2015年崇左市中考数学试题及答案解析

广西崇左市 2015 年中考数学试卷 一、单项选择题（本大题共 12 小题；每小题 3 分，共 36 分；在每小题提供的四个选项中， 只有一个是正确的） 1．（3 分）（2015•崇左）一个物体作左右方向的运动，规定向右运动 4m 记作+4m，那么向 左运动 4m 记作（ ） A ． ﹣4m B ． 4m C ． 8m D ． ﹣8m 1.A【解析】根据用正负数表示两种具有相反意义的量的方法，可得：向右运动记作+4m，， 则向左运动 4m，记为-4m． 备考指导：此题主要考查了用正负数表示两种具有相反意义的量，解答此题的关键是要明确： 具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它 们都是数量． 2．（3 分）（2015•崇左）下列各图中，∠1 与∠2 互为余角的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2.C【解析】 点评：常用的判断两角关系的方法根据：平行线性质、对顶角、互余互补及其性质，三角形 外角性质等. 3．（3 分）（2015•崇左）下列各组中，不是同类项的是（ ） A ． 52 与 25 B ． ﹣ab 与 ba C ． 0.2a2b 与 a2b D ． a2b3 与﹣a3b2 3. D【解析】数字都是同类项，故 A 不符合题意；D 选项中两单项式所含字母相同，但相 同字母系数不同，故不是同类项,故 D 符合题意. 备考指导：解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”： 所含字母相同，相同字母 的指数相同． 4．（3 分）（2015•崇左）下列计算正确的是（ ） A ． （﹣8）﹣8=0 B ． 3+ =3 C ． （﹣3b）2=9b2 D ． a6÷a2=a3 4. C【解析】 选项 逐项分析 正误 A 两角没有数量关系 × B 两角相等 × C 两角互余 √ D 两角互补 × 点评：①有理数减法要转化为加法来计算，遵循先定和的符号再确定和的绝对值的运算顺序； ②只有同类二次根式才能合并；③常用的幂的运算①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘， 底数不变，指数相加，即 （m、n 为整数）；②同底数幂的除法法则：同底数 幂相除，底数不变，指数相减，即 （a≠0，m、n 为整数，m>n）；③幂的乘 方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 （m、n 为整数）；④积的乘方法 则：把积的每一个因式分 别乘方，再把所有的幂相乘。即 （n 为整数）. 5．（3 分）（2015•崇左）如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面 的相对面上的字是（ ） A ． 的 B ． 中 C ． 国 D ． 梦 5.D【解析】我对梦，们对中，的对国. 点评：正方体展开图对面确定方法 “一四一”型展开图①： 同层中有连续的四个正方形，所以优先利用“同层隔一面”寻 找对面，“2”和“4”隔一面“3”是对面，“3”和“5”隔一面“4”是对面，剩下的“1” 和“6”是对面； “二三一”型展开图②：图中含有同层连续三个正方形，利用“同层隔一面”找到“3 ”和“5”是对面，剩下的利用“异层隔两面”找到“1”和“4”隔着“2”、“3”是对面， 剩下的“2”和“6”是对面； 二二二”型展开图③：图中不存在同层连续三个或四个正方形的情况，利用“异层隔两面” 的方法找到“1”和“4”隔着“2”、“3”是对面，“2”和“5”隔着“3”、“4”是对面，剩 选项 逐项分析 正误 A -8-8=-16 × B 3+ 不能合并 × C （-3b）2=9b2 √ D a6÷a2=a6-2=a4 ×xkb1 下的“3”和“6”是对面； 三三”型展开图④： 图中含有同层连续的三个正方形，利用“同层隔一面”的方法，找到 “1”和“3”是对面，“4”和“6”是对面，剩下的“2”和“5”是对面. 6．（3 分）（2015•崇左）如果一个三角形的两边长分别为 2 和 5，则第三边长可能是（ ） A ． 2 B ． 3 C ． 5 D ． 8 6.C【解析】这个三角形的第三边 5-2＜a＜5+2，即 3＜a＜7，只有 C 符合题意. 点评：已知三角形的两条边长，求第三边，根据“三角形两边之和大于第三边”和“三角形两 边之差小于第三边”，可得“三角形的第三边大于两边之差且小于两边之和”，从而先求出第 三边的范围，然后作出选择． 7．（3 分）（2015•崇左）下列命题是假命题的是（ ） A ． 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B ． 对角线互相垂直的矩形是正方形 C ． 对角线相等的菱形是正方形 D ． 对角线互相垂直的四边形是正方形 7.D【解析】 点评：从对角线的角度来判断特殊平行四边形，首先要保证是平行四边形，即要保证对角线 互相平分，在此基础上再添加对角线相等或垂直. 8．（3 分）（2015•崇左）甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测验中，他们成绩的平均分是 =85， =85， =85， =85，方差是 S 甲 2=3.8，S 乙 2=2.3，S 丙 2=6.2，S 丁 2=5.2， 则成绩最稳定的是（ ） A ． 甲 B ． 乙 C ． 丙 D ． 丁 8.B 【解析】方差越小，说明成绩越稳定，乙的方差最小，所以乙最稳定.xk|b|1 点评：方差反映的是一组数据的波动程度，方差越大波动越大，方差越小，波动越小，反之 也成立． 选项 逐项分析 正误 A 对角线互相垂直的平行四边形是菱 形，对角线互相等的平行四边形是矩 形，对角线即垂直又相等的平行四边 形是正方形 √ B 对角线互相垂直的矩形是正方形 √ C 对角线互相相等的矩形是正方形 √ D 对角线即垂直又相等的四边形不一定 是平行四边形，故不是正方形 × 9．（3 分）（2015•崇左）不等式 5x≤﹣10 的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ． C ． 新$课 $标 $第 $一 $网 D ． 9.C【解析】解不等式得 x≤-2，在数轴上表示时，起点是-2，方向向左，用实点. 点评：在数轴上表示不等式的解集时，要注意“界点”和“方向”，大于向右画，小于向左 画，含等于号的画成实心点，不含等于号的要画成空心圆圈 10．（3 分）（2015•崇左）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角 函数表示正确的是（ ） A ． sinA= B ． cosA= C ． tanA= D ． tanB= 10.A【解析】AC = =5.sinA= ，故 A 正确；cosA= ，故 B 错误；tanA= ,故 C 错误；tanB= ,故 D 错误. 点 评 ： 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C=90 º ， 则 sinA= ， cosA= ， tan A= ．求直角三角形中某锐角的三角函数值，常常利用勾股定理求出有关边长来 解决． 11．（3 分）（2015•崇左）若反比例函数 y= 的图象经过点（2，﹣6），则 k 的值为（ ） A ． ﹣12 B ． 12 C ． ﹣3 D ． 3 11.A【解析】把（2，-6）代入 y= 得，-6= ，所以 k=-12. 点评：①由于在反比例函数 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像 上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式.②反比例函数图象上点的纵横坐 标的积都等于 k。 12．（3 分）（2015•崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第 4 个图形中所有正 三角形的个数有（ ） A ． 160 B ． 161 C ． 162 D ． 163 12. B【解析】第一个图形中三角形个数 1+4， 第二个图形中三角形个数 1+4+3×4， 第三个图形中三角形个数 1+4+3×4+9×4， ………… 第 n 个图形中三角形个数 1+4+3×4+9×4+……+3n-1×4， ∴ 第 四 个 图 形 中 三 角 形 个 数 为 1+4+3 × 4+9 × 4+ … … +34-1 × 4=1+4+12+36+108=161. 点评：规律探索性问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性 的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求通过阅读、观察、分析、 猜想来探索规律．它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题 能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 13．（3 分）（2015•崇左）比较大小：0 ﹣2（填“＞”“＜”或“=”）． 13. ＞【解析】负数都小于 0，故 0＞-2. 点评：有理数大小比较的一般方法：①正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数， 两个负数绝对值大的反而小；②在数轴上表示的数，右边的总比左边的大. 14．（3 分）（2015•崇左）据统计，参加“崇左市 2015 年初中毕业升学考试”的人数用科学记 数法表示为 1.47×104 人，则原来的人数是 人． 14. 14700【解析】把 1.47 的小数点向右移动 4 位，即 1.47×104=14700. 点评：把科学记数法表示的数 a×10n 还原为原数，若 n＞0，则把 a 的小数点右移 n 位， 若 n＜0，则把 a 的小数点左移 n 位. 15．（3 分）（2015•崇左）若直线 a∥b，a⊥c，则直线 b c． 15.垂直【解析】如图，因为 a∥b，a⊥c，所以∠2=∠1=90°，所以 b⊥c. 点评：：①垂直于同一条直线的两条直线平行。平行于同一条直线的两条直线平行.②两直线 位置关系的考查，结论一般是平行或垂直. 16．（3 分）（2015•崇左）小明同学参加“献爱心”活动，买了 2 元一注的爱心福利彩票 5 注， 则“小明中奖”的事件为 事件（填“必然”或“不可能”或“随机”）． 16.随机【解析】小明可能中奖，也可能不中奖，故中奖是随机事件. 点评：一定发生的是必然事件，一定不发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的 是随机事件 17．（3 分）（2015•崇左）如图，线段 AB 是⊙O 的直径，点 C 在圆上，∠AOC=80°，点 P 是线段 AB 延长线上的一动点，连接 PC，则∠APC 的度数是 度（写出一个即 可）． 17.如 30°只要小于 40 度即可.【解析】∠OBC= ∠AOC=40°，∠OBC＞∠APC，故∠APC ＜40°. 备考指导：(1)在同圆或等圆中圆周角的度数等于同弧或等弧所对的圆心角的一半.(2)三角形 的外角大于不相邻的一个内角. 18．（3 分）（2015•崇左）4 个数 a，b，c，d 排列成 ，我们称之为二阶行列式．规定它 的运算法则为： =ad﹣bc．若 =12，则 x= ． 18.1【解析】 =12，即(x+3)2-(x-3)2=12,12x=12,x=1. 点评：对于新定义的题，首先要看懂运算的法则，把新定义问题转化为常规的数学问题来解 决.本题新定义的实质是将四个整式交叉相乘再求差，运用完全平方公式，去括号、合并同 类项法则等进行化简，最后转化为解方程确定结果. 三、解答题（本答题共 8 小题，满分 66 分） 19．（6 分）（2015•崇左）计算：（﹣1）0﹣4cos45°+|﹣5|+ ． 19.【思路分析】将特殊角的三角函数值代入计算 2cos45°，根据负数的绝对值等于它的 相反数化简 ，根据二次根式的化简方法进行 的化简，由 0 指数据意义进行（-1）0 的计算，最后合并. 解：（-1）0-42cos45°+ + =1-4× +5+2 =6. 【解题步骤】实数混合运算的顺序：先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减．如果遇到括 号，则先进行括号里的运算．当然，计算时，还要根据具体的算式，确定恰当的运算顺序求 得正确的计算结果． 20．（6 分）（2015•崇左）化简：（ ﹣1）÷ ． 20. 【思路分析】先确定分式的运算顺序：先算小括号内的，再进行除法运算．再根据 分式的运算法则分步进行计算．其中用通分的方法计算出小括号中的式，将除法转化为乘 法后计算除法算式，最后约分进行约分化简． 解： = = = = 点评：（1）分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．（2） 分式的化简过程中，分式的分子或分母能分解因式的要先分解因式，分式的除法都要转化为 分式的乘法，再进行约分把分式化为最简分式或整式． 21．（6 分）（2015•崇左）如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB=AC，AD=AE．求证： BE=CD． 21.【思路分析】根据两边及其夹角对应相等可以判断△ADE≌△AEB，再由全等三角形对 应边相等可说明结论. 证明：在△ADE 和△AEB 中， ， ∴△ADE≌△AEB， ∴BE=CD. 点评：证明两条线段相等，一般分两种情况：若两线段在同一三角形内，可考虑通过等角对 等边来说明，若两线段不在同一三角形内，可以考虑通过这两条线段所在的两个三角形全等 来说明. 22．（8 分）（2015•崇左）如图，△A1B1C1 是△ABC 向右平移 4 个单位长度后得到的，且三 个顶点的坐标分别为 A1（1，1），B1（4，2），C1（3，4）．[来源:学#科#网 Z#X#X#K] （1）请画出△ABC，并写出点 A，B，C 的坐标； （2）求出△AOA1 的面积． 22.【思路分析】（1）△A1B1C1 是由△ABC 向右平移 4 个单位得到的，故将△A1B1C1 向左平 移 4 个单位既是△ABC.(2)由平移性质知，A1A 平行于 x 轴，且等于平移距离 4，△A1OA 边 A1OA 上的高可点 A1 的坐标确定. 解：（1）如图： （2）A1A=4，OD=1，∴S△A1OA= A1A×CD= ×4×1=2. 点评：①坐标系内点的坐标平移规律：横坐标增减右左移，纵坐标增减上下移.图形平移实 质是点的平移.②坐标系内计算三角形面积，底和高都应该是平行于（或重合）坐标轴的线 段. 23．（8 分）（2015•崇左）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉 租房的建设力度．2013 年市政府共投资 3 亿元人民币建设了廉租房 12 万平方米，2015 年投 资 6.75 亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率； （2）若这两年内的建设成本不变，问 2015 年建设了多少万平方米廉租房？ 23. 【信息梳理】 原题信息 整理后的信息 2013---2015 连续两年投资 是一元二次方程 增长率问题 计算增长率 根据 a(1+x)2＝b 列方程 计算 2015 即两年后投资 2013 年投资 (1+x)2） 解：（1）设投资平均增长率为 x，根据题意得 3(1+x)2＝6.75 解得 x1=0.5,x2=-2.5(不符合题意舍去) 答：政府投资平均增长率为 50%; (2)12(1+0.5)2 = 18(万平方米) 答：2015 年建设了 18 万平方米廉租房. 备考指导：连续增长问题，如果起始量为 a，平均增长率为 x，变化后的量为 b，则增长一 次后的量为 a+ax＝a（1+x）；再增长一次后的量为：a（1+x）+a（1+x）x＝a（1+x）2，故经 过两次增长率相同的连续增长有公式：b＝a（1+x）2．连续递减问题公式，b＝a（1-x）2． 24．（10 分）（2015•崇左）自从 2012 年 12 月 4 日中央公布“八项规定”以来，我市某中学积 极开展“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”的活动．为此，校学生会在全校范围内随机抽取了若 干名学生就某日晚饭浪费饭菜情况进行调查，调查内容分为四种：A．饭和菜全部吃完；B．有 剩饭但菜吃完；C．饭吃完但菜有剩；D．饭和菜都有剩．学生会根据统计结果绘制了如下 统计表和统计图，根据所提供的信息回答下列问题： 选项 频数 频率 A 30 M B n 0.2 C 5 0.1 D 5 0.1 （1）这次被抽查的学生有多少人？ （2）求表中 m，n 的值，并补全条形统计图； （3）该中学有学生 2200 名，请估计这餐晚饭有剩饭的学生人数，按平均每人剩 10 克米饭 计算，这餐晚饭将浪费多少千克米饭？ 24. 【思路分析】（1）根据 C 组或 D 组的频数和频率的商，可以确定抽查的学生人数；（2） 根据频率= ，可以确定 m,n 的值；（3）用 2200 乘以 B、D 两组的频率和即是有剩饭的 人数，再乘以平均每人剩饭量即浪费的总数量. 解：（1）5÷0.1=50（人），即被抽查的学生有 50 人；（2）m= ，n=50×0.2=10; (3)2200× 克=6600 克=6 千克. 点评：①统计图表问题，一般涉及公式频率=频数÷样本容量，一般根据某组的频数和频率 首先计算样本容量，在此基础上再计算其他各部分的容量、频率或频数. ②根据样本的频率 可用以估计总体的频率． 25．（10 分）（2015•崇左）一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边 BC=12mm，高 AD=80mm， 把它加工成正方形零件如图 1，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上． （1）求证：△AEF∽△ABC； （2）求这个正方形零件的边长； （3）如果把它加工成矩形零件如图 2，问这个矩形的最大面积是多少？ 25. 【思路分析】（1）根据正方形的对边平行得到 BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的 直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．(2) 设 EG=EF=x，用 x 表示 AK，根据△AEF∽△ABC 列比例式 可计算正方形边长.(3) 设 EG=KD=x，根据△AEF∽△ABC 用 x 表示 EF，根据矩形面积公式可以写出矩形面积关 于 x 的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值. 解：（1）：（1）∵四边形 EFGH 为正形， ∴BC∥EF， ∴△AEF∽△ABC； （2）设边长为 xmm， ∵矩形为正方形， ∴EF∥BC，EG∥AD， （2）设 EG=EF=x，则 ND=x,AN=80-x, ∵△AEF∽△ABC， ∴ ， 即 ， 解得 x=48． 答：若这个矩形是正方形，那么边长是 48mm． (3) 设 EG=KD=x，则 AK=80-x. ∵△AEF∽△ABC， ∴ ， 即 ， ∴EF=80- ， ∴矩形面积 S=x(120- )=- 2+120x=- 2+2400, 故当 x=40 时，此时矩形的面积最大，最大面积为 2400mm2． 点评：（1）相似三角形对应高的比等于相似比；（2）根据相似三角形性质列比例式求解未知 数是列方程一种重要根据；（3）最值问题一般都是通过把未知量用二次函数表达，转化为二 次函数最值来解答. 26．（12 分）（2015•崇左）如图，在平面直角坐标系中，点 M 的坐标是（5，4），⊙M 与 y 轴相切于点 C，与 x 轴相交于 A，B 两点． （1）则点 A，B，C 的坐标分别是 A（ ， ），B （ ， ），C（ ， ）； （2）设经过 A，B 两点的抛物线解析式为 y= （x﹣5）2+k，它的顶点为 F，求证：直线 FA 与⊙M 相切； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在点 P，且点 P 在 x 轴的上方，使△PBC 是等腰三角形？ 如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 26.【思路分析】（1）连接 MC，则 MC 垂直于 y 轴，MA=MC=5，MD=4，由勾股定理可计算 AD 和 DB；（2）把 A、或 B 或 C 的坐标代入 y= ,确定二次函数表达式 y= ，连接 MA，根据勾股定理计算 AF，由勾股定理逆定理判断 MA⊥AF，从而 说明 FA 是切线；（3）设 P（x,4）,当 C 为顶点时，在 Rt△CMP1 中用 x 表示 CP1，根据 P1C2=BC2 列方程求解；当 B 为顶点时，在 Rt△BDP2 中用 x 表示 CP2，根据 P2B2=BC2 列方程求解；当 P 是顶点时，易知 P 和 M 重合. 解：（1）连接 MC，则 MC 垂直于 y 轴，MA=MC=5，MD=4， 在 Rt△AMD 中，AD= =3， 同理在 Rt△BMD 中，BD=3， ∴A（2,0），B（8,0），C（0,4）； （2）把 A（2,0）y= , 解得 k=- , ∴y= ， ∴F（5，- ）. 连接 MA，则 MF=4+ = ，AF= = ， ∴ ， ∴MA⊥AF， ∴FA 与⊙M 相切； （3）设 P（x,4）,BC2=80.当 C 为顶点时，在 Rt△CMP1 中, CP12=25+(x-4)2,∴25+(x-4)2=80， x=4 ，点 P 在 x 轴上方，故 x=4+ ,所以（4+ ，4）； 当 B 为顶点时，在 Rt△BDP2 中，CP2=9+(x-4)2, ∴9+(x-4)2=80， x=4 ，点 P 在 x 轴上方，故 x=4+ ,所以（4+ ，4）； 当 P 是顶点时，P 和 M 重合，P3（5,4）. 用 x 表示 CP2，根据 P2B=BC 列方程求解；当 P 是顶点时， 综上当 P（4+ ，4）、（4+ ，4）或（5,4）时△PBC 是等腰三角形. 用 x 表示 CP1，根据 P1C=BC 列方程求解；当 B 为顶点时，在 Rt△BDP2 中用 x 表示 CP2，根据 P2B=BC 列方程求解；当 P 是顶点时，易知 P 和 M 重合. 点评：①求点的坐标，就是计算和坐标有关的线段，即计算该点作和坐标轴垂线段，注意线 段长度和坐标转化时符号的变化；②运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连 接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形、矩形解决有关问题．证明切线的的方法：连半径， 证垂直，即要证明一条直线是圆的切线，可证明这条直线经过半径外端且垂直与这条半径.