2015年广州市中考数学试卷及答案

2015 年广州市初中毕业生学业考试·数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题 25 小题，共 9 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟 第І部分 选择题（共 30 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，满分 30 分。在每小题给出的四个选项，只有一项是符合 题目要求的） 1．4 个数-3.14，0，1，2 中是负数的是（ ） A．-3.14 B．0 C．1 D．2 答案：选 A。 解析：考察实数的分类，较为简单，四个数中只有第一个是负数。 2．将图所示的图案以圆心为中心，旋转 180°后得到的图案是（ ） A B C D 答案：选 D。 解析：考察基本的中心对称问题，由题意可得旋转 180°后，得到的图形与原图形中心对称，故而选 D。 3．已知 O 的半径是 5，直线l 是 O 的切线，则点O 到直线l 的距离是（ ） A．2.5 B．3 C．5 D．10 答案：选 C。 解析：考察切线问题的基本定义，由圆和直线的位置关系可得，圆心到切线的距离等于半径，故而选 C。 4．两名同学进行了 10 次三级蛙跳测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名同学的成绩哪一位更稳定， 通常还需要比较他们成绩的（ ） A．众数 B．中位数 C．方差 D．以上都不对 答案：选 C。 解析：考察数据的分析，方差是用来判断数据稳定性的，方差越大，数据越不稳定。 5．下列计算正确的是（ ） A． 2ab ab ab  B． 3 32 2a a C．  3 3 0a a a   D．  0, 0a b ab a b    答案：选 D。 解析：考察基本的整式根式运算。A 选项，  2ab ab ab  ；B 选项， 3 32 8a a ；C 选项，3 2a a a  。 6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（ ） A B C D 答案：选 A。 解析：考查三视图问题。根据几何体的三视图可知该几何体为圆柱，故而展开图为一个矩形和两个圆，选 A。 7．已知 ,a b 满足方程组 5 12 3 4 a b a b      ，则 a b 的值为（ ） A．-4 B．4 C．-2 D．2 答案：选 B。 解析：考查方程组的计算。此题有两种解法，一种是直接解出两个根，代入计算；第二种直接利用加减消元法，对 上下式进行相加，即可得到 4 4 16 4a b a b     。 8．下列命题中，真命题的个数有（ ） ○1 对角线相互平分的四边形是平行四边形； ○2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ○3 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形。 A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 答案：选 B。 解析：考察平行四边形的基本判定。根据平行四边形基本的判定可以得到○1 ○2 是正确的，○3 是错误的。 9．已知圆的半径是 2 3 ，则该圆的内接正六边形的面积是（ ） A．3 3 B．9 3 C．18 3 D．36 3 答案：选 C。 解析：考察正六边形的面积计算。如图所示，正六边形可以分成 6 个全等的以半径为边长 的等边三角形，每个等边三角形的面积为 23 4S a ，因此正六边形面积为 236 18 34S r   。 10．已知 2 是关于 x 的方程 2 2 3 0x mx m   的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰 ABC 的两条边长， 则 ABC 的周长为（ ） A．10 B．14 C．10 或 14 D．8 或 10 答案：选 B。 解析：考察一元二次方程的解法。将 2x  代入方程 2 2 3 0x mx m   中可得 4m  ，方程化简后为 2 8 12 0x x   ，解得 1 2x  ， 2 6x  。因此等腰三角形的三边长分别为 2，2，6（舍去）或者 2，6，6。因此计 算可得周长为 14. 第Ⅱ部分 非选择题（共 120 分） 二、填空题（本大题共 6 小题，每题 3 分，满分 18 分） 11．如图， / /AB CD ，直线l 分别与 AB 、CD 相交，若 1 50   ，则 2 的度数为 度。 答案：50。 解析：考察两直线平行的基本性质：两直线平行，内错角相等。故而可得 1 2 50     。 12．根据环保局公布的广州市 2013 年至 2014 年 PM2.5 的主要来源的数据，制成扇形统计图（如图），其中所占百 分比最大的主要来源是 （填主要来源名称）。 答案：机动车尾气。 解析：考察扇形图的观察，由图可知百分比最大的乃是机动车尾气。 13．分解因式： 2 6mx my  。 答案：  2 3m x y 。 解析：考察基础的因式分解，采用提取公因式的方法即可分解得到  2 3m x y 。 14．某水库的水位在 5 小时内持续上涨，初始的水位高度为 6 米，水位以每小时 0.3 米的速度匀速上升，则水库的 水位高度 y 米与时间 x 小时（ 0 5x  ）的函数关系式为 。 答案：  0.3 6 0 5y x x    。 解析：考察一次函数的应用问题。已知水位与时间成正比关系，因此可得函数关系式。 15 ． 如 图 ， 在 ABC 中 ， DE 是 BC 的 垂 直 平 分 线 ， DE 交 AC 于 点 E ， 若 9, 12BE BC  ，则 cosC  。 答案： 2 3 。 解析：考察中垂线的基本性质以及三角函数的基本计算方法。因为 DE 是 BC 的垂直平 分线，所以可得点 D 是 BC 的中点，故而 1 62CD BC  ，而且 9CE BE  ，因此可得 6 2cos 9 3 CDC CE    . 16．如图，在四边形 ABCD 中， 90A   , 3 3, 3AB AD  ，点 M、N 分别是线段 BC、AB 上的动点（含端 点，但点 M 不与点 B 重合），点 E、F 分别是 DM、MN 的中点，则 EF 长度的最大值为 。 答案：3。 解析：考察中点问题、动点问题的结合。这类题型首先确定中点后可以得到有中位线，因此可得 EF 为 ABN 的中 位线，因此我们可以得到 1 2EF DN ，因为点 N 在线段 AB 上运动，因此当且仅当 N 在 点 B 时 DN 取最大值，此时 max max 1 1 32 2EF DN DB   三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤） 17．（本小题满分 9 分） 解方程：  5 3 4x x  答案： 6x   。 解析：原方程解得  5 3 4 5 3 12 12 3 5 12 2 6 x x x x x x x x           18．（本小题满分 9 分） 如图，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AD、CD 边上，且 AE DF ，连接 BE、 AF。 求证：BE=AF 答案：略。 证明：四边形 ABCD 是正方形， , 90AB AD BAE ADF       ，又 AE DF ，因此在 RT ABE 和 RT DBF 中，有 AB AD BAE ADF ABE DBF AF BE AE DF             ，问题得证。 19．（本小题满分 10 分） 已知 2 2 2 1 1 1 x x xA x x     （1）化简 A （2）当 x 满足不等式 1 0 3 0 x x      ，且 x 为整数时，求 A 的值。 答案：（1） 1 1A x   （2）1。 解析：（1）化简可得      22 2 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 xx x x x x xA x x x x x x x x                 （2）解不等式 1 0 1 33 0 x xx        ，又 x 为整数，因此可得 1x  （舍去）或 2x  ，代入可得 1 11A x   。 20．（本小题满分 10 分） 已知反比例函数 7my x  的图像的一支位于第一象限。 （1）判断该函数图像的另一支所在象限，并求出 m 的取值范围。 （2）如图，O 为原点坐标，点 A 在该反比例函数位于第一象限的图像上，点 B 与点 A 关于 x 轴对称， OAB 的面积为 6，求 m 的值。 答案：（1）第三象限， 7m  （2）13。 解析：（1）根据反比例函数图像关于原点中心对称可得函数图像的另一部分在第三象限，经过一三象限，即可得到 7 0 7k m m     。 （2）根据反比例函数中比例系数的集合意义可得： 2 7 6 132AOB kS k m m         。 21．（本小题满分 12 分） 某地区 2013 年投入教育经费 2500 万元，2015 年投入教育经费 3025 万元。 （1）求 2013 年至 2015 年该地区投入的教育经费的年平均增长率。 （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计 2016 年该地区将投入教育经费多少万元。 答案：（1）0.1 （2）3327.5。 解析：（1）设年平均增长率为 x，那么可得    2 2 1212500 1 3025 1 0.1100x x x       。 （2）根据增长率的计算可得 2016 年投入的教育经费为：  3025 1 0.1 3327.5   万元。 注意：应用问题，需要有最后一步作答的过程。 22．（本小题满分 12 分） 4 件同型号的产品中，有 1 件不合格和 3 件合格品。 （1）从这 4 件产品中随机抽取 1 件进行检测，求抽到的是不合格品的概率； （2）从这 4 件产品中随机抽取 2 件进行检测，求抽到的都是合格品的概率； （3）在这 4 件产品中加入 x 件合格品后，进行如下实验，随机抽取 1 件进行检测，然后放回，多次重复这个 实验，通过大量的重复实验后发现，抽到合格品的频率稳定在 0.95，则可以推算出 x 的值大约为多少？ 答案：（1） 1 4 （2） 1 2 （3） 16x  解析：（1） 1 4p  。 （2）假设不合格的产品为 F ，合格的三件产品分别为 1 2 3, ,T T T ，通过列坐标的形式可知一共有：            1 2 3 1 2 1 3 2 3, , , , , , , , , , ,F T F T F T T T T T T T 6 种情况，因此可得 3 1 6 2p   。 （3）考察的是概率的定义：在大量重复试验下，频率的值会稳定在一个定值附近，此时这个定值就是等于概率。 因此可得 3 0.954 xP x   ，解得 16x  。 23．（本小题 12 分） 如图，AC 是 O 的直径，点 B 在 O 上，且 30ACB   。 （1）利用尺规作出 ABC 的角平分线 BD，交 AC 于点 E，交 O 于点 D，连 接 CD。（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，求 ABE 和 CDE 的面积之比。 答案：（1）略 （2） 1 2 解析：（1）角平分线的具体作法：以点 B 为圆心，以小于 AB 为半径作圆与 AB、BC 分别交于两点 M、N，作 M、N 的中垂线即可。 （2）如图所示， 过点 E 作 EF BC 于点 F， AC 是直径，而且 30ACB   ，因 此可得 90ABC  ， 60BAC   。又 BD 平分 ABC ，因此可得 45CBD   。 设 EF x ，因此在 RT BEF 中，我们可得 BF EF x  , 2BE x ；同理在 RT CEF 中，可得 3 3 , 2 2CF EF x CE EF x    。根据圆中的相交弦定理可得： ABE DCE  ，因此 22 2 1 2 2 ABE DCE S BE x S CE x               。 24．（本小题满分 14 分） 如图，四边形OMTN 中， ,OM ON TM TN  ，我们把这种邻边相等的四边形称为 筝形。 （1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论。 （2）在筝形 ABCD 中，已知 5, ,AB AD BC BD BC AB    ，BD、AC 为对角线，BD=8。 ○1 是否存在一个圆使得 A、B、C、D 四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由； ○2 过点 B 做 BF CD ，垂足为 F，BF 交 AC 于点 E，连接 DE，当四边形 ABED 为菱形时，求点 F 到 AB 的距 离。 答案：（1）垂直 （2）○1 当且仅当 20 3BC  的时候，存在一个圆使得 A、B、C、D 四个点都在这个圆上，此时 半径为 25 6r  ○2 768 125d  解析： （1）证明：如图所示，连接 OT、MN 相交于点 A。很容易得到  OMT ONT SSS   ，故而可得 OT 平分角 MON， 因此在 OMA 和 ONA 中，我们有 90 OM ON MOA NOA OMA ONA OAM OAN OA OA                 ，故而相互垂直。 （2） ○1 存在。如图所示：由（1）可得 ABC ADC ABC ADC       ，四边形四点共圆的前 提是对角互补，因此此时可得 90ABC ADC     。此时 AC 为直径，设 AC、BD 交于点 E，连接 OB。此时根 据 垂 径 定 理 可 得 2 2 2 2 32 BDAE AB BE AB           22 2 2 2 253 4 6OB OE BE OB r OB        。 此 时 可 得 2 2 4 5 53BC AC AB AB      ，满足条件。因此当且仅当 20 3BC  的时候，存在一个圆使得 A、B、C、D 四个点都在这个圆上，此时半径为 25 6r  。 ○2 如图所示，连接 BE、DE、BD，过点 F 作 FG AB ，垂足为点 G。 当 四 边 形 ABED 为 菱 形 时 ， 我 们 可 知 BE AE EAB AEB CEF       ， 又 由 （ 1 ） （ 2 ） 可 得 ACF ACB ACF CEF ACB CAB           ，因此可得此时 AB BC ， 20 3BC  。 在等腰三角形 BCD 中， 8BD  , 25 1633 3OC    ， 20 3CD  ，根据等面积法可得 BD OCBF CD  ,代入 化简可得 32 5BF  。又 90 90 ABF CBF BCF ABFBCF CBF              ，因此： 32 32 3 768cos cos 5 5 20 125 BFGF BF ABF BF BCF BF BC             25．（本小题满分 14 分） 已知 O 为坐标原点，抛物线  2 1 0y ax bx c a    与 x 轴交于点  1,0A x ，  2 ,0B x ，与 y 轴交于点 C，且 O，C 两点间的距离为 3， 1 2 1 20, 4x x x x    ，点 A，C 在直线 2 3y x t   上。 （1）求点 C 的坐标。 （2）当 1y 随 x 的增大而增大时，求自变量 x 的取值范围。 （3）将抛物线 1y 向左平移  0n n  个单位，记平移后 y 随 x 的增大而增大的部分为 P ，直线 2y 向下平移 n 个 单位，当平移后的直线与 P 有公共点时，求 22 5n n 的最小值。 答案：（1）  0,3C 或者  0, 3C  （2）当  0,3C 时， 1x   ；当  0, 3C  时， 1x  。 解析： （1）因为 OC=3，C 在 y 轴上，因此  0,3C 或者  0, 3C  （2）○1 当  0,3C ，代入 2 3y x t   中得到 3t  ，此时  2 3 3 1,0y x A    ，由 1 2 1 20, 4x x x x    可得 2 3x   ，因此  3,0B  。此时可得  22 1 2 3 1 4y x x x        ，因此可得当 1y 随 x 的增大而增大时， 1x   。 ○2 当  0, 3C  ，代入 2 3y x t   中得到 3t   ，此时  2 3 3 1,0y x A     ，由 1 2 1 20, 4x x x x    可得 2 3x  ，因此  3,0B 。此时可得  22 1 2 3 1 4y x x x      ，因此可得当 1y 随 x 的增大而增大时， 1x  。 综上所述，可得当  0,3C 时， 1x   ；当  0, 3C  时， 1x  。 （ 3 ） ○1 当  0,3C 时 ，  2 1 1 4y x    ， 左 移  0n n  个 单 位 后 ， 可 得  2 1 ' 1 4y x n     ， 此 时 2 ' 3 3y x n    ，此时要使得直线与 P 有公共点，顶点 1 ,4n  在直线 2 ' 3 3y x n    上方，即满足  24 ' 3 1 3 6 2 0 1y n n n n             （舍去） ○2 当  0, 3C  ，  2 1 1 4y x   ，左移  0n n  个单位后，可得  2 1 1 4y x n    ，此时 2 ' 3 3y x n    。 要使得直线与 P 有公共点，顶点  1 , 4n  在直线 2 ' 3 3y x n    下方，即  24 ' 3 1 3y n n       ，解得 1n  。 综合可得 1n  ，因此 2 2 5 252 5 2 4 8y n n n        ，当且仅当 5 4n  时， 2 min 252 5 8n n   。