2015年东营市中考数学试卷及答案

秘密★启用前 试卷类型：A 二 0一五年东营市初中学生学业考试 数 学 试 题 （总分 120分 考试时间 120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30 分；第Ⅱ卷为非选择题，90 分；全卷共 8页． 2．数学试题答题卡共 8页．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目等涂写在 试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】 涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用 0.5mm碳素笔答 在答题卡的相应位置上. 4．考试时，不允许使用科学计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共 30分） 一、选择题：本大题共 10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的,请把正 确的选项选出来．每小题选对得 3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1． 1 3  的相反数是（ ） A． 1 3 B． 1 3  C．3 D． 3 2．下列计算正确的是（ ） A． 12 3 3  B． 6 3 2a a a  C． 2 2 2( )a b a b   D． 2 3 5a b ab  3．由六个小正方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ） A． B． C． D． 4．如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上， 1 20 , 2 40     ，则 3 等 于（ ） A．50 B．30 C． 20 D．15 5．东营市出租车的收费标准是：起步价 8元（即行驶距离不超过 3千米都需付 8元车费）， 超过 3千米以后，每增加 1 千米，加收 1.5元（不足 1千米按 1千米计）．某人从甲地到 乙地经过的路程是 x千米，出租车费为 15.5元，那么 x的最大值是（ ） A．11 B．8 C．7 D．5 6．若 3 4 y x  ，则 x y x  的值为（ ） A．1 B． 4 7 C． 5 4 D． 7 4 7．如图，有一个质地均匀的正四面体，其四个面上分别画着圆、等边三角形、菱形、正 五边形．投掷该正四面体一次，向下的一面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的 概率是（ ） A．1 B． 1 4 C． 3 4 D． 1 2 8．下列命题中是真命题的是( ) A．确定性事件发生的概率为 1 B．平分弦的直径垂直于弦 C．正多边形都是轴对称图形 D．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等 （第 3题图） （第 4题图） （第 7题图） 9．如图，在△ABC中，AB＞AC，点 D、E分别是边 AB、AC的中点，点 F在 BC边上， 连接 DE，DF，EF．则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△FCE与△EDF全等（ ）． A．∠A=∠DFE B．BF=CF C．DF∥AC D．∠C=∠EDF 10．如图，在 Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC．点 D是线段 AB上的一点，连结 CD， 过点 B作 BG⊥CD，分别交 CD、CA于点 E、F，与过点 A且垂直于 AB的直线相交于点 G，连结 DF．给出以下四个结论：① AG AF AB FC  ；②若点 D是 AB的中点，则 AF= 2 3 AB； ③当 B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若 1 2 DB AD  ，则 9ABC BDFS S  ．其中 正确的结论序号是（ ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B C B D D C A C 第Ⅱ卷（非选择题 共 90分） 二、填空题：本大题共 8 小题，其中 11-14 题每小题 3 分，15-18 题每小题 4 分，共 28 分．只要求填写最后结果． 11．东营市 2014 年城镇居民人均可支配收入是 37000 元，比 2013 年提高了 8.9%．37000 元用科学记数法表示是 43.7 10 元． 12．分解因式：  2)(9)(124 yxyx 2(3 3 2)x y  ． （第 10题图） （第 9题图） 13．在一次数学测验中，随机抽取了 10 份试卷，其成绩如下：85，81，89，81，72，82， 77，81，79，83．则这组数据的中位数为 81 ． 14．4 月 26 日，2015 黄河口（东营）国际马拉松比赛拉 开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直 播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道 A处 的俯角为30，B处的俯角为 45 ．如果此时直升机镜头 C 处的高度 CD为 200 米，点 A、D、B在同一直线上，则 AB两点的距离是 200( 3 1) 米． 15．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 1m，其中水面的宽 AB为 0.8m，则 排水管内水的深度为 0.8 m． 16．若分式方程 a x ax    1 无解，则 a的值为 1 ． 17．如图，一只蚂蚁沿着边长为 2 的正方体表面从点 A 出发，经过 3 个面爬到点 B，如果 它运动的路径是最短的，则 AC 的长为 2 10 3 ． 18．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为 1的等边三角形，点 A在 x 轴上，点 O，B1，B2，B3，…都在直线 l 上，则点 A2015 的坐标是 （ 2017 2 ， 2015 3 2 ）． ． （第 14题图） 30 45 第 15题图 （第 18题图） （第 17题图） 三、解答题：本大题共 7小题，共 62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤． 19． (本题满分 7 分，第⑴题 3 分，第⑵题 4 分) （1）计算： 2015 0 11 9 (3 ) 3 3 tan30       （-） （ ） 解： 2015 0 11 9 (3 ) 3 3 tan30       （-） （ ） = 1 3 1 3 3 3      ………………………………………2分 =0…………………………………………………………………3分 （2）解方程组： 6 2 9 x y x y      ， ． 解：①+②得：3x=15………………③ ∴x=5…………………………………………………………2分 将 x=5 代人①，得：5 6y  ∴y=1………………………………………………3分 ∴方程组的解为 5 1 x y    ， ． ……………………………4分 20．(本题满分 8 分) 东营市为进一步加强和改进学校体育工作，切实提高学生体质健康 水平，决定推进“一校一球队、一级一专项、一人一技能”活动计划．某校决定对学生 感兴趣的球类项目（A：足球， B：篮球， C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球）进行问 卷调查，学生可根据自己的喜好选修一门，李老师对某班全班同学的选课情况进行统计 后，制成了两幅不完整的统计图（如图）． （1）将统计图补充完整； （2）求出该班学生人数； （3）若该校共有学生 3500名，请估计有多少人选修足球？ （4）该班班委 5人中，1人选修篮球，3人选修足球，1人选修排球，李老师要从这 5 人中任选 2人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的 2 人恰好 1人选修篮球，1人选修足球的概率． （1）如图……………………………………………………………………2分 （2）该班人数：8 0.16 50  （人）……………………………………3分 （3）选修足球的人数： 203500 1400 50   （人）………………………4分 （4）用“1”代表篮球，“2、3、4”代表足球，“5”代表排球，可以用下表列举出所 有可能出现的结果． 1 2 3 4 5 1 （2,1） （3,1） （4,1） （5,1） 2 （1，2） （3,2） （4,2） （5,2） 3 （1,3） （2,3） （4,3） （5,3） 4 （1,4） （2,4） （3,4） （5,4） 5 （1,5） （2,5） （3,5） （4,5） …………………………………………………………………………………6分 由图可以看出，可能出现的结果有 20种，并且它们出现的可能性相等．选出的两人 1人 选修篮球，1 人选修足球（记为事件 A）的结果有 6 种，即（1，2），（1，3），（1，4）， （2，1），（3，1），（4，1），所以 P(A)= 6 3 20 10  …………………………………8分 （第 20题图） 第一人 第二人 21．(本题满分 8 分)已知在△ABC中，∠B=90o，以 AB上的一点 O为圆心，以 OA为半 径的圆交 AC于点 D，交 AB于点 E． （1）求证：AC·AD=AB·AE； （2）如果 BD是⊙O的切线，D是切点，E是 OB的中点，当 BC=2时，求 AC的长． （1）证明：连接 DE ∵AE是直径 ∴∠ADE=90o ∴∠ADE=∠ABC 在 Rt△ADE和 Rt△ABC中，∠A是公共角 故△ADE∽△ABC………………………………2分 则 AC AE AB AD  ，即 AC·AD=AB·AE…………4分 （2）解：连接 OD ∵BD是圆 O的切线 则 OD⊥BD……………………………………………………………………5分 （第 21题图） 在 Rt△OBD中，OE=BE=OD ∴OB=2OD ∴∠OBD=30o…………………………………………………………………6分 同理∠BAC=30o………………………………………………………………7分 在 Rt△ABC中 AC=2BC=2×2=4……………………………………………8分 22．(本题满分 8 分)如图是函数 x y 3  与函数 x y 6  在第一象限内的图象，点 P是 x y 6  的图象上一动点， xPA  轴于点 A，交 x y 3  的图象于点C，PB y 轴于点 B，交 x y 3  的图象于点D． （1）求证：D是 BP的中点； （2）求出四边形 ODPC的面积． （1）证明： ∵点 P在函数 x y 6  上 ∴设 P点坐标为（ m 6 ，m）……………1分 ∵点 D在函数 3y x  上，BP∥ x轴 ∴设 D点坐标为（ 3 m ，m）……………2分 由题意可得 BD= 3 m ，BP= m 6 故 D是 BP的中点……………………………………………………………4分 （第 22题图） （第 22题图） （2）解：S 四边形 PBOA = m 6 ﹒m=6………………………………………………5分 设 C点坐标为（ x， 3 x ） D点坐标为（ 6 y ， y） 则 S△OBD= 1 3 2 y y   = 3 2 ………………………………………………………6分 S△OAC= 1 3 2 x x   = 3 2 …………………………………………………………7分 ∴S 四边形ODPC=S 四边形 PBOA—S△OBD—S△OAC=6— 2 3 — 2 3 =3……………………8分 23．(本题满分 8 分)2013年，东营市某楼盘以每平方米 6500元的均价对外销售．因为楼 盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后， 2015年的均价为每平方米 5265元． （1）求平均每年下调的百分率； （2）假设 2016年的均价仍然下调相同的百分率，张强准备购买一套 100平方米的住房， 他持有现金 20万元，可以在银行贷款 30 万元，张强的愿望能否实现？（房价每平方米 按照均价计算） 解：（1）设平均每年下调的百分率为 x，根据题意，得：  26500 1 5265x  ………………………………………………………3分 解得： 1x =0.1=10%， 2x =1.9（不合题意，舍去）…………………………4分 答：平均每年下调的百分率为 10%．…………………………………………5分 （2）如果下调的百分率相同，2016年的房价为： 5265×（1-10%）=4738.5（元/ 2m ）………………………………………6分 则 100 平方米的住房的总房款为 100×4738.5=473850（元）=47.385（万元）……………………………7分 ∵20+30＞47.385 ∴张强的愿望可以实现. ……………………………………………………8分 24．(本题满分 10 分)如图，两个全等的△ ABC和△DEF 重叠在一起，固定△ ABC，将 △DEF进行如下变换： （1）如图 1，△DEF 沿直线 CB向右平移（即点 F在线段 CB上移动），连接 AF、AD、 BD，请直接写出 ABCS 与 AFBDS四边形 的关系； （2）如图 2，当点 F平移到线段 BC的中点时，若四边形 AFBD为正方形，那么△ ABC 应满足什么条件？请给出证明； （3）在（2）的条件下，将△DEF 沿 DF折叠，点 E落在 FA的延长线上的点 G处，连 接 CG，请你在图 3的位置画出图形，并求出 sin CGF 的值． 解：(1) ABCS = AFBDS四边形 ……………………………………………………1分 (2) △ ABC为等腰直角三角形，即： , 90AB AC BAC    ………………2分 理由如下： ∵Ｆ为 BC的中点 ∴CF=BF ∵CF= AD ∴AD= BF 又∵AD∥BF ∴四边形 AFBD为平行四边形……………………………………………………………3分 ∵AB=AC,Ｆ为 BC的中点 ∴AF⊥BC ∴平行四边形 AFBD为矩形………………………………………………………………4分 （第 24题图 1） （第 24题图 2） （第 24题图 3） （第 24题图 2） ∵ 90BAC   ,F为 BC的中点 ∴AF= 1 2 BC=BF ∴四边形 AFBD为正方形…………………………………………………………………5分 (3)正确画出图形……………………………………………………………………………6分 由（2）知，△ ABC为等腰直角三角形, AF⊥BC 设 CF= k ,则 GF=EF=CB=2 k． 由勾股定理，得： 5CG k ………………………8分 sin CGF = 5 55 CF k CG k   ………………………10分 25．(本题满分 13 分)如图，抛物线经过 A（ 2,0 ），B（ 1 ,0 2  ），C（0,2）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线 AC下方的抛物线上有一点 D，使得△DCA的面积最大，求点 D的坐标； （3）设点 M是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点 H满足 90AMH   ？若存 在，请求出点 H的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵该抛物线过点 C（0，2）， ∴可设该抛物线的解析式为 2 2y ax bx   ． 将 A（-2，0），B（- 1 2 ，0）代入，得 4 2 2 0 1 1 2 0 4 2 a b a b         ， （第 25题图） （第 25题）图 3 解得： 2, 5. a b    ∴此抛物线的解析式为 22 5 2y x x   ；……………………………………………4分 （2）由题意可求得直线 AC的解析式为 2y x  ．………………………………………5 分 如图，设 D点的横坐标为 t（-2＜t＜0），则 D点的纵坐标为 22 5 2t t  ． 过 D作 y轴的平行线交 AC于 E． ∴E点的坐标为 ( 2)t t ， ． ∴ 22 (2 5 2)DE t t t     22 4t t   ，用 h表示点 C到 线段 DE所在直线的距离， ∴ 1 1 1(2 ) 2 2 2 2DAC CDE ADES S S DE h DE h DE           2 22 4 2( 1) 2t t t       ………………………………………………7分 ∵-2＜t＜0 ∴当 t=-1时，△DAC面积最大，此时点 D的坐标为（-1，-1）．…………………8分 （3）点 H存在．………………………………………………………………………9分 由（1）知，点 M的坐标为 5 9( , ) 4 8   解法一：如图，假设存在点 H，满足 90AMH   作直线 MH交 x轴于点 K( x，0)，作 MN⊥ x轴于点 N． ∵ 90AMN KMN    , 90NKM KMN    ∴ AMN NKM   ∵ 90ANM MNK     ∴ AMN MKN ∽ ∴ AN MN MN NK  ∴ 2MN AN NK  ∴ 29 5 5( ) (2 )( ) 8 4 4 x   ∴ 7 16 x  ∴点 K的坐标为（ 7 ,0 16 ）……………………………………………………………11分 所以直线 MK的解析式为 2 7 3 24 y x  . ∴ 2 2 7 3 24 2 5 2 y x y x x         ， ① ② 把①代入②，化简，得： 248 104 55 0x x   ． 2(104) 4 48 55 64 4 256        ＞0． …………………………………12分 ∴ 1 5 4 x   ， 2 11 12 x   ．将 2 11 12 x   代入 2 7 3 24 y x  中，解得 65 72 y   ∴ 直线 MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点 M）． ∴ 抛物线上必存在一点 H，使∠AMH＝90˚， 此时点 H坐标为 11 65( , ) 12 72   ．…………………………………………………13分 解法二：如图，过点 A作直线 l x 轴 ,过顶点 M作 MN⊥AM，MF l直线 分别交直线 l 于点 N和点 F．则 ∠FMN＋∠AMF＝90˚． ∵ ∠MAF＋∠AMF＝90˚， ∴ ∠MAF＝∠FMN． 又∵ ∠AFM＝∠MFN＝90˚， ∴ △AFM∽△MFN． ∴ AF∶MF＝MF∶FN． 即 9 3 3: : 8 4 4 FN ∴ FN＝ 1 2 ． ∴ 点 N的坐标为 13( 2, ) 8   ． …………………11分 设过点 M，N的直线的解析式为 y kx b  ． 将 M 5 9( , ) 4 8   ,N 13( 2, ) 8   代入得： 9 5 , 8 4 13 2 8 k b k b           解得： 2 , 3 7 . 24 k b        所以直线 MN的解析式为 2 7 3 24 y x  ∴ 2 2 7 3 24 2 5 2 y x y x x         ， ① ② 把①代入②，化简，得： 248 104 55 0x x   ． 2(104) 4 48 55 64 4 256        ＞0．…………………………………12分 ∴ 1 5 4 x   ， 2 11 12 x   ．将 2 11 12 x   代入 2 7 3 24 y x  中，解得 65 72 y   ∴ 直线 MN与抛物线有两个交点（其中一点为顶点 M）． ∴ 抛物线上必存在一点 H，使∠AMH＝90˚， 此时点 H坐标为 11 65( , ) 12 72   ．…………………………………………………13分