门头沟初三上学期期末数学试卷及答案

O D C B A A C B O 门头沟区 2010—2011 学年度第一学期初三期末考试 数 学 试 卷 考 生 须 知 1．本试卷共 6 页。全卷共九道大题，25 道小题。 2．本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟。 3．答题前，在答题卡上将自己的学校名称、班级、姓名填写清楚。 4．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，选择题、作图题用 2B 铅笔 作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效。 5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题（共 8 道小题，每小题 4 分，共 32 分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“答题卡”上 对应题目答案的相应字母处涂黑． 1. 已知 : 2 : 3,a b  那么下列等式中成立的是 A．3 2a b B． 2 3a b C． 5 2 a b b   D． 1 3 a b b   2．如图，点 A、B、C 都在 O⊙ 上，若∠AOB＝72°，则∠ACB 的 度数为 A．18° B．30° C．36° D．72° 3. 已知⊙O 的半径为 5，点 P 到圆心 O 的距离为 8，那么点 P 与⊙O 的位置关系是 A．点 P 在⊙O 上 B．点 P 在⊙O 内 C．点 P 在⊙O 外 D．无法确定 4. 如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 边上，DE∥BC， 若 AD=6，BD=2，AE=9，则 EC 的长是 A．8 B．6 C．4 D．3 5. 如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点，若∠BAC=20°，  AD DC ，则∠DAC 的度数是 A．30° B．35° C．45° D．70° 6. 桌面上放有 6 张卡片（卡片除正面的颜色不同外，其余均相同），其中卡片正面的颜色 3 张是绿色，2 张是红色，1 张是黑色．现将这 6 张卡片洗匀后正面向下放在桌面上， 从中随机抽取一张，抽出的卡片正面颜色是绿色的概率是 A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 6 A B C D E 7. 将抛物线 23y x 先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位后得到新的抛物线，则 新抛物线的解析式是 A． 23( 2) 1y x   B． 23( 2) 1y x   C． 23( 2) 1y x   D． 23( 2) 1y x   8. 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，点 P 在 CD 边上 运动，联结 AP，过点 B 作 BE⊥AP，垂足为 E，设 AP＝ x ， BE＝ y ，则能反映 y 与 x 之间函数关系的图象大致是 A． B． C． D． 二、填空题（共 4 道小题，每题 4 分，共 16 分） 9. 如果两个相似三角形的相似比是1: 2，那么这两个相似三角形的周长比是 ． 10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB= 5，AC= 4， 则 cosA= ． 11. 已知抛物线 2 2y x x m   与 x 轴有两个交点，则 m 的取值范围是 ． 12. 如图，把直角三角形 ABC 的斜边 AB 放在定直线 l 上， 按顺时针方向在 l 上转动两次，使它转到△ A B C˝ ˝ ˝ 的 位置．若 BC＝1，AC＝ 3 ，则顶点 A 运动到点 A˝ 的 位置时，点 A 经过的路线的长是 ． 三、解答题（共 4 道小题，共 20 分） 13. (本小题满分 5 分) 计算： tan 60 sin 30 tan 45 cos 60 .       A B C A B C D P E y x0 5 12 4 53 5 12 y x0 4 53 y x0 5 12 4 53 y x0 4 53 12 5 14. (本小题满分 5 分) 已知：如图，在 ABC△ 中，D 是 AC 上一点，联结 BD，且∠ABD =∠ACB. （1）求证：△ABD∽△ACB； （2）若 AD=5，AB= 7，求 AC 的长. 15. (本小题满分 5 分) 已知二次函数 2 4 5y x x   . （1）将 2 4 5y x x   化成 y =a (x - h) 2 + k 的形式； （2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （3）当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大？ 16.（本小题满分 5 分） 已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦， 且 AB⊥CD，垂足为 E，联结 OC， OC=5． （1）若 CD=8，求 BE 的长； （2）若∠AOC=150°, 求扇形 OAC 的面积． 四、解答题（共 2 道小题，共 12 分） 17. (本小题满分 6 分) 已知反比例函数 ky x  的图象经过点 A（1，3）． （1）试确定此反比例函数的解析式； （2）当 x =2 时, 求 y 的值； （3）当自变量 x 从 5 增大到 8 时，函数值 y 是怎样变化的？ 18.（本小题满分 6 分） 已知二次函数 2y x bx c   的图象如图所示，它与 x 轴的一个交点的坐标为（－1，0）， 与 y 轴的交点坐标为（0，－3）． （1）求此二次函数的解析式； （2）求此二次函数的图象与 x 轴的另一个交点的坐标； （3）根据图象回答：当 x 取何值时，y＜0？ A B C D E O A D C B O －3 －1 x y 五、解答题（共 2 道小题，共 10 分） 19. (本小题满分 5 分) 已知：如图，在△ABC 中，∠A=30°, tanB= 3 4 ，AC=18，求 BC、AB 的长. 20. (本小题满分 5 分) 如图，某同学在测量建筑物 AB 的高度时，在地面的 C 处测得点 A 的仰角为 30°，向 前走 60 米到达 D 处，在 D 处测得点 A 的仰角为 45°，求建筑物 AB 的高度. 六、解答题（共 2 道小题，共 8 分） 21.（本小题满分 4 分） 甲口袋中装有 2 个小球，它们分别标有数字 1、2，乙口袋中装有 3 个小球，它们分别 标有数字 3、4、5．现分别从甲、乙两个口袋中随机地各取出 1 个小球，请你用列举 法（画树状图或列表的方法）求取出的两个小球上的数字之和为 5 的概率. 22.（本小题满分 4 分） 如图，已知每个小方格都是边长为 1 的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点， 以格点为顶点的图形称为格点图形. 图中的△ABC 是一个格点三角形. （1）请你在第一象限内画出格点△AB1C1， 使得△AB1C1∽△ABC，且△AB1C1 与△ABC 的相似比为 3：1； （2）写出 B1、C1 两点的坐标. x 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 B C A 0 y C B A A B C D 45° 30° P A B D C 七、解答题（本题满分 7 分） 23. 如图，在△ABC 中，∠C=60°，BC=4，AC= 2 3 ，点 P 在 BC 边上运动，PD∥AB， 交 AC 于 D. 设 BP 的长为 x，△APD 的面积为 y . （1）求 AD 的长（用含 x 的代数式表示）； （2）求 y 与 x 之间的函数关系式，并回答当 x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？ （3）点 P 是否存在这样的位置，使得△ADP 的面积是△ABP 面积的 2 3 ？若存在，请求 出 BP 的长；若不存在，请说明理由. 八、解答题（本题满分 7 分） 24. 在平面直角坐标系 xOy 中,反比例函数 4y x  的图象与抛物线 2 (9 4) 1y x m x m     交于点 A(3, n). （1）求 n 的值及抛物线的解析式； （2） 过点 A 作直线 BC，交 x 轴于点 B，交反比例函数 4y x  （ 0x > ）的图象于点 C， 且 AC=2AB，求 B、C 两点的坐标； （3）在（2）的条件下，若点 P 是抛物线对称轴上的一点，且点 P 到 x 轴和直线 BC 的距离相等，求点 P 的坐标. 九、解答题（本题满分 8 分） 25. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 2y ax bx c   的对称轴是 1x  ，并且经过 （－2，－5）和（5，－12）两点． （1）求此抛物线的解析式； （2）设此抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于 C 点，D 是线段 BC 上一点（不与点 B、C 重合），若以 B、O、D 为顶点的三角形与△BAC 相似，求点 D 的坐标； （3）点 P 在 y 轴上，点 M 在此抛物线上，若要使以点 P、M、A、B 为顶点的四边形 是平行四边形，请你直接写出点 M 的坐标. 2010—2011 学年度第一学期初三数学期末试卷 评标 一、选择题（共 8 道小题，共 32 分） 1. A 2. C 3. C 4. D 5. B 6. A 7. B 8. D 二、填空题（共 4 道小题，共 16 分） 9. 1：2 10. 4 5 11. m＜1 12. 4 3 3 2      三、解答题（共 4 道小题，共 20 分） 13. （本小题满分 5 分） 解： tan60°－ sin30°×tan45°＋ cos 60° 1 13 12 2     …………………………………………………………………4 分 3 . ……………………………………………………………………5 分 14. （本小题满分 5 分） （1）证明：∵∠A=∠A,∠ABD =∠ACB, ……… 1 分 ∴△ABD∽△ACB. ………………… 2 分 （2）解: ∵△ABD∽△ACB， ∴ AB AD AC AB  . ……………………………3 分 ∴ 7 5 7AC  . ………………………………4 分 ∴ 49 5AC  . ……………………………5 分 15. （本小题满分 5 分） 解：（1） 2 4 4 4 5y x x     ……………………………………………… 1 分 2( 2) 1x   . ……………………………………………………… 2 分 （2）对称轴为 2x ， ………………………………………………………3 分 顶点坐标为（2，1）. ……………………………………………4 分 （3）当 x＞2 时， y 随 x 的增大而增大. ………………………………5 分 16. （本小题满分 5 分） 证明：（1）∵AB 为直径，AB⊥CD， ∴∠AEC=90°，CE=DE. ……………………1 分 ∵CD=8， ∴ 1 1 8 42 2CE CD    . ………………… 2 分 ∵OC=5， ∴OE= 2 2 2 25 4 3OC CE    . …………3 分 ∴BE=OB－OE=5－3=2. …………………………………………………4 分 （2） 2150 1255 .360 12OACS     扇形 ………………………………………5 分 四、解答题（共 2 道小题，共 12 分） 17. （本小题满分 6 分） 解：（1）∵反比例函数 ky x  的图象过点 A（1，3）， A D C B A B C D E O 3 1 k  . …………………………………………………………………1 分 ∴k=3. ……………………………………………………………… 2 分 ∴反比例函数的解析式为 3y x  ． ……………………………… 3 分 （2） 当 2x  时， 3 2y  . .……………………………………………4 分 （3） 在第一象限内，由于 k=3 ＞0，所以 y 随 x 的增大而减小. 当 5x  时， 3 5y  ；当 8x  时， 3 8y  . 所以当自变量 x 从 5 增大到 8 时，函数值 y 从 3 5 减小到 3 8 .………6 分 18.（本小题满分 6 分） 解: （1）由二次函数 2y x bx c   的图象经过（－1，0）和（0，－3）两点， 得 1 0, 3. b c c       …………………………………………………… 1 分 解这个方程组，得 2, 3. b c      ……………………………………… 2 分 ∴抛物线的解析式为 2 2 3.y x x   …………………………………3 分 （2）令 0y  ，得 2 2 3 0x x   . 解这个方程，得 1 3x  ， 2 1x   ． ∴此二次函数的图象与 x 轴的另一个交点的坐标为（3，0）. ………5 分 （3）当 1 3x   时，y＜0. ………………………………………… 6 分 五、解答题（共 2 道小题，共 10 分） 19. （本小题满分 5 分） 解：过点 C 作 CD⊥AB 于 D. ∴∠ADC =∠BDC=90°. ∵∠A=30°，AC=18， ∴CD= 1 2 AC= 1 2 ×18=9. ……………………………………………………1 分 ∴ 2 2 2 218 9 9 3.AD AC CD     ………………………………2 分 ∵ 3tan ,4 CDB BD   ∴ 3 9 ,4 BD  ∴BD=12. ………………………………………………………………………3 分 D A B C ∴ 2 2 2 212 9 15.BC BD CD     …………………………………4 分 ∴AB=AD+BD=9 3 +12. ………………………………………………5 分 ∴BC=15, AB=9 3 +12. 20. （本小题满分 5 分） 解：设建筑物 AB 的高度为 x 米. 在 Rt△ABD 中，∠ADB=45°, ∴AB=DB=x. ∴BC=DB+CD= x+60. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=30°, ∴tan∠ACB= AB CB ……………………………1 分 ∴ tan30 60 x x    .………………………… 2 分 ∴ 3 3 60 x x   . ……………………………3 分 ∴x=30+30 3 . ……………………………4 分 ∴建筑物 AB 的高度为（30+30 3 ）米. …5 分 六、解答题（共 2 道小题，共 8 分） 21. （本小题满分 4 分） 解：正确画出树状图或列表 ………………………………………………………3 分 P（数字之和为 5）= 1.3 ………………………………………………………4 分 22. （本小题满分 4 分） 解：（1）正确画出△AB1C1………………………………………………………… 2 分 （2）点 B1（4，1）， ………………………………………………………… 3 分 点 C1（7，7）. ……………………………………………………… 4 分 七、解答题（本题满分 7 分） 23．解：（1）∵PD∥AB， ∴ .AD BP AC BC  …………………………1 分 ∵BC=4，AC= 2 3 ，BP 的长为 x， ∴ .42 3 AD x ∴ 3 .2AD x ……………………… 2 分 （2）过点 P 作 PE⊥AC 于 E. ∵sin ,PEACB PC   ∠C =60°, A B C D 45° 30° E C D B A P ∴  3sin 60 4 .2PE PC x    ……………………………………3 分 ∴ 21 1 3 3 3 3(4 ) .2 2 2 2 8 2y AD PE x x x x          …………………4 分 ∴当 2x  时， y 的值最大，最大值是 3.2 ……………………………5 分 （3）点 P 存在这样的位置. ∵△ADP 与△ABP 等高不等底，∴ Δ Δ .ADP ABP S DP S AB  ∵△ADP 的面积是△ABP 面积的 2 3 ，∴ Δ Δ 2.3 ADP ABP S S  ∴ 2.3 DP AB  ∵PD∥AB，∴△CDP∽△CAB. ∴ .DP CP AB CB  ∴ 2.3 CP CB  ∴ 4 2 .4 3 x  ∴ 4.3x  ∴ 4.3BP  …………………………………………………………… 7 分 八、解答题（本题满分 7 分） 24. 解：（1）∵点 A(3, n)在反比例函数 4y x  的图象上， 4 3n  .……………………………………………………………………1 分 ∴A(3 ， 4 3 ). ∵点 A(3 ， 4 3 )在抛物线 2 (9 4) 1y x m x m     上， 4 9 (9 4) 3 1.3 m m       ∴ 2 3m   . ∴抛物线的解析式为 2 52 3y x x   ． …………………………2 分 （2）分别过点 A、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 D、E， ∴AD∥CE. ∴△ABD∽△CBE. y P A C F ∴ AD AB CE CB  ． ∵AC＝2AB，∴ 1 3 AB CB  . 由题意，得 AD＝ 4 3 , ∴ 4 13 3CE  . ∴CE＝4．……………………3 分 即点 C 的纵坐标为 4. 当 y＝4 时，x＝1， ∴C(1，4) ………………… 4 分 ∵ 1 ,3 BD AB BE CB   DE＝2, ∴ 1 .2 3 BD BD  ∴BD＝1． ∴B(4，0). ……………………………………………………………5 分 （3）∵抛物线 2 52 3y x x   的对称轴是 1x  ， ∴P 在直线 CE 上. 过点 P 作 PF⊥BC 于 F. 由题意，得 PF＝PE. ∵∠PCF =∠BCE, ∠CFP =∠CEB =90°, ∴△PCF ∽△BCE. ∴ PF PC BE BC  ． 由题意，得 BE=3，BC=5. ①当点 P 在第一象限内时，设 P(1，a) (a＞0). 则有 4 .3 5 a a 解得 3 .2a  ∴点 P 的坐标为 31, 2      . ……………………………………………6 分 ②当点 P 在第四象限内时，设 P(1， a) (a＜0) 则有 4 .3 5 a a  解得 6.a   ∴点 P 的坐标为 1, 6 .……………………………………………7 分 ∴点 P 的坐标为 31, 2      或 1, 6 . 九、解答题（本题满分 8 分） 25．解：（1）由题意，得 1,2 4 2 5, 25 5 12. b a a b c a b c              解这个方程组，得 1, 2, 3. a b c       …………………………………… 1 分 ∴ 抛物线的解析式为 y =－x2+2x＋3. ……………………………2 分 （2）令 0y  ，得 2 2 3 0x x    . 解这个方程，得 1 21 3x x  ， . ( 1 0) (3 0)A B  ，， ， ． 令 0x  ，得 3y  ． (0 3)C ， ． 4 3 45 .AB OB OC OBC      ， ， 2 2 2 23 3 3 2BC OB OC      ． 过点 D 作 DE x⊥ 轴于点 E ． ∵ 45OBC BE DE   ， ． 要使 BOD BAC△ ∽△ 或 BDO BAC△ ∽△ ， 已有 ABC OBD   ，则只需 BD BO BC BA  或 BO BD BC BA  成立． 若 BD BO BC BA  成立， 则有 3 3 2 9 2 4 4 BO BCBD BA     ． 在 Rt BDE△ 中，由勾股定理，得 2 2 2 2 2 9 22 4BE DE BE BD          ． ∴ 9 4BE DE  ． 9 33 4 4OE OB BE      ． 点 D 的坐标为 3 9 4 4      ， ． ……………………………………………4 分 若 BO BD BC BA  成立，则有 3 4 2 2. 3 2 BO BABD BC     在 Rt BDE△ 中，由勾股定理，得 2 2 2 2 22 (2 2)BE DE BE BD    ． A y xBEO C D 1x  ∴ 2BE DE  ． 3 2 1OE OB BE      ． 点 D 的坐标为 (1 2)， ． ……………………………………………5 分 点 D 的坐标为 3 9 4 4      ， 或 (1 2)， ． （3）点 M 的坐标为  2,3 或 (4 5)，- 或 ( 4 21) ，- ． ……………………8 分