2014年苏州市中考数学试卷及答案解析

江苏省苏州市 2014 年中考数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）（2014•苏州）（﹣3）×3 的结果是（ ） A．﹣9 B．0 C．9 D．﹣6 考点：有理数的乘法． 分析：根据两数相乘，异号得负，可得答案． 解答：解：原式=﹣3×3=﹣9， 故选：A． 点评：本题考查了有理数的乘法，先确定积的符号，再进行绝对值得运算． 2．（3 分）（2014•苏州）已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=30°，则∠β的度数为（ ） A．30° B．60° C．70° D．150° 考点：对顶角、邻补角 分析：根据对顶角相等可得∠β与∠α的度数相等为 30°． 解答：解：∵∠α和∠β是对顶角，∠α=30°， ∴根据对顶角相等可得∠β=∠α=30°． 故选：A． 点评：本题主要考查了对顶角相等的性质，比较简单． 3．（3 分）（2014•苏州）有一组数据：1，3，3，4，5，这组数据的众数为（ ） A．1 B．3 C．4 D．5 考点：众数 分析：根据众数的概念求解． 解答：解：这组数据中 3 出现的次数最多， 故众数为 3． 故选 B 点评：本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 4．（3 分）（2014•苏州）若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） A．x≤﹣4 B．x≥﹣4 C．x≤4 D．x≥4 考点：二次根式有意义的条件 分析：二次根式有意义，被开方数是非负数． 解答：解：依题意知，x﹣4≥0， 解得 x≥4． 故选：D． 点评：考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式 中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 5．（3 分）（2014•苏州）如图，一个圆形转盘被分成 6 个圆心角都为 60°的扇形，任意转动 这个转盘 1 次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（ ） A． B． C． D． 考点：几何概率． 分析：设圆的面积为 6，易得到阴影区域的面积为 4，然后根据概率的概念计算即可． 解答：解：设圆的面积为 6， ∵圆被分成 6 个相同扇形， ∴每个扇形的面积为 1， ∴阴影区域的面积为 4， ∴指针指向阴影区域的概率= = ． 故选 D． 点评：本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积 n，再计算 出其中某个区域的几何图形的面积 m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域 的事件的概率= ． 6．（3 分）（2014•苏州）如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 上，AB=AD=DC，∠B=80°，则∠ C 的度数为（ ） A．30° B．40° C．45° D．60° 考点：等腰三角形的性质 分析：先根据等腰三角形的性质求出∠ADB 的度数，再由平角的定义得出∠ADC 的度数， 根据等腰三角形的性质即可得出结论． 解答：解：∵△ABD 中，AB=AD，∠B=80°， ∴∠B=∠ADB=80°， ∴∠ADC=180°﹣∠ADB=100°， ∵AD=CD， ∴∠C= = =40°． 故选 B． 点评：本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键． 7．（3 分）（2014•苏州）下列关于 x 的方程有实数根的是（ ） A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0D．（x﹣1）2+1=0 考点：根的判别式． 菁优网版 权所有 专题：计算题． 分析：分别计算 A、B 中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对 C 进行判断；根据非负数的性质对 D 进行判断． 解答：解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以 A 选项错误； B、△=12﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以 B 选项错误； C、x﹣1=0 或 x+2=0，则 x1=1，x2=﹣2，所以 C 选项正确； D、（x﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为 0，所以方程没有实数根，所以 D 选项错误． 故选 C． 点评：本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方 程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有 实数根． 8．（3 分）（2014•苏州）二次函数 y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式 1 ﹣a﹣b 的值为（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．5 考点：二次函数图象上点的坐标特征． 菁优网版 权所有 分析：把点（1，1）代入函数解析式求出 a+b，然后代入代数式进行计算即可得解． 解答：解：∵二次函数 y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1）， ∴a+b﹣1=1， ∴a+b=2， ∴1﹣a﹣b=1﹣（a+b）=1﹣2=﹣1． 故选 B． 点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的关键． 9．（3 分）（2014•苏州）如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA=4km，某船从港口 A 出发，沿北偏东 15°方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60°的方向，则该船航行的距离（即 AB 的长）为（ ） A．4km B．2 km C．2 km D．（ +1）km 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 菁优网版 权所有 分析：过点 A 作 AD⊥OB 于 D．先解 Rt△AOD，得出 AD= OA=2，再由△ABD 是等腰直 角三角形，得出 BD=AD=2，则 AB= AD=2 ． 解答：解：如图，过点 A 作 AD⊥OB 于 D． 在 Rt△AOD 中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4， ∴AD= OA=2． 在 Rt△ABD 中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°， ∴BD=AD=2， ∴AB= AD=2 ． 即该船航行的距离（即 AB 的长）为 2 km． 故选 C． 点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角 形是解题的关键． 10．（3 分）（2014•苏州）如图，△AOB 为等腰三角形，顶点 A 的坐标（2， ），底边 OB 在 x 轴上．将△AOB 绕点 B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B′，点 A 的对应点 A′在 x 轴上，则点 O′的坐标为（ ） A．（ ， ） B．（ ， ） C．（ ， ） D．（ ，4 ） 考点：坐标与图形变化-旋转． 菁优网版 权所有 分析：过点 A 作 AC⊥OB 于 C，过点 O′作 O′D⊥A′B 于 D，根据点 A 的坐标求出 OC、 AC，再利用勾股定理列式计算求出 OA，根据等腰三角形三线合一的性质求出 OB， 根据旋转的性质可得 BO′=OB，∠A′BO′=∠ABO，然后解直角三角形求出 O′D、 BD，再求出 OD，然后写出点 O′的坐标即可． 解答：解：如图，过点 A 作 AC⊥OB 于 C，过点 O′作 O′D⊥A′B 于 D， ∵A（2， ）， ∴OC=2，AC= ， 由勾股定理得，OA= = =3， ∵△AOB 为等腰三角形，OB 是底边， ∴OB=2OC=2×2=4， 由旋转的性质得，BO′=OB=4，∠A′BO′=∠ABO， ∴O′D=4× = ， BD=4× = ， ∴OD=OB+BD=4+ = ， ∴点 O′的坐标为（ ， ）． 故选 C． 点评：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直 角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．（3 分）（2014•苏州） 的倒数是 ． 考点：倒数．菁优网版 权所有 分析：根据乘积为 1 的两个数倒数，可得一个数的倒数． 解答：解： 的倒数是 ， 故答案为： ． 点评：本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键． 12．（3 分）（2014•苏州）已知地球的表面积约为 510000000km2，数 510000000 用科学记数 法可表示为 5.1×108 ． 考点：科学记数法—表示较大的数．菁优网版 权所有 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值是易 错点，由于 510000000 有 9 位，所以可以确定 n=9﹣1=8． 解答：解：510 000 000=5.1×108． 故答案为：5.1×108． 点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键． 13．（3 分）（2014•苏州）已知正方形 ABCD 的对角线 AC= ，则正方形 ABCD 的周长为 4 ． 考点：正方形的性质．菁优网版 权所有 分析：根据正方形的对角线等于边长的 倍求出边长，再根据正方形的周长公式列式计算 即可得解． 解答：解：∵正方形 ABCD 的对角线 AC= ， ∴边长 AB= ÷ =1， ∴正方形 ABCD 的周长=4×1=4． 故答案为：4． 点评：本题考查了正方形的性质，比较简单，熟记正方形的对角线等于边长的 倍是解题 的关键． 14．（3 分）（2014•苏州）某学校计划开设 A、B、C、D 四门校本课程供全体学生选修，规 定每人必须并且只能选修其中一门，为了了解个门课程的选修人数．现从全体学生中随机抽 取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图．已知该校全体学生人 数为 1200 名，由此可以估计选修 C 课程的学生有 240 人． 考点：用样本估计总体；条形统计图． 菁优网版 权所有 分析：根据样本的数据，可得样本 C 占样本的比例，根据样本的比例，可 C 占总体的比例， 根据总人数乘以 C 占得比例，可得答案． 解答：解：C 占样本的比例 ， C 占总体的比例是 ， 选修 C 课程的学生有 1200× =240（人）， 故答案为：240． 点评：本题考查了用样本估计总体，先求出样本所占的比例，估计总体中所占的比例． 15．（3 分）（2014•苏州）如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC= ∠BAC，则 tan∠BPC= ． 考点：锐角三角函数的定义；等腰三角形的性质；勾股定理． 菁优网版 权所有 分析：先过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，求得∠BAE= ∠BAC，故∠BPC=∠BAE．再在 Rt△ BAE 中，由勾股定理得 AE 的长，利用锐角三角函数的定义，求得 tan∠BPC=tan∠ BAE= ． 解答：解：过点 A 作 AE⊥BC 于点 E， ∵AB=AC=5， ∴BE= BC= ×8=4，∠BAE= ∠BAC， ∵∠BPC= ∠BAC， ∴∠BPC=∠BAE． 在 Rt△BAE 中，由勾股定理得 AE= ， ∴tan∠BPC=tan∠BAE= ． 故答案为： ． 点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函 数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 16．（3 分）（2014•苏州）某地准备对一段长 120m 的河道进行清淤疏通．若甲工程队先用 4 天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要 9 天；若甲 工程队先单独工作 8 天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要 3 天．设甲工程队平均每天 疏通河道 xm，乙工程队平均每天疏通河道 ym，则（x+y）的值为 20 ． 考点：二元一次方程组的应用．菁优网版 权所有 分析：设甲工程队平均每天疏通河道 xm，乙工程队平均每天疏通河道 ym，就有 4x+9y=120， 8x+3y=120，由此构成方程组求出其解即可． 解答：解：设甲工程队平均每天疏通河道 xm，乙工程队平均每天疏通河道 ym，由题意，得 ， 解得： ． ∴x+y=20． 故答案为：20． 点评：本题考查了列二元一次房产界实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，工程 问题的数量关系的运用，解答时由工程问题的数量关系建立方程组求出其解是关键． 17．（3 分）（2014•苏州）如图，在矩形 ABCD 中， = ，以点 B 为圆心，BC 长为半径画 弧，交边 AD 于点 E．若 AE•ED= ，则矩形 ABCD 的面积为 5 ． 考点：矩形的性质；勾股定理．菁优网版 权所有 分析：连接 BE，设 AB=3x，BC=5x，根据勾股定理求出 AE=4x，DE=x，求出 x 的值，求出 AB、BC，即可求出答案． 解答：解：如图，连接 BE，则 BE=BC． 设 AB=3x，BC=5x， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB=CD=3x，AD=BC=5x，∠A=90°， 由勾股定理得：AE=4x， 则 DE=5x﹣4x=x， ∵AE•ED= ， ∴4x•x= ， 解得：x= （负数舍去）， 则 AB=3x= ，BC=5x= ， ∴矩形 ABCD 的面积是 AB×BC= × =5， 故答案为：5． 点评：本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是求出 x 的值，题目比较好， 难度适中． 18．（3 分）（2014•苏州）如图，直线 l 与半径为 4 的⊙O 相切于点 A，P 是⊙O 上的一个动 点（不与点 A 重合），过点 P 作 PB⊥l，垂足为 B，连接 PA．设 PA=x，PB=y，则（x﹣y） 的最大值是 2 ． 考点：切线的性质． 菁优网版 权所有 分析：作直径 AC，连接 CP，得出△APC∽△PBA，利用 = ，得出 y= x2，所以 x﹣y=x ﹣ x2=﹣ x2+x=﹣ （x﹣4）2+2，当 x=4 时，x﹣y 有最大值是 2． 解答：解：如图，作直径 AC，连接 CP， ∴∠CPA=90°， ∵AB 是切线， ∴CA⊥AB， ∵PB⊥l， ∴AC∥PB， ∴∠CAP=∠APB， ∴△APC∽△PBA， ∴ = ， ∵PA=x，PB=y，半径为 4 ∴ = ， ∴y= x2， ∴x﹣y=x﹣ x2=﹣ x2+x=﹣ （x﹣4）2+2， 当 x=4 时，x﹣y 有最大值是 2， 故答案为：2． 点评：此题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的 性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 三、解答题（共 11 小题，共 76 分） 19．（5 分）（2014•苏州）计算：22+|﹣1|﹣ ． 考点：实数的运算． 菁优网版 权所有 专题：计算题． 分析：原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用 平方根定义化简，计算即可得到结果． 解答：解：原式=4+1﹣2=3． 点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则解本题的关键． 20．（5 分）（2014•苏州）解不等式组： ． 考点：解一元一次不等式组． 菁优网版 权所有 专题：计算题． 分析：分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可． 解答： 解： ， 由①得：x＞3；由②得：x≤4， 则不等式组的解集为 3＜x≤4． 点评：此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 21．（5 分）（2014•苏州）先化简，再求值： ，其中 ． 考点：分式的化简求值． 菁优网版 权所有 分析：分式的化简，要熟悉混合运算的顺序，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要 统一为乘法运算，注意化简后，将 ，代入化简后的式子求出即可． 解答： 解： = ÷（ + ） = ÷ = × = ， 把 ，代入原式= = = = ． 点评：此题主要考查了分式混合运算，要注意分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要 统一为乘法运算是解题关键． 22．（6 分）（2014•苏州）解分式方程： + =3． 考点：解分式方程． 菁优网版 权所有 专题：计算题． 分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分 式方程的解． 解答：解：去分母得：x﹣2=3x﹣3， 解得：x= ， 经检验 x= 是分式方程的解． 点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整 式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 23．（6 分）（2014•苏州）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点 D、F 分别在 AB、AC 上， CF=CB，连接 CD，将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°后得 CE，连接 EF． （1）求证：△BCD≌△FCE； （2）若 EF∥CD，求∠BDC 的度数． 考点：全等三角形的判定与性质；旋转的性质． 菁优网版 权所有 分析：（1）由旋转的性质可得：CD=CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD=∠FCE，再 根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE； （2）由（1）可知：△BCD≌△FCE，所以∠BDC=∠E，易求∠E=90°，进而可求出 ∠BDC 的度数． 解答：（1）证明：∵将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°后得 CE， ∴CD=CE，∠DCE=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE， 在△BCD 和△FCE 中， ， ∴△BCD≌△FCE（SAS）． （2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE， ∴∠BDC=∠E， ∵EF∥CD， ∴∠E=180°﹣∠DCE=90°， ∴∠BDC=90°． 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质， 全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三 角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 24．（7 分）（2014•苏州）如图，已知函数 y=﹣ x+b 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B， 与函数 y=x 的图象交于点 M，点 M 的横坐标为 2，在 x 轴上有一点 P（a，0）（其中 a＞2）， 过点 P 作 x 轴的垂线，分别交函数 y=﹣ x+b 和 y=x 的图象于点 C、D． （1）求点 A 的坐标； （2）若 OB=CD，求 a 的值． 考点：两条直线相交或平行问题． 菁优网版 权所有 专题：计算题． 分析：（1）先利用直线 y=x 上的点的坐标特征得到点 M 的坐标为（2，2），再把 M（2，2） 代入 y=﹣ x+b 可计算出 b=3，得到一次函数的解析式为 y=﹣ x+3，然后根据 x 轴上 点的坐标特征可确定 A 点坐标为（6，0）； （2）先确定 B 点坐标为（0，3），则 OB=CD=3，再表示出 C 点坐标为（a，﹣ a+3）， D 点坐标为（a，a），所以 a﹣（﹣ a+3）=3，然后解方程即可． 解答：解：（1）∵点 M 在直线 y=x 的图象上，且点 M 的横坐标为 2， ∴点 M 的坐标为（2，2）， 把 M（2，2）代入 y=﹣ x+b 得﹣1+b=2，解得 b=3， ∴一次函数的解析式为 y=﹣ x+3， 把 y=0 代入 y=﹣ x+3 得﹣ x+3=0，解得 x=6， ∴A 点坐标为（6，0）； （2）把 x=0 代入 y=﹣ x+3 得 y=3， ∴B 点坐标为（0，3）， ∵CD=OB， ∴CD=3， ∵PC⊥x 轴， ∴C 点坐标为（a，﹣ a+3），D 点坐标为（a，a） ∴a﹣（﹣ a+3）=3， ∴a=4． 点评：本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对 应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么 他们的自变量系数相同，即 k 值相同． 25．（7 分）（2014•苏州）如图，用红、蓝两种颜色随机地对 A、B、C 三个区域分别进行涂 色，每个区域必须涂色并且只能涂一种颜色，请用列举法（画树状图或列表）求 A、C 两个 区域所涂颜色不相同的概率． 考点：列表法与树状图法．菁优网版 权所有 专题：计算题． 分析：画树状图得出所有等可能的情况数，找出 A 与 C 中颜色不同的情况数，即可求出所 求的概率． 解答：解：画树状图，如图所示： 所有等可能的情况有 8 种，其中 A、C 两个区域所涂颜色不相同的有 4 种， 则 P= = ． 点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 26．（8 分）（2014•苏州）如图，已知函数 y= （x＞0）的图象经过点 A、B，点 A 的坐标 为（1，2），过点 A 作 AC∥y 轴，AC=1（点 C 位于点 A 的下方），过点 C 作 CD∥x 轴，与 函数的图象交于点 D，过点 B 作 BE⊥CD，垂足 E 在线段 CD 上，连接 OC、OD． （1）求△OCD 的面积； （2）当 BE= AC 时，求 CE 的长． 考点：反比例函数系数 k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版 权所有 分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据图象上的点满足函数解析式，可得 D 点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案； （2）根据 BE 的长，可得 B 点的纵坐标，根据点在函数图象上，可得 B 点横坐标， 根据两点间的距离公式，可得答案． 解答：解；（1）y= （x＞0）的图象经过点 A（1，2）， ∴k=2． ∵AC∥y 轴，AC=1， ∴点 C 的坐标为（1，1）． ∵CD∥x 轴，点 D 在函数图象上， ∴点 D 的坐标为（2，1）． ∴ ． （2）∵BE= ， ∴ ． ∵BE⊥CD， ∴点 B 的横坐标是 ，纵坐标是 ． ∴CE= ． 点评：本题考查了反比例函数 k 的几何意义，利用待定系数法求解析式，图象上的点满足函 数解析式． 27．（8 分）（2014•苏州）如图，已知⊙O 上依次有 A、B、C、D 四个点， = ，连接 AB、AD、BD，弦 AB 不经过圆心 O，延长 AB 到 E，使 BE=AB，连接 EC，F 是 EC 的中 点，连接 BF． （1）若⊙O 的半径为 3，∠DAB=120°，求劣弧 的长； （2）求证：BF= BD； （3）设 G 是 BD 的中点，探索：在⊙O 上是否存在点 P（不同于点 B），使得 PG=PF？并说 明 PB 与 AE 的位置关系． 考点：圆的综合题． 菁优网版 权所有 分析： （1）利用圆心角定理进而得出∠BOD=120°，再利用弧长公式求出劣弧 的长； （2）利用三角形中位线定理得出 BF= AC，再利用圆心角定理得出 = ，进而 得出 BF= BD； （3）首先过点 B 作 AE 的垂线，与⊙O 的交点即为所求的点 P，得出 BP⊥AE，进而 证明△PBG≌△PBF（SAS），求出 PG=PF． 解答：（1）解：连接 OB，OD， ∵∠DAB=120°，∴ 所对圆心角的度数为 240°， ∴∠BOD=120°， ∵⊙O 的半径为 3， ∴劣弧 的长为： ×π×3=2π； （2）证明：连接 AC， ∵AB=BE，∴点 B 为 AE 的中点， ∵F 是 EC 的中点，∴BF 为△EAC 的中位线， ∴BF= AC， ∵ = ， ∴ + = + ， ∴ = ， ∴BD=AC， ∴BF= BD； （3）解：过点 B 作 AE 的垂线，与⊙O 的交点即为所求的点 P， ∵BF 为△EAC 的中位线， ∴BF∥AC， ∴∠FBE=∠CAE， ∵ = ， ∴∠CAB=∠DBA， ∵由作法可知 BP⊥AE， ∴∠GBP=∠FBP， ∵G 为 BD 的中点， ∴BG= BD， ∴BG=BF， 在△PBG 和△PBF 中， ， ∴△PBG≌△PBF（SAS）， ∴PG=PF． 点评：此题主要考查了圆的综合应用以及全等三角形的判定与性质和弧长公式以及圆心角 定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 28．（9 分）（2014•苏州）如图，已知 l1⊥l2，⊙O 与 l1，l2 都相切，⊙O 的半径为 2cm，矩 形 ABCD 的边 AD、AB 分别与 l1，l2 重合，AB=4 cm，AD=4cm，若⊙O 与矩形 ABCD 沿 l1 同时向右移动，⊙O 的移动速度为 3cm，矩形 ABCD 的移动速度为 4cm/s，设移动时间 为 t（s） （1）如图①，连接 OA、AC，则∠OAC 的度数为 105 °； （2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O 到达⊙O1 的位置，矩形 ABCD 到达 A1B1C1D1 的位置，此时点 O1，A1，C1 恰好在同一直线上，求圆心 O 移动的距离（即 OO1 的长）； （3）在移动过程中，圆心 O 到矩形对角线 AC 所在直线的距离在不断变化，设该距离为 d （cm），当 d＜2 时，求 t 的取值范围（解答时可以利用备用图画出相关示意图）． 考点：圆的综合题． 菁优网版 权所有 分析：（1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进 而得出答案； （2）首先得出，∠C1A1D1=60°，再利用 A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2，求出 t 的值，进 而得出 OO1=3t 得出答案即可； （3）①当直线 AC 与⊙O 第一次相切时，设移动时间为 t1，②当直线 AC 与⊙O 第二 次相切时，设移动时间为 t2，分别求出即可． 解答：解：（1）∵l1⊥l2，⊙O 与 l1，l2 都相切， ∴∠OAD=45°， ∵AB=4 cm，AD=4cm， ∴CD=4 cm，AD=4cm， ∴tan∠DAC= = = ， ∴∠DAC=60°， ∴∠OAC 的度数为：∠OAD+∠DAC=105°， 故答案为：105； （2）如图位置二，当 O1，A1，C1 恰好在同一直线上时，设⊙O1 与 l1 的切点为 E， 连接 O1E，可得 O1E=2，O1E⊥l1， 在 Rt△A1D1C1 中，∵A1D1=4，C1D1=4 ， ∴tan∠C1A1D1= ，∴∠C1A1D1=60°， 在 Rt△A1O1E 中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°， ∴A1E= = ， ∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2， ∴t﹣2= ， ∴t= +2， ∴OO1=3t=2 +6； （3）①当直线 AC 与⊙O 第一次相切时，设移动时间为 t1， 如图，此时⊙O 移动到⊙O2 的位置，矩形 ABCD 移动到 A2B2C2D2 的位置， 设⊙O2 与直线 l1，A2C2 分别相切于点 F，G，连接 O2F，O2G，O2A2， ∴O2F⊥l1，O2G⊥A2G2， 由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°， ∴∠O2A2F=60°， 在 Rt△A2O2F 中，O2F=2，∴A2F= ， ∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+ ， ∴4t1+ ﹣3t1=2， ∴t1=2﹣ ， ②当直线 AC 与⊙O 第二次相切时，设移动时间为 t2， 记第一次相切时为位置一，点 O1，A1，C1 共线时位置二，第二次相切时为位置三， 由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等， ∴ +2﹣（2﹣ ）=t2﹣（ +2）， 解得：t2=2+2 ， 综上所述，当 d＜2 时，t 的取值范围是：2﹣ ＜t＜2+2 ． 点评：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论以及数形结 合 t 的值是解题关键． 29．（10 分）（2014•苏州）如图，二次函数 y=a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中 a，m 是常数，且 a ＞0，m＞0）的图象与 x 轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴交于 C（0， ﹣3），点 D 在二次函数的图象上，CD∥AB，连接 AD，过点 A 作射线 AE 交二次函数的图 象于点 E，AB 平分∠DAE． （1）用含 m 的代数式表示 a； （2）求证： 为定值； （3）设该二次函数图象的顶点为 F，探索：在 x 轴的负半轴上是否存在点 G，连接 GF，以 线段 GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足 要求的点 G 即可，并用含 m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题． 菁优网版 权所有 分析：（1）由 C 在二次函数 y=a（x2﹣2mx﹣3m2）上，则其横纵坐标必满足方程，代入即 可得到 a 与 c 的关系式． （2）求证 为定值，一般就是计算出 AD、AE 的值，然后相比．而求其长，过 E、 D 作 x 轴的垂线段，进而通过设边长，利用直角三角形性质得方程求解，是求解此类 问题的常规思路，如此易得定值． （3）要使线段 GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且（2）中 = ， 则可考虑若 GF 使得 AD：GF：AE=3：4：5 即可．由 AD、AE、F 点都易固定，且 G 在 x 轴的负半轴上，则易得 G 点大致位置，可连接 CF 并延长，证明上述比例 AD： GF：AE=3：4：5 即可． 解答：（1）解：将 C（0，﹣3）代入二次函数 y=a（x2﹣2mx﹣3m2）， 则﹣3=a（0﹣0﹣3m2）， 解得 a= ． （2）证明：如图 1，过点 D、E 分别作 x 轴的垂线，垂足为 M、N． 由 a（x2﹣2mx﹣3m2）=0， 解得 x1=﹣m，x2=3m， 则 A（﹣m，0），B（3m，0）． ∵CD∥AB， ∴点 D 的坐标为（2m，﹣3）． ∵AB 平分∠DAE， ∴∠DAM=∠EAN， ∵∠DMA=∠ENA=90°， ∴△ADM∽△AEN． ∴ = = ． 设 E 坐标为（x， ）， ∴ = ， ∴x=4m， ∴E（4m，5）， ∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m， ∴ = = ，即为定值． （3）解：如图 2，记二次函数图象顶点为 F，则 F 的坐标为（m，﹣4），过点 F 作 FH ⊥x 轴于点 H． 连接 FC 并延长，与 x 轴负半轴交于一点，此点即为所求的点 G． ∵tan∠CGO= ，tan∠FGH= ， ∴ = ， ∴OG=3m． ∵GF= = =4 ， AD= = =3 ， ∴ = ． ∵ = ， ∴AD：GF：AE=3：4：5， ∴以线段 GF，AD，AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时 G 点的横坐标 为﹣3m． 点评：本题考查了二次函数性质、勾股定理及利用直角三角形性质求解边长等知识，总体来 说本题虽难度稍难，但问题之间的提示性较明显，所以是一道质量较高的题目．