2015年广州市中考数学试题解析

2015 年广东省广州市中考数学试卷(解析版) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．（3 分）（2015•广州）四个数﹣3.14，0，1，2 中为负数的是（ ） A ． ﹣3.14 B ． 0 C ． 1 D ． 2 考点： 正数和负数．菁 优网版权 所有 分析： 根据负数是 小于 0 的数， 可得答案． 解答： 解：四个数﹣ 3.14，0，1，2 中为负数的 是﹣3.14， 故选：A． 点评： 本题考查了 正数和负数， 解决本题的 关键是小于 0 的数是负数． 2．（3 分）（2015•广州）将图中所示的图案以圆心为中心，旋转 180°后得到的图案是（ ） A. B. C. D. 考点： 生活中的旋 转现象． 菁优网版 权所有 分析： 根据旋转的 性质，旋转前 后图形不发 生任何变化， 绕中心旋转 180°，即是对 应点绕旋转 中心旋转 180°，即可得 出所要图形． 解答： 解：将图中所 示的图案 以 圆心为中心， 旋转 180°后 得到的图案 是 ． 故选：D． 点评： 此题主要考 查了旋转中， 中心旋转 180°后图形 的性质，此题 应注意图形 的旋转变换． 3．（3 分）（2015•广州）已知⊙O 的半径为 5，直线 l 是⊙O 的切线，则点 O 到直线 l 的距 离是（ ） A ． 2.5 B ． 3 C ． 5 D ． 10 考点： 切线的性质．菁 优网版权 所有 分析： 根据直线与 圆的位置关 系可直接得 到点 O 到直 线 l 的距离是 5． 解答： 解：∵直线 l 与半径为 r 的 ⊙O 相切， ∴点 O 到直 线 l 的距离等 于圆的半径， 即点 O 到直 线 l 的距离为 5． 故选 C． 点评： 本题考查了 切线的性质 以及直线与 圆的位置关 系：设⊙O 的 半径为 r，圆 心 O 到直线 l 的距离为 d， 直线 l 和⊙O 相交 ⇔ d＜r； 直线 l 和⊙O 相切 ⇔ d=r； 当直线 l 和 ⊙O 相离 ⇔ d ＞r． 4．（3 分）（2015•广州）两名同学进行了 10 次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相 同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（ ） A ． 众数 B ． 中位数 C ． 方差 D ． 以上都不对 考点： 统计量的选 择． 菁优网版 权所有 分析： 根据方差的 意义：是反映 一组数据波 动大小，稳定 程度的量；方 差越大，表明 这组数据偏 离平均数越 大，即波动越 大，反之也成 立．故要判断 哪一名学生 的成绩比较 稳定，通常需 要比较这两 名学生三级 蛙跳测试成 绩的方差． 解答： 解：由于方差 能反映数据 的稳定性，需 要比较这两 名学生三级 蛙跳成绩的 方差． 故选：C． 点评： 本题考查方 差的意义以 及对其他统 计量的意义 的理解．它是 反映一组数 据波动大小， 方差越大，表 明这组数据 偏离平均数 越大，即波动 越大，反之也 成立． 5．（3 分）（2015•广州）下列计算正确的是（ ） A ． ab•ab=2ab B ． （2a）3=2a3 C ． 3 ﹣ =3 （a≥0） D ． • = （a≥0，b≥0） 考点： 二次根式的 加减法；幂的 乘方与积的 乘方；单项式 乘单项式；二 次根式的乘 除法．菁优网版 权所有 分析： 分别利用积 的乘方以及 二次根式的 乘法运算法 则化简求出 即可． 解答： 解：A、 ab•ab=a2b2， 故此选项错 误； B、（2a） 3=8a3，故此选 项错误； C、3 ﹣ =2 （a≥0），故此 选项错误； D、 • = （a≥0，b≥0）， 正确． 故选：D． 点评： 此题主要考 查了二次根 式的加减运 算以及积的 乘方运算等 知识，正确掌 握相关性质 是解题关键． 6．（3 分）（2015•广州）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（ ） A ． B ． C ． D ． 考点： 由三视图判 断几何体；几 何体的展开 图． 菁优网版 权所有 分析： 由主视图和 俯视图可得 此几何体为 柱体，根据左 视图是圆可 判断出此几 何体为圆柱， 再根据圆柱 展开图的特 点即可求解． 解答： 解：∵主视图 和左视图是 长方形， ∴该几何体 是柱体， ∵俯视图是 圆， ∴该几何体 是圆柱， ∴该几何体 的展开图可 以是 ． 故选：A． 点评： 此题考查由 三视图判断 几何体，三视 图里有两个 相同可确定 该几何体是 柱体，锥体还 是球体，由另 一个试图确 定其具体形 状．同时考查 了几何体的 展开图． 7．（3 分）（2015•广州）已知 a，b 满足方程组 ，则 a+b 的值为（ ） A ． ﹣4 B ． 4 C ． ﹣2 D ． 2 考点： 解二元一次 方程组． 菁优网版 权所有 专题： 计算题． 分析： 求出方程组 的解得到 a 与 b 的值，即可 确定出 a+b 的 值． 解答： 解： ， ①+②×5 得： 16a=32，即 a=2， 把 a=2 代入① 得：b=2， 则 a+b=4， 故选 B． 点评： 此题考查了 解二元一次 方程组，利用 了消元的思 想，消元的方 法有：代入消 元法与加减 消元法． 8．（3 分）（2015•广州）下列命题中，真命题的个数有（ ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形． A ． 3 个 B ． 2 个 C ． 1 个 D ． 0 个 考点： 命题与定理； 平行四边形 的判定． 菁优网版 权所有 分析： 分别利用平 行四边形的 判定方法： （1）两组对 边分别平行 的四边形是 平行四边形； （2）两组对 角分别相等 的四边形是 平行四边形， 进而得出即 可． 解答： 解：①对角线 互相平分的 四边形是平 行四边形，正 确，符合题 意； ②两组对角 分别相等的 四边形是平 行四边形，正 确，符合题 意； ③一组对边 平行，另一组 对边相等的 四边形是平 行四边形，说 法错误，例如 等腰梯形，也 符合一组对 边平行，另一 组对边相等． 故选：B． 点评： 此题主要考 查了命题与 定理，正确把 握相关定理 是解题关键． 9．（3 分）（2015•广州）已知圆的半径是 2 ，则该圆的内接正六边形的面积是（ ） A ． 3 B ． 9 C ． 18 D ． 36 考点： 正多边形和 圆． 菁优网版 权所有 分析： 解题的关键 要记住正六 边形的特点， 它被半径分 成六个全等 的等边三角 形． 解答： 解：连接正六 边形的中心 与各个顶点， 得到六个等 边三角形， 等边三角形 的边长是 2 ，高为 3， 因而等边三 角形的面积 是 3 ， ∴正六边形 的面积 =18 ， 故选 C． 点评： 本题考查了 正多边形和 圆，正六边形 被它的半径 分成六个全 等的等边三 角形，这是需 要熟记的内 容． 10．（3 分）（2015•广州）已知 2 是关于 x 的方程 x2﹣2mx+3m=0 的一个根，并且这个方程 的两个根恰好是等腰三角形 ABC 的两条边长，则三角形 ABC 的周长为（ ） A ． 10 B ． 14 C ． 10 或 14 D ． 8 或 10 考点： 解一元二次 方程-因式分 解法；一元二 次方程的解； 三角形三边 关系；等腰三 角形的性质．菁 优网版权 所有 分析： 先将x=2代入 x2﹣ 2mx+3m=0， 求出 m=4，则 方程即为 x2 ﹣8x+12=0， 利用因式分 解法求出方 程的根 x1=2， x2=6，分两种 情况：①当 6 是腰时，2 是 等边；②当 6 是底边时，2 是腰进行讨 论．注意两种 情况都要用 三角形三边 关系定理进 行检验． 解答： 解：∵2 是关 于x 的方程 x2 ﹣2mx+3m=0 的一个根， ∴22﹣ 4m+3m=0， m=4， ∴x2﹣ 8x+12=0， 解得 x1=2， x2=6． ①当 6 是腰 时，2 是等边， 此时周长 =6+6+2=14； ②当 6 是底边 时，2 是腰， 2+2＜6，不能 构成三角形． 所以它的周 长是 14． 故选 B． 点评： 此题主要考 查了一元二 次方程的解， 解一元二次 方程﹣因式 分解法，三角 形三边关系 定理以及等 腰三角形的 性质，注意求 出三角形的 三边后，要用 三边关系定 理检验． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11．（3 分）（2015•广州）如图，AB∥CD，直线 l 分别与 AB，CD 相交，若∠1=50°，则∠2 的度数为 50° ． 考点： 平行线的性 质． 菁优网版 权所有 分析： 根据平行线 的性质得出 ∠1=∠2，代 入求出即可． 解答： 解： ∵AB∥CD， ∴∠1=∠2， ∵∠1=50°， ∴∠2=50°， 故答案为： 50°． 点评： 本题考查了 平行线的性 质的应用，能 求出∠1=∠2 是解此题的 关键，注意： 两直线平行， 内错角相等． 12．（3 分）（2015•广州）根据环保局公布的广州市 2013 年至 2014 年 PM2.5 的主要来源的 数据，制成扇形统计图，其中所占百分比最大的主要来源是 机动车尾气 ．（填主要来源 的名称） 考点： 扇形统计图．菁 优网版权 所有 分析： 根据扇形统 计图即可直 接作出解答． 解答： 解：所占百分 比最大的主 要来源是：机 动车尾气． 故答案是：机 动车尾气． 点评： 本题考查的 是扇形统计 图的运用，读 懂统计图，从 统计图中得 到必要的信 息是解决问 题的关键．扇 形统计图直 接反映部分 占总体的百 分比大小． 13．（3 分）（2015•广州）分解因式：2mx﹣6my= 2m（x﹣3y） ． 考点： 因式分解-提 公因式法．菁优网版 权所有 专题： 计算题． 分析： 原式提取公 因式即可得 到结果． 解答： 解：原式=2m （x﹣3y）． 故答案为：2m （x﹣3y）． 点评： 此题考查了 因式分解﹣ 提公因式法， 熟练掌握因 式分解的方 法是解本题 的关键． 14．（3 分）（2015•广州）某水库的水位在 5 小时内持续上涨，初始的水位高度为 6 米，水 位以每小时 0.3 米的速度匀速上升，则水库的水位高度 y 米与时间 x 小时（0≤x≤5）的函数 关系式为 y=6+0.3x ． 考点： 根据实际问 题列一次函 数关系式．菁优网版 权所有 分析： 根据高度等 于速度乘以 时间列出关 系式解答即 可． 解答： 解：根据题意 可得： y=6+0.3x （0≤x≤5）， 故答案为： y=6+0.3x． 点评： 此题考查函 数关系式，关 键是根据题 中水位以每 小时 0.3 米的 速度匀速上 升列出关系 式． 15．（3 分）（2015•广州）如图，△ABC 中，DE 是 BC 的垂直平分线，DE 交 AC 于点 E， 连接 BE．若 BE=9，BC=12，则 cosC= ． 考点： 线段垂直平 分线的性质； 解直角三角 形． 菁优网版 权所有 分析： 根据线段垂 直平分线的 性质，可得出 CE=BE，再根 据等腰三角 形的性质可 得出 CD=BD，从 而得出 CD： CE，即为 cosC． 解答： 解：∵DE 是 BC 的垂直平 分线， ∴CE=BE， ∴CD=BD， ∵BE=9， BC=12， ∴CD=6， CE=9， ∴cosC= = = ， 故答案为 ． 点评： 本题考查了 线段垂直平 分线的性质 以及等腰三 角形的性质． 此题难度不 大，注意掌握 数形结合思 想的应用． 16．（3 分）（2015•广州）如图，四边形 ABCD 中，∠A=90°，AB=3 ，AD=3，点 M，N 分别为线段 BC，AB 上的动点（含端点，但点 M 不与点 B 重合），点 E，F 分别为 DM， MN 的中点，则 EF 长度的最大值为 3 ． 考点： 三角形中位 线定理；勾股 定理．菁优网版 权所有 专题： 动点型． 分析： 根据三角形 的中位线定 理得出 EF= DN，从 而可知 DN 最 大时，EF 最 大，因为 N 与 B 重合时 DN 最大，此时根 据勾股定理 求得 DN=DB=6， 从而求得 EF 的最大值为 3． 解答： 解： ∵ED=EM， MF=FN， ∴EF= DN， ∴DN 最大 时，EF 最大， ∵N 与B 重合 时 DN 最大， 此时 DN=DB= =6， ∴EF 的最大 值为 3． 故答案为 3． 点评： 本题考查了 三角形中位 线定理，勾股 定理的应用， 熟练掌握定 理是解题的 关键． 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（9 分）（2015•广州）解方程：5x=3（x﹣4） 考点： 解一元一次 方程．菁优网版 权所有 专题： 计算题． 分析： 方程去括号， 移项合并，把 x 系数化为 1， 即可求出解． 解答： 解：方程去括 号得：5x=3x ﹣12， 移项合并得： 2x=﹣12， 解得：x=﹣6． 点评： 此题考查了 解一元一次 方程，熟练掌 握运算法则 是解本题的 关键． 18．（9 分）（2015•广州）如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AD，CD 上，且 AE=DF， 连接 BE，AF．求证：BE=AF． 考点： 全等三角形 的判定与性 质；正方形的 性质．菁优网版 权所有 专题： 证明题． 分析： 根据正方形 的四条边都 相等可得 AB=AD，每 一个角都是 直角可得 ∠BAE=∠D =90°，然后利 用“边角边” 证明△ABE 和△ADF 全 等，根据全等 三角形对应 边相等证明 即可． 解答： 证明：在正方 形 ABCD 中， AB=AD， ∠BAE=∠D =90°， 在△ABE 和 △ADF 中， ， ∴△ABE≌ △ADF （SAS）， ∴BE=AF． 点评： 本题考查了 正方形的性 质，全等三角 形的判定与 性质，以及垂 直的定义，求 出两三角形 全等，从而得 到 BE=AF 是 解题的关键． 19．（10 分）（2015•广州）已知 A= ﹣ （1）化简 A； （2）当 x 满足不等式组 ，且 x 为整数时，求 A 的值． 考点： 分式的化简 求值；一元一 次不等式组 的整数解．菁优网版 权所有 分析： （1）根据分 式四则混合 运算的运算 法则，把 A 式 进行化简即 可． （2）首先求 出不等式组 的解集，然后 根据 x 为整数 求出 x 的值， 再把求出的 x 的值代入化 简后的 A 式 进行计算即 可． 解答： 解：（1） A= ﹣ = ﹣ = ﹣ = （2） ∵ ∴ ∴1≤x＜3， ∵x 为整数， ∴x=1 或 x=2， ①当 x=1 时， ∵x﹣1≠0， ∴A= 中 x≠1， ∴当 x=1 时， A= 无意 义． ②当 x=2 时， A= = ． 点评： （1）此题主 要考查了分 式的化简求 值，注意化简 时不能跨度 太大，而缺少 必要的步骤． （2）此题还 考查了求一 元一次不等 式组的整数 解问题，要熟 练掌握，解决 此类问题的 关键在于正 确解得不等 式组或不等 式的解集，然 后再根据题 目中对于解 集的限制得 到下一步所 需要的条件， 再根据得到 的条件求得 不等式组的 整数解即可． 20．（10 分）（2015•广州）已知反比例函数 y= 的图象的一支位于第一象限． （1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求 m 的取值范围； （2）如图，O 为坐标原点，点 A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点 B 与点 A 关 于 x 轴对称，若△OAB 的面积为 6，求 m 的值． 考点： 反比例函数 的性质；反比 例函数的图 象；反比例函 数图象上点 的坐标特征； 关于 x 轴、y 轴对称的点 的坐标． 菁优网版 权所有 分析： （1）根据反 比例函数的 图象是双曲 线．当 k＞0 时，则图象在 一、三象限， 且双曲线是 关于原点对 称的； （2）由对称 性得到 △OAC 的面 积为 3．设 A （x、 ）， 则利用三角 形的面积公 式得到关于 m 的方程，借 助于方程来 求 m 的值． 解答： 解：（1）根据 反比例函数 的图象关于 原点对称知， 该函数图象 的另一支在 第三象限，且 m﹣7＞0，则 m＞7； （2）∵点 B 与点 A 关于 x 轴对称，若 △OAB 的面 积为 6， ∴△OAC 的 面积为 3． 设 A（x， ），则 x• =3， 解得 m=13． 点评： 本题考查了 反比例函数 的性质、图 象，反比例函 数图象上点 的坐标特征 等知识点．根 据题意得到 △OAC 的面 积是解题的 关键． 21．（12 分）（2015•广州）某地区 2013 年投入教育经费 2500 万元，2015 年投入教育经费 3025 万元． （1）求 2013 年至 2015 年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计 2016 年该地区将投入教育经费多少万元． 考点： 一元二次方 程的应用．菁优网版 权所有 专题： 增长率问题． 分析： （1）一般用 增长后的量= 增长前的量× （1+增长 率），2014 年 要投入教育 经费是 2500 （1+x）万元， 在 2014 年的 基础上再增 长 x，就是 2015 年的教 育经费数额， 即可列出方 程求解． （2）利用（1） 中求得的增 长率来求 2016 年该地 区将投入教 育经费． 解答： 解：设增长率 为 x，根据题 意 2014 年为 2500（1+x） 万元，2015 年为 2500 （1+x）（1+x） 万元． 则 2500（1+x） （1+x） =3025， 解得 x=0.1=10%， 或 x=﹣2.1 （不合题意 舍去）． 答：这两年投 入教育经费 的平均增长 率为 10%． （2）3025× （1+10%） =3327.5（万 元）． 故根据（1） 所得的年平 均增长率，预 计 2016 年该 地区将投入 教育经费 3327.5 万元． 点评： 本题考查了 一元二次方 程中增长率 的知识．增长 前的量×（1+ 年平均增长 率）年数=增长 后的量． 22．（12 分）（2015•广州）4 件同型号的产品中，有 1 件不合格品和 3 件合格品． （1）从这 4 件产品中随机抽取 1 件进行检测，求抽到的是不合格品的概率； （2）从这 4 件产品中随机抽取 2 件进行检测，求抽到的都是合格品的概率； （3）在这 4 件产品中加入 x 件合格品后，进行如下试验：随机抽取 1 件进行检测，然后放 回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在 0.95，则可以 推算出 x 的值大约是多少？ 考点： 利用频率估 计概率；概率 公式；列表法 与树状图法．菁 优网版权 所有 分析： （1）用不合 格品的数量 除以总量即 可求得抽到 不合格品的 概率； （2）利用独 立事件同时 发生的概率 等于两个独 立事件单独 发生的概率 的积即可计 算； （3）根据频 率估计出概 率，利用概率 公式列式计 算即可求得 x 的值； 解答： 解：（1）∵4 件同型号的 产品中，有 1 件不合格品， ∴P（不合格 品）= ； （2）这 4 件 产品中随机 抽取 2 件进行 检测，求抽到 的都是合格 品的概率 = × = ； （3）∵大量 重复试验后 发现，抽到合 格品的频率 稳定在 0.95， ∴抽到合格 品的概率等 于 0.95， ∴ =0.95， 解得：x=16． 点评： 本题考查了 概率的公式、 列表法与树 状图法及用 频率估计概 率的知识，解 题的关键是 了解大量重 复试验中事 件发生的频 率可以估计 概率． 23．（12 分）（2015•广州）如图，AC 是⊙O 的直径，点 B 在⊙O 上，∠ACB=30° （1）利用尺规作∠ABC 的平分线 BD，交 AC 于点 E，交⊙O 于点 D，连接 CD（保留作图 痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，求△ABE 与△CDE 的面积之比． 考点： 作图—复杂 作图；圆周角 定理．菁优网版 权所有 分析： （1）①以点 B 为圆心，以任 意长为半径 画弧，两弧交 角 ABC 两边 于点 M，N； ②分别以点 M，N 为圆心， 以大于 MN 的长度为半 径画弧，两弧 交于一点；③ 作射线 BE 交 AC 与 E，交 ⊙O 于点 D， 则线段 BD 为 △ABC 的角 平分线； （2）连接 OD，设⊙O 的半径为 r， 证得 △ABE∽△D CE，在 Rt△ACB 中， ∠ABC=90°， ∠ACB=30°， 得到 AB= AC=r， 推出△ADC 是等腰直角 三角形，在 Rt△ODC 中， 求得 DC= = r，于是问 题可得． 解答： （1）如图所 示； （2）如图 2， 连接 OD，设 ⊙O 的半径 为 r， ∵∠BAE=∠ CDE， ∠AEB=∠D EC， ∴△ABE∽ △DCE， 在 Rt△ACB 中， ∠ABC=90°， ∠ACB=30°， ∴AB= AC= r， ∵∠ABD=∠ ACD=45°， ∵OD=OC， ∴∠ABD=∠ ACD=45°， ∴∠DOC=90 °， 在 Rt△ODC 中， DC= = r， ∴ = = = ． 点评： 本题主要考 查基本作图， 圆周角定理， 勾股定理，作 一个角的平 分线，牢记一 些基本作图 是解答本题 的关键． 24．（14 分）（2015•广州）如图，四边形 OMTN 中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组 邻边分别相等的四边形叫做筝形． （1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论； （2）在筝形 ABCD 中，已知 AB=AD=5，BC=CD，BC＞AB，BD、AC 为对角线，BD=8 ①是否存在一个圆使得 A，B，C，D 四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不 存在，请说明理由； ②过点 B 作 BF⊥CD，垂足为 F，BF 交 AC 于点 E，连接 DE，当四边形 ABED 为菱形时， 求点 F 到 AB 的距离． 考点： 四边形综合 题． 菁优网版 权所有 分析： （1）证明 △OMP≌△ ONP，即可证 得 MN⊥OT， 且 OT 平分 MN； （2）①若经 过 A，B，C， D 四个点的 圆存在，则圆 心一定是 AC 和 BD 的中垂 线的交点，即 AC 和 BD 互 相平分，据此 即可判断； ②已知 FM⊥AB，作 EG⊥AB 于 G，根据菱形 的面积公式 求得 GE 的 长，然后根据 △BNE∽△B FD 求得 BF 的长，再根据 △BEG∽△B FM 求得 FM 的长． 解答： 解：（1） MN⊥OT，且 OT 平分 MN． 理由是：连接 MN、OT 相交 于点 P． 在△OMT 和 △ONT 中， ， ∴△OMT≌ △ONT， ∴∠MOT=∠ NPT， ∴在△OMP 和△ONP 中， ， ∴△OMP≌ △ONP， ∴MP=NP， ∠OPM=∠O PN=90°，即 MN⊥OT； （2）①经过 A，B，C，D 四个点的圆 不一定存在， 理由是：若经 过 A，B，C， D 四个点的 圆存在，则圆 心一定是 AC 和 BD 的中垂 线的交点，根 据（1）可得 AC 垂直平分 BD，而垂足 不一定是 AC 的中点； ②作 FM⊥AB，作 EG⊥AB 于 G． ∵四边形 ABED 是菱 形， ∴AE⊥BD， 且 BN= BD=4， ∴AN=NE= = = 3，AE=6． ∴S 菱形 ABED= AE•B D= ×6×8=24 ， 又∵S 菱形 ABED=AB•EG ， ∴EG= ． ∵∠DBF=∠ DBF， ∠BNE=∠BF D， ∴△BNE∽ △BFD， ∴ ，即 ， ∴BF= ． ∵GE⊥AB， FM⊥AB， ∴GE∥FM， ∴△BEG∽ △BFM， ∴ ，即 ， 解得： FM= ． 点评： 本题考查了 菱形的判定 与性质，以及 相似三角形 的判定与性 质，正确作出 辅助线是关 键，在初中范 围内求线段 长的基本方 法是解直角 三角形和利 用三角形相 似求解． 25．（14 分）（2015•广州）已知 O 为坐标原点，抛物线 y1=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴相交于点 A（x1，0），B（x2，0），与 y 轴交于点 C，且 O，C 两点间的距离为 3，x1•x2＜0，|x1|+|x2|=4， 点 A，C 在直线 y2=﹣3x+t 上． （1）求点 C 的坐标； （2）当 y1 随着 x 的增大而增大时，求自变量 x 的取值范围； （3）将抛物线 y1 向左平移 n（n＞0）个单位，记平移后 y 随着 x 的增大而增大的部分为 P， 直线 y2 向下平移 n 个单位，当平移后的直线与 P 有公共点时，求 2n2﹣5n 的最小值． 考点： 二次函数综 合题．菁优网版 权所有 分析： （1）利用 y 轴上点的坐 标性质表示 出 C 点坐标， 再利用 O，C 两点间的距 离为 3 求出即 可； （2）分别利 用①若 C（0， 3），即 c=3， 以及②若 C （0，﹣3）， 即 c=﹣3，得 出 A，B 点坐 标，进而求出 函数解析式， 进而得出答 案； （3）利用① 若 c=3，则 y1= ﹣x2﹣2x+3= ﹣（x+1）2+4， y2=﹣3x+3， 得出 y1 向左 平移 n 个单位 后，则解析式 为：y3=﹣ （x+1+n） 2+4，进而求 出平移后的 直线与P有公 共点时得出 n 的取值范围， ②若 c=﹣3， 则 y1=x2﹣2x ﹣3=（x﹣1） 2﹣4，y2=﹣3x ﹣3，y1 向左 平移 n 个单位 后，则解析式 为：y3=（x﹣ 1+n）2﹣4， 进而求出平 移后的直线 与P有公共点 时得出 n 的取 值范围，进而 利用配方法 求出函数最 值． 解答： 解：（1）令 x=0，则 y=c， 故 C（0，c）， ∵OC 的距离 为 3， ∴|c|=3，即 c=±3， ∴C（0，3） 或（0，﹣3）； （2）∵x1x2 ＜0， ∴x1，x2 异 号， ①若 C（0，3）， 即 c=3， 把 C（0，3） 代入 y2=﹣ 3x+t，则 0+t=3，即 t=3， ∴y2=﹣ 3x+3， 把 A（x1，0） 代入 y2=﹣ 3x+3，则﹣ 3x1+3=0， 即 x1=1， ∴A（1，0）， ∵x1，x2 异 号，x1=1＞0， ∴x2＜0， ∵|x1|+|x2|=4， ∴1﹣x2=4， 解得：x2=﹣ 3，则 B（﹣3， 0）， 代入 y1=ax2+bx+3 得， ， 解得： ， ∴y1=﹣x2﹣ 2x+3=﹣ （x+1）2+4， 则当 x≤﹣1 时，y 随 x 增 大而增大． ②若 C（0， ﹣3），即 c= ﹣3， 把 C（0，﹣3） 代入 y2=﹣ 3x+t，则 0+t= ﹣3，即 t=﹣ 3， ∴y2=﹣3x﹣ 3， 把 A（x1，0）， 代入 y2=﹣3x ﹣3， 则﹣3x1﹣ 3=0， 即 x1=﹣1， ∴A（﹣1，0）， ∵x1，x2 异 号，x1=﹣1＜ 0，∴x2＞0 ∵|x1|+|x2|=4， ∴1+x2=4， 解得：x2=3， 则 B（3，0）， 代入 y1=ax2+bx+3 得， ， 解得： ， ∴y1=x2﹣2x ﹣3=（x﹣1） 2﹣4， 则当 x≥1 时， y 随 x 增大而 增大， 综上所述，若 c=3，当 y 随 x 增大而增大 时，x≤﹣1； 若 c=﹣3，当 y 随 x 增大而 增大时，x≥1； （3）①若 c=3，则 y1= ﹣x2﹣2x+3= ﹣（x+1）2+4， y2=﹣3x+3， y1 向左平移 n 个单位后，则 解析式为： y3=﹣ （x+1+n） 2+4， 则当 x≤﹣1﹣ n 时，y 随 x 增大而增大， y2 向下平移 n 个单位后，则 解析式为： y4=﹣3x+3﹣ n， 要使平移后 直线与P有公 共点，则当 x= ﹣1﹣n， y3≥y4， 即﹣（﹣1﹣ n+1+n）2+4≥ ﹣3（﹣1﹣n） +3﹣n， 解得：n≤﹣1， ∵n＞0，∴n≤ ﹣1 不符合条 件，应舍去； ②若 c=﹣3， 则 y1=x2﹣2x ﹣3=（x﹣1） 2﹣4，y2=﹣3x ﹣3， y1 向左平移 n 个单位后，则 解析式为： y3=（x﹣1+n） 2﹣4， 则当 x≥1﹣n 时，y 随 x 增 大而增大， y2 向下平移 n 个单位后，则 解析式为： y4=﹣3x﹣3 ﹣n， 要使平移后 直线与P有公 共点，则当 x=1﹣n， y3≤y4， 即（1﹣n﹣ 1+n）2﹣4≤﹣ 3（1﹣n）﹣3 ﹣n， 解得：n≥1， 综上所述： n≥1， 2n2﹣5n=2（n ﹣ ）2﹣ ， ∴当 n= 时， 2n2﹣5n 的最 小值为：﹣ ． 点评： 此题主要考 查了二次函 数综合以及 二次函数的 平移以及二 次函数增减 性等知识，利 用分类讨论 得出 n 的取值 范围是解题 关键．