2014年潍坊市中考数学试卷及答案解析

山东省潍坊市 2014 年中考数学试卷 一、选择题 1．（3 分）（2014•潍坊） 的立方根是（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 考点： 立方根 分析： 根据开立方运算，可得一个数的立方根． 解答： 解： 的立方根是 1， 故选：C． 点评： 本题考查了立方根，先求幂，再求立方根． 2．（3 分）（2014•潍坊）下列标志中不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 考点： 中心对称图形 分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解答： 解：A、是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是中心对称图形，故此选项不合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形 的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心 对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合． 3．（3 分）（2014•潍坊）下列实数中是无理数的是（ ） A． B．2﹣2 C． 5. D．sin45° 考点： 无理数 分析： 根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 解答： 解：A、B、C、是有理数； D、是无限不循环小数，是无理数； 故选：D． 点评： 本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数． 4．（3 分）（2014•潍坊）一个几何体的三视图如图，则该几何体是（ ） A． B． C． D． 考点： 由三视图判断几何体 分析： 由空间几何体的三视图可以得到空间几何体的直观图． 解答： 解：由三视图可知，该组合体的上部分为圆台，下部分为圆柱， 故选：D． 点评： 本题只要考查三视图的识别和判断，要求掌握常见空间几何体的 三视图，比较基础． 5．（3 分）（2014•潍坊）若代数式 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） A．x≥﹣1 B．x≥﹣1 且 x≠3 C．x＞﹣1 D．x＞﹣1 且 x≠3 考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件 分析： 根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0 列式计算即可得解． 解答： 解：由题意得，x+1≥0 且 x﹣3≠0， 解得 x≥﹣1 且 x≠3． 故选 B． 点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为 0；二次根式的被 开方数是非负数． 6．（3 分）（2014•潍坊）如图，▱ABCD 的顶点 A、B、D 在⊙O 上，顶点 C 在⊙O 的直径 BE 上，连接 AE，∠E=36°，则∠ADC 的度数是（ ） A．44° B．54° C．72° D．53° 考点： 圆周角定理；平行四边形的性质 分析： 首先根据直径所对的圆周角为直角得到∠BAE=90°，然后利用四边形 ABCD 是平行四边形，∠E=36°，得到∠BEA=∠DAE=36°，从而得到∠BAD=126°， 求得到∠ADC=54°． 解答： 解：∵BE 是直径， ∴∠BAE=90°， ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∠E=36°， ∴∠BEA=∠DAE=36°， ∴∠BAD=126°， ∴∠ADC=54°， 故选 B． 点评： 本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质，解题的关键是认真审题，发现 图形中的圆周角． 7．（3 分）（2014•潍坊）若不等式组 无解，则实数 a 的取值范围是（ ） A．a≥﹣1 B．a＜﹣1 C．a≤1 D．a≤﹣1 考点： 解一元一次不等式组 分析： 分别求出各不等式的解集，再与已知不等式组无解相比较即可得出 a 的取值 范围． 解答： 解： ，由①得，x≥﹣a，由②得，x＜1， ∵不等式组无解， ∴﹣a≥1，解得 a≤﹣1． 故选 D． 点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大 中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 8．（3 分）（2014•潍坊）如图，已知矩形 ABCD 的长 AB 为 5，宽 BC 为 4，E 是 BC 边上 的一个动点，AE⊥EF，EF 交 CD 于点 F．设 BE=x，FC=y，则点 E 从点 B 运动到点 C 时， 能表示 y 关于 x 的函数关系的大致图象是（ ） A． B． C． D． 考点： 动点问题的函数图象 分析： 利用三角形相似求出 y 关于 x 的函数关系式，根据函数关系式进行分 析求解． 解答： 解：∵BC=4，BE=x，∴CE=4﹣x． ∵AE⊥EF，∴∠AEB+∠CEF=90°， ∵∠CEF+∠CFE=90°， ∴∠AEB=∠CFE． 又∵∠B=∠C=90°， ∴Rt△AEB∽Rt△EFC， ∴ ，即 ， 整理得：y= （4x﹣x2）=﹣ （x﹣2）2+ ∴y 与 x 的函数关系式为：y=﹣ （x﹣2）2+ （0≤x≤4） 由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为（2， ），对称轴为直线 x=2． 故选 A． 点评： 本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解 题关键． 9．（3 分）（2014•潍坊）等腰三角形一条边的边长为 3，它的另两条边的边长是关于 x 的 一元二次方程 x2﹣12x+k=0 的两个根，则 k 的值是（ ） A．27 B．36 C．27 或 36 D．18 考点： 等腰三角形的性质；一元二次方程的解 分析： 由于等腰三角形的一边长 3 为底或腰不能确定，故应分两种情况进行 讨论：①当 3 为腰时，其他两条边中必有一个为 3，把 x=3 代入原方程 可求出 k 的值，进而求出方程的另一根，再根据三角形的三边关系判 断是否符合题意即可；②当 3 为底时，则其他两条边相等，即方程有 两个相等的实数根，由△=0 可求出 k 的值，再求出方程的两个根进行 判断即可． 解答： 解：分两种情况： ①当其他两条边中有一个为 3 时，将 x=3 代入原方程， 得 32﹣12×3+k=0，k=27． 将 k=27 代入原方程，得 x2﹣12x+27=0， 解得 x=3 或 9． 3，3，9 不能够组成三角形，不符合题意舍去； ②当 3 为底时，则其他两条边相等，即△=0， 此时 144﹣4k=0，k=36． 将 k=36 代入原方程，得 x2﹣12x+36=0， 解得 x=6． 3，6，6 能够组成三角形，符合题意． 故 k 的值为 36． 故选 B． 点评： 本题考查的是等腰三角形的性质，一元二次方程根的判别式及三角形 的三边关系，在解答时要注意分类讨论，不要漏解． 10．（3 分）（2014•潍坊）如图是某市 7 月 1 日至 10 日的空气质量指数趋势图，空气质量 指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 7 月 1 日至 7 月 8 日中的某一天到达该市，并连续停留 3 天，则此人在该市停留期间有且仅 有 1 天空气质量优良的概率是（ ） A． B． C． D． 考点： 概率公式；折线统计图 分析： 先求出 3 天中空气质量指数的所有情况，再求出有一天空气质量优 良的情况，根据概率公式求解即可． 解答： 解：∵由图可知，当 1 号到达时，停留的日子为 1、2、3 号，此时 为（86，25，57），3 天空气质量均为优； 当 2 号到达时，停留的日子为 2、3、4 号，此时为（25，57，143）， 2 天空气质量为优； 当 3 号到达时，停留的日子为 3、4、5 号，此时为（57，143，220）， 1 天空气质量为优； 当 4 号到达时，停留的日子为 4、5、6 号，此时为（143，220，160）， 空气质量为污染； 当 5 号到达时，停留的日子为 5、6、7 号，此时为（220，160，40）， 1 天空气质量为优； 当 6 号到达时，停留的日子为 6、7、8 号，此时为（160，40，217）， 1 天空气质量为优； ∴此人在该市停留期间有且仅有 1 天空气质量优良的概率= = ． 故选 C． 点评： 本题考查的是概率公式，熟知随机事件 A 的概率 P（A）=事件 A 可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关 键． 11．（3 分）（2014•潍坊）已知一次函数 y1=kx+b（k＜0）与反比例函数 y2= （m≠0）的 图象相交于 A、B 两点，其横坐标分别是﹣1 和 3，当 y1＞y2 时，实数 x 的取值范围是（ ） A．x＜﹣1 或 0＜x ＜3 B．﹣1＜x＜0 或 0 ＜x＜3 C．﹣1＜x＜0 或 x ＞3 D．x＜x＜3 考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 分析： 根据观察图象，可得直线在双曲线上方的部分，可得答案． 解答： 解：如图： 直线在双曲线上方的部分，故答案为：x＜﹣1 或 0＜x＜3， 故选：A． 点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，直线在双曲线上 方的部分是不等式的解． 12．（3 分）（2014•潍坊）如图，已知正方形 ABCD，顶点 A（1，3）、B（1，1）、C（3， 1）．规定“把正方形 ABCD 先沿 x 轴翻折，再向左平移 1 个单位”为一次变换，如此这样， 连续经过 2014 次变换后，正方形 ABCD 的对角线交点 M 的坐标变为（ ） A．（﹣2012，2） B．（﹣2012，﹣2）C．（﹣2013，﹣2）D．（﹣2013，2） 考点： 翻折变换（折叠问题）；正方形的性质；坐标与图形变化-平移 专题： 规律型． 分析： 首先由正方形 ABCD，顶点 A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然 后根据题意求得第 1 次、2 次、3 次变换后的对角线交点 M 的对应点 的坐标，即可得规律：第 n 次变换后的点 M 的对应点的为：当 n 为奇 数时为（2﹣n，﹣2），当 n 为偶数时为（2﹣n，2），继而求得把正 方形 ABCD 连续经过 2014 次这样的变换得到正方形 ABCD 的对角线 交点 M 的坐标． 解答： 解：∵正方形 ABCD，顶点 A（1，3）、B（1，1）、C（3，1）． ∴对角线交点 M 的坐标为（2，2）， 根据题意得：第 1 次变换后的点 M 的对应点的坐标为（2﹣1，﹣2）， 即（1，﹣2）， 第 2 次变换后的点 M 的对应点的坐标为：（2﹣2，2），即（0，2）， 第 3 次变换后的点 B 的对应点的坐标为（2﹣3，﹣2），即（﹣1，﹣2）， 第 n 次变换后的点 B 的对应点的为：当 n 为奇数时为（2﹣n，﹣2）， 当 n 为偶数时为（2﹣n，2）， ∴连续经过 2014 次变换后，正方形 ABCD 的对角线交点 M 的坐标变 为（﹣2012，2）． 故选：A． 点评： 此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注 意得到规律：第 n 次变换后的对角线交点 M 的对应点的坐标为：当 n 为奇数时为（2﹣n，﹣2），当 n 为偶数时为（2﹣n，2）是解此题的 关键． 二、填空题 13．（3 分）（2014•潍坊）分解因式：2x（x﹣3）﹣8= 2（x﹣4）（x+1） ． 考点： 因式分解-十字相乘法等 分析： 首先去括号，进而整理提取 2，即可利用十字相乘法分解因式． 解答： 解：2x（x﹣3）﹣8 =2x2﹣6x﹣8 =2（x2﹣3x﹣4） =2（x﹣4）（x+1）． 故答案为：2（x﹣4）（x+1）． 点评： 此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，熟练掌握十 字相乘法分解因式是解题关键． 14．（3 分）（2014•潍坊）计算：82014×（﹣0.125）2015= ﹣0.125 ． 考点： 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法 分析： 根据同底数幂的乘法，可化成指数相同的幂的乘法，根据积的乘方， 可得答案． 解答： 解：原式=82014×（﹣0.125）2014×（﹣0.125） =（﹣8×0.125）2014×（﹣0.125）=﹣0.125， 故答案为：﹣0.125． 点评： 本题考查了积的乘方，先化成指数相同的幂的乘法，再进行积的乘方 运算． 15．（3 分）（2014•潍坊）如图，两个半径均为 的⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点，且 每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 2π﹣3 ．（结果保留π） 考点： 扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；相交两圆的性质 分析： 根据题意得出一部分弓形的面积，得出 = ﹣ S 进而得出即可． 解答： 解：连接 O1O2，过点 O1 作 O1C⊥AO2 于点 C， 由题意可得：AO1=O1O2=AO2= ， ∴△AO1O2 是等边三角形， ∴CO1=O1O2sin60°= ， ∴S = × × = ， = = ， ∴ = ﹣S = ﹣ ， ∴图中阴影部分的面积为：4（ ﹣ ）=2π﹣3 ． 故答案为：2π﹣3 ． 点评： 此题主要考查了扇形的面积公式应用以及等边三角形的判定与性质，熟练 记忆扇形面积公式是解题关键． 16．（3 分）（2014•潍坊）已知一组数据﹣3，x，﹣2，3，1，6 的中位数为 1，则其方差 为 9 ． 考点： 方差；中位数 专题： 计算题． 分析： 由于有 6 个数，则把数据由小到大排列时，中间有两个数中有 1，而数据 的中位数为 1，所以中间两个数的另一个数也为 1，即 x=1，再计算数据的 平均数，然后利用方差公式求解． 解答： 解：∵数据﹣3，x，﹣2，3，1，6 的中位数为 1， ∴ =1，解得 x=1， ∴数据的平均数= （﹣3﹣2+1+1+3+6）=1， ∴方差= [（﹣3﹣1）2+（﹣2﹣1）2+（1﹣1）2+（1﹣1）2+（3﹣1）2+（6 ﹣1）2 ] =9． 故答案为 5． 点评： 本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数， 叫做这组数据的方差．方差通常用 s2 来表示，计算公式是：s2= [（x1﹣x¯） 2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2 ] ；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方 差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均 值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数． 17．（3 分）（2014•潍坊）如图，某水平地面上建筑物的高度为 AB，在点 D 和点 F 处分 别竖立高是 2 米的标杆 CD 和 EF，两标杆相隔 50 米，并且建筑物 AB、标杆 CD 和 EF 在同 一竖直平面内，从标杆 CD 后退 2 米到点 G 处，在 G 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 C 在 同一条直线上；从标杆 FE 后退 4 米到点 H 处，在 H 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 E 在 同一条直线上，则建筑物的高是 50 米． 考点： 相似三角形的应用 分析： 根据题意可得出△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，再根据相似三角形的 对应边成比例即可得出结论． 解答： 解：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH， ∴AB∥CD∥EF， ∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH， ∴ = ， = ， ∵CD=DG=EF=2m，DF=50m，FH=4m， ∴ = ①， = ②， ∴ = ，解得 BD=50m， ∴ = ，解得 AB=52m． 故答案为：52． 点评： 本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答 此题的关键． 18．（3 分）（2014•潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈， 周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把 枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为 20 尺，底面周长为 3 尺，有葛藤自 点 A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点 B 处，则问题中葛藤的最短长度是 25 尺． 考点： 平面展开-最短路径问题 分析： 这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可 转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 解答： 解：如图，一条直角边（即枯木的高）长 20 尺， 另一条直角边长 5×3=15（尺）， 因此葛藤长为 =25（尺）． 故答案为 25． 点评： 本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题 是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解． 三、解答题 19．（9 分）（2014•潍坊）今年我市把男生“引体向上”项目纳入学业水平体育考试内容， 考试前某校为了解该项目的整体水平，从九年级 220 名男生中，随机抽取 20 名进行“引体向 上”测试，测试成绩（单位：个）如图 1： 其中有一数据被污损，统计员只记得 11.3 是这组样本数据的平均数． （1）求该组样本数据中被污损的数据和这组数据的极差； （2）请补充完整下面的频数、频率分布表和频数分布直方图（如图 2）； 频数、频率分布表： 测试成绩/个 频数 频率 1～5 2 0.10 6～10 6 0.30 11～15 9 0.45 16～20 3 0.15 合计 20 1.00 （3）估计在学业水平体育考试中该校九年级有多少名男生能完成 11 个以上（包含 11 个）“引 体向上”？ 考点： 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数与频率；频数（率）分布表． 分析： （1）直接利用平均数求法得出 x 的值，进而求出极差即可； （2）直接利用已知数据得出各组频数，进而求出频率，填表和补全条形图 即可； （3）利用样本估计总体的方法得出，能完成 11 个以上的是后两组所占百分 比，进而得出九年级男生能完成 11 个以上（包含 11 个）“引体向上”的人数． 解答： 解：（1）设被污损的数据为 x， 由题意知： =11.3， 解得：x=19， 根据极差的定义，可得该组数据的极差是：19﹣3=16， （2）由样本数据知，测试成绩在 6～10 个的有 6 名，该组频数为 6，相应频 率是： =0.30， 测试成绩在 11～15 个的有 9 名，该组频数为 9，相应频率是： =0.45， 补全的频数、频率分布表和频数分布直方图如下所示： 测试成绩/个 频数 频率 1～5 2 0.10 6～10 6 0.30 11～15 9 0.45 16～20 3 0.15 合计 20 1.00 （3）由频率分布表可知，能完成 11 个以上的是后两组，（0.45+0.15） ×100%=60%， 由此估计在学业水平体育考试中能完成 11 个以上“引体向上”的男生数是： 220×60%=132（名）． 点评： 此题主要考查了频数分布直方表以及条形统计图等知识，正确掌握相关定义 求出各组频率是解题关键． 20．（10 分）（2014•潍坊）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，以 AB 为直径 作⊙O，恰与另一腰 CD 相切于点 E，连接 OD、OC、BE． （1）求证：OD∥BE； （2）若梯形 ABCD 的面积是 48，设 OD=x，OC=y，且 x+y=14，求 CD 的长． 考点： 切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；梯形 分析： （1）连接 OE，证出 RT△OAD≌RT△OED，利用同弦对圆周角是圆心角的 一半，得出∠AOD=∠ABE，利用同位角相等两直线平行得到 OD∥BE， （2）由 RT△COE≌RT△COB，得到△COD 是直角三角形，利用 S 梯形 ABCD=2S△COD， 求出 xy=48，结合 x+y=14，求出 CD． 解答： （1）证明：如图，连接 OE， ∵CD 是⊙O 的切线， ∴OE⊥CD， 在 Rt△OAD 和 Rt△OED， ∴Rt△OAD≌Rt△OED（SAS） ∴∠AOD=∠EOD= ∠AOE， 在⊙O 中，∠ABE= ∠AOE， ∴∠AOD=∠ABE， ∴OD∥BE． （2）解：与（1）同理可证：Rt△COE≌Rt△COB， ∴∠COE=∠COB= ∠BOE， ∵∠DOE+∠COE=90°， ∴△COD 是直角三角形， ∵S△DEO=S△DAO，S△OCE=S△COB， ∴S 梯形 ABCD=2（S△DOE+S△COE）=2S△COD=OC•OD=48，即 xy=48， 又∵x+y=14， ∴x2+y2=（x+y）2﹣2xy=142﹣2×48=100， 在 RT△COD 中，CD= = = =10， ∴CD=10． 点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定 理、圆周角定理和全等三角形的判定与性质．关键是综合运用，找准线段及 角的关系． 21．（10 分）（2014•潍坊）如图，某海域有两个海拔均为 200 米的海岛 A 和海岛 B，一勘 测飞机在距离海平面垂直高度为 1100 米的空中飞行，飞行到点 C 处时测得正前方一海岛顶 端 A 的俯角是 45°，然后沿平行于 AB 的方向水平飞行 1.99×104 米到达点 D 处，在 D 处测 得正前方另一海岛顶端 B 的俯角是 60°，求两海岛间的距离 AB． 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题 分析： 首先过点 A 作 AE⊥CD 于点 E，过点 B 作 BF⊥CD 于点 F，易得四边形 ABFE 为矩形，根据矩形的性质，可得 AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=1100 ﹣200=900 米，CD=1.99×104 米，然后分别在 Rt△AEC 与 Rt△BFD 中，利用 三角函数即可求得 CE 与 DF 的长，继而求得两海岛间的距离 AB． 解答： 解：过点 A 作 AE⊥CD 于点 E，过点 B 作 BF⊥CD 于点 F， ∵AB∥CD， ∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°， ∴四边形 ABFE 为矩形． ∴AB=EF，AE=BF． 由题意可知：AE=BF=1100﹣200=900 米，CD=1.99×104 米=19900 米． 在 Rt△AEC 中，∠C=60°，AE=900 米． ∴CE= = =300 （米）． 在 Rt△BFD 中，∠BDF=45°，BF=900 米． ∴DF= = =900（米）． ∴AB=EF=CD+DF﹣CE=19900+300 ﹣900=19000+300 （米）． 答：两海岛间的距离 AB 为（19000+300 ）米． 点评： 此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质．注意能借助俯角构造 直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 22．（12 分）（2014•潍坊）如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 的中点， 连接 AE、BF，交点为 G． （1）求证：AE⊥BF； （2）将△BCF 沿 BF 对折，得到△BPF（如图 2），延长 FP 到 BA 的延长线于点 Q，求 sin∠BQP 的值； （3）将△ABE 绕点 A 逆时针方向旋转，使边 AB 正好落在 AE 上，得到△AHM（如图 3）， 若 AM 和 BF 相交于点 N，当正方形 ABCD 的面积为 4 时，求四边形 GHMN 的面积． 考点： 四边形综合题 分析： （1）运用 Rt△ABE≌Rt△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°求证； （2）△BCF 沿 BF 对折，得到△BPF，利用角的关系求出 QF=QB，解出 BP，QP 求解； （3）先求出正方形的边长，再根据面积比等于相似边长比的平方，求得 S△AGN= ，再利用 S 四边形 GHMN=S△AHM﹣S△AGN 求解． 解答： （1）证明：如图 1，∵E，F 分别是正方形 ABCD 边 BC，CD 的中点， ∴CF=BE， 在 Rt△ABE 和 Rt△BCF 中， ∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS）， ∠BAE=∠CBF， 又∵∠BAE+∠BEA=90°， ∴∠CBF+∠BEA=90°， ∴∠BGE=90°， ∴AE⊥BF． （2）解：如图 2，根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90° ∵CD∥AB， ∴∠CFB=∠ABF， ∴∠ABF=∠PFB， ∴QF=QB， 令 PF=k（k＞0），则 PB=2k 在 Rt△BPQ 中，设 QB=x， ∴x2=（x﹣k）2+4k2， ∴x= ， ∴sin∠BQP= = = ． （3）解：∵正方形 ABCD 的面积为 4， ∴边长为 2， ∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF， ∴AN=AB=2， ∵∠AHM=90°， ∴GN∥HM， ∴ = ， ∴ = ， ∴S△AGN= ， ∴S 四边形 GHMN=S△AHM﹣S△AGN=1﹣ = ， ∴四边形 GHMN 的面积是 ． 点评： 本题主要考查了四边形的综合题，解决的关键是明确三角形翻转后边的大 小不变，找准对应边，角的关系求解． 23．（12 分）（2014•潍坊）经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度 v（千米/小时）是车 流密度 x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到 220 辆/千米时，造成堵塞，此时车流 速度为 0 千米/小时；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 80 千米/小时，研究表明： 当 20≤x≤220 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数． （1）求大桥上车流密度为 100 辆/千米时的车流速度； （2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于 40 千米/小时且小于 60 千米/小时，应 控制大桥上的车流密度在什么范围内？ （3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度× 车流密度．求大桥上车流量 y 的最大值． 考点： 一次函数的应用 分析： （1）当 20≤x≤220 时，设车流速度 v 与车流密度 x 的函数关系式为 v=kx+b，根 据题意的数量关系建立方程组求出其解即可； （2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可； （3）设车流量 y 与 x 之间的关系式为 y=vx，当 x＜20 和 20≤x≤220 时分别表示 出函数关系由函数的性质就可以求出结论． 解答： 解：（1）设车流速度 v 与车流密度 x 的函数关系式为 v=kx+b，由题意，得 ， 解得： ， ∴当 20≤x≤220 时，v=﹣ x+88； （2）由题意，得 ， 解得：70＜x＜120． ∴应控制大桥上的车流密度在 70＜x＜120 范围内； （3）设车流量 y 与 x 之间的关系式为 y=vx， 当 0≤x≤20 时 y=80x， ∴k=80＞0， ∴y 随 x 的增大而增大， ∴x=20 时，y 最大=1600； 当 20≤x≤220 时 y=（﹣ x+88）x=﹣ （x﹣110）2+4840， ∴当 x=110 时，y 最大=4840． ∵4840＞1600， ∴当车流密度是 110 辆/千米，车流量 y 取得最大值时 4840 辆/小时． 点评： 本题考查了车流量=车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元 一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 24．（13 分）（2014•潍坊）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 y 轴交于点 C（0，4）， 与 x 轴交于点 A 和点 B，其中点 A 的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴 x=1 与抛物线交 于点 D，与直线 BC 交于点 E． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 F 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点 F 使四边形 ABFC 的面积 为 17，若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）平行于 DE 的一条动直线 l 与直线 BC 相交于点 P，与抛物线相交于点 Q，若以 D、E、 P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标． 考点： 二次函数综合题 分析： （1）先把 C（0，4）代入 y=ax2+bx+c，得出 c=4①，再由抛物线的对称 轴 x=﹣ =1，得到 b=﹣2a②，抛物线过点 A（﹣2，0），得到 0=4a﹣ 2b+c③，然后由①②③可解得，a=﹣ ，b=1，c=4，即可求出抛物线的 解析式为 y=﹣ x2+x+4； （2）假设存在满足条件的点 F，连结 BF、CF、OF，过点 F 作 FH⊥x 轴于点 H，FG⊥y 轴于点 G．设点 F 的坐标为（t，﹣ t2+t+4），则 FH= ﹣ t2+t+4，FG=t，先根据三角形的面积公式求出 S△OBF= OB•FH=﹣ t2+2t+8，S△OFC= OC•FG=2t，再由 S 四边形 ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OFC， 得到 S 四边形 ABFC=﹣t2+4t+12．令﹣t2+4t+12=17，即 t2﹣4t+5=0，由△=（﹣ 4）2﹣4×5=﹣4＜0，得出方程 t2﹣4t+5=0 无解，即不存在满足条件的点 F； （3）先运用待定系数法求出直线 BC 的解析式为 y=﹣x+4，再求出抛物 线 y=﹣ x2+x+4 的顶点 D（1， ），由点 E 在直线 BC 上，得到点 E（1， 3），于是 DE= ﹣3= ．若以 D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边 形，因为 DE∥PQ，只须 DE=PQ，设点 P 的坐标是（m，﹣m+4），则 点 Q 的坐标是（m，﹣ m2+m+4）．分两种情况进行讨论：①当 0＜m ＜4 时，PQ=（﹣ m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣ m2+2m，解方程﹣ m2+2m= ，求出 m 的值，得到 P1（3，1）；②当 m＜0 或 m＞4 时， PQ=（﹣m+4）﹣（﹣ m2+m+4）= m2﹣2m，解方程 m2﹣2m= ，求 出 m 的值，得到 P2（2+ ，2﹣ ），P3（2﹣ ，2+ ）． 解答： 解：（1）∵抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）过点 C（0，4），∴c=4 ①． ∵对称轴 x=﹣ =1，∴b=﹣2a ②． ∵抛物线过点 A（﹣2，0）， ∴0=4a﹣2b+c ③， 由①②③解得，a=﹣ ，b=1，c=4， ∴抛物线的解析式为 y=﹣ x2+x+4； （2）假设存在满足条件的点 F，如图所示，连结 BF、CF、OF，过点 F 作 FH⊥x 轴于点 H，FG⊥y 轴于点 G． 设点 F 的坐标为（t，﹣ t2+t+4），其中 0＜t＜4， 则 FH=﹣ t2+t+4，FG=t， ∴S△OBF= OB•FH= ×4×（﹣ t2+t+4）=﹣t2+2t+8， S△OFC= OC•FG= ×4×t=2t， ∴S 四边形 ABFC=S△AOC+S△OBF+S△OFC=4﹣t2+2t+8+2t=﹣t2+4t+12． 令﹣t2+4t+12=17，即 t2﹣4t+5=0， 则△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0， ∴方程 t2﹣4t+5=0 无解， 故不存在满足条件的点 F； （3）设直线 BC 的解析式为 y=kx+n（k≠0）， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴ ，解得 ， ∴直线 BC 的解析式为 y=﹣x+4． 由 y=﹣ x2+x+4=﹣ （x﹣1）2+ ， ∴顶点 D（1， ）， 又点 E 在直线 BC 上，则点 E（1，3）， 于是 DE= ﹣3= ． 若以 D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，因为 DE∥PQ，只须 DE=PQ， 设点 P 的坐标是（m，﹣m+4），则点 Q 的坐标是（m，﹣ m2+m+4）． ①当 0＜m＜4 时，PQ=（﹣ m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣ m2+2m， 由﹣ m2+2m= ，解得：m=1 或 3． 当 m=1 时，线段 PQ 与 DE 重合，m=1 舍去， ∴m=3，P1（3，1）． ②当 m＜0 或 m＞4 时，PQ=（﹣m+4）﹣（﹣ m2+m+4）= m2﹣2m， 由 m2﹣2m= ，解得 m=2± ，经检验适合题意， 此时 P2（2+ ，2﹣ ），P3（2﹣ ，2+ ）． 综上所述，满足题意的点 P 有三个，分别是 P1（3，1），P2（2+ ，2 ﹣ ），P3（2﹣ ，2+ ）． 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、 一次函数的解析式，四边形的面积，平行四边形的判定等知识，综合性 较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．