2015年河南省中考数学试题解析

2015 年河南初中学业水平暨高级中等学校招生考试试题 数 学（解析版） 注意事项： 1. 本试卷共 6 页，三个大题，满分 120 分，考试时间 100 分钟。 2. 本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。答 在试卷上的答案无效。 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。 1. 下列各数中最大的数是（ ） A. 5 B. 3 C. π D. -8 A【解析】本题考查实数的比较大小.∵ 732.13  ，π≈3.14,∴5>π> 3 > 8 ，∴最大的数 为 5. 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） B【解析】本题考查实物体的俯视图的判断，俯视图是从上往下看得到的图形，从上面看 可以看到轮廓是一个矩形和中间有一条竖着的实线，故 B 选项符合题意. 3. 据统计，2014 年我国高新技术产品出口总额达 40 570 亿元，将数据 40 570 亿用科学记数 法表示为（ ） A. 4.0570×109 B. 0.40570×1010 C. 40.570×1011 D. 4.0570×1012 D 【解析】本题考查带计数单位的大数科学计数法.∵1 亿=108 ，40570=4.057×104，∴ 40570 亿=4.057×104×108=4.0570×1012. 4. 如图，直线 a，b 被直线 e，d 所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4 的度数为（ ） A. 55° B. 60° C.70° D. 75° C DBA正面 第 2 题 dc b a 第 4 题 A【 解析 】本 题考 查了 平行 线的 判定 和相 交线 与平 行 线性 质求 角度.∵∠1 ＝∠2， ∴a∥b．∴∠5＝∠3=125°， ∴∠4＝180°－∠5=180°－125°=55°． 5. 不等式组      13 ,05 x x 的解集在数轴上表示为（ ） C【解析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示.由不等式 x+5≥0，解得：x≥－5 ； 由不 等式 3-x>1，解得：x＜2，则该不等式组的解集为－5≤x＜2，故 C 选项符合. 6. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试、技能操作得分分别为 85 分，80 分，90 分， 若依次按照 2:3:5 的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ） A. 255 分 B. 84 分 C. 84.5 分 D.86 分 C【解析】本题考查加权平均数的应用.根据题意得 86532 590380285  x — ，∴小 王成绩为 86 分. 7. 如图，在□ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E，若 BF=6，AB=5， 则 AE 的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 C【解析】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质，以及基本的尺规作图. 设 AE 与 BF 交于点 O，∵AF=AB，∠BAE= ∠FAE ，∴AE⊥BF，OB= 2 1 BF=3 在 Rt△AOB 中， AO= 2 2- 45 3  ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC∴∠FAE= ∠BEA， -5 20 -5 20 -5 20 -5 20 C D BA E F C D B G A 第 7 图 ∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE，∴AE=2AO=8. 8. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1，O2，O3，… 组成 一条平滑的曲线，点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 2  个单位长度， 则第 2015 秒时，点 P 的坐标是（ ） A.（2014,0） B.（2015，-1） C. （2015,1） D. （2016,0） B【解析】本题考查直角坐标系中点坐标的规律探索. ∵半圆的半径 r=1，∴半圆长度=π， ∴第 2015 秒点 P 运动的路径长为： 2 π ×2015， ∵ 2 π ×2015÷π=1007…1，∴点 P 位于第 1008 个半圆的中点上，且这个半圆在 x 轴的下方. ∴此时点 P 的横坐标为：1008×2-1=2015，纵坐标为-1，∴点 P(2015，-1) . 第 8 题解图 二、填空题（每小题 3 分，共 21 分） 9. 计算：(-3)0+3-1= . 9. 3 4 【解析】 3 13,13 10  ）（ ，∴原式=1+ 3 1 = 3 4 . 10. 如图，△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB，BC 上，DE//AC， 若 DB=4，DA=2，BE=3，则 EC= . 2 3 【解析】本题考查平行线分线段成比例定理.∵DE∥AC，∴ EC BE DA BD  ， ∴EC= 2 3 4 32 BD BEDA  . 11. 如图，直线 y=kx 与双曲线 )0(2  xxy 交于点 A（1，a）,则 k= . 2【解析】本题考查一次函数与反比例函数结合. 把点 A 坐标（1，a）代入 y= x 2 ,得 a= 1 2 =2 ∴点 A 的坐标为（1,2），再把点 A（1,2）代入 y=kx 中，得 k=2. P O 第 8 题 O1 x y O2 O3 E C D B A 第 10 题 O A 第 11 题 x y 12. 已知点 A（4，y1），B（ 2 ，y2），C（-2，y3）都在二次函数 y=(x-2)2-1 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是 . . 2 1 3y y y  【解析】本题考查二次函数图象及其性质.方法一：解：∵ A（4，y1）、B（ 2 ， y2）C（-2，y3）在抛物线 y= 2 1-2x （ ） 上，∴y1=3，y2=5-4 2 ,y3=15.∵5-4 2 ＜3＜ 15，∴y2＜y1＜y3 方法二：解：设点 A、B、C 三点到抛物线对称轴的距离分别为 d1、d2、d3，∵y= 2 12)x （ ∴对称轴为直线 x=2，∴d1=2,d2=2- 2 ,d3=4∵2- 2 ＜2＜4，且 a=1＞0，∴y2＜y1＜y3. 方法三：解：∵y= 1)2 2 x（ ，∴对称轴为直线 x=2，∴点 A(4, y1)关于 x=2 的对称点是（0，y1）.∵-2＜0＜ 2 且 a=1＞0，∴y2＜y1＜y3. 13. 现有四张分别标有数字 1，2，3，4 的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上 洗匀，从中随机抽取一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片 所标数字不同的概率是 . 8 5 【解析】本题考查用列表法或画树状图的方法求概率.列表 如下： 1 2 2 3 1 （1,1） （1， 2） （1， 2） （1，3） 2 （2，1） （2,2） （2， 2） （2，3） 2 （2，1） （2， 2） （2,2） （2，3） 3 （3，1） （3， 2） （3， 2） （3,3） 或画 树状图 如解图 ： 开始 第一 次 1 2 2 3 第二 次 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 第 13 题解 图 由 列 表 或 树 状 图 可 得 所 有 等 可 能 的 情 况 有 16 种 ， 其 中 两次抽出卡片所标数字不同 的情 况有 10 种， 则 P= 8 5 16 10  ． 14. 如图，在扇形 AOB 中，∠AOB=90°，点 C 为 OA 的中点， CE⊥OA 交 AB 于点 E，以点 O 为圆心，OC 的长为半径 作 CD交 OB 于点 D，若 OA=2，则阴影部分的面积为 . 【分析】先观察阴影部分的图形为不规则图形，相到利用转化的思想，并作出必要的辅助 线，即连接 OE，得到 CODOCEOBE SSSS 扇形扇形阴影   ，再分别计算出各图形的面积即可求解. 3 12 2 π 【解析】本题考查阴影部分面积的计算.如解图，连接 OE，∵点 C 是 OA 的中 点，∴OC＝ 2 1 OA＝１，∵OE＝OA＝２，∴OC＝ 2 1 OE. ∵CE⊥OA，∴∠OEC＝30°，∴∠COE ＝60°.在 Rt△OCE 中，CE＝ 3 ，∴Ｓ△OCE＝ 2 1 OC·CE= 2 3 .∵∠AOB＝9０°， ∴∠BOE ＝∠AOB-∠COE＝30°,∴S 扇形 OBE= 230 360 π 2 = 3 π，Ｓ扇形 COD= 290 1 360 π = 4 π， ∴[来 CODOCEOBE SSSS 扇形扇形阴影   = 3 π + 2 3 - 4  = 2 3 12  . 第 14 题解图 15. 如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE=3， 点 F 是边 BC 上不与点 B、C 重合的一个动点，把△EBF 沿 E OC D B A 第 14 题 E F C D B A 第 15 题 B′ EF 折叠，点 B 落在 B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则 DB′的长为 . 【分析】若△CD B恰为等腰三角形，判断以 CD 为腰或为底边分为三种情况：①DB′=DC； ②CB′=CD；③CB′=DB′，针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解. 16 或 54 【解析】本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用，以及分类讨论思想. 根据题意，若△CD B恰为等腰三角形需分三种情况讨论：（1）若 DB′=DC 时，则 DB′=16 （易知点 F 在 BC 上且不与点 C、B 重合） ；（2）当 CB′=CD 时，∵EB=EB′，CB=CB′∴ 点 E、C 在 BB′的垂直平分线上，∴EC 垂直平分 BB′，由折叠可知点 F 与点 C 重合，不符 合题意，舍去；（3）如解图，当 CB′=DB′时，作 BG⊥AB 与点 G，交 CD 于点 H.∵AB∥CD， ∴B′H⊥CD，∵CB′=DB′，∴DH= 2 1 CD=8，∴AG=DH=8，∴GE=AG-AE=5，在 Rt△B′EG 中，由勾股定理得 B′G=12，∴B′H=GH-B′G=4.在 Rt△B′DH 中，由勾股定理得 DB′= 54 ， 综上所述 DB′=16 或 54 . 第 15 题解图 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分） 16.（8 分）先化简，再求值： )11( 22 2 22 abba baba    ，其中 15 a ， 15 b . 【分析】解答本题应从运算顺序入手，先将括号里通分，能因式分解的进行因式分解，然 后将除法变乘法，最后约分化简成最简分式后，将 a,b 的值代入求解. 解：原式= ab ba ba ba   )(2 2）（ ……………………………………………………（4 分） = ba abba  2 = 2 ab .……………………………………………………（6 分） 当 5 1, 5 1a b    时，原式= 22 15 2 )15(15  ）（ .…………（8 分） 17.（9 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 是半圆上不与点 A、B 重合的一个动点，延长 BP 到点 C，使 PC=PB，D 是 AC 的中点，连接 PD，PO. （1）求证：△CDP∽△POB； （2）填空： ① 若 AB=4，则四边形 AOPD 的最大面积为 ； ② 连接 OD，当∠PBA 的度数为 时，四边形 BPDO 是菱形. （1）【分析】要证△CDP≌△POB，已知有一组对应边相等，结合已知条件易得 DP 是△ACB 的中位线，进而可得出一组对应角和一组对应边相等，根据 SAS 即可得证. 解：∵点 D 是 AC 的中点，PC=PB，…………………………………………（3 分） ∴DP∥DB， ABDP 2 1 ，∴∠CPD=∠PBO. ∵ ABOB 2 1 ,∴DP=OB，∴△CDP≌△POB（SAS）.………………………………（5 分） 第 17 题解图 (2) 【分析】①易得四边形 AOPD 是平行四边形，由于 AO 是定值，要使四边形 AOPD 的 面积最大，就得使四边形 AOPD 底边 AO 上的高最大，即当 OP⊥OA 时面积最大；②易得 四边形 BPDO 是平行四边形，再根据菱形的判定得到△PBO 是等边三角形即可求解. 解： ① 4 ；………………………………………………………………………………（7 分） ② 60°.（注：若填为 60，不扣分）…………………………………………………（9 分） P O C D BA 第 17 题 【解法提示】①当 OP⊥OA 时四边形 AOPD 的面积最大，∵由（1）得 DP=AO，DP∥DB， ∴四边形 AOPD 是平行四边形，∵AB=4，∴AO=PO=2，∴四边形 AOPD 的面积最大 为,2×2=4；②连接 OD,∵由（1）得 DP=AO=OB，DP∥DB，∴四边形 BPDO 是平行四边形， ∴当 OB=BP 时四边形 BPDO 是菱形，∵PO=BO，∴△PBO 是等边三角形，∴∠PBA=60°. 18.（9 分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调 查结果绘制了如下尚不完整的统计图。 根据以上信息解答下列问题： （1）这次接受调查的市民总人数是 ； （2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是 ； （3）请补全条形统计图； （4）若该市约有 80 万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途 径”的总人数. （1）【分析】从条形统计图中得到“手机上网”的人数，从扇形统计图得到“手机上网”所占 的百分比，相除即可得到本次调查的市名总人数. 解：1000.………………………………………………………………………………（2 分） 【解法提示】本次调查的市名总人数为：400÷40％=1000. （2）【分析】 根据扇形统计图可得：1—电脑上网、其他、报纸和手机上网各项所占的百 分比从而求得用“电脑”获取新闻的最主要途径所占的百分比，再乘以 360°即可求解. 解：54°.（注：若填为 54，不扣分）………………………………………………（4 分） 【解法提示】（1-9％-10％-26％-40％）×360°=54°. （3）【分析】由扇形统计图可得用“报纸”获取新闻的途径所占的百分比，再乘以总人数即 可求解. 解：用“报纸”获取新闻的途径的人数为：10％×1000=100， 补全条形统计图如解图： 调查结果条形统计图人数 选项 260 400 150 99 电脑上 手机上 电视 报纸 其它0 450 400 350 300 250 200 150 100 50 电脑上网 26% 其它 9%报纸 10% 电视 手机上网 40% 调查结果扇形统计图 第 18 题解图 ………………………………………………………………………………………………（4 分） （4）【分析】先求得将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”所占的百分比，再 乘以该市的人数即可求解. 解：   )(528004026100008 0000 人 19.（9 分）已知关于 x 的一元二次方程(x-3)(x-2)=|m|. （1）求证：对于任意实数 m，方程总有两个不想等的实数根； （2）若方程的一个根是 1，求 m 的值及方程的另一个根. （1）【分析】先化简一元二次方程，列出根的判别式，再根据绝对值为非负数，得到根的 判别式与 0 的大小关系即可得证. 解： （2）【分析】当 x=1 时，代入原方程得到 m 的值，根据绝对值的非负性，得到 m 有两个值， 再分别代入原方程进行求解. 解： 20.（9 分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 出测得大树顶端 B 的仰角是 48°. 若坡角∠FAE=30°，求大树的高度. （结果保留整数， 参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11， 3 ≈1.73） 【分析】通过观察图形，要求大树的高度，需要构造直角三角形，将所求线段联系起来.结 合题目中的信息，即要延长 BD 交 AE 于点 G，并过点 D 作 DH⊥AE 于点 H，分别在 Rt△GBC 和 Rt△ABC 中表示出 CG 和 AC 的长即可求解. 解： F D 第 20 题 30° 48° E A C B 第 20 题解图 21.（10 分）某游泳馆普通票价 20 元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ① 金卡售价 600 元/张，每次凭卡不再收费； ② 银卡售价 150 元/张，每次凭卡另收 10 元. 暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数. 设游泳 x 次时，所需 总费用为 y 元. （1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y 与 x 之间的函数关系式； （2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点 A、B、 C 的坐标； （3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算. （1）【分析】观察图象，结合题目中的信息，得到普通卡是正比例函数，分析次数 x 与 20 的关系，银卡为一次函数，分析出次数 x 与 10 的关系，从而即可求解 解： (2)【分析】由（1）中银卡的函数关系式可得点 A 的坐标，观察图形，联立普卡和银卡的函 数关系式可求得点 B 的坐标，再将 y=600 代入银卡的函数关系式即可求解. O C D B A 600 x y 第 21 题 第 21 题解图 （3）【分析】观察图象，应从普卡、银卡和金卡三者图象的交点前后进行分段讨论，依次 得到消费方案即可求解. 22.（10 分）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，BC=2AB=8，点 D，E 分别是边 BC，AC 的 中点，连接 DE. 将△EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α. （1）问题发现 ① 当  0 时， _____________ BD AE ； ② 当 180 时， .__________ BD AE （2）拓展探究 试判断：当 0°≤α＜360°时， DB AE 的大小有无变化？请仅就图 2 的情况给出证明. （3）问题解决 当△EDC 旋转至 A、D、E 三点共线时，直接写出线段 BD 的长. （1）【分析】①根据题意可得 DE 是三角形 ABC 的中位线和 BD 的长，根据中位线的性质 和勾股定理求得 AE 的长即可求解；②根据旋转 180°的特性，结合①，分别得到 AC、CE、 BC 和 CD 的长即可求解. 解：① 5 2 ；……………………………………………………（1 分） ② 5 2 .……………………………………………………（2 分） 【解法提示】①当α=0°，如解图①，∵BC=2AB=8，∴AB=4，∵点 D，E 分别是边 BC，AC 的中点，∴DE= 12 1 AB ,AE=EC,，∵∠B=90°， ∴ 2 28 4 4 5AC    ,∴AE=CE= 2 5 ,∴ 2 5 5 4 2 AE BD   ；②当α=180 度，如解图②， 由旋转性质可得 CE= 5 ,CD=2，∵AC= 2 5 ，BC=8， ∴ 2 5 48 5254    CDBC CEAC BD AE . （2）【分析】在由解图①中，由平行线分线段成比例得到 CB CD CA CE  ，再观察图②中△EDC 绕点 C 的旋转过程，结合旋转的性质得到 CB CD CA CE  任然成立，从而求得△ACE∽ △BCD，利用其性质，结合题干求得 AC 的长即可得到结论. E CDB A （图 1） E D B A C （图 2） （备用图） CB A 第 22 题解图③ (3) 【分析】 解： 12 54 5 .5 或 ………………………………………………………………………（10 分） 【解法提示】当△EDC 在 BC 上方，且 A，D，E 三点共线时，四边形 ABCD 为矩形， ∴BD=AC= 4 5 ；当△EDC 在 BC 下方，且 A，E，D 三点共线时，△ADC 为直角三角形， 由勾股定理可求得 AD=8，∴AE=6，根据 AE BD = 5 2 可求得 BD =12 5 5 . 图④ 图⑤ 第 22 题解图 23.（11 分）如图，边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上，以点 C 为顶点的抛物线经 过点 A，点 P 是抛物线上点 A、C 间的一个动点（含端点），过点 P 作 PF⊥BC 于点 F. 点 D、E 的坐标分别为（0，6），（-4，0），连接 PD，PE，DE. （1）请直接写出抛物线的解析式； （2）小明探究点 P 的位置发现：当点 P 与点 A 或点 C 重合时，PD 与 PF 的差为定值. 进 而猜想：对于任意一点 P，PD 与 PF 的差为定值. 请你判断该猜想是否正确，并说 明理由； （3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE 的面积为整数”的点 P 记作“好点”，则 存在多个“好点”，且使△PDE 的周长最小的点 P 也是一个“好点”. 请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE 的周长最小时“好点”的坐标. （1）【分析】由题意设抛物线解析式为 2y ax c  ，将 A、C 两点坐标代入即可. 解：抛物线的解析式为： 21 88y x   .………………………………………………（3 分） 【解法提示】由题意设抛物线解析式为 2y ax c  ，∵的正方形 OABC 的边长为 8，∴点 A(-8，0)、C（0,8）,∴      c ca 8 )8(0 2 ，解得      8 8 1 c a ，抛物线解析式为 21 88y x   . （2）【分析】设 P 点坐标为 21, 88x x     ，表示出 PF 的长度，构造 PD 所在的直角三角 形，表示 PD 的长度，通过求差法得到 PD-PF 的值. 解： P E O F C D B A 图 x y CB A y OE D x 备用图 第 23 题解图 （3）【分析】通过将△PDE 的面积进行转化，得到其面积的表达式，根据点 P 横坐标 m 的 取值范围，确定面积为整数时“好点”的个数，再把△PDE 周长的最小值转化成 PE+PF 的和 最小，进而知道当 P、E、F 三点共线时△PDE 周长的最小，确定点 P 的坐标. 解：好点共 11 个；] 在点 P 运动时，DE 的大小不变，∴PE 与 PD 的和最小时，△PDE 的周长最小， ∵PD-PF=2，∴PD=PF+2，∴PE+PD=PE+PF+2， 当 P，E，F 三点共线时，PE+PF 最小， 此时，点 P，E 的横坐标为-4，将 x=-4 代入 21 88y x   ，得 y=6， ∴P（-4,6），此时△PDE 周长最小，且△PDE 的面积为 12，点 P 恰为“好点”. ∴△PDE 周长最小时点 P 的坐标为（-4,6）. 【 解 法 提 示 】 △PDE 的 面 积 2 21 1= 3 4 ( 6) 13.4 4S x x x       由 于 -8≤x≤0 ， 可 得 4≤S≤13，所以 S 的整数值为 10 个.由图象可知，当 S=12 时，对应的“好点”有 2 个，所以“好 点”共有 11 个. 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