平谷区初三数学上学期期末试卷及答案

D B O C A 平谷区 2010～2011 学年度第一学期末考试试卷 初 三 数 学 2011 年 1 月 一、选择题（．．．．．．本题．．共．8．个．小．题，每小题．．．．．3．分，共．．．24．．分）．． 下列各小题均有 4 个选项，其中只有一个选项是正确的，请你把正确答案的字母序号填 在下表中相应的题号下面。 1．如果 5 3 2x  ，那么 x 的值是 A． 3 10 B． 2 15 C．15 2 D．10 3 2．．．反比例函数．．．．． x ky  （．k．≠．0．）的图象过点（．．．．．．．2．，．-2．．），则此．．．．函数．．的图象在直角坐标系中的．．．．．．．．．．． A．．．第二、四象限．．．．．． B．．．第一、三象限．．．．．． C．．．第一、二象限．．．．．． D．．．第三、四象限．．．．．． 3．．在．．Rt．．△．ABC．．．中，．．∠．C．=90．．．°．，．AB．．=13．．．，．A．C．＝．12．．，则．．sin．．．B．的值是．．． A．．． 5 13 B．．． 12 13 C．．． 5 12 D．．． 12 5 4．如图,点 C、O 在线段 AB 上，且 AC=AO=OB=5,过点 A 作 以 BC 为直径的⊙O 切线，D 为切点，则 AD 的长为 A．5 B．6 C． 35 D．10 第 4 题 5．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有 4 个 红球且摸到红球的概率为 1 3 ，那么口袋中球的总数为 Ａ．12 个 Ｂ．9 个 Ｃ．6 个 Ｄ．3 个 6．已知点 (1, )A m 与点 B (3, )n 都在反比例函数 xy 3 ( 0)x  的图象上，则 m 与 n 的关系 是 A． m n B． m n C． m n D．不能确定 7．如图，边长为 1 的菱形 ABCD 绕点 A 旋转，当 B、C 题 号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得 分 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 图2 F E D C B A 第 7 题 第 13 题 tu 两点恰好落在扇形 AEF 的弧 EF 上时，弧 BC 的长度等于 Ａ． π 6 Ｂ． π 4 Ｃ． π 3 Ｄ． π 2 8．如图，等边△ABC 的边长为 3，点 P 为 BC 边上一点， 且 BP=1，点 D 为 AC 上一点；若∠APD=60°，则 CD 长是 Ａ． 4 3 Ｂ． 2 3 Ｃ． 2 1 Ｄ． 3 2 二、填空题（本题共 5 道小题，每小题 3 分，共 15 分） 9．将二次函数 1x4xy 2  化为 k)hx(y 2  的形式，结果为 y= ． 10．已知两个相似三角形的周长比是 1:3，它们的面积比是 ． 11．已知抛物线 322  xxy 与 y 轴交于点 C,则点 C 的坐标是（ ）；若 点 C′是点 C 关于该抛物线的对称轴对称的点，则 'C 点的坐标是（ ）. 12．如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 边上，DE∥BC，若 AD：DB=1：2，AE=2，则 AC= ． 13.如图，⊙O 的半径为 2， 1C 是函数 21 2y x 的图象， 2C 是函数 21 2y x  的图象， 3C 是 函数 y= 3 x 的图象，则阴影部分的面积是 ． 三、解答题（本题共 5 道小题，每小题 5 分，共 25 分） 14．计算： 0201132860sin2  解： 15．当 12x  时，求代数式 )x2(2)1x( 2  的值. 解： D P C A B 第 8 题 E A D B C 第 12 题 E D C B A 16. 如图， AB 是⊙O 的一条弦，OD AB ，垂足为C ，交⊙O 于点 D ， 点 E 在⊙O 上． （1）若 52AOD   ，求 DEB 的度数； （2）若 3OC  ， 5OA  ，求 AB 的长． 解： 17．如图，在直角坐标平面内，O 为原点，点 A 的坐标为 (10 0)， ，点 B 在第一象限内， 5BO  ， 3sin 5BOA ∠ ． 求：（1）点 B 的坐标；（2） cos BAO∠ 的值． 解：（1） （2） 18. 如图，在 ABC△ 中， 90C  ∠ ，在 AB 边上取一点 D ，使 BD BC ， 过 E B D CA O xO B y D 作 DE AB 交 AC 于 E ， 8 6AC BC ， ．求 DE 的长． 解： 四、解答题（本题共 2 道小题，每小题 5 分，共 10 分） 19．小红和小慧玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的 4 张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后 放在桌上，小红先从中抽出一张，小慧从剩余的 3 张牌中也抽出一张． （1）请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果； （2）求抽出的两张牌都是偶数的概率． 解： 20. 已知二次函数图象的顶点是 ( 1 2) ， ，且过点 30 2      ， ． （1）求二次函数的表达式，并在右面的网格中画出它的图象； （2）说明对于任意实数 m ，点 2( )M m m， 在不在这个 二次函数的图象上． 解： E O C D A B C D B A 五、解答题（本题共 2 道小题，每小题 5 分，共 10 分） 21. 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，CD＝4， AB=10， 3 2tan B . 求 BC 的长. 解： 22. 已知：如图，AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D， 过 D 作 DE⊥AC 于点 E. (1) 求证：DE 是⊙O 的切线； (2) 如果⊙O 的半径为 2，sin∠B= 2 1 ,求 BC 的长. （1）证明： 六、解答题（本题共 2 道小题，每小题 5 分，共 10 分） 23. 如图，四边形 OABC 是面积为 4 的正方形，函数 )0x(x ky  的图象 经过点．．．B．.． (1)．．．求．k．的值；．．． （2）将正方形 OABC 分别沿直线 AB，BC 翻折，得到正方形 MABC′和 NA′BC.设线段 MC′，NA′分别与函数 )0x(x ky  的 图象交于点 F，E. 求线段 EF 所在直线的解析式. 解： 24.已知：抛物线 2 ( 1)y x b x c    经过点 ( 1 2 )P b ， ． （1）求b c 的值； （2）若 3b  ，求这条抛物线的顶点坐标； （3）若 3b  ，过点 P 作直线 PA y 轴，交 y 轴于点 A ，交抛物线于另一点 B ，且 2BP PA ，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考） 解： E F D C B A E F D C B A E F D C B A 图 1 图 2 图 3 七、解答题（本题 6 分） 25. △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D 是 BC 的中点，把一个三角板的直角顶点放在点 D 处，将三角板绕点 D 旋转且使两条直角边分别交 AB、AC 于 E、F . （1）如图 1，观察旋转过程，猜想线段 AF 与 BE 的数量关系并证明你的结论； （2）如图 2，若连接 EF，试探索线段 BE、EF、FC 之间的数量关系，直接写出你的结论（不 需证明）； （3）如图 3，若将“AB=AC，点 D 是 BC 的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC 于点 D”，其余 条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于 AF、BE 的比值. 解： 平谷区 2010～2011 学年度第一学期末初三数学试卷 参考答案及评分参考 2011 年 1 月 一、选择题（共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分） 二、填空题（共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分） 9. 5)2x( 2  ； 10．1:9； 11．(0, 3 ), )3,2(  ； 12.6； 13. 5 3  . 三、解答题（本题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分） 14．计算： 0201132860sin2  解：原式= 123222 32  ………………………..…………….4 分 .123  …………………………………………………………5 分 15．当 12x  时，求代数式 )x2(2)1x( 2  的值. 解： )x2(2)1x( 2  = x241x2x 2  …………………………………………………………2 分 = 3x 2  …………………………………………………………………………….3 分 当 12x  时， 原式 .223)12( 2  ……………………………………………………..5 分 16. 解：（1） OD AB ， ∴ ⌒ AD  ⌒ DB. ………………………………………1 分 1 1 52 262 2DEB AOD       ………………….2 分 （2） OD AB ， AC BC  . …………………………………...3 分 ∵ AOC△ 为直角三角形， OC=3， 5OA  ， 由勾股定理,可得 2 2 2 25 3 4AC OA OC     . ……..…………………….4 分 2 8AB AC   . ……….………………………………………………………5 分 17. 解：（1）如图，作 BH OA ，垂足为 H ，…………………………………1 分 在 Rt OHB△ 中， 5BO  ， 3sin 5BOA  ， 3BH  ． 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 D A B C A B C D E B D CA O A y HO x B E D C B A 4OH  ．……………………………… 2 分 点 B 的坐标为 (4 3)， ．……………………3 分 （2） 10OA  ， 4OH  ， 6AH  ． 在 Rt AHB△ 中， 3BH  ， 3 5AB  ．………………………………………… 4 分 2 5cos 5 AHBAO AB     ．（得 5 2 不扣分）………………………………….5 分 18. 解：在 ABC△ 中， 90 8 6C AC BC  ， ，∠ 2 2 10AB AC BC    ．………………………1 分 又 6BD BC  ， 4AD AB BD    ． DE AB ， 90ADE C   ∠ ∠ ． 又 A A∠ ∠ ， AED ABC△ ∽△ ．………………………………………….……………………3 分 DE AD BC AC   ．……………………………………………………………….………4 分 .368 4  BCAC ADDE ．……………………………..……………………5 分 四、解答题（本题共 2 道小题，每小题 5 分，共 10 分） 19．解： (1) 树状图为： …………………….…………….２分 共有 12 种可能结果． ……………………………………………………….…….3 分 （2）∵ 两张牌的数字都是偶数有 6 种结果 ∴ P（偶数）= 12 6 = 2 1 ．…………………………………..……………………….5 分 20.解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为 2( 1) 2y a x   ， 又点 30 2      ， 在它的图象上，可得 3 22 a  ，解得 1 2a   ．………………………. 1 分 所求为 21 ( 1) 22y x    ．…………………… 2 分 令 0y  ，得 1 21 3x x  ， 画出其图象如右．……………………………….. 3 分 E O C D A B E C D B A （2）若点 M )m,m( 2 在此二次函数的图象上， 则 2 21 ( 1) 22m m     ．………………………4 分 得 2 2 3 0m m   ． 方程的判别式： 4 12 8 0    ，该方程无解． 所以点 M )m,m( 2 不在此二次函数的图象上．………………………5 分 五、解答题（本题共 2 道小题，每小题 5 分，共 10 分） 21. 解：作 CE⊥AB 于 E, ……………………..1 分 ∵AB∥CD，∠A＝90° ∴四边形 AECD 是矩形. ∴AE=DC=4. …………………………………..2 分 ∵AB=10， ∴BE=6. ………………………………………. 3 分 在 Rt△BEC 中， ∵ 3 2tan B ，BE=6. ∴CE=4. ……………………………………………………………………………….4 分 由勾股定理，得 .13222  CEBEBC ∴ .132BC …….………………………………………………………………5 分 22. (1) 证明：连结 OD，AD. ∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ADB=90°………………………………1 分 ∴ AD⊥BC. ∵ AB=AC, ∴ BD=DC. ∵ OA=OB, ∴ OD 是△ABC 的中位 线. ………………………………………….…………2 分. ∴ OD∥AC. ∵ DE⊥AC, ∴ OD⊥DE. ∴ DE 是⊙O 的切线………………………………………………………………3 分. (2) 解：∵sin∠B= 2 1 , ∴∠B =30°. ∵ AB=4， ∴ BD= 322 3430cos AB ………………………………………………4 分 ∵ BD=DC. ∴ BC =4 3 . ……………………………………………………………………….5 分 六、解答题（本题共 2 道小题，每小题 5 分，共 10 分） 23．．.．解：．．(1)．．．∵． B．（．2,2．．．），．． ∴ k= 4 ………………………………………1 分 (2) 由翻折可知，M（4,0）N（0,4） 可求得 F（4,1），E（1,4）………………….3 分 设直线 EF 的解析式为 bkxy  ， 可求得 5b,1k  …………………………..…………………………………………..…..4 分 所以，线段 EF 所在直线的解析式为 5xy  ……………………………………5 分 24.解：（1）依题意得： 2( 1) ( 1)( 1) 2b c b       ， 2b c    ．…………………………………………………..1 分 （2）当 3b  时， 5c   ， 2 22 5 ( 1) 6y x x x       抛物线的顶点坐标是 ( 1 6) ， ．……………………………2 分 （3）当 3b  时，抛物线对称轴 1 12 bx     ， 对称轴在点 P 的左侧． 因为抛物线是轴对称图形， ( 1 2 )P b ， 且 2BP PA ． ( 3 2 )B b  ， …………….…………………………………………………………….3 分 1 22 b    ． 5b  ．………………………………………………………………………………………4 分 又 2b c   ， 7c   ． 抛物线所对应的二次函数关系式 2 4 7y x x   ．……………………………………..5 分 七、解答题（本题 6 分） 25 .解：（1）结论：AF=BE. ………………………………………………….1 分 证明：连接 AD， ∵ AB=AC，∠BAC=90°，点 D 是 BC 的中点 ∴ AD=BD=DC= 1 2 BC ，∠ADB=∠ADC=90°, ∴ ∠B=∠C=∠1=∠2=45°. ∴ ∠3+∠5==90°. ∵ ∠3+∠4==90°, ∴ ∠5=∠4 ∵ BD=AD, ∴ △BDE≌△ADF. y xO B P A 5 4 E F C D B A 1 2 3 ∴ BE=AF. ………………………………………………………………………3 分 （2） 2 2 2EF BE FC  …………………………………………………………4 分 （3）（1）中的结论 BE=AF 不成立. ……………………………………… 5 分 ∵ ∠B=30°，AD⊥BC 于点 D，∠BAC=90°, ∴ ∠3+∠5==90°， ∠B+∠1==90°. ∵ ∠3+∠4==90°，∠1+∠2==90° ∴ ∠B=∠2 ， ∠5=∠4. ∴ △BDE∽△ADF. ∴ 3tan30 3 AF AD BE BD    .………………………………………………… 6 分 A B C D F E 5 4 1 2 3