2014年徐州市中考数学试卷及答案解析

2014 年江苏省徐州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共有 8 小题．每小题 3 分，共 24 分．在每小题所给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3 分）(2014 年江苏徐州)2﹣1 等于（ ） A． 2 B． ﹣2 C． D． ﹣ 考点： 负整数指数幂．菁优网版 权所有 分析： 根据 a ，可得答案． 解答： 解：2 ， 故选：C． 点评： 本题考查了负整指数幂，负整数指数为正整数指数的倒数． 2．（3 分）(2014 年江苏徐州)如图使用五个相同的立方体搭成的几何体，其主视图是（ ） A． B． C． D． 考点： 简单组合体的三视图． 菁优网版 权所有 分析： 根据三视图的知识求解． 解答： 解：从正面看：上边一层最右边有 1 个正方形， 下边一层有 3 个正方形． 故选 D． 点评： 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 3．（3 分）(2014 年江苏徐州)抛掷一枚均匀的硬币，前 2 次都正面朝上，第 3 次正面朝上的 概率（ ） A． 大于 B．等于 C．小于 D． 不 能确定 考点： 概率的意义． 菁优网版 权所有 分析： 根据概率的意义解答． 解答： 解：∵硬币由正面朝上和朝下两种情况，并且是等可能， ∴第 3 次正面朝上的概率是 ． 故选 B． 点评： 本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义并明确硬币只有正反两个面是解决本 题的关键． 4．（3 分）(2014 年江苏徐州)下列运算中错误的是（ ） A． + = B． × = C． ÷ =2 D． =3 考点： 二次根式的乘除法；二次根式的加减法． 菁优网版 权所有 分析： 利用二次根式乘除运算法则以及加减运算法则分别判断得出即可． 解答： 解：A、 + 无法计算，故此选项正确； B、 × = ，正确，不合题意； C、 ÷ =2，正确，不合题意； D、 =3，正确，不合题意． 故选：A． 点评： 此题主要考查了二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 5．（3 分）(2014 年江苏徐州)将函数 y=﹣3x 的图象沿 y 轴向上平移 2 个单位长度后，所得 图象对应的函数关系式为（ ） A． y=﹣3x+2 B．y=﹣3x﹣2 C．y=﹣3（x+2） D．y=﹣3（x﹣2） 考点： 一次函数图象与几何变换． 菁优网版 权所有 分析： 直接利用一次函数平移规律，“上加下减”进而得出即可． 解答： 解：∵将函数 y=﹣3x 的图象沿 y 轴向上平移 2 个单位长度， ∴平移后所得图象对应的函数关系式为：y=﹣3x+2． 故选：A． 点评： 此题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟练记忆函数平移规律是解题关键． 6．（3 分）(2014 年江苏徐州)顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点．得到如图的图形，该 图形（ ） A． 既是轴对称图形也是中心对称图形 B． 是轴对称图形但并不是中心对称图形 C． 是中心对称图形但并不是轴对称图形 D． 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 考点： 中心对称图形；轴对称图形．菁优网版 权所有 分析： 根据正多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答． 解答： 解：此图形是轴对称图形但并不是中心对称图形， 故选：B． 点评： 此题考查正多边形对称性．关键要记住偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中 心对称图形，奇数边的正多边形只是轴对称图形． 7．（3 分）(2014 年江苏徐州)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边 形一定是（ ） A． 矩形 B． 等腰梯形 C． 对角线相等的四边形 D． 对角线互相垂直 的四边形 考点： 中点四边形． 菁优网版 权所有 分析： 首先根据题意画出图形，由四边形 EFGH 是菱形，点 E，F，G，H 分别是边 AD， AB，BC，CD 的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是 对角线相等的四边形． 解答： 解：如图，根据题意得：四边形 EFGH 是菱形，点 E，F，G，H 分别是边 AD， AB，BC，CD 的中点， ∴EF=FG=CH=EH，BD=2EF，AC=2FG， ∴BD=AC． ∴原四边形一定是对角线相等的四边形． 故选 C． 点评： 此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合 思想的应用． 8．（3 分）(2014 年江苏徐州)点 A、B、C 在同一条数轴上，其中点 A、B 表示的数分别为 ﹣3、1，若 BC=2，则 AC 等于（ ） A． 3 B． 2 C． 3 或 5 D． 2或 6 考点： 两点间的距离；数轴． 菁优网版 权所有 分析： 要求学生分情况讨论 A，B，C 三点的位置关系，即点 C 在线段 AB 内，点 C 在线 段 AB 外． 解答： 解：此题画图时会出现两种情况，即点 C 在线段 AB 内，点 C 在线段 AB 外，所 以要分两种情况计算． 点 A、B 表示的数分别为﹣3、1， AB=4． 第一种情况：在 AB 外， AC=4+2=6； 第二种情况：在 AB 内， AC=4﹣2=2． 故选：D． 点评： 在未画图类问题中，正确画图很重要．本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的 严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 二、填空题（本大题共有 10 小题．每小题 3 分，共 30 分．不需要写出解答过程，请把答 案直接写在答题卡的相应位置上） 9．（3 分）(2014 年江苏徐州)函数 y= 中，自变量 x 的取值范围为 x≠1 ． 考点： 函数自变量的取值范围．菁优网版 权所有 分析： 根据分母不等于 0 列式计算即可得解． 解答： 解：由题意得，x﹣1≠0， 解得 x≠1． 故答案为：x≠1． 点评： 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 10．（3 分）(2014 年江苏徐州)我国“钓鱼岛”周围海域面积约 170 000km2，该数用科学记数 法可表示为 1.7×105 ． 考点： 科学记数法—表示较大的数．菁优网版 权所有 分析： 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答： 解：170 000=1.7×105， 故答案为：1.7×105． 点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 11．（3 分）(2014 年江苏徐州)函数 y=2x 与 y=x+1 的图象交点坐标为 （1，2） ． 考点： 两条直线相交或平行问题． 菁优网版 权所有 专题： 计算题． 分析： 根据两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二 元一次方程组的解，所以解方程组 即可得到两直线的交点坐标． 解答： 解：解方程组 得 ， 所以函数 y=2x 与 y=x+1 的图象交点坐标为（1，2）． 故答案为（1，2）． 点评： 本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相 对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们 的自变量系数相同，即 k 值相同． 12．（3 分）(2014 年江苏徐州)若 ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式 a2b﹣ab2 的值等于 ﹣2 ． 考点： 因式分解-提公因式法． 菁优网版 权所有新*课标*第*一*网 分析： 首先提取公因式 ab，进而将已知代入求出即可． 解答： 解：∵ab=2，a﹣b=﹣1， ∴a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=2×（﹣1）=﹣2． 故答案为：﹣2． 点评： 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键． 13．（3 分）(2014 年江苏徐州)半径为 4cm，圆心角为 60°的扇形的面积为 π cm2． 考点： 扇形面积的计算． 菁优网版 权所有 分析： 直接利用扇形面积公式求出即可． 解答： 解：半径为 4cm，圆心角为 60°的扇形的面积为： = π（cm2）． 故答案为： π． 点评： 此题主要考查了扇形的面积公式应用，熟练记忆扇形面积公式是解题关键． 14．（3 分）(2014 年江苏徐州)如图是某足球队全年比赛情况统计图： 根据图中信息，该队全年胜了 22 场． 考点： 条形统计图；扇形统计图． 菁优网版 权所有 专题： 图表型． 分析： 用平的场次除以所占的百分比求出全年比赛场次，然后乘以胜场所占的百分比计算 即可得解． 解答： 解：全年比赛场次=10÷25%=40， 胜场：40×（1﹣20%﹣25%）=40×55%=22 场． 故答案为：22． 点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图 中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统 计图直接反映部分占总体的百分比大小． 15．（3 分）(2014 年江苏徐州)在平面直角坐标系中，将点 A（4，2）绕原点逆时针方向旋 转 90°后，其对应点 A′的坐标为 （﹣2，4） ． 考点： 坐标与图形变化-旋转． 菁优网版 权所有 分析： 建立网格平面直角坐标系，然后确定出点 A 与 A′的位置，再写出坐标即可． 解答： 解：如图 A′的坐标为（﹣2，4）． 故答案为：（﹣2，4）． 点评： 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直 观． 16．（3 分）(2014 年江苏徐州)如图，在等腰三角形纸片 ABC 中，AB=AC，∠A=50°，折叠 该纸片，使点 A 落在点 B 处，折痕为 DE，则∠CBE= 15 °． 考点： 等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版 权所有 分析： 由 AB=AC，∠A=50°，根据等边对等角及三角形内角和定理，可求得∠ABC 的度 数，又由折叠的性质，求得∠ABE 的度数，继而求得∠CBE 的度数． 解答： 解：∵AB=AC，∠A=50°， ∴∠ACB=∠ABC= （180°﹣50°）=65°，x.k.b.1 ∵将△ABC 折叠，使点 A 落在点 B 处，折痕为 DE，∠A=50°， ∴∠ABE=∠A=50°， ∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=65°﹣50°=15°． 故答案为：15． 点评： 此题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理．此题难度适中， 注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 17．（3 分）(2014 年江苏徐州)如图，以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆与小圆的半径分别 为 3cm 和 1cm，若圆 P 与这两个圆都相切，则圆 P 的半径为 1 或 2 cm． 考点： 圆与圆的位置关系．菁优网版 权所有 专题： 分类讨论． 分析： 如解答图所示，符合条件的圆 P 有两种情形，需要分类讨论． 解答： 解：由题意，圆 P 与这两个圆都相切 若圆 P 与两圆均外切，如图①所示，此时圆 P 的半径= （3﹣1）=1cm； 若圆 P 与两圆均内切，如图②所示，此时圆 P 的半径= （3+1）=2cm． 综上所述，圆 P 的半径为 1cm 或 2cm． 故答案为：1 或 2． 点评： 本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是确定如何与两圆都相切，难度中等． 18．（3 分）(2014 年江苏徐州)如图①，在正方形 ABCD 中，点 P 沿边 DA 从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动；同时，点 Q 沿边 AB、BC 从点 A 开始向点 C 以 2cm/s 的速度移动．当 点 P 移动到点 A 时，P、Q 同时停止移动．设点 P 出发 xs 时，△PAQ 的面积为 ycm2，y 与 x 的函数图象如图②，则线段 EF 所在的直线对应的函数关系式为 y=﹣3x+18 ． 考点： 动点问题的函数图象． 菁优网版 权所有 分析： 根据从图②可以看出当 Q 点到 B 点时的面积为 9，求出正方形的边长，再利用三 角形的面积公式得出 EF 所在的直线对应的函数关系式． 解答： 解：∵点 P 沿边 DA 从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动；点 Q 沿边 AB、BC 从点 A 开始向点 C 以 2cm/s 的速度移动． ∴当 P 点到 AD 的中点时，Q 到 B 点， 从图②可以看出当 Q 点到 B 点时的面积为 9， ∴9= ×（ AD）•AB， ∵AD=AB， ∴AD=6，即正方形的边长为 6， 当 Q 点在 BC 上时，AP=6﹣x，△APQ 的高为 AB， ∴y= （6﹣x）×6，即 y=﹣3x+18． 故答案为：y=﹣3x+18． 点评： 本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是求出正方形的边长． 三、解答题（本大题共有 10 小题，共 86 分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10 分）(2014 年江苏徐州)（1）计算：（﹣1）2+sin30°﹣ ； （2）计算：（a+ ）÷（1+ ）． 考点： 实数的运算；分式的混合运算；特殊角的三角函数值． 菁优网版 权所有 专题： 计算题． 分析： （1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最 后一项利用立方根定义化简，计算即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约 分即可得到结果． 解答： 解：（1）原式=1+ ﹣2=﹣ ； （2）原式= ÷ = • =a﹣1． 点评： 此题考查了实数的运算，以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则解本题的关键． 20．（10 分）(2014 年江苏徐州)（1）解方程：x2+4x﹣1=0； （2）解不等式组： ． 考点： 解一元一次不等式组；解一元二次方程-配方法． 菁优网版 权所有 分析： （1）利用配方法求出 x 的值即可． （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 解答： 解：（1）原式可化为（x2+4x+4﹣4）﹣1=0，即（x+2）2=5， 两边开方得，x+2=± ， 解得 x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣ ； （2） ， 由①得，x≥0，由②得，x＜2， 故此不等式组的解集为：0≤x＜2． 点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找； 大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 21．（7 分）(2014 年江苏徐州)已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 在 AC 上，且 AE=CF． 求证：四边形 BEDF 是平行四边形． 考点： 平行四边形的判定与性质． 菁优网版 权所有 专题： 证明题． 分析： 根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形式平 行四边形，可得证明结论． 解答： 证明：如图，连接 BC，设对角线交于点 O． ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA=OD，OB=OC． ∵AE=DF，OA﹣AE=OD﹣DF， ∴OE=OF． ∴四边形 BEDF 是平行四边形． 点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的对角线互相平分，对角 线互相平分的四边形是平行四边形． 22．（7 分）(2014 年江苏徐州)甲、乙两人在 5 次打靶测试中命中的环数如下： 甲：8，8，7，8，9 乙：5，9，7，10，9 （1）填写下表： 平均数 众数 中位数 方差 甲 8 8 8 0.4 乙 8 9 9 3.2 （2）教练根据这 5 次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？ （3）如果乙再射击 1 次，命中 8 环，那么乙的射击成绩的方差 变小 ．（填“变大”、“变 小”或“不变”）． 考点： 方差；算术平均数；中位数；众数． 菁优网版 权所有 专题： 计算题． 分析： （1）根据众数、平均数和中位数的定义求解； （2）根据方差的意义求解； （3）根据方差公式求解． 解答： 解：（1）甲的众数为 8，乙的平均数= （5+9+7+10+9）=8，乙的中位数为 9； （2）因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛； （3）如果乙再射击 1 次，命中 8 环，那么乙的射击成绩的方差变小． 故答案为：8，8，9；变小． 点评： 本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这 组数据的方差．方差通常用 s2 来表示，计算公式是：s2= [（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn ﹣x¯）2 ] ；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大， 稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数、 中位数和众数． 23．（8 分）(2014 年江苏徐州)某学习小组由 3 名男生和 1 名女生组成，在一次合作学习后， 开始进行成果展示． （1）如果随机抽取 1 名同学单独展示，那么女生展示的概率为 ； （2）如果随机抽取 2 名同学共同展示，求同为男生的概率． 考点： 列表法与树状图法．菁优网版 权所有 专题： 计算题． 分析： （1）4 名学生中女生 1 名，求出所求概率即可； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出同为男生的情况数，即可求出所求概率． 解答： 解：（1）如果随机抽取 1 名同学单独展示，那么女生展示的概率为 ；新_课_标第_一_网 （2）列表如下： 男 男 男 女 男 ﹣﹣﹣ （男，男） （男，男） （女，男） 男 （男，男） ﹣﹣﹣ （男，男） （女，男） 男 （男，男） （男，男） ﹣﹣﹣ （女，男） 女 （男，女） （男，女） （男，女） ﹣﹣﹣ 所有等可能的情况有 12 种，其中同为男生的情况有 6 种， 则 P= = ． 点评： 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比． 24．（8 分）(2014 年江苏徐州)几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用 360 元购买 门票．下面是两个小伙伴的对话： 根据对话的内容，请你求出小伙伴们的人数． 考点： 分式方程的应用． 菁优网版 权所有 分析： 设票价为 x 元，根据图中所给的信息可得小伙伴的人数为： ，根据小伙 伴的人数不变，列方程求解． 解答： 解：设票价为 x 元， 由题意得， = +2， 解得：x=60， 则小伙伴的人数为： =8． 答：小伙伴们的人数为 8 人． 点评： 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适 的等量关系，列方程求解． 25．（8 分）(2014 年江苏徐州)如图，轮船从点 A 处出发，先航行至位于点 A 的南偏西 15° 且点 A 相距 100km 的点 B 处，再航行至位于点 A 的南偏东 75°且与点 B 相距 200km 的点 C 处． （1）求点 C 与点 A 的距离（精确到 1km）； （2）确定点 C 相对于点 A 的方向． （参考数据： ≈1.414， ≈1.732） 考点： 解直角三角形的应用-方向角问题． 菁优网版 权所有 分析： （1）作辅助线，构造直角三角形，解直角三角形即可； （2）利用勾股定理的逆定理，判定△ABC 为直角三角形；然后根据方向角的定义，即可确 定点 C 相对于点 A 的方向． 解答： 解：（1）如右图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D． 由图得，∠ABC=75°﹣10°=60°． 在 Rt△ABD 中，∵∠ABC=60°，AB=100， ∴BD=50，AD=50 ． ∴CD=BC﹣BD=200﹣50=150． 在 Rt△ACD 中，由勾股定理得： AC= =100 ≈173（km）． 答：点 C 与点 A 的距离约为 173km． （2）在△ABC 中，∵AB2+AC2=1002+（100 ）2=40000， BC2=2002=40000， ∴AB2+AC2=BC2， ∴∠BAC=90°， ∴∠CAF=∠BAC﹣∠BAF=90°﹣15°=75°． 答：点 C 位于点 A 的南偏东 75°方向． 点评： 考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，关键是熟练掌握勾股定理，体现了数学 应用于实际生活的思想． 26．（8 分）(2014 年江苏徐州)某种上屏每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间满 足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图． （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于 16 元？ 考点： 二次函数的应用． 菁优网版 权所有 分析： （1）根据待定系数法，可得二次函数解析式，根据顶点坐标，可得答案； （2）根据函数值大于或等于 16，可得不等式的解集，可得答案． 解答： 解；（1）y=ax2+bx﹣75 图象过点（5，0）、（7，16）， ∴ ， 解得 ， y=﹣x2+20x﹣75 的顶点坐标是（10，25） 当 x=10 时，y 最大=25， 答：销售单价为 10 元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为 25 元； （2）∵函数 y=﹣x2+20x﹣75 图象的对称轴为直线 x=10， 可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16）， 又∵函数 y=﹣x2+20x﹣75 图象开口向下， ∴当 7≤x≤13 时，y≥16． 答：销售单价不少于 7 元且不超过 13 元时，该种商品每天的销售利润不低于 16 元． 点评： 本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求解析式，利用顶点坐标求最值，利 用对称点求不等式的解集． 27．（10 分）(2014 年江苏徐州)如图，将透明三角形纸片 PAB 的直角顶点 P 落在第四象限， 顶点 A、B 分别落在反比例函数 y= 图象的两支上，且 PB⊥x 于点 C，PA⊥y 于点 D，AB 分别与 x 轴，y 轴相交于点 E、F．已知 B（1，3）． （1）k= 3 ； （2）试说明 AE=BF； （3）当四边形 ABCD 的面积为 时，求点 P 的坐标． 考点： 反比例函数综合题．菁优网版 权所有 专题： 综合题． 分析： （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征易得 k=3； （2）设 A 点坐标为（a， ），易得 D 点坐标为（0， ），P 点坐标为（1， ），C 点坐标为 （1，0），根据图形与坐标的关系得到 PB=3﹣ ，PC=﹣ ，PA=1﹣a，PD=1，则可计算出 = = ，加上∠CPD=∠BPA，根据相似的判定得到△PCD∽△PBA，则 ∠PCD=∠PBA，于是判断 CD∥BA，根据平行四边形的判定方法易得四边形 BCDE、ADCF 都是平行四边形，所以 BE=CD，AF=CD，则 BE=AF，于是有 AE=BF； （3）利用四边形 ABCD 的面积=S△PAB﹣S△PCD，和三角形面积公式得到 •（3﹣ ）•（1﹣ a）﹣ •1•（﹣ ）= ，整理得 2a2+3a=0，然后解方程求出 a 的值，再写出 P 点坐标． 解答： 解：（1）把 B（1，3）代入 y= 得 k=1×3=3； 故答案为 3； ∵AD=4，AB=3， ∴BD=5， S△CFE=（ ）2•S△DAB = × ×3×4 = ． ∴S 矩形 ABCD=2S△CFE = ． ∵四边形 EFCG 是矩形， ∴FC∥EG． ∴∠FCE=∠CEG． ∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE， ∴∠GDC=∠FDE． ∵∠FDE+∠CDB=90°， ∴∠GDC+∠CDB=90°． ∴∠GDB=90° Ⅰ．当点 E 在点 A（E′）处时，点 F 在点 B（F′）处，点 G 在点 D（G′处，如图 2①所示． 此时，CF=CB=4． Ⅱ．当点 F 在点 D（F″）处时，直径 F″G″⊥BD， 如图 2②所示， 此时⊙O 与射线 BD 相切，CF=CD=3． Ⅲ．当 CF⊥BD 时，CF 最小，此时点 F 到达 F″′， 如图 2③所示． S△BCD= BC•CD= BD•CF″′． ∴4×3=5×CF″′． ∴CF″′= ． ∴ ≤CF≤4． ∵S 矩形 ABCD= ， ∴ ×（ ）2≤S 矩形 ABCD≤ ×42． ∴ ≤S 矩形 ABCD≤12． ∴矩形 EFCG 的面积最大值为 12，最小值为 ． ②∵∠GDC=∠FDE=定值，点 G 的起点为 D，终点为 G″， ∴点 G 的移动路线是线段 DG″． ∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°， ∴△DCG″∽△DAB． ∴ = ． ∴ = ． ∴DG″= ． ∴点 G 移动路线的长为 ． 点评： 本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半、垂线段定理等知识，考查了动点的移动的路线长，综合 性较强．而发现∠CDG=∠ADB 及∠FCE=∠ADB 是解决本题的关键．