八年级数学上册期末综合练习题及答案3(中考题)

重庆市马灌中学 2014-2015 八年级上期末综合练习 3 考号____________姓名____________总分_________________ 一．选择题（共 12 小题，每题 4 分，共 48 分） 1．（2014•吉州区二模）我国许多城市的“灰霾”天气严重，影响身体健康．“灰霾”天气的最主要成因是直径小于 或等于 2.5 微米的细颗粒物（即 PM2.5），也称为可入肺颗粒物，已知 2.5 微米=0.0000025 米，此数据用科学记 数法表示为（ ）米． A．2.5×106 B．0.25×10﹣5 C．25×10﹣7 D．2.5×10﹣6 2．代数式 中，分式的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列方程中分式方程有（ ）个． （1）x2﹣x+ ；（2） ﹣3=a+4；（3） ；（4） =1． A．1 B．2 C．3 D．以上都不对 4．三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（ ） A．角平分线 B．中位线 C．高 D．中线 5．用五根木棒钉成如下四个图形，具有稳定性的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 6．（2011•宜宾）分式方程 的解是（ ） A．3 B．4 C．5 D．无解 7．（2013•贵港）关于 x 的分式方程 的解是负数，则 m 的取值范围是（ ） A．m＞﹣1 B．m＞﹣1 且 m≠0 C．m≥﹣1 D．m≥﹣1 且 m≠0 8．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A．m（x+y）=mx+my B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4 C．15x2﹣3x=3x（5x﹣1） D．x2﹣9+3x=（x+3）（x﹣3）+3x 9．（2004•聊城）方程 的解是（ ） A．﹣2， B．3， C．﹣2， D．1， 10．（2006•日照）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，A，B 两点在小方格的顶点上，位 置如图所示，点 C 也在小方格的顶点上，且以 A，B，C 为顶点的三角形面积为 1，则点 C的个数为（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 11．（2010•荆门）给出以下判断：（1）线段的中点是线段的重心 （2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心 （3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点 （4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点 那么以上判断中正确的有（ ） A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 12．（2007•玉溪）如图，AE⊥AB 且 AE=AB，BC⊥CD 且 BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所 围成的图形的面积 S 是（ ） A．50 B．62 C．65 D．68 二．填空题（共 6 小题，每题 4 分，共 24 分） 13．在代数式 a，π， ab，a﹣b， ，x2+x+1，5，2a， 中，整式有 _________ 个；单项式有 _________ 个，次数为 2 的单项式是 _________ ；系数为 1 的单项式是 _________ ． 14．要使关于 x 的方程 有唯一的解，那么 m≠ _________ ． 15.如图，在△ABC 中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC 于 D，BE⊥AC 于 E，AD 与 BE 交于 H，则∠CHD= _________ ． 16.（2014•盐都区二模）PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．2.5 微米等 于 0.0000025 米，把 0.000 002 5 用科学记数法表示为 _________ ． 17．若关于 x 的分式方程 无解，则 m= _________ ． 18．（2014•句容市一模）如图，在等边△ABC 中，AC=3，点 O 在 AC 上，且 AO=1．点 P 是 AB 上一点，连接 OP，以线段 OP 为一边作正△OPD，且 O、P、D 三点依次呈逆时针方向，当点 D 恰好落在边 BC 上时，则 AP 的长是 _________ ． 三．解答题（共 8 小题，19-20 每题 7 分，21-24 每题 10 分，25-26 每题 12 分。共 78 分） 19．因式分解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2． 20．（2014•崇明县二模）解方程： + =4． 21．（2008•安顺）若关于 x 的分式方程 的解是正数，求 a 的取值范围． 22．（2012•珠海）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是高，AM 是△ABC 外角∠CAE 的平分线． （1）用尺规作图方法，作∠ADC 的平分线 DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）设 DN 与 AM 交于点 F，判断△ADF 的形状．（只写结果） 23．已知：∠MON=40°，OE 平分∠MON，点 A、B、C 分别是射线 OM、OE、ON 上的动点（A、B、C 不与点 O 重合），连接 AC 交射线 OE 于点 D．设∠OAC=x°． （1）如图 1，若 AB∥ON，则 ①∠ABO 的度数是 _________ ； ②当∠BAD=∠ABD 时，x= _________ ；当∠BAD=∠BDA 时，x= _________ ． （2）如图 2，若 AB⊥OM，则是否存在这样的 x 的值，使得△ADB 中有两个相等的角？若存在，求出 x 的值； 若不存在，说明理由． 24．（2008•西城区一模）已知：如图，△ABC 是等腰直角三角形，D 为 AB 边上的一点，∠ACB=∠DCE=90°， DC=EC． 求证：∠B=∠EAC． 25．（2014•内江）某汽车销售公司经销某品牌 A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年 5 月份 A 款汽车的售价比去年同期每辆降价 1 万元，如果卖出相同数量的 A 款汽车，去年销售额为 100 万元，今年销售 额只有 90 万元． （1）今年 5 月份 A 款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的 B 款汽车，已知 A 款汽车每辆进价为 7.5 万元，B 款汽 车每辆进价为 6 万元，公司预计用不多于 105 万元且不少于 99 万元的资金购进这两款汽车共 15 辆，有几种进货 方案？ （3）如果 B 款汽车每辆售价为 8 万元，为打开 B 款汽车的销路，公司决定每售出一辆 B 款汽车，返还顾客现金 a 万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？ 26．（2014•濮阳二模）在四边形 ABCD 中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E 是 AC 上一点，F 是 AB 延长线上一点，且 CE=BF． 思考验证： （1）求证：DE=DF； （2）在图 1 中，若 G 在 AB 上且∠EDG=60°，试猜想 CE、EG、BG 之间的数量关系并证明； 归纳结论： （3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G 在 AB 上，∠EDG 满足什么 条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明） 探究应用： （4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 2，在四边形 ABCD 中，∠ABC=90°， ∠CAB=∠CAD=30°，E 在 AB 上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若 AE=3，求 BE 的长． 参考答案 一．选择题（共 12 小题） 1． 解：0.0000025=2.5×10﹣6，x.k.b.1 故选：D． 2． 解：分式共有 2 个，故选 B． 3.解：（1）x2﹣x+ 不是等式，故不是分式方程； （2） ﹣3=a+4 是分式方程； （3） 是无理方程，不是分式方程； （4） =1 是分式方程． 故选 B． 4．解： （1） 三角形的角平分线把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定； （2） 三角形的中位线把三角形分成两部分，这两部分的面积经计算得： 三角形面积为梯形面积的 ； （3） 三角形的高把三角形分成两部分，这两部分的面积比分情况而定； （4） 三角形的中线 AD 把三角形分成两部分，△ABD 的面积为 •BD•AE，△ACD 面积为 •CD•AE； 因为 AD 为中线，所以 D 为 BC 中点，所以 BD=CD， 所以△ABD 的面积等于△ACD 的面积． ∴三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分 5． 解：第一个图形分成两个三角形，具有稳定性， 第二个图形根据三角形具有稳定性，左边与上边的木棒稳定，所以，另两根也稳定； 第三个图形，根据三角形具有稳定性，左边与上边的木棒稳定，所以，另两根也稳定； 第四个图形，根据三角形具有稳定性，右边与下边的木棒稳定，所以，另两根也稳定， 所以具有稳定性的有 4 个． 故选 D． 6．解： 方程两边乘以最简公分母 2（x﹣1）得： x﹣1=4， 解得：x=5， 检验：把 x=5 代入 2（x﹣1）=8≠0， ∴原分式方程的解为 x=5． 故选 C． 7．解：方程两边同乘（x+1），得 m=﹣x﹣1 解得 x=﹣1﹣m， ∵x＜0， ∴﹣1﹣m＜0， 解得 m＞﹣1， 又 x+1≠0， ∴﹣1﹣m+1≠0， ∴m≠0， 即 m＞﹣1 且 m≠0． 故选：B． 8． 解：A、不是因式分解，是整式乘法，故本选项错误； B、等式的右边不是整式的积的形式，即不是因式分解，故本选项错误； C、根据因式分解的定义，此式是因式分解，故本选项正确； D、等式的右边不是整式的积的形式，即不是因式分解，故本选项错误； 故选 C． 9．解：设 y= ，原方程可化为 y2﹣y﹣2=0， 分解得（y﹣2）（y+1）=0， 解得 y=2 或﹣1．∴ =2， =﹣1， 解得 x= 或 1． 经检验，都 x= 或 1 是原 方程的解． 故选 D． 10 解：C 点所有的情况如图所示： 故选 D． 11． 解：（1）线段的中点到线段两个端点的距离相等，为线段的重心，正确； （2）三角形的中线平分三角形的三条边，所以三条中线的交点为三角形的重心，正确； （3）平行四边形对角线的交点到平行四边形对角顶点的距离相等，为平行四边形的中心，正确； （4）利用平行可得三角形的重心把中线分为 1：2 两部分，所以是它的中线的一个三等分点，正确； 故选 D． 12． 解：∵AE⊥AB 且 AE=AB，EF⊥FH，BG⊥FH ⇒ ∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°， ∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90° ⇒ ∠EAF=∠ABG， ∴AE=AB，∠EFA=∠AGB，∠EAF=∠ABG ⇒ △EFA≌△ABG ∴AF=BG，AG=EF． 同理证得△BGC≌△DHC 得 GC=DH，CH=BG． 故 FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16 故 S= （6+4）×16﹣3×4﹣6×3=50． 故选 A． 二．填空题（共 6 小题） 13．在代数式 a，π， ab，a﹣b， ，x2+x+1，5，2a， 中，整式有 8 个；单项式有 5 个，次数为 2 的单项式是 ab ；系数为 1 的单项式是 a ． 14．要使关于 x 的方程 有唯一的解，那么 m≠ 3 ． 15．如图，在△ABC 中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC 于 D，BE⊥AC 于 E，AD 与 BE 交于 H，则∠CHD= 45° ． 解：在△ABC 中，三边的高交于一点，所以 CF⊥AB， ∵∠BAC=75°，且 CF⊥AB，∴∠ACF=15°， ∵∠ACB=60°，∴∠BCF=45° 在△CDH 中，三内角之和为 180°， ∴∠CHD=45°， 故答案为∠CHD=45°． 16．（2014•盐都区二模）PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．2.5 微米 等于 0.0000025 米，把 0.000 002 5 用科学记数法表示为 2.5×10﹣6 ． 17. 解：（1）x=﹣2 为原方程的增根， 此时有 2（x+2）+mx=3（x﹣2），即 2×（﹣2+2）﹣2m=3×（﹣2﹣2）， 解得 m=6． （2）x=2 为原方程的增根， 此时有 2（x+2）+mx=3（x﹣2），即 2×（2+2）+2m=3×（2﹣2）， 解得 m=﹣4． （3）方程两边都乘（x+2）（x﹣2）， 得 2（x+2）+mx=3（x﹣2）， 化简得：（m﹣1）x=﹣10． 当 m=1 时，整式方程无解． 综上所述，当 m=﹣4 或 m=6 或 m=1 时，原方程无解 7．若关于 x 的分式方程 无解，则 m= ﹣4 或 6 或 1 ． 18．（2014•句容市一模）如图，在等边△ABC 中，AC=3，点 O 在 AC 上，且 AO=1．点 P 是 AB 上一点，连接 OP，以线段 OP 为一边作正△OPD，且 O、P、D 三点依次呈逆时针方向，当点 D 恰好落在边 BC 上时，则 AP 的长是 2 ． 解：∵∠C=∠A=∠DOP=60°，OD=OP， ∴∠CDO+∠COD=120°，∠COD+∠AOP=120°， ∴∠CDO=∠AOP． ∴△ODC≌△POA． ∴AP=OC． ∴AP=OC=AC﹣AO=2． 故答案为 2． 三．解答题（共 8 小题） 19．因式分解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2． 解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2 =（x+y）（x﹣y）[（x+y）﹣（x﹣y） ]=2y（x+y）（x﹣y） 20．（2014•崇明县二模）解方程： + =4． 解：设 y= ， 得： +y=4， y2﹣4y+3=0， 解得 y1 =1，y2=3． 当 y1=3 时， =1，x2﹣x+1=0，此方程没有数解． 当 y2=3 时， =3，x2﹣3x+1=0，解得 x= ． 经检验 x= 都是原方程的根， 所以原方程的根是 x= ． 21．（2008•安顺）若关于 x 的分式方程 的解是正数，求 a 的取值范围． 解：去分母，得 2x+a=2﹣x 解得：x= ，∴ ＞0 ∴2﹣a＞0， ∴a＜2，且 x≠2， ∴a≠﹣4 ∴a＜2 且 a≠﹣4． 22．（2012•珠海）如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是高，AM 是△ABC 外角∠CAE 的平分线． （1）用尺规作图方法，作∠ADC 的平分线 DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）设 DN 与 AM 交于点 F，判断△ADF 的形状．（只写结果） ：（1）如图所示： （2）△ADF 的形状是等腰直角三角形， 理由是：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵AF 平分∠EAC， ∴∠EAF=∠FAC， ∵∠FAD=∠FAC+∠DAC= ∠EAC+ ∠BAC= ×180°=90°， 即△ADF 是直角三角形， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB， ∴∠EAF=∠B， ∴AF∥BC， ∴∠AFD=∠FDC， ∵DF 平分∠ADC， ∴∠ADF=∠FDC=∠AFD， ∴AD=AF， 即直角三角形 ADF 是等腰直角三角形． 23．已知：∠MON=40°，OE 平分∠MON，点 A、B、C 分别是射线 OM、OE、ON 上的动点（A、B、C 不与点 O 重合），连接 AC 交射线 OE 于点 D．设∠OAC=x°． （1）如图 1，若 AB∥ON，则 ①∠ABO 的度数是 20° ； ②当∠BAD=∠ABD 时，x= 120° ；当∠BAD=∠BDA 时，x= 60° ． （2）如图 2，若 AB⊥OM，则是否存在这样的 x 的值，使得△ADB 中有两个相等的角？若存在，求出 x 的值； 若不存在，说明理由． 解：（1）①∵∠MON=40°，OE 平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20° ∵AB∥ON∴∠ABO=20° ②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120° ∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60° 故答案为：①20 ②120，60 （2）①当点 D 在线段 OB 上时， 若∠BAD=∠ABD，则 x=20 若∠BAD=∠BDA，则 x=35 若∠ADB=∠ABD，则 x=50[来源:Z*xx*k.Com] ②当点 D 在射线 BE 上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为 180°， 所以只有∠BAD=∠BDA，此时 x=125． 综上可知，存在这样的 x 的值，使得△ADB 中有两个相等的角， 且 x=20、35、50、125． 24．（2008•西城区一模）已知：如图，△ABC 是等腰直角三角形，D 为 AB 边上的一点，∠ACB=∠DCE=90°， DC=EC． 求证：∠B=∠EAC． 证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴AC=CB． ∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠ACE=90°﹣∠ACD=∠DCB． 在△ACE 和△BCD 中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）． ∴∠B=∠EAC（全等三角形的对应角相等） 25．（2014•内江）某汽车销售公司经销某品牌 A 款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年 5 月份 A 款汽车的售价比去年同期每辆降价 1 万元，如果卖出相同数量的 A 款汽车，去年销售额为 100 万元，今年销售 额只有 90 万元． （1）今年 5 月份 A 款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的 B 款汽车，已知 A 款汽车每辆进价为 7.5 万元，B 款汽 车每辆进价为 6 万元，公司预计用不多于 105 万元且不少于 99 万元的资金购进这两款汽车共 15 辆，有几种进货 方案？ （3）如果 B 款汽车每辆售价为 8 万元，为打开 B 款汽车的销路，公司决定每售出一辆 B 款汽车，返还顾客现金 a 万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？ 解：（1）设今年 5 月份 A 款汽车每辆售价 m 万元．则： ， 解得：m=9． 经检验，m=9 是原方程的根且符合题意． 答：今年 5 月份 A 款汽 车每辆售价 9万元； （2）设购进 A 款汽车 x 辆．则： 99≤7.5x+6（15﹣x）≤105． 解得：6≤x≤10． ∵x 的正整数解为 6，7，8，9，10， ∴共有 5 种进货方案； （3）设总获利为 W 元，购进 A 款汽车 x 辆，则： W=（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）=（a﹣0.5）x+30﹣15a． 当 a=0.5 时，（2）中所有方案获利相同． 此时，购买 A 款汽车 6 辆，B 款汽车 9 辆时对公司更有利． 26．（2014•濮阳二模）在四边形 ABCD 中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E 是 AC 上一点，F 是 AB 延长线上一点，且 CE=BF． 思考验证： （1）求证：DE=DF； （2）在图 1 中，若 G 在 AB 上且∠EDG=60°，试猜想 CE、EG、BG 之间的数量关系并证明； 归纳结论： （3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G 在 AB 上，∠EDG 满足什么 条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明） 探究应用： （4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 2，在四边形 A BCD 中，∠ABC=90°， ∠CAB=∠CAD=30°，E 在 AB 上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若 AE=3，求 BE 的长． 1）证明：∵∠A+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠A=60°，∠CDB=120°， ∴∠C+∠ABD=180°， ∵∠ABD+∠DBF=180°， ∴∠C=∠DBF， 在△DEC 和△DFB 中， ∴△DEC≌△DFB， ∴DE=DF． （2）解：CE+BG=EG， 证明：连接 DA， 在△ACD 和△ABD 中 ， ∴△ACD≌△ABD， ∴∠CDA=∠BDA=60°， ∵∠EDG=∠EDA+∠ADG=∠ADG+∠GDB=60°， ∴∠CDE=∠ADG，∠EDA=∠GDB， ∵∠BDF=∠CDE， ∴∠GDB+∠BDF=60°， 在△DGF 和△DEG 中 ， ∴△DGF≌△DEG， ∴FG=EG， ∵CE=BF， ∴CE+BG=EG． （3）解：∠EDG= （180°﹣α）， （4）解：过 C 作 CM⊥AD 交 AD 的延长线于 M， 在△AMC 和△ABC 中 ， ∴△AMC≌△ABC， ∴AM=AB．CM=BC， 由（1）（2）（3）可知：DM+BE=DE， ∵AE=3，∠AED=90°，∠DAB=60°， ∴AD=6， 由勾股定理得：DE=3 ， ∴DM=AM﹣AD=AB﹣6=BE+3﹣6=BE﹣3， ∴BE﹣3+BE=3 ， 即 BE= （3 +3）．