2015年广东省中考数学试题解析

2015 年广东省初中毕业生学业考试 数 学 一、选择题 1. 2  A.2 B. 2 C. 1 2 D. 1 2  【答案】A. 【解析】由绝对值的意义可得，答案为 A。w!w!w.!x!k!b!1.com 2. 据国家统计局网站 2014年 12月 4日发布消息，2014年广东省粮食总产量约为 13 573 000吨， 将 13 573 000用科学记数法表示为 A. 61.3573 10 B. 71.3573 10 C. 81.3573 10 D. 91.3573 10 【答案】B. 【解析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数．确定 n 的值时，要看 把原数变成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 13 573 000= 71.3573 10 ； 3. 一组数据 2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是 A.2 B.4 C.5 D.6 【答案】B. 【解析】由小到大排列，得：2，2，4，5，6，所以，中位数为 4，选 B。 4. 如图，直线 a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是 A.75° B.55° C.40° D.35° 【答案】C. 【解析】两直线平行，同位角相等，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，所以， 75°＝∠2＋∠3，所以，∠3＝40°，选 C。 5. 下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是 A.矩形 B.平行四边形 C.正五边形 D.正三角形 【答案】A. 【解析】平行四边形只是中心对称图形，正五边形、正三角形只是轴对称图形，只有矩形符合。 6. 2( 4 )x  A. 28x B. 28x C. 216x D. 216x 【答案】D. 【解析】原式＝ 2 2-4 x（ ） ＝ 216x 7. 在 0，2， 0( 3) ， 5 这四个数中，最大的数是 A.0 B.2 C. 0( 3) D. 5 【答案】B. 【解析】（－3）0＝1，所以，最大的数为 2，选 B。 8. 若关于 x的方程 2 9 0 4 x x a    有两个不相等的实数根，则实数 a的取值范围是 A. 2a≥ B. 2a≤ C. 2a＞ D. 2a＜ 【答案】C. 【解析】△＝1－4（ 9 4 a  ）＞0，即 1＋4 a－9＞0，所以， 2a＞ 9. 如题 9 图，某数学兴趣小组将边长为 3 的正方形铁丝框 ABCD变形为以 A为圆心，AB为半径 的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形 DAB的面积为 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】D. 【解析】显然弧长为 BC＋CD的长，即为 6，半径为 3，则 1 6 3 9 2 S     扇形 . 10. 如题 10图，已知正△ABC的边长为 2，E，F，G分别是 AB，BC，CA上的点，且 AE=BF=CG， 设 △EFG的面积为 y，AE的长为 x，则 y关于 x的函数图象大致是 【答案】D. 【解析】根据题意，有 AE=BF=CG，且正三角形 ABC的边长为 2， 故 BE=CF=AG=2-x；故△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等． 在△AEG中，AE=x，AG=2-x， 则 S △AEG = 1 2 AE×AG×sinA= 3 4 x（2-x）； 故 y=S △ABC -3S △AEG = 3－3 3 4 x（2-x）＝ 3 4 （3x 2 -6x+4）． 故可得其图象为二次函数，且开口向上，选 D。 二、填空题 11. 正五边形的外角和等于 （度）. 【答案】360. 【解析】n边形的外角和都等于 360度。 12. 如题 12图，菱形 ABCD的边长为 6，∠ABC=60°，则对角线 AC的长是 . 【答案】6. 【解析】三角形 ABC为等边三角形。 13. 分式方程 3 2 1x x   的解是 . 【答案】 2x  . 【解析】去分母，得：3x＝2x＋2，解得：x＝2。 14. 若两个相似三角形的周长比为 2：3，则它们的面积比是 . 【答案】4：9. 【解析】相似三角形的面积比等于相似比的平方。 15. 观察下列一组数： 1 3 ， 2 5 ， 3 7 ， 4 9 ， 5 11 ，…，根据该组数的排列规律，可推出第 10个数是 . 【答案】 10 21 . 【解析】分母为奇数，分子为自然数，所以，它的规律为： 2 1 n n  ，将 n＝10代入可得。 16. 如题 16图，△ABC三边的中线 AD，BE，CF的公共点 G，若 12ABCS △ ，则图中阴影部分面积 是 . 【答案】4. 【 解 析 】 由 中 线 性 质 ， 可 得 AG=2GD ， 则 1 1 2 1 2 1 1 12 2 2 2 3 2 3 2 6BGF CGE ABG ABD ABCS S S S S         △ △ △ △ △ ，∴阴影部分的面积为 4；其实图中 各个单独小三角形面积都相等本题虽然超纲，但学生容易蒙对的. 三、解答题（一） 17. 解方程： 2 3 2 0x x   . 【解析】 ( 1)( 2) 0x x   ∴ 1 0x   或 2 0x   ∴ 1 1x  ， 2 2x  18. 先化简，再求值： 2 1(1 ) 1 1 x x x     ，其中 2 1x   . 【解析】原式= 1 ( 1)( 1) x x x x x     = 1 1x  当 2 1x   时，原式= 1 2 22 1 1    . 19. 如题 19图，已知锐角△ABC. (1) 过点 A作 BC边的垂线 MN，交 BC于点 D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2) 在(1)条件下，若 BC=5，AD=4，tan∠BAD= 3 4 ，求 DC的长. 【解析】(1) 如图所示，MN为所作； (2) 在 Rt△ABD中，tan∠BAD= 3 4 AD BD  ， ∴ 3 4 4 BD  ， ∴BD=3， ∴DC=AD﹣BD=5﹣3=2. 四、解答题（二） 20. 老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字 1，2， 3的 卡片，卡片除数字个其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到 卡片上 的数字之积是奇数的概率，于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可 能结果，题 20图是小明同学所画的正确树状图的一部分. (1) 补全小明同学所画的树状图； (2) 求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率. 【解析】(1) 如图，补全树状图； (2) 从树状图可知，共有 9种可能结果，其中两次抽取卡片上的数字之积为奇数的有 4种 结果， ∴P(积为奇数)= 4 9 21. 如题 21图，在边长为 6的正方形 ABCD中，E是边 CD的中点，将△ADE沿 AE对折至△AFE， 延 长交 BC于点 G，连接 AG. (1) 求证：△ABG≌△AFG； (2) 求 BG的长. 【解析】(1) ∵四边形 ABCD是正方形， ∴∠B=∠D=90°，AD=AB， 由折叠的性质可知 AD=AF，∠AFE=∠D=90°， ∴∠AFG=90°，AB=AF， ∴∠AFG=∠B， 又 AG=AG， ∴△ABG≌△AFG； (2) ∵△ABG≌△AFG， ∴BG=FG， 设 BG=FG= x，则 GC= 6 x , ∵E为 CD的中点， ∴CF=EF=DE=3， ∴EG= 3x  ， ∴ 2 2 23 (6 ) ( 3)x x    ， 解得 2x  ， ∴BG=2. 22. 某电器商场销售 A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台 30元，40元. 商场 销售 5 台 A型号和 1 台 B型号计算器，可获利润 76元；销售 6台 A型号和 3 台 B型号计算器， 可获利润 120元. (1) 求商场销售 A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润=销售价格﹣进货价格） (2) 商场准备用不多于 2500元的资金购进 A，B两种型号计算器共 70 台，问最少需要购进 A 型号的 计算器多少台？ 【解析】(1) 设 A，B型号的计算器的销售价格分别是 x元，y元，得： 5( 30) ( 40) 76 6( 30) 3( 40) 120 x y x y          ，解得 x=42,y=56， 答：A，B两种型号计算器的销售价格分别为 42元，56元； (2) 设最少需要购进 A型号的计算 a台，得 30 40(70 ) 2500a a  ≥ 解得 30x≥ 答：最少需要购进 A型号的计算器 30台. 五、解答题（三） 23. 如题 23图，反比例函数 ky x  ( 0k≠ ， 0x＞ )的图象与直线 3y x 相交于点 C，过直线上点 A(1， 3)作AB⊥x轴于点 B，交反比例函数图象于点 D，且 AB=3BD. (1) 求 k的值； (2) 求点 C的坐标； (3) 在 y轴上确实一点 M，使点 M到 C、D两点距离之和 d=MC+MD，求点 M的坐标. 【解析】(1) ∵A(1，3)， ∴OB=1，AB=3， 又 AB=3BD， ∴BD=1， ∴B(1，1)， ∴ 1 1 1k    ； (2) 由(1)知反比例函数的解析式为 1y x  ， 解方程组 3 1 y x y x     ，得 3 3 3 x y      或 3 3 3 x y        （舍去）， ∴点 C的坐标为( 3 3 ， 3 )； (3) 如图，作点 D关于 y轴对称点 E，则 E( 1 ,1)，连接 CE交 y轴于点 M，即为所求. 设直线 CE的解析式为 y kx b  ，则 3 3 3 1 k b k b        ，解得 2 3 3k   ， 2 3 2b   ， ∴直线 CE的解析式为 (2 3 3) 2 3 2y x    ， 当 x=0时，y= 2 3 2 ， ∴点 M的坐标为(0， 2 3 2 ). 24. ⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过BC的中点 P作⊙O的直径 PG交弦 BC于点 D，连接 AG， CP，PB. (1) 如题 24﹣1图；若 D是线段 OP的中点，求∠BAC的度数； (2) 如题 24﹣2图，在 DG上取一点 k，使 DK=DP，连接 CK，求证：四边形 AGKC是平行四 边形； (3) 如题 24﹣3图；取 CP的中点 E，连接 ED并延长 ED交 AB于点 H，连接 PH，求证：PH⊥ AB. 【解析】(1) ∵AB为⊙O直径， BP PC ， ∴PG⊥BC，即∠ODB=90°， ∵D为 OP的中点， ∴OD= 1 1 2 2 OP OB ， ∴cos∠BOD= 1 2 OD OB  ， ∴∠BOD=60°， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠ODB， ∴AC∥PG， ∴∠BAC=∠BOD=60°； (2) 由（1）知，CD=BD， ∵∠BDP=∠CDK，DK=DP， ∴△PDB≌△CDK， ∴CK=BP，∠OPB=∠CKD， ∵∠AOG=∠BOP， ∴AG=BP， ∴AG=CK ∵OP=OB， ∴∠OPB=∠OBP， 又∠G=∠OBP， ∴AG∥CK， ∴四边形 AGCK是平行四边形； (3) ∵CE=PE，CD=BD， ∴DE∥PB，即 DH∥PB ∵∠G=∠OPB， ∴PB∥AG， ∴DH∥AG， ∴∠OAG=∠OHD， ∵OA=OG， ∴∠OAG=∠G， ∴∠ODH=∠OHD， ∴OD=OH， 又∠ODB=∠HOP，OB=OP， ∴△OBD≌△HOP， ∴∠OHP=∠ODB=90°，x kb 1 ∴PH⊥AB. 25. 如题 25图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板 Rt△ABC与 Rt△ADC拼在一起，使斜 边 AC 完全重合，且顶点 B，D分别在 AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm. (1) 填空：AD= (cm)，DC= (cm)； (2) 点 M，N分别从 A点，C点同时以每秒 1cm的速度等速出发，且分别在 AD，CB上沿 A→ D，C →B的方向运动，当 N点运动 到 B点时，M，N两点同时停止运动，连结 MN，求当 M，N点 运动了 x秒时，点 N到 AD的距离(用含 x的式子表示)； (3) 在(2)的条件下，取 DC中点 P，连结 MP，NP，设△PMN的面积为 y(cm2)，在整个运动过 程中， △PMN的面积 y存在最大值，请求出这个最大值. (参考数据：sin75°= 6 2 4  ，sin15°= 6 2 4  ) 【解析】(1) 2 6 ； 2 2； (2) 如图，过点 N作 NE⊥AD于 E，作 NF⊥DC延长线于 F，则 NE=DF. ∵∠ACD=60°，∠ACB=45°， ∴∠NCF=75°，∠FNC=15°， ∴sin15°= FC NC ，又 NC=x， ∴ 6 2 4 FC x  ， ∴NE=DF= 6 2 2 2 4 x  . ∴点 N到 AD的距离为 6 2 2 2 4 x  cm； (3) ∵sin75°= FN NC ，∴ 6 2 4 FN x  ， ∵PD=CP= 2 ， ∴PF= 6 2 2 4 x  ， ∴ 1 6 2 6 2 1 1 6 2( 2 6 )( 2 2) (2 6 ) 2 ( 2) 2 4 4 2 2 4 y x x x x x            · 6 2( ) 4 x 即 22 6 7 3 2 2 2 3 8 4 y x x      ， 当 7 3 2 2 4 2 62 8 x       = 7 3 2 2 6 2    时，y有最大值为 6 6 7 3 10 2 30 4 2 4 6     .