2014年遵义市中考数学试卷及答案解析

贵州省遵义市 2014 年中考数学试卷 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）（2014•遵义）﹣3+（﹣5）的结果是（ ） A．﹣2 B．﹣8 C．8 D．2 考点：有理数的加法． 分析：根据同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，可得答案． 解答：解：原式=﹣（3+5） =﹣8． 故选：B． 点评：本题考查了有理数的加法，先确定和的符号，再进行绝对值得运算． 2．（3 分）（2014•遵义）观察下列图形，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D．新 _课_标第_一_网 考点：中心对称图形 分析：根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 解答：解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、是中心对称图形，故本选项正确； D、不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：C． 点评：本题考查了中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形 能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．中 心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 3．（3 分）（2014•遵义）“着力扩大投资，突破重点项目建设”是遵义经济社会发展的主要任 务之一．据统计，遵义市 2013 年全社会固定资产投资达 1762 亿元，把 1762 亿元这个数字 用科学记数法表示为（ ） A．1762×108 B．1.762×1010 C．1.762×1011 D．1.762×1012 考点：科学记数法—表示较大的数． 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：将 1762 亿用科学记数法表示为：1.762×1011． 故选：C． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 4．（3 分）（2014•遵义）如图，直线 l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（ ） A．30° B．35° C．36° D．40° 考点：平行线的性质． 分析：过点 A 作 l1 的平行线，过点 B 作 l2 的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠ 3=∠1，∠4=∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD=180°，然后 计算即可得解． 解答：解：如图，过点 A 作 l1 的平行线，过点 B 作 l2 的平行线， ∴∠3=∠1，∠4=∠2， ∵l1∥l2， ∴AC∥BD， ∴∠CAB+∠ABD=180°， ∴∠3+∠4=125°+85°﹣180°=30°， ∴∠1+∠2=30°． 故选 A． 点评：本题考查了平行线的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键． 5．（3 分）（2014•遵义）计算 3x3•2x2 的结果是（ ） A．5x5 B．6x5 C．6x6 D．6x9 考点：单项式乘单项式． 分析：根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字 母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可． 解答：解：3x3•2x2=6x5， 故选 B． 点评：本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．（3 分）（2014•遵义）已知抛物线 y=ax2+bx 和直线 y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图， 其中正确的是（ ） A． B． C． D． 考点：二次函数的图象；一次函数的图象． 分析：本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相 比较看是否一致．逐一排除． 解答：解：A、由二次函数的图象可知 a＜0，此时直线 y=ax+b 经过二、四象限，故 A 可排 除； B、二次函数的图象可知 a＜0，对称轴在 y 轴的右侧，可知 a、b 异号，b＞0，此时 直线 y=ax+b 经过一、二、四象限，故 B 可排除； C、二次函数的图象可知 a＞0，此时直线 y=ax+b 经过一、三，故 C 可排除； 正确的只有 D． 故选：D． 点评：此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该识记一次函数 y=kx+b 在不同情 况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标 等． 7．（3 分）（2014•遵义）有一组数据 7、11、12、7、7、8、11．下列说法错误的是（ ） A．中位数是 7 B．平均数是 9 C．众数是 7 D．极差是 5 考点：极差；加权平均数；中位数；众数． 分析：根据中位数、平均数、极差、众数的概念求解． 解答：解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：7、7、7、8、11、11、12， 则中位数为：8， 平均数为： =9， 众数为：7， 极差为：12﹣7=5． 故选 A． 点评：本题考查了中位数、平均数、极差、众数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的 关键． 8．（3 分）（2014•遵义）若 a+b=2 ，ab=2，则 a2+b2 的值为（ ） A．6 B．4 C．3 D．2 考点：完全平方公式． 分析：利用 a2+b2=（a+b）2﹣2ab 代入数值求解． 解答：解：a2+b2=（a+b）2﹣2ab=8﹣4=4， 故选：B． 点评：本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是牢记完全平方公式，灵活运用它 的变化式． 9．（3 分）（2014•遵义）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，P 是 CD 的中点，连接 AP 并 延长交 BC 的延长线于点 F，作△CPF 的外接圆⊙O，连接 BP 并延长交⊙O 于点 E，连接 EF，则 EF 的长为（ ） A． B． C． D． 考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理．菁优网版 权所有 分析：先求出 CP、BF 长，根据勾股定理求出 BP，根据相似得出比例式，即可求出答案． 解答：解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC=∠PCF=90°，CD∥AB， ∵F 为 CD 的中点，CD=AB=BC=2， ∴CP=1， ∵PC∥AB， ∴△FCP∽△FBA， ∴ = = ， ∴BF=4， ∴CF=4﹣2=2， 由勾股定理得：BP= = ， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BCP=∠PCF=90°， ∴PF 是直径， ∴∠E=90°=∠BCP， ∵∠PBC=∠EBF， ∴△BCP∽△BEF， ∴ = ， ∴ = ， ∴EF= ， 故选 D． 点评：本题考查了正方形的性质，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查 学生的推理能力和计算能力，题目比较好，难度适中． 10．（3 分）（2014•遵义）如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=BC= ，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°到△AB′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为（ ） A．2﹣ B． C． ﹣1 D．1 考点：旋转的性质． 菁优网版 权所有 分析：连接 BB′，根据旋转的性质可得 AB=AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据等 边三角形的三条边都相等可得 AB=BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′ BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′，延长 BC′交 AB′于 D，根据等边三角形的性质可得 BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出 AB，然 后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出 BD、C′D，然后根据 BC′ =BD﹣C′D 计算即可得解． 解答：解：如图，连接 BB′， ∵△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△AB′C′， ∴AB=AB′，∠BAB′=60°， ∴△ABB′是等边三角形， ∴AB=BB′， 在△ABC′和△B′BC′中， ， ∴△ABC′≌△B′BC′（SSS）， ∴∠ABC′=∠B′BC′， 延长 BC′交 AB′于 D， 则 BD⊥AB′， ∵∠C=90°，AC=BC= ， ∴AB= =2， ∴BD=2× = ， C′D= ×2=1， ∴BC′=BD﹣C′D= ﹣1． 故选 C． 新_课_标第_一_网 点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰 直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出 BC′在等边三角形的高上是 解题的关键，也是本题的难点． 二、填空题（本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分） 11．（4 分）（2014•遵义） + = 4 ． 考点：二次根式的加减法．菁优网版 权所有 分析：先化简，然后合并同类二次根式． 解答：解：原式=3 + =4 ． 故答案为；4 ． 点评：本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的化简是解答本题的关键． 12．（4 分）（2014•遵义）正多边形的一个外角等于 20°，则这个正多边形的边数是 18 ． 考点：多边形内角与外角．菁优网版 权所有 分析：根据任何多边形的外角和都是 360 度，利用 360 除以外角的度数就可以求出外角和中 外角的个数，即多边形的边数． 解答：解：因为外角是 20 度，360÷20=18，则这个多边形是 18 边形． 点评：根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目， 需要熟练掌握． 13．（4 分）（2014•遵义）计算： + 的结果是 ﹣1 ． 考点：分式的加减法．菁优网版 权所有 专题：计算题． 分析：原式变形后利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 解答：解：原式= ﹣ = =﹣1． 故答案为：﹣1． 点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．（4 分）（2014•遵义）关于 x 的一元二次方程 x2﹣3x+b=0 有两个不相等的实数根，则 b 的取值范围是 b＜ ． 考点：根的判别式． 菁优网版 权所有 专题：计算题． 分析：根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4b＞0，然后解不等式即可． 解答：解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4b＞0， 解得 b＜ ． 故答案为 b＜ ． 点评：本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方 程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有 实数根． 15．（4 分）（2014•遵义）有一圆锥，它的高为 8cm，底面半径为 6cm，则这个圆锥的侧面 积是 60π cm2．（结果保留π） 考点：圆锥的计算． 菁优网版 权所有 分析：先根据圆锥的底面半径和高求出母线长，圆锥的侧面积是展开后扇形的面积，计算可 得． 解答：解：圆锥的母线= =10cm， 圆锥的底面周长 2πr=12πcm， 圆锥的侧面积= lR= ×12π×10=60πcm2． 故答案为 60π． 点评：本题考查了圆锥的计算，圆锥的高和圆锥的底面半径圆锥的母线组成直角三角形，扇 形的面积公式为 lR． 16．（4 分）（2014•遵义）有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的顺时针 方向滚动，每滚动 90°算一次，则滚动第 2014 次后，骰子朝下一面的点数是 3 ． 考点：专题：正方体相对两个面上的文字；规律型：图形的变化类．菁优网版 权所有 分析：观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环，从而确定答 案． 解答：解：观察图象知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且四次一循环， ∵2014÷4=503…2， ∴滚动第 2014 次后与第二次相同， ∴朝下的点数为 3， 故答案为：3． 点评：本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形的变化类问题，解题的关键是发现规 律． 17．（4 分）（2014•遵义）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木， 问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形 ABCD，东 边城墙 AB 长 9 里，南边城墙 AD 长 7 里，东门点 E、南门点 F 分别是 AB，AD 的中点， EG⊥AB，FE⊥AD，EG=15 里，HG 经过 A 点，则 FH= 1.05 里． 考点：相似三角形的应用．菁优网版 权所有 分析：首先根据题意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例 式求得答案即可． 解答：解：EG⊥AB，FE⊥AD，HG 经过 A 点， ∴FA∥EG，EA∥FH， ∴∠HFA=∠AEG=90°，∠FHA=∠EAG， ∴△GEA∽△AFH， ∴ ． ∵AB=9 里，DA=7 里，EG=15 里， ∴FA=3.5 里，EA=4.5 里， ∴ ， 解得：FH=1.05 里． 故答案为：1.05． 点评：本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度 不大． 18．（4 分）（2014•遵义）如图，反比例函数 y= （k＞0）的图象与矩形 ABCO 的两边相交 于 E，F 两点，若 E 是 AB 的中点，S△BEF=2，则 k 的值为 8 ． 考点：反比例函数系数 k 的几何意义． 菁优网版 权所有 分析：设 E（a， ），则 B 纵坐标也为 ，代入反比例函数的 y= ，即可求得 F 的横坐标， 则根据三角形的面积公式即可求得 k 的值． 解答：解：设 E（a， ），则 B 纵坐标也为 ， E 是 AB 中点，所以 F 点横坐标为 2a，代入解析式得到纵坐标： ， BF= ﹣ = ，所以 F 也为中点， S△BEF=2= ，k=8． 故答案是：8． 点评：本题考查了反比例函数的性质，正确表示出 BF 的长度是关键． 三、解答题（本题共 9 小题，共 88 分） 19．（6 分）（2014•遵义）计算： ﹣|﹣4|﹣2cos45°﹣（3﹣π）0． 考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版 权所有 分析：本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每 个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 解答：解：原式=3 ﹣4﹣ ﹣1 =2 ﹣5． 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关 键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对 值等考点的运算． 20．（8 分）（2014•遵义）解不等式组： ，并把不等式组的解集在数轴 上表示出来． 考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版 权所有 分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 解答：解：由①得，x≥﹣1， 由②得，x＜4， 故此不等式组的解集为：﹣1≤x＜4． 在数轴上表示为： ． 点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找； 大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21．（8 分）（2014•遵义）如图，一楼房 AB 后有一假山，其坡度为 i=1： ，山坡坡面上 E 点处有一休息亭，测得假山坡脚 C 与楼房水平距离 BC=25 米，与亭子距离 CE=20 米，小丽 从楼房顶测得 E 点的俯角为 45°，求楼房 AB 的高．（注：坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平 宽度的比） 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 菁优网版 权所有 专题：应用题． 分析：过点 E 作 EF⊥BC 的延长线于 F，EH⊥AB 于点 H，根据 CE=20 米，坡度为 i=1： ， 分别求出 EF、CF 的长度，在 Rt△AEH 中求出 AH，继而可得楼房 AB 的高． 解答：解：过点 E 作 EF⊥BC 的延长线于 F，EH⊥AB 于点 H， 在 Rt△CEF 中，∵i= = =tan∠ECF， ∴∠ECF=30°， ∴EF= CE=10 米，CF=10 米， ∴BH=EF=10 米，HE=BF=BC+CF=（25+10 ）米， 在 Rt△AHE 中，∵∠HAE=45°， ∴AH=HE=（25+10 ）米， ∴AB=AH+HB=（35+10 ）米． 答：楼房 AB 的高为（35+10 ）米． 点评：本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形 是解题关键． 22．（10 分）（2014•遵义）小明、小军两同学做游戏，游戏规则是：一个不透明的文具袋中， 装有型号完全相同的 3 支红笔和 2 支黑笔，两人先后从袋中取出一支笔（不放回），若两人 所取笔的颜色相同，则小明胜，否则，小军胜． （1）请用树形图或列表法列出摸笔游戏所有可能的结果； （2）请计算小明获胜的概率，并指出本游戏规则是否公平，若不公平，你认为对谁有利． 考点：游戏公平性；列表法与树状图法．菁优网版 权所有 分析：（1）列表将所有等可能的结果一一列举出来即可； （2）根据列表里有概率公式求得小明获胜的概率即可判断是否公平． 解答：解：（1）列表得： 红 1 红 2 红 3 黑 1 黑 2 红 1 红 1 红 2 红 1 红 3 红 1 黑 1 红 1 黑 2 红 2 红 2 红 1 红 2 红 3 红 2 黑 1 红 2 黑 2 红 3 红 3 红 1 红 3 红 2 红 3 黑 1 红 3 黑 2 黑 1 黑 1 红 1 黑 1 红 2 黑 1 红 3 黑 1 黑 2 黑 2 黑 2 红 1 黑 2 红 2 黑 2 红 3 黑 2 黑 1 （2）共 20 种等可能的情况，其中颜色相同的有 8 种， 则小明获胜的概率为 = ， 小军获胜的概率为 1﹣ = ， ∵ ＜ ， ∴不公平，对小军有利． 点评：本题考查了列表法与列树状图的知识，解题的关键是正确的列出表格或树状图． 23．（10 分）（2014•遵义）今年 5 月，从全国旅游景区质量等级评审会上传来喜讯，我市“风 冈茶海之心”、“赤水佛光岩”、“仁怀中国酒文化城”三个景区加入国家“4A”级景区．至此， 全市“4A”级景区已达 13 个．某旅游公司为了了解我市“4A”级景区的知名度情况，特对部分 市民进行现场采访，根据市民对 13 个景区名字的回答情况，按答数多少分为熟悉（A），基 本了解（B）、略有知晓（C）、知之甚少（D）四类进行统计，绘制了一下两幅统计图（不 完整），请根据图中信息解答以下各题： （1）本次调查活动的样本容量是 1500 ； （2）调查中属于“基本了解”的市民有 450 人； （3）补全条形统计图； （4）“略有知晓”类占扇形统计图的圆心角是多少度？“知之甚少”类市民占被调查人数的百 分比是多少？ 考点：条形统计图；扇形统计图． 菁优网版 权所有 专题：图表型． 分析：（1）用熟悉（A）的人数除以所占的百分比，计算即可得解； （2）先求出略有知晓（C）的人数，然后列式计算即可得解； （3）根据（2）的计算补全图形统计图即可； （4）用“略有知晓”C 所占的百分比乘以 360°计算即可，再根据知之甚少（D）的人数 列式计算即可求出所占的百分比． 解答：解：（1）120÷8%=1500； （2）略有知晓（C）的人数为：1500×40%=600 人， “基本了解”（B）的人数为：1500﹣120﹣600﹣330=1500﹣1050=450 人； （3）补全统计图如图所示； （4）“略有知晓”类：360°×40%=144°， “知之甚少”类： ×100%=22%． 故答案为：（1）1500；（2）450． 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中 得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇 形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 24．（10 分）（2014•遵义）如图，▱ABCD 中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F 分别是 AB，CD 上的点，且 BE=DF，连接 EF 交 BD 于 O． （1）求证：BO=DO； （2）若 EF⊥AB，延长 EF 交 AD 的延长线于 G，当 FG=1 时，求 AD 的长． 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版 权所有 分析：（1）通过证明△ODF 与△OBE 全等即可求得． （2）由△ADB 是等腰直角三角形，得出∠A=45°，因为 EF⊥AB，得出∠G=45°，所 以△ODG 与△DFG 都是等腰直角三角形，从而求得 DG 的长和 EF=2，然后平行线分 线段成比例定理即可求得． 解答：（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴DC=AB，DC∥AB， ∴∠ODF=∠OBE， 在△ODF 与△OBE 中 ∴△ODF≌△OBE（AAS） ∴BO=DO； （2）解：∵BD⊥AD， ∴∠ADB=90°， ∵∠A=45°， ∴∠DBA=∠A=45°， ∵EF⊥AB， ∴∠G=∠A=45°， ∴△ODG 是等腰直角三角形， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴DF⊥OG， ∴OF=FG，△DFG 是等腰直角三角形， ∵△ODF≌△OBE（AAS） ∴OE=OF， ∴GF=OF=OE， 即 2FG=EF， ∵△DFG 是等腰直角三角形， ∴DF=FG=1， ∴DG= = ， ∵AB∥CD， ∴ = ， 即 = ， ∴AD=2 ， 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质 以及平行线分行段定理． 25．（10 分）（2014•遵义）为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远 游骑行”活动．自行车队从甲地出发，途径乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙 地，自行车队出发 1 小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地， 在丙地完成 2 小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并 且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的 2.5 倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程 y（km）与自行车队离开甲地时间 x（h）的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列 各题： （1）自行车队行驶的速度是 24 km/h； （2）邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？ （3）邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？ 考点：一次函数的应用． 菁优网版 权所有 分析：（1）由速度=路程÷时间就可以求出结论； （2）由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发 a 小时 两车相遇建立方程求出其解即可； （3）由邮政车的速度可以求出 B 的坐标和 C 的坐标，由自行车的速度就可以 D 的坐 标，由待定系数法就可以求出 BC，ED 的解析式就可以求出结论． 解答：解：（1）由题意得 自行车队行驶的速度是：72÷3=24km/h． 故答案为：24； （2）由题意得 邮政车的速度为：24×2.5=60km/h． 设邮政车出发 a 小时两车相遇，由题意得 24（a+1）=60a， 解得：a= ． 答：邮政车出发 小时与自行车队首次相遇； （3）由题意，得 邮政车到达丙地的时间为：135÷60= ， ∴邮政车从丙地出发的时间为： 135=， ∴B（ ，135），C（7.5，0）． 自行车队到达丙地的时间为：135÷24+0.5= +0.5= ， ∴D（ ，135）． 设 BC 的解析式为 y1=k1+b1，由题意得 ， ∴ ， ∴y1=﹣60x+450， 设 ED 的解析式为 y2=k2x+b2，由题意得 ， 解得： ， ∴y2=24x﹣12． 当 y1=y2 时， ﹣60x+450=24x﹣12， 解得：x=5.5． y1=﹣60×5.5+450=120． 答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地 120km． 点评：本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一 次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 26．（12 分）（2014•遵义）如图，直角梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠DAB=90°，且∠ABC=60°， AB=BC，△ACD 的外接圆⊙O 交 BC 于 E 点，连接 DE 并延长，交 AC 于 P 点，交 AB 延 长线于 F． （1）求证：CF=DB； （2）当 AD= 时，试求 E 点到 CF 的距离． 考点：圆的综合题． 菁优网版 权所有 专题：综合题． 分析：（1）连结 AE，由∠ABC=60°，AB=BC 可判断△ABC 为等边三角形，由 AB∥CD， ∠DAB=90°得∠ADC=∠DAB=90°，则根据圆周角定理可得到 AC 为⊙O 的直径，则 ∠AEC=90°，即 AE⊥BC，根据等边三角形的性质得 BE=CE，再证明△DCE≌△FBE， 得到 DE=FE，于是可判断四边形 BDCF 为平行四边形，根据平行四边形的性质得 CF=DB； （2）作 EH⊥CF 于 H，由△ABC 为等边三角形得∠BAC=60°，则∠DAC=30°，在 Rt △ADC 中，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 DC= AD=1，AC=2CD=2， 则 AB=AC=2，BF=CD=1，AF=3，然后利用勾股定理计算出 BD= ，DF=2 ，所 以 CF=BD= ，EF= DF= ，接着根据等边三角形的性质由 AE⊥BC 得∠CAE=∠ BAE=30°，根据圆周角定理得∠EDC=∠CAE=30°，而∠DCA=∠BAC=60°，得到∠ DPC=90°，在 Rt△DPC 中，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 PC= DC= ， 再证明 Rt△FHE∽Rt△FPC，利用相似比可计算出 EH． 解答：（1）证明：连结 AE，如图， ∵∠ABC=60°，AB=BC， ∴△ABC 为等边三角形， ∵AB∥CD，∠DAB=90°， ∴∠ADC=∠DAB=90°， ∴AC 为⊙O 的直径， ∴∠AEC=90°，即 AE⊥BC， ∴BE=CE， CD∥BF， ∴∠DCE=∠FBF， 在△DCE 和△FBE 中， ， ∴△DCE≌△FBE（ASA）， ∴DE=FE， ∴四边形 BDCF 为平行四边形， ∴CF=DB； （2）解：作 EH⊥CF 于 H，如图， ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∴∠DAC=30°， 在 Rt△ADC 中，AD= ， ∴DC= AD=1，AC=2CD=2， ∴AB=AC=2，BF=CD=1， ∴AF=3， 在 Rt△ABD 中，BD= = ， 在 Rt△ADF 中，DF= =2 ， ∴CF=BD= ，EF= DF= ， ∵AE⊥BC， ∴∠CAE=∠BAE=30°， ∴∠EDC=∠CAE=30°， 而∠DCA=∠BAC=60°， ∴∠DPC=90°， 在 Rt△DPC 中，DC=1，∠CDP=30°， ∴PC= DC= ， ∵∠HFE=∠PFC， ∴Rt△FHE∽Rt△FPC， ∴ = ，即 = ， ∴EH= ， 即 E 点到 CF 的距离为 ． 点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、等边三角形的性质和平行四边形的判 定与性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会运用勾股定理和相似比 进行几何计算． 27．（14 分）（2014•遵义）如图，二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（3，0），B（﹣ 1，0），与 y 轴交于点 C．若点 P，Q 同时从 A 点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别 沿 AB，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动． （1）求该二次函数的解析式及点 C 的坐标； （2）当点 P 运动到 B 点时，点 Q 停止运动，这时，在 x 轴上是否存在点 E，使得以 A，E， Q 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出 E 点坐标；若不存在，请说明理由． （3）当 P，Q 运动到 t 秒时，△APQ 沿 PQ 翻折，点 A 恰好落在抛物线上 D 点处，请判定 此时四边形 APDQ 的形状，并求出 D 点坐标． 考点：二次函数综合题． 菁优网版 权所有 分析：（1）将 A，B 点坐标代入函数 y= x2+bx+c 中，求得 b、c，进而可求解析式及 C 坐 标． （2）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ．借助垂直平分线，画圆 易得 E 大致位置，设边长为 x，表示其他边后利用勾股定理易得 E 坐标． （3）注意到 P，Q 运动速度相同，则△APQ 运动时都为等腰三角形，又由 A、D 对 称，则 AP=DP，AQ=DQ，易得四边形四边都相等，即菱形．利用菱形对边平行且相 等等性质可用 t 表示 D 点坐标，又 D 在 E 函数上，所以代入即可求 t，进而 D 可表示． 解答：解：（1）∵二次函数 y= x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（3，0），B（﹣1，0）， ∴ ， 解得 ， ∴y= x2﹣ x﹣4． ∴C（0，﹣4）． （2）存在． 如图 1，过点 Q 作 QD⊥OA 于 D，此时 QD∥OC， ∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0） ∴AB=4，OA=3，OC=4， ∴AC= =5，AQ=4． ∵QD∥OC， ∴ ， ∴ ， ∴QD= ，AD= ． ①作 AQ 的垂直平分线，交 AO 于 E，此时 AE=EQ，即△AEQ 为等腰三角形， 设 AE=x，则 EQ=x，DE=AD﹣AE= ﹣x， ∴在 Rt△EDQ 中，（ ﹣x）2+（ ）2=x2，解得 x= ， ∴OA﹣AE=3﹣ =﹣ ， ∴E（﹣ ，0）． ②以 Q 为圆心，AQ 长半径画圆，交 x 轴于 E，此时 QE=QA=4， ∵ED=AD= ， ∴AE= ， ∴OA﹣AE=3﹣ =﹣ ， ∴E（﹣ ，0）． ③当 AE=AQ=4 时， ∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1， ∴E（﹣1，0）． 综上所述，存在满足条件的点 E，点 E 的坐标为（﹣ ，0）或（﹣ ，0）或（﹣1， 0）． （3）四边形 APDQ 为菱形，D 点坐标为（﹣ ，﹣ ）．理由如下： 如图 2，D 点关于 PQ 与 A 点对称，过点 Q 作，FQ⊥AP 于 F， ∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ， ∴AP=AQ=QD=DP， ∴四边形 AQDP 为菱形， ∵FQ∥OC， ∴ ， ∴ ， ∴AF= ，FQ= ， ∴Q（3﹣ ，﹣ ）， ∵DQ=AP=t， ∴D（3﹣ ﹣t，﹣ ）， ∵D 在二次函数 y= x2﹣ x﹣4 上， ∴﹣ = （3﹣ t）2﹣ （3﹣ t）﹣4， ∴t= ，或 t=0（与 A 重合，舍去）， ∴D（﹣ ，﹣ ）． 点评：本题考查了二次函数性质、利用勾股定理解直角三角形及菱形等知识，总体来说题意 复杂但解答内容都很基础，是一道值得练习的题目．