石景山区初三数学上学期期末试卷及答案

石景山区 2010—2011 学年第一学期期末考试试卷 初三数学 考 生 须 知 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷从第 1 页到第 2 页，共 2 页；第Ⅱ卷从第 3 页到第 10 页，共 8 页．全卷共八道大题，25 道小题． 2．本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟． 3．除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔或签字笔． 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 分数 第Ⅰ卷（共 32 分） 一、选择题（本题共 8 道小题，每小题 4 分，共 32 分） 在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案的字 母填在下面的表格中． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．如果 4:7:2 x ，那么 x 的值是 A．14 B． 7 8 C． 6 7 D． 7 2 2．正方形网格中，   的位置如右图所示，则 tan 的值是 A． 2 1 B． 5 52 C． 5 D． 2 3．在一个不透明的布袋中装有 2 个白球和 3 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若 从中随机摸出一球，摸到白球的概率是 A． 5 1 B． 2 1 C． 5 2 D． 3 2 4．已知： ABC△ 中，  90C ， 5 2cos B , 15AB ，则 BC 的长是 A． 213 B． 293 C．6 D． 3 2 5．如图， AB 为 O⊙ 的直径，CD 为 O⊙ 的弦，  53ABD BCD A． 37 B． 47 C． 45 D． 53 6． 如图，平行四边形 ABCD 中，E 为 DC 的中点， DEF△ 的面积为 2，则△ ABF 的 面积为  第 2 题图 A．2 B．4 C．6 D．8 7．函数 y=bx＋1(b≠0)与 y=ax2＋bx＋1(a≠0)的图象可能是 8．．．已知：点．．．．  mmA , 在反比例函数．．．．．． xy 4 的图象上，点．．．．．．B．与点．．A．关于坐标轴对称，以．．．．．．．．．A．B． 为边作正方形，则满足条件的正方形的个数是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． A． 4 B． 5 C． 3 D．8 第Ⅱ卷（共 88 分） 二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 4 分，共 16 分） 9．已知   310cos2  ，则锐角 的度数是 °． 10．将二次函数 562  xxy 化为   khxay  2 的形式为 ． 11．已知：如图，⊙C 与坐标轴交于 A（1，0）、B（5，0）两点，⊙C 的半径为 3 则圆心C 的坐标为 ． 第 5 题 第 6 题 O D C B A F E D C B A A C O B 第 11 题 第 12 题 A B C D 第 7 题图 12．如图，⊙O 的半径为 2， 4OA ， AB 切⊙O 于 B ，弦 BC OA∥ ，连结 AC ， 图中 阴影部分的面积为 ． 三、解答题（本题共 5 道小题，每小题 5 分，共 25 分） 13．计算：   60tan45tan 60sin12 ． 14．如图，已知：Rt△ABC 中， 90B   ，AB=BC＝ 2 2 ，点 D 为 BC 的中点，求sin DAC ． 15．如图，已知：射线 PO 与⊙O 交于 BA、 两点， PC、PD 分别切⊙O 于点 DC、 ． （1）请写出两个不同类型的正确结论； （2）若 12CD ， 2 1tan CPO ,求 PO 的长． 16．如图，已知：双曲线 ( 0)ky xx   经过直角三角形 OAB 斜边 OA 的中点 D，且与直角边 AB 相交于点 C．若点 A 的坐标为 )4,8(  ，求点 C 的坐标． 17．正四面体各面分别标有数字 1、2、3、4，正六面体各面分别标有数字 1、2、3、4、5、 6，同时掷这两个正多面体，并将它们朝下面上的数字相加． （1）请用树状图或列表的方法表示可能出现的所有结果； （2）求两个正多面体朝下面上的数字之和是 3 的倍数的 概率． xO D A B C 第 17 题 y 第 16 题 D C B A 第 14 题图 第 15 题 O D C B A P 四、画图题（本题满分 4 分） 18．如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点．已知， ABC△ 的顶点都在格点上，  90C , 8AC , 4BC ,若在边 AC 上以某个格点 E 为端点画出长是 52 的线段 EF ，使线段另一端点 F 恰好落在边 BC 上，且线段 EF 与 点 C 构成的三角形与 ABC△ 相似，请你在图中画出线段 EF （不必说明理由）． 五、解答题（本题共 4 道小题，每小题 6 分，共 24 分） 19．已知：二次函数 cxaxy  42 的图象经过点 )8,1( A 和点 )7,2( ． （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向左平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直 接写出平移后所得图象与 x 轴的另一个交点的坐标． 20．如图，在某建筑物 AC 上，挂着宣传条幅 BC，小明站在点 F 处，看条幅顶端 B，测得 的仰角为 30 ，再往条幅方向前行 20 米到达点 E 处，看条幅顶端 B，测得的仰角为 60 ， 若小明的身高约 1.7 米，求宣传条幅 BC 的长（结果精确到 1 米）． 21．如图，已知： ABC△ 内接于⊙O， AD 是⊙O 的切线，CO 的延长线交 AD 于点 D ． （1）若∠B=2∠D ，求∠D 的度数； （2）在（1）的条件下，若 34AC ，求⊙O 的半径． 22．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 AB 的宽为 20 米，如果水位上升 3 米， 则水面 CD 的宽是 10 米． （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； 第 18 题 A C B 第 21 题图 D C B A O （2）当水位在正常水位时，有一艘宽为 6 米的货船经过这里，船舱上有高出水面 3.6 米 的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？ 六、解答题（本题满分 6 分） 23．如图①，△ABC 中， 90ACB   ，∠ABC= ，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到△AB C  ，设旋转的角度是  ． （1）如图②，当  = °（用含 的代数式表示）时，点 B 恰好落在 CA 的延长 线上； （2）如图③，连结 BB  、CC ， CC  的延长线交斜边 AB 于点 E，交 BB 于点 F．请 写出图中两对相似三角形 ， （不含全等三角形），并选一对证明． 七、解答题（本题满分 6 分） 24．已知：关于 x 的一元二次方程 03)3(22  axaax 有两个实数根，且 a 为非负 整数. （1）求 a 的值； （2）若抛物线 3)3(22  axaaxy 向下平移  0mm 个单位后过点  n,1 和 点  12,2 n ,求 m 的值； （3）若抛物线 kaxaaxy  3)3(22 上存在两个不同的点 QP、 关于原点对 称,求 k 的取值范围. 八、解答题（本题满分 7 分） 25．已知：抛物线 cxaxy  22 ，对称轴为直线 1x ，抛物线与 y 轴交于点C ，与 x 轴交于  0,3A 、 B 两点． 第 22 题图 C ' B ' C B A F E C ' B ' C B A 第 23 题① 第 23 题② 第 23 题③ C ' B ' C B A (1)求直线 AC 的解析式； (2)若点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点，求四边形 ABCD 面积的最大值； (3) P 为抛物线上一点，若以线段 PB 为直径的圆与直线 BC 切于点 B ,求点 P 的坐标． 石景山区 2010-2011 学年度第一学期期末考试试卷 初三数学参考答案 阅卷须知： 为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考 生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做 到这一步应得的累加分数． 一、选择题（本题共 8 道小题，每小题 4 分，共 32 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 B D C C A D D B 二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 4 分，共 16 分） 9．40； 10． 4)3( 2  xy ； 11．  5,3 ； 12． 3 2 ． 三、解答题（本题共 5 道小题，每小题 5 分，共 25 分） 13．解：   60tan45tan 60sin12 = 32 332  ……………………………………………………………4 分 = 32 5 ……………………………………………………………………5 分 14． 解：过 D 作 ACDE  于 E……………………………1 分 在 Rt△ABC 中， ∵ 90B   ，AB=BC＝ 2 2 ， ∴． 45C   …………………………………………．．．．．．．．．．．．．．．．2．分． ∵．点．D．为．BC．．的中点，．．．． ∴． 1 22BD DC BC   ∴． 2 2 2 2(2 2) ( 2) 10AD AB BD     ………………………………．．．．．．．．．．．．3．分． 在 Rt△DCE 中， sin 45 1DE DC    ………………………………4 分 ∴． 10sin 10DAC  …………………………．．．．．．．．．．5．分． 15．解：（1）不同类型的正确结论有： ①．PC．．=．PD．． ②．CD．．⊥．BA．． ③∠．．CEP．．．=90．．．°． ④∠．．CPO．．．=．∠．DPA．．． ⑤． ……．．2．分． （．2．）联结．．．OC．． ∵．PC．．、．PD．．分别切．．．⊙．O 于点．． DC、 ∴．PC．．=．PD．．,．∠．CPO．．．=．∠．DPA．．． ∴．CD．．⊥．AB．． ∵．CD=．．．12．． ∴．DE．．＝．CE．．=． 1 2 CD．．=6．．．．………………………．．．．．．．．．3．分． E D C B A E O D C B A P ∵． 2 1tan CPO ∴．在．Rt．．△．EPC．．．中． ，． PE=．．．12．． ∴．勾股得．．． 36CP ………………………．．．．．．．．．4．分． ∵．PC．．切．⊙．O 于点．．C ∴． 90OCP 在．Rt．．△．OPC．．．中．,． ∵． 2 1tan CPO ∴． 2 1 PC OC ∴． 33OC ∴．     1533633 2222  PCOCOP ………………………………．．．．．．．．．．．．5．分． 16．解：由题意得：D (4, 2) ………………………1 分 ∵双曲线经过点 D ∴ 2 4 k  ∴ 8k   ………………………2 分 ∴ 8y x   设点 C ),8( n ………………………3 分 ∴ 8 18n     ………………………4 分 ∴点 C )1,8(  ………………………5 分 17． 解：（1）解法一：用列表法 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 列表正确 …………………………………………………3 分 解法二：画树状图 y 第 16 题 xO D A B C 开始 1 2 3 4 7 8 9 10六面体 4 6 5 1 2 3 4 5 6 7 83 2 1 2 3 4 3 4 5 61 第 18 题 第 18 题 H 画树状图正确 ………………………………………………………3 分 （2） 3 1 24 8 )3( 的倍数和为P ………………………………………………5 分 四、画图题（本题满分 4 分） 18．解： 注：正确画出一条得 2 分，正确画出两条得 4 分． 五、解答题（本题共 4 道小题，每小题 6 分，共 24 分） 19．解：（1）由已知，抛物线过 )8,1( A 和点 )7,2( ，得      784 84 ca ca ………………………1 分 解这个方程组，得 5,1  ca ∴ 所求抛物线的解析式为 542  xxy ………………………2 分 （2）令 0y  ，则 0542  xx ………………………3 分 解方程，得 51 x ， 2 1x   ． ………………………4 分 ∴二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标分别为 )0,5( 和 ( 1 0) ， ． ∴二次函数图象向左平移 5 个单位后经过坐标原点． ………………………5 分 平移后所得图象与 x 轴的另一个交点坐标为 )0,6( ………………………6 分 20．解：过 F 作 BCFH  于 H……………………………1 分 ∵∠BFH = 30 ，∠BEH = 60 ，∠BHF = 90 ∴∠EBF =∠EBC = 30 ………………………2 分 ∴BE = EF = 20 ………………………3 分 在 Rt△BHE 中， )(3.172 32060sin mBEBH  ………………………4 分 )(197.13.17 m ………………………5 分 答：宣传条幅 BC 的长是 19 米．………………………6 分 21．解：（1）如图，连结 OA……………………………1 分 ∵ AD 是⊙O 的切线 ∴  90OAD 设 D   ，则 90DOA    ， 2B   ， 4AOC   ………………2 分 ∴  180490  ∴  30 ∴  30D …………………………3 分 （2）解： OA OC∵ ，  1204AOC ． ∴ DACO  30 ． ∴ AD 34AC ． ……………………………5 分 在 Rt ADO△ 中， 3tan 4 3 43AO AD D      ………………………6 分 ∴⊙O 的半径是 4． 22．解：（1）设抛物线解析式为 2axy  ………………………………………1 分 设点 ),10( nB ，点 )3,10( nD ………………………………………………2 分 由题意：      an an 253 100 解得      25 1 4 a n ………………………………………………3 分 ∴ 2 25 1 xy  ………………………………………………4 分 （2）方法一： 当 3x 时， 925 1 y ∵ 3)4(25 9  .6 ………………………………………………5 分 ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．…………………………………6 分 方法二： 当 5 246.3 y 时， 2 25 1 5 2 x ∴ 10x D C B A O 第 21 题图 ∵ 310  ………………………………………………5 分 ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．…………………………………6 六、解答题（本题满分 6 分） 23． 解：（1） 90   ……………………………………………………………1 分 （2）图中两对相似三角形：①△ABB ∽△AC C  ，②△ACE∽△FBE；……… 3 分 证明①：∵△ABC 绕点 A 顺时针旋转角  得到△AB C  ∴∠CA C =∠BAB =  ，AC=A C  ，AB=AB  ………………………………4 分 ∴ ' ' AB AC AB AC  ……………………………………………………5 分 ∴△ABB ∽△AC C  ……………………………………………………6 分 证明②：∵△ABC 绕点 A 顺时针旋转角  得到△AB C  ∴∠CA C =∠BAB =  ，AC=A C  ，AB=AB  ………………………………4 分 ∴∠AC C =∠ABB = 2 180  ………………………………5 分 又 ∠A E C =∠FEB ∴△ACE∽△FBE ……………………………………………………6 分 七、解答题（本题满分 6 分） 24．解：（1）依题意，得     0363634)3(2 2  aaaa ……………1 分 解得 1a 又 0a 且 a 为非负整数 ∴ 1a ………………………………………………………………2 分 ∴ 442  xxy （2）解法一： 抛物线 442  xxy 过点（1,1），（2,0），向下平移  0mm 个单位后得到点  n,1 和点  12,2 n ……………………………3 分 ∴        mn mn 1 120 , 解得 3m . ……………………………4 分 解法二： 抛物线 442  xxy 向下平移  0mm 个单位后得： mxxy  442 ,将点  n,1 和点  12,2 n 代入解析式得      12 1 nm nm …………………3 分 解得 3m . ……………………………4 分 （3）设  00 , yxP ,则  00 , yxQ  ……………………………5 分 ∵ QP、 在抛物线 kxxy  442 上,将 QP、 两点坐标分别代入得:      00 2 0 00 2 0 44 44 ykxx ykxx ,将两方程相加得: 0282 2 0  kx 即 042 0  kx ∵   044'  k ∴ 4k 当 4k 时， QP、 两点重合，不合题意舍去 ∴ 4k . ……………………………6 分 八、解答题（本题满分 7 分） 25.解：（1）∵对称轴 12 2  ax ∴ 1a  ……………………………………………………1 分 ∵  0,3A ∴ 3c   设直线 AC 的解析式为 y kx b  ∵  0,3A ，  3,0 C , 代入得： 直线 AC 的解析式为 3 xy ………………………………………2 分 （2）代数方法一： 过点 D 作 DM∥y 轴分别交线段 AC 和 x 轴于点 M、N． 设  32, 2  xxxD ，则  3, xxM …………………………………3 分 ∵ ABC ACDABCDS S S 四边形 ＝ 1 36 ( ) 62 2DM AN ON DM     ＝     3232 36 2  xxx 62 9 2 3 2  xx 8 75 2 3 2 3 2       x ……………………………………5 分 ∴当 2 3x 时，四边形 ABCD 面积有最大值 8 75 . 代数方法二： OBCADN SS   SS NDCOADCB 梯形四边形 =       2 33322 13232 1 22  xxxxxx = 8 75 2 3 2 362 9 2 3 2 2       xxx ……………………………………5 分 ∴当 2 3x 时，四边形 ABCD 面积有最大值 8 75 . 几何方法： 过点 D 作 AC 的平行线l ，设直线l 的解析式为 bxy  . 由      bxy xxy 322 得： 0332  bxx ………………………………3 分 当   03432  b 时，直线l 与抛物线只有一个公共点 即：当 4 21b 时,△ADC 的面积最大,四边形 ABCD 面积最大 此时公共点 D 的坐标为       4 15,2 3 ………………………………4 分 OBCADN SS   SS NDCOADCB 梯形四边形   312 1 2 332 1 4 1532 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1    OCOBONOCDNOA OCOBONOCDNDNAN = 8 75 ………………………………5 分 即：当 2 3x 时，四边形 ABCD 面积有最大值 8 75 . （3）如图所示，由抛物线的轴对称性可求得 B （1，0） ∵以线段 PB 为直径的圆与直线 BC 切于点 B ∴过点 B 作 BC 的垂线交抛物线于一点，则此点必为点 P . 过点 P 作 xPE  轴于点 E ， 可证 Rt△PEB∽Rt△BOC ∴ BO OC PE EB  ，故 EB=3PE，……………………………………………………6 分 设  32, 2  xxxP ， ∵B（1，0） ∴BE=1-x，PE= 322  xx  3231 2  xxx ， 解得 11 x （不合题意舍去）， ， 3 10 2 x ∴P 点的坐标为：      9 13 3 10， .………………………………………………7 分