2015年鄂州市中考数学试卷及答案

鄂州市 2015 年初中毕业生学业考试 数学试题 学校：________考生姓名：________ 准考证号： 注意事项： 1．本试题卷共 6 页，满分 120 分，考试时间 120 分钟。 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上的指定位置。 3．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。 4．非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷 上无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 6．考生不准使用计算器。 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1． 3 1 的倒数是（ ） A． 3 1 B．3 C． 3－ D． 3 1 2．某小区居民王先生改进用水设施，在 5 年内帮助他居住小区的居民累计节水 39400 吨， 将 39400 用科学计数法表示(结果保留 2 个有效数字)应为（ ） A．3.9×10 4 B．3.94×10 4 C．39.4×10 3 D．4.0×10 4 3．下列运算正确的是（ ） A．a4·a2=a8 B．(a2 )4=a6 C．(ab)2=ab2 D．2a3÷a=2a2 4．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区 10 户居民进行调查，下表是这 10 户居民 2015 年 4 月份用电量的调查结果： 那么关于这 10 户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（ ） A．中位数是 50 B．众数是 51 C．方差是 42 D．极差是 21 5．如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是 （ ） 第 5 题图 A B C D 6．如图，AB∥CD，EF 与 AB、CD 分 别相交于点 E、F，EP⊥EF，与∠EFD 的平分 线 FP 相交于点 P，且∠BEP=50°，则∠EPF=（ ）度． 居民（户） 1 2 3 4 月用电量（度/户） 30 42 50 51 A．70 B．65 C．60 D．55 7．如图，直线 y＝x－2 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 B，与反比例函数 ky x= 的图象在 第一象限交于点 A，连接 OA，若 S△AOB:S△BOC = 1:2，则 k 的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝12，点 E 是 BC 的中点，连接 AE，将△ABE 沿 AE 折叠，点 B 落在点 F 处，连接 FC，则 sin∠ECF = （ ） A． 4 3 B． 3 4 C． 5 3 D． 5 4 9．甲、乙两车从 A 城出发匀速行驶至 B 城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 A 城的 距离 y(千米)与甲车行驶的时间 t(小时)之间的函数关系如图所示．则下列结论： ① A，B 两城相距 300 千米； ②乙车比甲车晚出发 1 小时，却早到 1 小时； ③乙车出发后 2.5 小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距 50 千米时，t = 4 5 或 4 15 ． 其中正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 10．在平面直角坐标系中，正方形 、 、 、 、 ……按如图所示的方式放置，其中点 在 轴上，点 、 、 、 、 、 、 …… 在 轴上，已知正方形 的边长为 ，∠ ＝ °， ∥ ∥ …… 则正方形 的边长是（ ） A． 2014 2 1）（ 第 8 题图 F DA E CB 第 7 题图 C A B y x O 第 6 题图 第 9 题图 乙甲 1 t (h) y (km) O · ·5 · 300 4 F B3 y D3 A3 D2 A2 O B1 D1 B2 A1 B． 2015 2 1）（ C． 2015 3 3）（ D． 2014 3 3）（ 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．若使二次根式 2 4x - 有意义，则 x 的取值范围是 ． 12．分解因式：a3b－4ab = ． 13．下列命题中正确的个数有 个． ①如果单项式 3a4byc 与 2axb3cz 是同类项，那么 x= 4， y=3， z=１； ②在反比例函数 3y x= 中，y 随 x 的增大而减小； ③要了解一批炮弹的杀伤半径，适合用普查方式； ④从－3，－2，2，3 四个数中任意取两个数分别作为 k，b 的值，则直线 k by x= + 经 过第一、二、三象限的概率是 1 6 ． 14．圆锥体的底面周长为 6π，侧面积为 12π，则该圆锥体的高为 ． 15．已知点 P 是半径为 1 的⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点 A，且 PA=1， AB 是⊙O 的弦， AB= 2 ，连接 PB，则 PB= ． 16．如图，∠AOB＝30°，点 M、N 分别是射线 OA、OB 上的动点，OP 平分∠AOB，且 OP＝6，当△PMN 的周长取最小值时，四边形 PMON 的面积为 ． 三、解答题（17-20 每题 8 分，21-22 每题 9 分，23 题 10 分，24 题 12 分，共 72 分） 17．（本题满分 8 分）先化简，再求值： ，其中 12a  ． 18．（本题满分 8 分）如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，连接 BE，CE． （1）（4 分）求证：BE=CE． （2）（4 分）求∠BEC 的度数． 　，）（ 11 2 1 2 2    a a a a a 第 10 题图 A BO M N P 第 16 题 图 B A C E D 19．（本题满分 8 分）八年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析” 后，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、 铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定 点投篮测试成绩整理后作出如下统计图． 项目选择人数情况统计图 训练后篮球定时定点投篮测试进球数统计图 请你根据上面提供的信息回答下列问题： （1）（3 分）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为 度，该班共有学生 人， 训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是 ． （2）（5 分）老师决定从选择铅球训练的 3 名男生和 1 名女生中任选两名学生先进行测 试，请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率． 20.（本题满分 8 分）关于 x 的一元二次方程 x2+(2k+1)x+k2+1=0 有两个不等实根 1 2,x x . （1）（4 分）求实数 k 的取值范围． （2）（4 分）若方程两实根 1 2,x x 满足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求 k 的值． 21．（本题满分 9 分）如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着 测量 ，眼睛与地面的距离（AB）是 1.7 米，看旗杆顶部 E 的仰角为 30°；小敏蹲着测量， 眼睛与地面的距离（CD）是 0.7 米，看旗杆顶部 E 的仰角为 45°. 两人相距 5 米且位于 旗杆同侧（点 B、D、F 在同一直线上）． （1）（6 分）求小敏到旗杆的距离 DF．（结果保留根号） （2）（3 分）求旗杆 EF 的高度．（结果保留整数. 参考数据： 4.12  ， 7.13  ） 22．（本题满分 9 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，AE 是∠BAC 的平分线，∠ABC 的平 分线 BM 交 AE 于点 M，点 O 在 AB 上，以点 O 为圆心，OB 的长为半径的圆经过点 跳绳篮球 50% 第 21 题图 300 450 DB A C E F 第 18 题图 立定跳远 20%铅球 10% 长跑 10% M，交 BC 于点 G，交 AB 于点 F． （1）（3 分）求证：AE 为⊙O 的切线． （2）（3 分）当 BC=8，AC=12 时，求⊙O 的半径． （3）（3 分）在（2）的条件下，求线段 BG 的长． 第 22 题图 23．（本题满分 10 分）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克 30 元．物价部门规定其销售单价不高于每千克 60 元，不低于每千克 30 元．经市 场调查发现：日销售量 y（千克）是销售单价 x（元）的一次函数，且当 x=60 时 ， y=80；x=50 时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用 450 元． （1）（3 分）求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围． （2）（3 分）求该公司销售该原料日获利 w(元)与销售单价 x(元)之间的函数关系式． （3）（4 分）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？ 24．（本题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，直线 1 22y x= + 与 x 轴交于点 A， 与 y 轴交于点 C．抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 ， 2 3x 且经过 A、C 两点，与 x 轴 的另一交点为点 B．x.k.b.1 （1）（4 分）①直接写出点 B 的坐标；②求抛物线解析式． （2）（4 分）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA，PC．求△PAC 的面积 的最大值，并求出此时点 P 的坐标． （3）（4 分）抛物线上是否存在点 M，过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 A、M、 N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明 理由． y w!w!w.!x!k!b!1.com 鄂州市 2015 年初中毕业生学业考试 数学试题参考答案及评分标准 考生若写出其他正确答案，可参照本标准给分 一、选择题（30 分） 1——5 C A D C A 6——10 A B D B D 二、填空题（18 分） 11、 x  2 12、ab(a+2)(a－2) 13、2 14、 7 15、1 或 5 16、 54336 — 三、解答题（17—20 每题 8 分，21—22 每题 9 分，23 题 10 分，24 题 12 分，共 72 分） 17、原式= a 1a))1a)(1a( 2a 1a 2(   = a 1a )1a)(1a( )2a()1a(2   = 1a 3  ………………………………………………… 5′ 第 24 题图 3 2x =- 当 a= 2 －1 时， 原式= 11-2 3  ＝ 2 23 … …………… …………………………… 8′ 18、（1）证明：∵四边形 ABCD 为正方形 ∴AB=AD=CD,∠BAD=∠ ADC=90° ∵三角形 ADE 为正三角形 ∴ AE=AD=DE,∠EAD=∠EDA=60° ∴∠BAE=∠CDE=150° ∴ΔBAE≌ΔCDE ∴BE=CE … ………… ………………………… ………4′ (2) ∵AB=AD, AD=AE, ∴AB=AE ∴∠ABE=∠AEB 又 ∵∠BAE=150° ∴∠ABE=∠AEB=15° 同理：∠CED=15° ∴∠BEC=600－15°2=30° ……………………………… 8′ 19、（1）36 ， 40， 5 ……………………………………… 3′ （2）三名男生分别用 A1,A2,A3 表示，一名女生用 B 表示.根据题意，可画树形图如下： 第一名 A1 A2 A3 B ↙ ↓↘ ↙ ↓↘ ↙↓↘ ↙↓↘ ……6′ 第二名 A2 A3 B A1 A3 B A1 A2 B A1 A2 A3 B A C D E 由上图可知，共有 12 种等可能的结果，选中两名学生恰好是两名男生（记为事件 M） 的结果有 6 种，∴P(M)= 12 6 = 2 1 ……………………………………… 8′ 20、（1）∵原方程有两个不相等的实数根 ∴ Δ＝ )1k2(  2－ k4（ 2+1)=4k2+4k+1－4k2－4=4k－3﹥0 解得：k﹥ 4 3 ……………………… ……………… 4′ (2) ∵k﹥ 4 3 ∴ x1+ x2 =－(2k+1)＜0 又∵ x1·x2 = k2+1﹥0 ∴x1＜0，x2 ＜0 ∴｜x1｜+｜x2｜=－x1－x2 =－(x1+x2)=2k+1 ∵｜x1｜+｜x2｜= x1·x2 ∴2k+1=k2+1 ∴ k1=0, k2=2 ………7′ 又 ∵k﹥ 4 3 ∴k=2 ………………………………… 8′ 21、（1）过点 A 作 AM⊥EF 于点 M,过点 C 作 CN⊥EF 于点 N.设 CN= x 在 RtΔECN 中， ∵∠ECN=45° ∴EN=CN=x ∴EM=x+0.7－1.7=x－1 ∵BD＝5 ∴AM=BF=5+x 在 RtΔAEM 中， ∵∠EAM=30° ∴ 3 3 AM EM  ∴ )5(3 31  xx 解得 334 x 即 DF= 4+ 33 (米) ………… ………………………………………6′ （2）EF= x +0.7=4+ 33 +0.7=4+3×1.7+0.7=9.8 ………… ……………………8/ ≈10（米） …………………………9′ 22、（1）证明：连接 OM. ∵AC=AB,AE 平分∠BAC ∴AE⊥BC,CE=BE= 2 1 BC=4 ∵OB=OM ∴∠OBM=∠OMB ∵BM 平分∠ABC ∴∠OBM=∠CBM ∴∠OMB=∠CBM ∴OM∥DC 又 ∵ AE⊥BC ∴AE⊥OM ∴AE 是⊙O 的切线 ……………… …………………………… 3′ （2） 设⊙O 的半径为 R ∵OM∥BE ∴ΔOMA∽ΔBEA ∴ BE OM = AB AO 即 4 R = 12 12 R 解得 R=3 ∴⊙O 的半径为 3 ………………………………………… 6′ A F E C B D 450 300 N M M A C E F G B .OH （3）过点 O 作 OH⊥BG 于点 H,则 BG=2BH ∵ ∠OME=∠MEH= ∠ EHO= 90° ∴四边形 OMEH 是矩形 ∴HE=OM=3 ∴BH=1∴BG＝2BH＝2 ………………………………………………… 9′ 23、（1）设 y=kx+b ，根据题意得      bk50100 bk6080＝ 解得：      200b 2k ∴y=－2x+200 （30 ≤x≤60） ………………………… 3′ (2) W=(x－30)(－2x+200)－450 =－2x2+260x－6450 ……………………………………………………… 6′ (W =－2(x－65）2 +2000) （3）W =－2(x－65）2 +2000 ∵30 ≤x≤60 ∴x=60 时,w 有最大值为 1950 元 ∴当销售单价为 60 元时，该公司日获利最大，为 1950 元 ………………10′ 24、(1) ①B(1,0) ………………………………………………………1′ ②y= 2x2 1  当 x=0 时，y＝2, 当 y=0 时，x=－4 ∴ C(0,2),A(－4,0) ∵抛物线 y=ax2+bx+c 过 A(－4,0), B(1,0) ∴可设抛物线解析式为 y=a(x+4)(x－1) 又∵抛物线过点 C(0,2) ∴2=－4a ∴a= 2 1 ∴y= 2 1 x2 2 3 x+2 ……………………… ……………………… 4′N= 2 1 n2+ 2 3 n－2 , AN=n+4 当 2 1 AN MN 时，MN= 2 1 AN 即 2 1 n2+ 2 3 n－2= 2 1 (n+4) n2+2n－8=0 ∴ n1= －4(舍), n2=2 ∴M（2，－3） ………………………………………………………… 11′ 当 1 2 AN MN 时，MN=2AN 2 1 n2+ 2 3 n－2=2(n+4) n2－n－20=0 ∴ n1= －4(舍), n2=5 ∴M（5，－18） ………………………………………………………… 12′ A O y x B C 2 3X P Q 综上所述：存在 M1（0，2）,M2(－3,2), M3（2，－3）,M4（5，－18）, 使得以点 A、M、N 为顶点的三角形与△ABC 相似. 第 24 题 2 3X （N1） （ M1 ） N3 M2 N2 M3 A O y x B C M4 N4