2015年恩施州中考数学试题解析

湖北省恩施州 2015 年中考数学试卷 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分，中每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求的，请将正确选则项请的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1．﹣5 的绝对值是（ ） A．﹣5 B．﹣ C． D．5 考点：绝对值． . 分析：利用绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0． 解答：解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣5|=5， 故选 D．新*课*标*第*一*网] 点评：此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0． 2．恩施气候独特，土壤天然含硒，盛产茶叶，恩施富硒茶叶 2013 年总产量达 64000 吨，将 64000 用科学记数法表示为（ ） A． 64×103 B．6.4×105 C．6.4×104 D．0.64×105 考点：科学记数法—表示较大的数．. 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：64000=6.4×104， 故选 C． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．（3 分）（2015•恩施州）如图，已知 AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD 的 值为（ ） A．20° B．30° C．40° D．70° 考点：平行线的性质．. 分析：延长 ED 交 BC 于 F，根据平行线的性质求出∠MFC=∠B=70°，求出∠FDC=40°，根 据三角形外角性质得出∠C=∠MFC﹣∠MDC，代入求出即可． 解答： 解： 延长 ED 交 BC 于 F， ∵AB∥DE，∠ABC=70°， ∴∠MFC=∠B=70°， ∵∠CDE=140°， ∴∠FDC=180°﹣140°=40°， ∴∠C=∠MFC﹣∠MDC=70°﹣40°=30°， 故选 B． 点评：本题考查了三角形外角性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠MFC 的 度数，注意：两直线平行，同位角相等． 4．（3 分）（2015•恩施州）函数 y= +x﹣2 的自变量 x 的取值范围是（ ） A．x≥2 B．x＞2 C．x≠2 D．x≤2 考点：函数自变量的取值范围．. 分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求 出 x 的范围． 解答：解：根据题意得：x﹣2≥0 且 x﹣2≠0， 解得：x＞2． 故选：B． 点评：函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全 体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式 是二次根式时，被开方数非负． 5．（3 分）（2015•恩施州）下列计算正确的是（ ） A．4x3•2x2=8x6 B．a4+a3=a7 C．（﹣x2）5=﹣x10 D．（a﹣b）2=a2﹣b2 考点：单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．. 专题：计算题． 分析：A、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断； B、原式不能合并，错误； C、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 解答：解：A、原式=8x5，错误； B、原式不能合并，错误； C、原式=﹣x10，正确； D、原式=a2﹣2ab+b2，错误， 故选 C 点评：此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式， 熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 6．（3 分）（2015•恩施州）某中学开展“眼光体育一小时”活动，根据学校实际情况，如图决 定开设“A：踢毽子，B：篮球，C：跳绳，D：乒乓球”四项运动项目（每位同学必须选择一 项），为了解学生最喜欢哪一项运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，丙将调查结果 绘制成如图的统计图，则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数为（ ） A．240 B．120 C．80 D．40 考点：条形统计图；扇形统计图． . 分析：根据 A 项的人数是 80，所占的百分比是 40%即可求得调查的总人数，然后李用总人 数减去其它组的人数即可求解． 解答：解：调查的总人数是：80÷40%=200（人）， 则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数是：200﹣80﹣30﹣50=40（人）． 故选 D． 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中 得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇 形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 7．（3 分）（2015•恩施州）如图是一个正方体纸盒的展开图，其中的六个正方形内分别标有 数字“0”、“1”、“2”、“5”和汉字、“数”、“学”，将其围成一个正方体后，则与“5”相对的是 （ ） A．0 B．新 _课_标第_一_网 2 C．数 D．学 考点：专题：正方体相对两个面上的文字． . 分析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 解答：解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “数”相对的字是“1”； “学”相对的字是“2”； “5”相对的字是“0”． 故选：A． 点评：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手， 分析及解答问题． 8．（3 分）（2015•恩施州）关于 x 的不等式组 的解集为 x＜3，那么 m 的取值范围为（ ） A．m=3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3 考点：解一元一次不等式组． . 专题：计算题． 分析：不等式组中第一个不等式求出解集，根据已知不等式组的解集确定出 m 的范围即可． 解答： 解：不等式组变形得： ， 由不等式组的解集为 x＜3， 得到 m 的范围为 m≥3， 故选 D 点评：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．（3 分）（2015•恩施州）如图，在平行四边形 ABCD 中，EF∥AB 交 AD 于 E，交 BD 于 F，DE：EA=3：4，EF=3，则 CD 的长为（ ） A．4 B．7 C．3 D．12 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．. 分析：由 EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可求得 ，则可求得 AB 的长， 又由四边形 ABCD 是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得 CD 的长． 解答：解：∵DE：EA=3：4， ∴DE：DA=3：7 ∵EF∥AB， ∴ ， ∵EF=3， ∴ ， 解得：AB=7， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴CD=AB=7． 故选 B． 点评：此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质．此题难度不大，解题的关 键是注意数形结合思想的应用． 10．（3 分）（2015•恩施州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 E，且 E 为 OB 的 中点，∠CDB=30°，CD=4 ，则阴影部分的面积为（ ） A．π B．4π C． π D． π 考点：扇形面积的计算． . 分析：首先证明 OE= OC= OB，则可以证得△OEC≌△BED，则 S 阴影=半圆﹣S 扇形 OCB， 利用扇形的面积公式即可求解． 解答：解：∵∠COB=2∠CDB=60°， 又∵CD⊥AB， ∴∠OCB=30°，CE=DE， ∴OE= OC= OB=2 ，OC=4． ∴OE=BE， 则在△OEC 和△BED 中， ， ∴△OEC≌△BED， ∴S 阴影=半圆﹣S 扇形 OCB= ． 故选 D． 点评：本题考查了扇形的面积公式，证明△OEC≌△BED，得到 S 阴影=半圆﹣S 扇形 OCB 是本 题的关键． 11．（3 分）（2015•恩施州）随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原 售价降价 a 元后，再次降价 20%，现售价为 b 元，则原售价为（ ） A．（a+ b）元 B．（a+ b）元 C．（b+ a）元 D．（b+ a）元 考点：列代数式．. 分析：可设原售价是 x 元，根据降价 a 元后，再次下调了 20%后是 b 元为相等关系列出方程， 用含 a，b 的代数式表示 x 即可求解． 解答：解：设原售价是 x 元，则 （x﹣a）（1﹣20%）=b， 解得 x=a+ b， 故选 A． 点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方 程，再求解 12．（3 分）（2015•恩施州）如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点 A（﹣3， 0），对称轴为直线 x=﹣1，给出四个结论： ①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点 B（﹣ ，y1）、C（﹣ ，y2）为函数图象上 的两点，则 y1＜y2， 其中正确结论是（ ） A．②④ B．①④ C．①③ D．②③ 考点：二次函数图象与系数的关系．. 分析：由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系， 然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答：解：∵抛物线的开口方向向下， ∴a＜0； ∵抛物线与 x 轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，即 b2＞4ac， 故①正确 由图象可知：对称轴 x=﹣ =﹣1， ∴2a﹣b=0， 故②错误； ∵抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上， ∴c＞0 由图象可知：当 x=1 时 y=0， ∴a+b+c=0； 故③错误； 由图象可知：当 x=﹣1 时 y＞0， ∴点 B（﹣ ，y1）、C（﹣ ，y2）为函数图象上的两点，则 y1＜y2， 故④正确． 故选 B 点评：此题考查二次函数的性质，解答本题关键是掌握二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号由抛 物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定． 二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分，不要求写出解答过程，请把答案直接填 写在答题卷相应位置上） 13．（3 分）（2015•恩施州）4 的平方根是 ±2 ． 考点：平方根． . 专题：计算题． 分析：根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2=a，则 x 就是 a 的 平方根，由此即可解决问题． 解答：解：∵（±2）2=4， ∴4 的平方根是±2． 故答案为：±2． 点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方 根是 0；负数没有平方根． 14．（3 分）（2015•恩施州）因式分解：9bx2y﹣by3= by（3x+y）（3x﹣y） ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用．. 专题：计算题． 分析：原式提取 by，再利用平方差公式分解即可． 解答：解：原式=by（9x2﹣y2）=by（3x+y）（3x﹣y）， 故答案为：by（3x+y）（3x﹣y） 点评：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关 键． 15．（3 分）（2015•恩施州）如图，半径为 5 的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线 b， 然后把半圆沿直线 b 进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线 b 重合为止，则圆心 O 运动路 径的长度等于 5π ． 考点：弧长的计算；旋转的性质． . 分析：根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为 圆弧，根据弧长公式求出弧长即可． 解答：解：由图形可知，圆心先向前走 OO1 的长度即 圆的周长， 然后沿着弧 O1O2 旋转 圆的周长， 则圆心 O 运动路径的长度为： ×2π×5+ ×2π×5=5π， 故答案为：5π． 点评：本题考查的是弧长的计算和旋转的知识，解题关键是确定半圆作无滑动翻转所经过的 路线并求出长度． 16．（3 分）（2015•恩施州）观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5， 5，5，6，…其中每个数 n 都连续出现 n 次，那么这一组数的第 119 个数是 15 ． 考点：规律型：数字的变化类．. 分析：根据每个数 n 都连续出现 n 次，可列出 1+2+3+4+…+x=119+1，解方程即可得出答案． 解答：解：因为每个数 n 都连续出现 n 次，可得： 1+2+3+4+…+x=119+1， 解得：x=15， 所以第 119 个数是 15． 故答案为：15． 点评：此题考查数字的规律，关键是根据题目首先应找出哪哪些部分发生了变化，是按照什 么规律变化的． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 72 分，请在大题卷指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8 分）（2015•恩施州）先化简，再求值： • ﹣ ，其中 x=2 ﹣1． 考点：分式的化简求值． . 专题：计算题． 分析：原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值． 解答： 解：原式= • ﹣ = ﹣ =﹣ ， 当 x=2 ﹣1 时，原式=﹣ =﹣ ． 点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（8 分）（2015•恩施州）如图 ，四边形 ABCD、BEFG 均为正方形，连接 AG、CE． （1）求证：AG=CE； （2）求证：AG⊥CE． 考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．. 专题：证明题． 分析：（1）由正方形的性质得出 AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出 ∠ABG=∠CBE，由 SAS 证明△ABG≌△CBE，得出对应边相等即可； （2）由△ABG≌△CBE，得出对应角相等∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°， 对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可． 解答：（1）证明：∵四边形 ABCD、BEFG 均为正方形， ∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE， ∴∠ABG=∠CBE， 在△ABG 和△CBE 中， ， ∴△ABG≌△CBE（SAS）， ∴AG=CE； （2）证明：如图所示：∵△ABG≌△CBE， ∴∠BAG=∠BCE， ∵∠ABC=90°， ∴∠BAG+∠AMB=90°， ∵∠AMB=∠CMN， ∴∠BCE+∠CMN=90°， ∴∠CNM=90°， ∴AG⊥CE． 点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线的证法；熟练掌握正方形 的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 19．（8 分）（2015•恩施州）质地均匀的小正方体，六个面分别有数字“1”、“2”、“3”、“4”、 “5”、“6”，同时投掷两枚，观察朝上一面的数字． （1）求数字“1”出现的概率； （2）求两个数字之和为偶数的概率． 考点：列表法与树状图法．. 专题：计算题． 分析：（1）列表得出所有等可能的情况数，找出数字“1”出现的情况数，即可求出所求的概 率； （2）找出数字之和为偶数的情况数，即可求出所求的概率． 解答：解：（1）列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 所有等可能的情况有 36 种，其中数字“1”出现的情况有 11 种， 则 P（数字“1”出现）= ； （2）数字之和为偶数的情况有 18 种， 则 P（数字之和为偶数）= = ． 点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20．（8 分）（2015•恩施州）如图，某渔船在海面上朝正西方向以 20 海里/时匀速航行，在 A 处观测到灯塔 C 在北偏西 60°方向上，航行 1 小时到达 B 处，此时观察到灯塔 C 在北偏西 30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结 果精确到 1 海里，参考数据： ≈1.732） 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． . 分析：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，则若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置为 CD 的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可． 解答：解：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D， AB=20×1=20（海里）， ∵∠CAF=60°，∠CBE=30°， ∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120°，∠CAB=90°﹣∠CAF=30°， ∴∠C=180°﹣∠CBA﹣∠CAB=30°， ∴∠C=∠CAB， ∴BC=BA=20（海里）， ∠CBD=90°﹣∠CBE=60°， ∴CD=BC•sin∠CBD= ≈17（海里）． 点评：此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 21．（8 分）（2015•恩施州）如图，已知点 A、P 在反比例函数 y= （k＜0）的图象上，点 B、 Q 在直线 y=x﹣3 的图象上，点 B 的纵坐标为﹣1，AB⊥x 轴，且 S△OAB=4，若 P、Q 两点 关于 y 轴对称，设点 P 的坐标为（m，n）． （1）求点 A 的坐标和 k 的值； （2）求 的值． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． . 分析：（1）先由点 B 在直线 y=x﹣3 的图象上，点 B 的纵坐标为﹣1，将 y=﹣1 代入 y=x﹣ 3，求出 x=2，即 B（2，﹣1）．由 AB⊥x 轴可设点 A 的坐标为（2，t），利用 S△OAB=4 列出方程 （﹣1﹣t）×2=4，求出 t=﹣5，得到点 A 的坐标为（2，﹣5）；将点 A 的坐 标代入 y= ，即可求出 k 的值； （2）根据关于 y 轴对称的点的坐标特征得到 Q（﹣m，n），由点 P（m，n）在反比 例函数 y=﹣ 的图象上，点 Q 在直线 y=x﹣3 的图象上，得出 mn=﹣10，m+n=﹣3， 再将 变形为 ，代入数据计算即可． 解答：解：（1）∵点 B 在直线 y=x﹣3 的图象上，点 B 的纵坐标为﹣1， ∴当 y=﹣1 时，x﹣3=﹣1，解得 x=2， ∴B（2，﹣1）． 设点 A 的坐标为（2，t），则 t＜﹣1，AB=﹣1﹣t． ∵S△OAB=4， ∴ （﹣1﹣t）×2=4， 解得 t=﹣5， ∴点 A 的坐标为（2，﹣5）． ∵点 A 在反比例函数 y= （k＜0）的图象上， ∴﹣5= ，解得 k=﹣10； （2）∵P、Q 两点关于 y 轴对称，点 P 的坐标为（m，n）， ∴Q（﹣m，n）， ∵点 P 在反比例函数 y=﹣ 的图象上，点 Q 在直线 y=x﹣3 的图象上， ∴n=﹣ ，n=﹣m﹣3， ∴mn=﹣10，m+n=﹣3， ∴ = = = =﹣ ． 点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数图象上点的坐 标特征，三角形的面积，关于 y 轴对称的点的坐标特征，代数式求值，求出点 A 的坐 标是解决第（1）小题的关键，根据条件得到 mn=﹣10，m+n=﹣3 是解决第（2）小题 的关键． 22．（10 分）（2015•恩施州）某工厂现有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克，计划用这 两种原料全部生产 A、B 两种产品共 50 件，生产 A、B 两种产品与所需原料情况如下表所 示： 原料 型号 甲种原料（千克） 乙种原料（千克） A 产品（每件） 9 3 B 产品（每件） 4 10 （1）该工厂生产 A、B 两种产品有哪几种方案？ （2）若生成一件 A 产品可获利 80 元，生产一件 B 产品可获利 120 元，怎样安排生产可获 得最大利润？ 考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用． . 分析：（1）设工厂可安排生产 x 件 A 产品，则生产（50﹣x）件 B 产品，根据不能多于原 料的做为不等量关系可列不等式组求解； （2）可以分别求出三种方案比较即可． 解答：解：（1）设工厂可安排生产 x 件 A 产品，则生产（50﹣x）件 B 产品 由题意得： ， 解得：30≤x≤32 的整数． ∴有三种生产方案：①A30 件，B20 件；②A31 件，B19 件；③A32 件，B18 件； （2）方法一：方案（一）A，30 件，B，20 件时， 20×120+30×80=4800（元）． 方案（二）A，31 件，B，19 件时， 19×120+31×80=4760（元）． 方案（三）A，32 件，B，18 件时， 18×120+32×80=4720（元）． 故方案（一）A，30 件，B，20 件利润最大． 点评：本题考查理解题意的能力，关键是根据有甲种原料 360 千克，乙种原料 290 千克，做 为限制列出不等式组求解，然后判断 B 生产的越多，A 少的时候获得利润最大，从而 求得解． 23．（10 分）（2015•恩施州）如图，AB 是⊙O 的直径，AB=6，过点 O 作 OH⊥AB 交圆于 点 H，点 C 是弧 AH 上异于 A、B 的动点，过点 C 作 CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分别为 D、 E，过点 C 的直线交 OA 的延长线于点 G，且∠GCD=∠CED． （1）求证：GC 是⊙O 的切线； （2）求 DE 的长； （3）过点 C 作 CF⊥DE 于点 F，若∠CED=30°，求 CF 的长． 考点：圆的综合题． . 分析：（1）先证明四边形 ODCE 是矩形，得出∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD，得出 ∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD，证出∠GCD+∠MCD=90°，即可得出结论； （2）由（1）得：DE=OC= AB，即可得出结果； （3）运用三角函数求出 CE，再由含 30°角的直角三角形的性质即可得出结果． 解答：（1）证明：连接 OC，交 DE 于 M，如图所示： ∵OH⊥AB，CD⊥OA，CE⊥OH， ∴∠DOE= ∠OEC=∠ODC=90°， ∴四边形 ODCE 是矩形， ∴∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD， ∴∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD， ∵∠GCD=∠CED， ∴∠GCD+∠MCD=90°， 即 GC⊥OC， ∴GC 是⊙O 的切线； （2）解：由（1）得：DE=OC= AB=3； （3）解：∵∠DCE=90°，∠CED=30°， ∴CE=DE•cos∠CED=3× = ， ∴CF= CE= ． 点评：本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与 性质、三角函数、含 30°角的直角三角形的性质等知识；本题有一定难度，综合性强， 特别是（1）中，需要证明四边形是矩形，运用角的关系才能得出结论． 24．（12 分）（2015•恩施州）矩形 AOCD 绕顶点 A（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到如 图所示的位置时，边 BE 交边 CD 于 M，且 ME=2，CM=4． （1）求 AD 的长； （2）求阴影部分的面积和直线 AM 的解析式； （3）求经过 A、B、D 三点的抛物线的解析式；新 课 标 （4）在抛物线上是否存在点 P，使 S△PAM= ？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说 明理由． 考点：几何变换综合题． . 专题：综合题． 分析：（1）作 BP⊥AD 于 P，BQ⊥MC 于 Q，如图 1，根据旋转的性质得 AB=AO=5， BE=OC=AD，∠ABE=90°，利用等角的余角相等得∠ABP=∠MBQ，可证明 Rt△ABP∽Rt△MBQ 得到 = = ，设 BQ=PD=x，AP=y，则 AD=x+y，所以 BM=x+y ﹣2，利用比例性质得到 PB•MQ=xy，而 PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，利用完全平方 公式和勾股定理得到 52﹣y2﹣2xy+（x+y﹣2）2﹣x2=1，解得 x+y=7，则 BM=5， BE=BM+ME=7，所以 AD=7； （2）由 AB=BM 可判断 Rt△ABP≌Rt△MBQ，则BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，利用勾 股定理得到（7﹣MQ）2+MQ2=52，解得 MQ=4（舍去）或 MQ=3，则 BQ=4，根据三 角形面积公式和梯形面积公式，利用 S 阴影部分=S 梯形 ABQD﹣S△BQM 进行计算即可；然后 利用待定系数法求直线 AM 的解析式； （3）先确定 B（3，1），然后利用待定系数法求抛物线的解析式； （4）当点 P 在线段 AM 的下方的抛物线上时，作 PK∥y 轴交 AM 于 K，如图 2 设 P （x， x2﹣ x+5），则 K（x，﹣ x+5），则 KP=﹣ x2+ x，根据三角形面积公式得 到 •（﹣ x2+ x）•7= ，解得 x1=3，x2= ，于是得到此时 P 点坐标为（3，1）、 （ ， ）；再求出过点（3，1）与（ ， ）的直线 l 的解析式为 y=﹣ x+ ， 则可得到直线 l 与 y 轴的交点 A′的坐标为（0， ），所以 AA′= ，然后把直线 AM 向上平移 个单位得到 l′，直线 l′与抛物线的交点即为 P 点，由于 A″（0， ），则 直线 l′的解析式为 y=﹣ x+ ，再通过解方程组 得 P 点坐标． 解答：解：（1）作 BP⊥AD 于 P，BQ⊥MC 于 Q，如图 1， ∵矩形 AOCD 绕顶点 A（0，5）逆时针方向旋转得到矩形 ABEF， ∴AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°， ∵∠PBQ=90°， ∴∠ABP=∠MBQ， ∴Rt△ABP∽Rt△MBQ， ∴ = = ， 设 BQ=PD=x，AP=y，则 AD=x+y，BM=x+y﹣2， ∴ = = ， ∴PB•MQ=xy， ∵PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1， ∴（PB﹣MQ）2=1，即 PB2﹣2PB•MQ+MQ2=1， ∴52﹣y2﹣2xy+（x+y﹣2）2﹣x2=1，解得 x+y=7， ∴BM=5， ∴BE=BM+ME=5+2=7， ∴AD=7； （2）∵AB=BM， ∴Rt△ABP≌Rt△MBQ， ∴BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP， ∵BQ2+MQ2=BM2， ∴（7﹣MQ）2+MQ2=52，解得 MQ=4（舍去）或 MQ=3， ∴BQ=7﹣3=4， ∴S 阴影部分=S 梯形 ABQD﹣S△BQM = ×（4+7）×4﹣ ×4×3 =16； 设直线 AM 的解析式为 y=kx+b， 把 A（0，5），M（7，4）代入得 ，解得 ， ∴直线 AM 的解析式为 y=﹣ x+5； （3）设经过 A、B、D 三点的抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c， ∵AP=MQ=3，BP=DQ=4， ∴B（3，1）， 而 A（0，5），D（7，5）， ∴ ，解得 ， ∴经过 A、B、D 三点的抛物线的解析式为 y= x2﹣ x+5； （4）存在． 当点 P 在线段 AM 的下方的抛物线上时，作 PK∥y 轴交 AM 于 K，如图 2， 设 P（x， x2﹣ x+5），则 K（x，﹣ x+5）， ∴KP=﹣ x+5﹣（ x2﹣ x+5）=﹣ x2+ x， ∵S△PAM= ， ∴ •（﹣ x2+ x）•7= ， 整理得 7x2﹣46x+75，解得 x1=3，x2= ，此时 P 点坐标为（3，1）、（ ， ）， 求出过点（3，1）与（ ， ）的直线 l 的解析式为 y=﹣ x+ ，则直线 l 与 y 轴 的交点 A′的坐标为（0， ）， ∴AA′=5﹣ = ， 把直线AM向上平移 个单位得到l′，则A″（0， ），则直线l′的解析式为y=﹣ x+ ， 解方程组 得 或 ，此时 P 点坐标 为（ ， ）或（ ， ）， 综上所述，点 P 的坐标为（3，1）、（ ， ）、（ ， ）、 （ ， ）． 点评：本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质、矩形的性质和三角形全等于相似 的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会进行代数 式的变形．