠BOC＝ 1 2 ∠BOD 又∠BAD＝ 1 2 ∠BOD ∴∠BOC＝∠BAD ∴AE∥OC ∵AD⊥EC ∴OC⊥EC ∴CE 为⊙O 的切线． （2）四边形 AOCD 是菱形；理由如下： ∵点 C、D 为半圆 O 的三等分点 ∴∠AOD＝∠COD＝60° ∵OA＝OD＝OC ∴△AOD 和△COD 都是等边三角形 ∴OA＝AD＝DC＝OC＝OD ∴四边形 AOCD 是菱形． 27．（本小题满分 10 分） 如图，顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 1y x  相交于 A、B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连结 AM、BM． （1）求抛物线的函数关系式； （2）判断△ABM 的形状，并说明理由； （3）把抛物线与直线 y x 的交点称为抛物线的不动点． 若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（ m ， 2m ）， 当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？ 解：（1）∵点 A 是直线 1y x  与 x 轴的交点，∴A 点为（-1，0） ∵点 B 在直线 1y x  上，且横坐标为 2，∴B 点为（2，3） ∵过点 A、B 的抛物线的顶点 M 在 y 轴上，故设其解析式为： 2y ax c  ∴ 0 4 3 a c a c      ，解得： 1 1 a c     ∴抛物线的解析式为 2 1y x  ． （2）△ABM 是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下： 作 BC⊥ x 轴于点 C，∵A（-1，0）、B（2，3）∴AC＝BC＝3，∴∠BAC＝45°； 点 M 是抛物线 2 1y x  的顶点，∴M 点为（0，-1）∴OA＝OM＝1，∵∠AOM＝90°∴∠MAC＝45°； ∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°∴△ABM 是直角三角形． （3）将抛物线的顶点平移至点（ m ， 2m ），则其解析式为  2 2y x m m   ． ∵抛物线的不动点是抛物线与直线 y x 的交点，∴  2 2x m m x   化简得：  2 22 1 2 0x m x m m     ∴  ＝    2 22 1 4 1 2m m m        ＝ 4 1m  当 4 1 0m   时，方程  2 22 1 2 0x m x m m     总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点 ∴ 1 4m  ． 28．（本小题满分 10 分） 如图，四边形 OABC 是边长为 4 的正方形，点 P 为 OA 边上任意一点（与点 O、A 不重合），连结 CP，过点 P 作 PM⊥CP 交 AB 于点 D，且 PM＝CP，过点 M 作 MN∥OA，交 BO 于点 N，连结 ND、BM，设 OP＝ t ． （1）求点 M 的坐标（用含 t 的代数式表示）； （2）试判断线段 MN 的长度是否随点 P 的位置的变化而改变？并说明理由； （3）当 t 为何值时，四边形 BNDM 的面积最小． 解：（1）如图，作 ME⊥ x 轴于点 E，则∠MEP＝∠POC＝90° ∵PM⊥CP，∴∠CPM＝90°； ∴∠OPC＋∠MPE＝90°，∵∠OPC＋∠PCO＝90° ∴∠MPE＝∠PCO，∵PM＝CP ∴△MPE≌△PCO，∴PE＝CO＝4，ME＝PO＝ t ∴OE＝4＋ t ； ∴点 M 的坐标为（4＋ t ， t ）． （2）线段 MN 的长度不变．理由如下： 由题意知：OA＝OB＝4，∴点 B 坐标为（4，4），∴直线 OB 的解析式为 y x ∵MN∥OA，点 M 为（4＋ t ， t ），点 N 的坐标为（ t ， t ） ∴MN＝  4 t t  ＝4，即线段 MN 的长度不变． （3）由（1）知：∠MPE＝∠PCO，又∠DAP＝∠POC＝90° ∴△DAP∽△POC，∴ AD AP OP OC  ， ∵OP＝ t ，OC＝4，∴AP＝4－ t ∴ AD 4 t t 4  ，∴AD＝  t 4 t 4  ， ∴BD＝  t 4 t4 4  ＝ 2t 4t 16 4   ∵MN∥OA，AB⊥OA；∴MN⊥BD ∵S 四边形 BNDM＝ 1 MN BD2  ∴S＝ 21 t 2t 82   ∵ 1t 02   ，∴S 有最小值， 且当 2t 212 2     时，S 最小值＝6．