昌平区初三上学期期末数学试卷及答案

昌平区 2010—2011 学年第一学期初三年级期末考试 数 学 试 卷 2011．1 考 生 须 知 1．本试卷共 6 页，共四道大题，25 个小题，满分 120 分。考试时间 120 分钟。 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和考试编号。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（共 8 道小题，每小题 4 分，共 32 分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．已知 1cos2 A ，则锐角 A 的度数是 A．30 B． 45 C． 60 D． 75 2．抛物线 2 1y x  的顶点坐标是 A． (01)， B． (0 1)， C． (1 0)， D． ( 1 0) ， 3.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，若 40BOC   ， 则∠C 的度数等于 A． 20 B． 40 C． 60 D．80 4．在△ABC 中，∠C=90°，cosA= 5 3 ，那么 tanB 的值等于 A． 3 5 B. 4 5 C. 3 4 D. 4 3 5．两个圆的半径分别是 2cm 和 7cm，圆心距是 5cm，则这两个圆的位置关系是 A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 6．如图，在 ABC△ 中， DE BC∥ ，且 3AE  ， 5,EC  6DE  ，则 BC 等于 Ａ．10 Ｂ．16 Ｃ．12 Ｄ．18 5 7．如图所示，直线 l 与半径为 5 cm 的⊙O 相交于 A、B 两点， 且与半径 OC 垂直，垂足为 H ，AB=8 cm，若要使直线 l 与⊙O 相切， 则 l 应沿 OC 方向向下平移 A． 1cm B．2cm C． 3 cm D．4cm 8．如图，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返回.点 P 在运动过程 中速度始终保持不变，则以点 A 为圆心，线段 AP 长为半径的圆的面积 S 与点 P 的运动时间 t 之间的函数图象大致为 第5题图 C B O A A. B. C. D. 二、填空题（共 4 道小题，每小题 4 分，共 16 分） 9．如图，已知 PA，PB 分别切⊙O 于点 A、B， 60P   ， 8PA  ， 那么弦 AB 的长是 ． 10．圆锥的母线长为 3，底面半径为 2，则它的侧面积为 ． 11．将一副直角三角板（含 45  角的直角三角板 ABC 及含 30  角的直角 三角板 DCB）按图示方式叠放，斜边交点为 O，则△AOB 与△COD 的 面积之比等于 ． 12．如图，以正方形 ABCD 的 AB 边为直径作半圆 O，过点 C 作直线切半圆于点 E，交 AD 边于点 F，则 FE EC = ． 三、解答题（共 10 道小题，共 50 分） 13．（4 分）计算： 1230tan345sin2  14．（4 分）已知: 如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上一点， 且∠AED =∠B.若 AE=5，AB= 9，CB=6 ，求 ED 的长. 15. （5 分）如图，△ABC 内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O 的直径. 16.．．．（．6．分）．．已知二次函数．．．．．． 2y x 2x 3   .． （1）用配方法把该函数化为 khxay  2)( 的形式，并写出抛物线 2 2 3y x x   的 对称轴和顶点坐标； （2）在直角坐标系中，直接画出抛物线 2 2 3y x x   .（注意：关键点要准确，不必写 出画图象的过程.） （3）根据图象回答： ① x 取什么值时，抛物线在 x 轴的上方？ ② x 取什么值时， y 的值随 x 的值的增大而减小？ 17．（5 分）如图，在 ABC△ 中， AD 是边 BC 上的高， E 为边 AC 的中点， 14BC  ， 12AD  ， 4sin 5B  ． （1）求线段 DC 的长； （2）求 tan∠EDC 的值． 18. （5 分）如图，M 为线段 AB 上的点，AE 与 BD 交于点 C， ∠DME＝∠A＝∠B，且 MD 交 AC 于 F，ME 交 BC 于 G． （1）写出图中三对相似三角形； （2）选择（1）中的一个结论进行证明． 19．（5 分）已知：如图，在 Rt ABC△ 中， 90ACB   ， 4AC  ， 4 3BC  ，以 AC 为直 径的 O 交 AB 于点 D ，点 E 是 BC 的中点， OB，DE 相交于点 F． （1）求证： DE 是⊙O 的切线； （2）求 EF：FD 的值． 20．（5 分）小明利用所学的数学知识测量生活中一建筑物的高．他从自家楼房顶 C 处，测 得对面直立的建筑物 AB 的顶端 A 的仰角为 45  ，底端 B 的俯角为 30  ，已量得 21DB  米． （1）在原图中画出从点 C 看点 A 时的仰角及看点 B 时的俯角，并分别标出它们的大小； （2）请你帮助小明求出建筑物 AB 的高． 21．（5 分）已知抛物线 C1： 2 2 1) 1y mx m x m    （ ，其中 m≠0． （1）求证：m 为任意非零实数时，抛物线 C1 与 x 轴总有两个不同的交点； （2）求抛物线 C1 与 x 轴的两个交点的坐标（用含 m 的代数式表示）； （3）将抛物线 C1 沿 x 轴正方向平移一个单位长度得到抛物线 C2，则无论 m 取任何非零实 数，C2 都经过同一个定点，直接写出这个定点的坐标． BM F G D E C A 注：答题卡上的直角坐标系为备用． 22. （6 分）已知⊙O，半径为 6 米 ，⊙O 外一点 P，到圆心 O 的距离为 10 米 ，作射线 PM，PN，使 PM 经过圆心 O，PN 与⊙O 相切，切点为 H． （1）根据上述条件，画出示意图； （2）求 PH 的长； （3）有两动点 A，B，同时从点 P 出发，点 A 以 5 米/秒的速度沿射线 PM 方向运动，点 B 以 4 米/秒的速度沿射线 PN 方向运动．设运动的时间为 t（秒）．当 t 为何值时，直线 AB 与 ⊙O 相切？ 四、解答题（共 3 道小题，共 22 分） 23.（7 分）一家计算机专买店 A 型计算器每只进价 12 元，售价 20 元，多买优惠：凡是一 次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低 0.10 元，例如，某人买 20 只 计算器，于是每只降价 0.10 (20 10) 1   （元），因此，所买的全部 20 只计算器都按每只 19元的价格购买．但是最低价为每只 16 元． （1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？ （2）写出专买店当一次销售 x （x＞10）只时，所获利润 y （元）与 x （只）之间的函数关 系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）一天，甲买了 46 只，乙买了50 只，店主却发现卖 46 只赚的钱反而比卖 50 只赚的钱 多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下， 店家应把最低价每只 16 元至少提高到多少？ 24．（8 分）已知正方形 ABCD，边长为 3，对角线 AC，BD 交点 O,直角 MPN 绕顶点 P 旋 转，角的两边分别与线段 AB,AD 交于点 M，N（不与点 B，A，D 重合）． 设 DN=x，四边 形 AMPN 的面积为 y．在下面情况下，y 随 x 的变化而变化吗？若不变，请求出面积 y 的值； 若变化，请求出 y 与 x 的关系式． （1）如图 1，点 P 与点 O 重合； （2）如图 2，点 P 在正方形的对角线 AC 上，且 AP=2PC； （3）如图 3，点 P 在正方形的对角线 BD 上，且 DP=2PB． 25.（7 分）已知，抛物线 2 2y ax bx   与 x 轴的两个交点分别为 A（1,0），B（4，0）， 与 y 轴的交点为 C． （1）求出抛物线的解析式及点 C 的坐标； （2）点 P 是在直线 x=4 右侧的抛物线上的一动点，过 P 作 PM x 轴，垂足为 M，是 否存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点的三角形与△OCB 相似？若存在，请求出符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 昌平区 2010—2011 学年初三年级期末考试 数学试卷参考答案及评分标准 2011．1 一、选择题（共 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A C D B B A 二、填空题（共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 题 号 9 10 11 12 答 案 8 6 1：3 1 4 三、解答题（共 10 道小题，共 50 分） 13．(4 分)解：原式= 323 332 22  ………………………………3 分 =1- 3 ………………………………4 分 14．（4 分） 解：∵∠AED =∠ABC，∠A=∠A， ∴△AED∽△ABC. ………………………………2 分 ∴ BC DE AB AE  . ………………………………3 分 ∵AE=5，AB= 9，CB=6, ∴ 69 5 DE , ∴ .3 10DE ………………………………4 分 15. （5 分） 解：连结 OA，OB. ∵∠BAC=120°，AB=AC=4, ∴∠CBA=∠C=30°． ………………………………2 分 ∴ ∠O=60° ………………………………3 分 ∵OB=OA, ∴△OAB 是等边三角形． ………………………………4 分 ∴OB=OA=4. 则⊙O 的直径是 8. ………………………………5 分 16. （6 分） 解：（1）y=x2-2x-3 = x2-2x+1-4 =(x-1)2-4 ……………………………… 1 分 ∴抛物线 - 2 -32y = x x 的对称轴是 x =1， 顶点坐标是（1，-4）. ……………………………… 3 分 （2）如图. ……………………………… 4 分 （3）① x < -1 或 x >3； ……………………………… 5 分 ② x≤1. ……………………………… 6 分 17．（5 分） 解：（1）在 Rt BDA△ 中， 90BDA  ∠ ， 12AD  ， 4sin 5 ADB AB   ， 15AB  ． ……………………………1 分 2 2 2 215 12 9BD AB AD      ． 14 9 5DC BC BD      ． ……………………………2 分 （2）在 Rt ADC△ 中， 90ADC  ∠ ， 5 12tan  DC ADC ． ……………………………3 分 DE 是斜边 AC 上的中线， 1 2DE AC EC   ． EDC C ∠ ∠ ． ……………………………4 分 ∴tan∠EDC= 5 12tan C ． ……………………………5 分 18．（5 分） （1）答：图中三对相似三角形是： △AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM， △EMF∽△EAM …………………………3 分 （2）证明△AMF∽△BGM． 证明：∵∠AFM＝∠DME＋∠E，∠BMG＝∠A＋∠E， 又∵∠DME=∠A， ∴∠AFM＝∠BMG． …………………………………4 分 ∵∠A＝∠B， ∴△AMF∽△BGM． …………………………………5 分 19．（5 分） （1）证明：连结 CD （如图）， …………………… 1 分 ∵AC 是⊙O 的直径， BM F G D E C A ∴ 90ADC BDC     ． E 是 BC 的中点， DE BE EC   ． ∴ DBE BDE   OA OD ， ADO A   ． 90DBE A     ， 90BDE ADO     ． 90EDO   ． 即 OD DE ． ∵点 D 在⊙O 上， ∴ DE 是⊙O 的切线 . ……………………………………………………………… 3 分 （2）解：连结 OE． ∵E 是 BC 的中点，O 是 AC 的中点， ∴OE∥AB，OE= 1 2 AB. ∴△OEF∽△BDF. 在 Rt ABC△ 中，AC = 4， 4 3BC  ， 根据勾股定理，得 AB = 8， ∴OE= 4， ∵sin∠ABC= 4 1 8 2 AC AB   ， ∴∠ABC=30°． ∴∠A=60°． ∴ AOD△ 是边长为 2 的等边三角形． ∴ 2AD  ，BD= AB-AD =6． ∴ EF：FD = OE：BD = 4：6 = 2：3 ． ………………………………………… 5 分 20．（5 分） （1）如图． ………………………………………… 1 分 （2）据题意，得 四边形 CDBG 是矩形，CG=DB=21． …………… 2 分 在 Rt CG△A 中，∠AGC=90°， 45ACG  ∠ ． 21AG CG   ． ………………………………………… 3 分 在 Rt BCG△ 中，∠BGC=90°， ∴ 3tan30 21 7 33BG CG     ． …………………4 分 ∴ 建筑物的高 AB=（21+ 37 ）米． ……………………… 5 分 21. （5 分）  22 2 2 1 4 2 1 4 ( 1) 4 4 1 4 4 b ac m m m m m m m           （）证明： 1 0  ， ∴一元二次方程 mx2+(2m+1)x+m+1=0 有两个不相等的实数根． 即：m 取任意非零实数，抛物线 C1 与 x 轴总有两个不同的交点． ……………… 2 分 （2）解：∵ mx2+(2m+1)x+m+1=0 的两个解分别为：x1=－1，x2=－ m m 1 ， ∴A(－1，0),B(－ m m 1 ，0) ． ……………………………… 4 分 (3) 解：∵抛物线 C1 与 x 轴的一个交点的坐标为 A(－1，0), ∴将抛物线 C1 沿 x 轴正方向平移一个单位长度得到抛物线 C2 与 x 轴交点坐标为（0，0）, 即 无论 m 取任何非零实数，C2 必经过定点（0，0）． ………………… 5 分 22．（6 分） （1）如图． …………………………………… 1 分 （2）连结 OH． ∵PN 与⊙O 相切，切点为 H， ∴OH⊥PN． ∴∠PHO =90°． 在 Rt△PHO 中，PO=10，OH=6，根据勾股定理，得 2 26 8PH PO HO   2 2= 10 ． ………………… 3 分 （3）画图． …………………………………………… 4 分 分两种情况，如图所示． ①当点 A 在点 O 左边时，直线 A1B1 切⊙O 于 M1． 连结 O M1，则∠OM1 B1= 90°． 在△PB1A1 和△PHO 中， 1 4 8 2 PB t t PH   ， 1 5 10 2 PA t t PO   ． ∴ 1 1PB PA PH PO  ． 又∠P=∠P， ∴△PB1A1∽△PHO． ∴∠PB1A1=∠PHO =90°． ∴∠HB1M1= 90°． ∴四边形 B1M1OH 为矩形， ∴B1H=M1O． ∴8-4t = 6． ∴t = 0.5． ………………… 5 分 ②当点 A 在点 O 右边时． 同理，得 t = 3.5． ………………… 6 分 即 当 t 为 0.5 秒或 3.5 秒时，直线 AB 与⊙O 相切． 四、解答题（共 3 道小题，共 22 分） 23.（ 7 分 ） 解：（1）设一次购买 x 只，则 20－ 0.1( 10)x   16，解得 50x  ． ∴一次至少买 50 只，才能以最低价购买 ． ………………… 2 分 （2）当10 50x ≤ 时， 2[20 0.1( 10) 12] 0.1 9y x x x x       …………… 4 分 当 50x  时 ， (20 16) 4y x x   ． ……………………………………5 分 （3） 2 20.1 9 0.1( 45) 202.5y x x x       ． ① 当 10＜x≤45 时， y 随 x 的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大． ② 当 45＜x≤50 时， y 随 x 的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小． 且当 46x  时，y1=202.4， 当 50x  时 ， y2=200． ………………………………………………6 分 y1＞y2． 即出现了卖 46 只赚的钱比卖 50 只嫌的钱多的现象． 当 45x  时，最低售价为 20 0.1(45 10) 16.5   （元）． ∴为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价每只 16 元 至 少 提 高 到 16.5 元 . …………………………………………………………7 分 24．（ 8 分 ） 解：（1）当 x 变化时，y 不变． 如图 1， 9 4AFOEAMONy S S  正方形四边形 ． ……………………………………… 2 分 （2）当 x 变化时，y 不变． 如图 2，作 OE⊥AD 于 E，OF⊥AB 于 F． ……………………………………… 3 分 ∵AC 是正方形 ABCD 的对角线， ∴∠BAD=90°，AC 平分∠BAD．。 ∴四边形 AFPE 是矩形，PF=PE． ∴四边形 AFPE 是正方形． ……………………………………… 4 分 ∵∠ADC=90°， ∴PE∥CD． ∴△APE∽△ACD． ∴ PE AP CD AC  ． ∵AP=2PC，CD=3， ∴ 2 3 3 PE  ． ∴PE=2． ∵∠FPE=90°，∠MPN=90°， ∴∠FPN+∠NPE=90°，∠FPN+∠MPF=90°． ∴∠NPE=∠MPF． ∵∠PEN=∠PFM=90°，PE=PF， ∴△PEN≌△PFM． ……………………………………… 5 分 ∴ 22 4AFPEAMPNy S S   正方形四边形 ． ……………………… 6 分 （3）x 变化，y 变化． 如图 3， 3 7 4 2y x   ，0＜x＜3． ……………………… 8 分 25．（7 分） 解：（1）据题意，有 0 16 4 2 0 2 a b a b        ，　．　　 解得 1 2 5 2 a b      ， 　 ．　　 ∴抛物线的解析式为： 21 5 22 2y x x    ． ……………………… 2 分 点 C 的坐标为：（0，-2）． ……………………… 3 分 （2）答：存在点 P（x， 21 5 22 2x x   ），使以 A，P，M 为顶点的三角形与△OCB 相似． ∵∠COB=∠AMP=90°， ∴①当 OC OB MP MA  时，△OCB∽△MAP． ②当 OC OB MA MP  时，△OCB∽△MPA． ① OC MP OB MA  ， ∴ 21 5 22 2 2 4 1 x x x     ． 解得：x1=8，x2=1（舍）． ② OC MA OB MP  ， ∴ 2 2 1 1 54 22 2 x x x    ． 解得：x3=5，x4=1（舍）． 综合①，②知，满足条件的点 P 为：P1（8，-14），P2（5，-2）． ……………………… 7 分