西城区九年级上学期期末数学试卷及答案

北京市西城区 2010——2011 学年度第一学期期末试卷（北区） 九年级数学 2011.1 考 生 须 知 1．本试卷共 5 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分。考试时间 120 分钟。 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 3．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 抛物线  21 2y x   的对称轴为（ ）. A．直线 1x  B．直线 1x   C．直线 2x  D．直线 2x   2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，若∠C=15°， 则∠BOC =（ ）. A．60° B．45° C．30° D．15° 3. 如图，在 8×4 的矩形网格中，每格小正方形的边长都 是 1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tan∠ACB 的值为（ ）. A．1 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 2 4．用配方法将 2 6 11y x x   化成 2( )y a x h k   的形式为（ ）. A． 2( 3) 2y x   B． 2( 3) 2y x   C． 2( 6) 2y x   D． 2( 3) 2y x   5．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△ 1 1 1A B C （顶点均在格点上），若它们是以 P 点为位似中心的 位似图形，则 P 点的坐标是（ ）. A． ( 4, 3)  B． ( 3, 3)  C． ( 4, 4)  D． ( 3, 4)  6. 某商店购进一种商品，单价为 30 元．试销中发现这 种商品每天的销售量 P（件）与每件的销售价 x （元）满足关系： 100 2P x  . 若商店在试销期间每天销售这种商品获得 200 元的利润，根据题意，下面所列方程 正确的是（ ）. A． ( 30)(100 2 ) 200x x   B． (100 2 ) 200x x  C． (30 )(100 2 ) 200x x   D． ( 30)(2 100) 200x x   7. 如图，△OAB 中，OA=OB，∠A=30°，⊙O 与 AB 相切， 切点为 E，并分别交 OA，OB 于 C，D 两点，连接 CD. 若 CD 等于 2 3 ，则扇形 OCED 的面积等于（ ）. A． 2 3 π B． 4 3 π C． 8 3 π D．16 3 π 8. 如图，OA=4，线段 OA 的中点为 B，点 P 在以 O 为圆心， OB 为半径的圆上运动，PA 的中点为 Q.当点 Q 也落在 ⊙O 上时，cos∠OQB 的值等于（ ）. A． 1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 2 3 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9. 如图，在△ABC 中，DE∥AB 分别交 AC，BC 于点 D，E， 若 AD=2，CD=3，则△CDE 与△CAB 的周长比为 . 10. 两圆的半径分别为 3cm 和 4cm，若圆心距为 5cm，则这两圆的位置关系为 . 11. 如图，平面直角坐标系 xOy 中，点 A (2,0) ，以 OA 为半径作⊙O， 若点 P，B 都在⊙O 上，且四边形 AOPB 为菱形，则点 P 的坐标 为 . 12．抛物线 2y ax bx c   （a ≠ 0）满足条件：（1） 4 0a b  ；（2） 0a b c   ； （3）与 x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于 2．以下有四个结论：① 0a  ； ② 0c  ；③ 0a b c   ；④ 4 3 c ca  ，其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题（本题共 31 分，第 13～17 题每小题 5 分，第 18 题 6 分） 13．计算： 26tan 30 3sin60 cos45     ． 14．若关于 x 的方程 2 4 3 0x x a    有实数根． （1）求 a 的取值范围； （2）若 a 为符合条件的最小整数，求此时方程的根． 15．已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°， AC= 3 ，D 为 CB 延长线上一点，且 BD=2AB． 求 AD 的长． 16．右图为抛物线 cbxxy  2 的一部分，它经过 A ( 1,0) ， B (0,3) 两点． （1）求抛物线的解析式； （2）将此抛物线向左平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位， 求平移后的抛物线的解析式． 17. 如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部 B 的仰角为 45°，看这栋高楼底部 C 的俯角为 60°，热气球与高 楼的水平距离 AD 为 50m，求这栋楼的高度.（ 2 取 1.414， 3 取 1.732） 18．对于抛物线 2 4 3y x x   . （1）它与 x 轴交点的坐标为 ，与 y 轴交点的坐标为 ，顶点坐标为 ； （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线； （3）利用以上信息解答下列问题：若关于 x 的一元二次方程 2 4 3 0x x t    （t 为实数）在 1 ＜x＜ 7 2 的范围内有 解，则 t 的取值范围是 ． 四、解答题（本题共 19 分，第 20 题 4 分，其余每小题 5 分） 19．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC= 5，BC= 8， D，E 分别为 BC，AB 边上一点，∠ADE=∠C． （1）求证：△BDE∽△CAD； （2）若 CD=2，求 BE 的长． 20．两个长为 2，宽为 1 的矩形 ABCD 和矩形 EFGH 如图 1 所示摆放在直线 l 上，DE=2， 将矩形 ABCD 绕点 D 顺时针旋转 角（ 0 90    ） ，将矩形 EFGH 绕点 E 逆时针 旋转相同的角度． （1）当两个矩形旋转到顶点 C，F 重合时（如图 2），∠DCE= °，点 C 到直线 l 的 距离等于 ， = °； （2）利用图 3 思考：在旋转的过程中，矩形 ABCD 和矩形 EFGH 重合部分为正方形时，  = °． 21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD⊥AC 于 x … … y … … 点 E，交⊙O 于点 F，连接 BF，CF，∠D=∠BFC. （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若 AC=8，tanB = 1 2 ，求 AD 的长. 22．请阅读下面材料： 若 1 0( , )A x y ， 2 0( , )B x y 是抛物线 2y ax bx c   （a ≠ 0）上不同的两点，证明直线 1 2 2 x xx  为此抛物线的对称轴. 有一种方法证明如下： 证明：∵ 1 0( , )A x y ， 2 0( , )B x y 是抛物线 2y ax bx c   （a ≠ 0）上不同的两点， ∴ 2 0 1 1 2 0 2 2 , , y ax bx c y ax bx c        且 1x ≠ 2x . ①-②得 2 2 1 2 1 2( ) ( ) 0a x x b x x    . ∴  1 2 1 2( ) ( ) 0x x a x x b    . ∴ 1 2 bx x a    . 又∵ 抛物线 2y ax bx c   （a ≠ 0）的对称轴为 2 bx a   ， ∴ 直线 1 2 2 x xx  为此抛物线的对称轴. （1）反之，如果 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y 是抛物线 2y ax bx c   （a ≠ 0）上不同的 两点，直线 1 2 2 x xx  为该抛物线的对称轴，那么自变量取 1x ， 2x 时函数值相等 吗？写出你的猜想，并参考．．上述方法写出证明过程； （2）利用以上结论解答下面问题： 已知二次函数 2 1y x bx   当 x = 4 时的函数值与 x = 2007 时的函数值相等，求 x = 2012 时的函数值. 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） ① ② 23. 已知关于 x 的一元二次方程 2( 2) ( 1) 0m x m x m     .（其中 m 为实数） （1）若此方程的一个非零实数根为 k， ① 当 k = m 时，求 m 的值； ② 若记 1( ) 2 5m k kk    为 y，求 y 与 m 的关系式； （2）当 1 4 ＜m＜2 时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 24. 已知抛物线 2 ( )y ax a c x c    （其中 a ≠ c 且 a ≠0）. （1）求此抛物线与 x 轴的交点坐标；（用 a，c 的代数式表示） （2）若经过此抛物线顶点 A 的直线 y x k   与此抛物线的另一个交点为 ( , )a cB ca   ， 求此抛物线的解析式； （3）点 P 在（2）中 x 轴上方的抛物线上，直线 y x k   与 y 轴的交点为 C，若 1tan tan4POB POC   ，求点 P 的坐标； （4）若（2）中的二次函数的自变量 x 在 n≤x＜ 1n  （n 为正整数）的范围内取值时， 记它的整数函数值的个数为 N， 则 N 关于 n 的函数关系式为 . 25. 含 30° 角 的 直角 三 角 板 ABC 中 ， ∠A=30°. 将 其绕 直 角顶 点 C 顺时 针 旋转  角 （ 0 120    且 ≠ 90°），得到 Rt△ ' 'A B C ， 'A C 边与 AB 所在直线交于点 D，过点 D 作 DE∥ ' 'A B 交 'CB 边于点 E，连接 BE. （1）如图 1，当 ' 'A B 边经过点 B 时， = °； （2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD 的度数是∠CBE 度数的 m 倍，猜想 m 的值并 证明你的结论； （3）设 BC=1，AD=x，△BDE 的面积为 S，以点 E 为圆心，EB 为半径作⊙E，当 S= 1 3 ABCS 时，求 AD 的长，并判断此时直线 'A C 与⊙E 的位置关系. 北京市西城区 2010 — 2011 学年度第一学期期末试卷（北区） 九年级数学参考答案及评分标准 2011.1 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B D A A B C 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9. 3 5 . 10. 相交. 11. ( 1, 3) ， ( 1, 3)  .（每个 2 分） 12.②，④.（写对一个给 2 分，每写一个错误答案扣 1 分，最低 0 分不倒扣分） 三、解答题（本题共 31 分，第 13～17 题每小题 5 分，第 18 题 6 分） 13．解： 26tan 30 3sin60 cos45     23 3 26 ( ) 33 2 2      ……………………………………………………………3 分 3 22 2 2    1 2 2 2   . ……………………………………………………………………………5分 14．解：（1） 24 4(3 )a    4 4a  .…………………………………………………… 1 分 ∵ 该方程有实数根， ∴ 4 4a ≥0．…………………………………………………………………2 分 解得 a≥ 1 ．……………………………………………………………………3 分 （2）当 a 为符合条件的最小整数时，a = 1 ． ………………………………… 4 分 此时方程化为 2 4 4 0x x   ，方程的根为 1 2 2x x   ．…………………5 分 15．解：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，AC= 3 ， ∴ 2sin 60 ACAB   ，BC=1．……………………2 分 ∵ D 为 CB 延长线上一点，BD=2AB ， ∴ BD=4，CD=5． …………………………………………………………………4 分 ∴ 2 2 2 7AD CD AC   ．……………………………………………………5 分 16．解：（1）∵ 抛物线经过 A ( 1,0) ，B (0,3) 两点， ∴ 1 0, 3. b c c       ……………………………………………………………1 分 解得 2, 3. b c    …………………………………………………………………2 分 ∴ 抛物线的解析式为 2 2 3y x x    ． ……………………………………3 分 （2）∵ 抛物线 2 2 3y x x    的顶点坐标为 (1,4) ， ∴ 平移后的抛物线的顶点坐标为 ( 2,3) ． 图 1 ∴ 平移后的抛物线的解析式为 2 2( 2) 3 4 1y x x x        ．…………5 分 17．解：在 Rt△ABD 中，∠BDA=90°，∠BAD=45°， ∴ BD=AD=50(m)． …………………………………………2 分 在 Rt△ACD 中，∠ADC=90°，∠CAD=60°， ∴ 3 50 3CD AD  (m) ． ………………………………4 分 ∴ BC= BD+CD=50 50 3 50( 3 1) 136.6   (m)．……5 分 答：这栋楼约高 136.6 m． 18．解：（1）它与 x 轴交点的坐标为 (1,0),(3,0) ，与 y 轴交点的坐标为 (0,3) ，顶点坐标为 (2, 1) ； ………………………………………3 分 （2）列表： ……………………………4 分 图象如图 3 所示． ……………………………5 分 （3）t 的取值范围是 1 8t   ．……………………6 分 四、解答题（本题共 19 分，第 20 题 4 分，其余每小题 5 分） 19．（1）证明：∵ AB=AC， ∴ ∠B=∠C．……………………………1 分 ∵ ∠ADE+∠BDE=∠ADB =∠C+∠CAD， ∠ADE=∠C， ∴ ∠BDE =∠CAD． ………………………………………………………2 分 ∴ △BDE∽△CAD． ………………………………………………………3 分 （2）解：由（1）得 DB AC BE CD  ．…………………………………………………………4 分 ∵ AB=AC= 5，BC= 8，CD=2， ∴ 6DB BC CD   ． ∴ 6 2 2.45 DB CDBE AC     ． ………………………………………………5 分 20．解：（1）∠DCE= 60 °，点 C 到直线 l 的距离等于 3 ， = 30 °； …………………3 分 （2） = 45 °． ………………………………………………………………………4 分 21．（1）证明：∵ OD⊥AC 于点 E， ∴ ∠OEA=90°，∠1+∠2=90°． ∵ ∠D=∠BFC，∠BFC=∠1， ∴ ∠D +∠2=90°，∠OAD =90°． ∴ OA⊥AD 于点 A．………………………1 分 ∵ OA 是⊙O 的半径， ∴ AD 是⊙O 的切线． ……………………2 分 （2）解：∵ OD⊥AC 于点 E，AC 是⊙O 的弦，AC=8， x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 -1 0 3 … 图 4 图 3 图 2 图 5 ∴ 42 ACAE EC   ．………………………………………………………3 分 ∵ ∠B=∠C，tanB = 1 2 ， ∴ 在 Rt△CEF 中，∠CEF=90°，tanC = 1 2 ． ∴ tan 2EF EC C   ． 设⊙O 的半径为 r，则 2OE r  ． 在 Rt△OAE 中，由勾股定理得 2 2 2OA OE AE  ，即 2 2 2( 2) 4r r   ． 解得 r =5．……………………………………………………………………4 分 ∴ 在 Rt△OAE 中， 4tan 2 3 AE OE    ． ∴ 在 Rt△OAD 中， 4 20tan 2 5 3 3AD OA      ． ………………………5 分 22．解：（1）结论：自变量取 1x ， 2x 时函数值相等． ……………………………………1 分 证明：∵ 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y 为抛物线 2y ax bx c   上不同的两点， 由题意得 2 1 1 1 2 2 2 2 , , y ax bx c y ax bx c        且 1x ≠ 2x ． ①-②，得  2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )y y a x x b x x x x a x x b         . ……………………………………………………………2 分 ∵ 直线 1 2 2 x xx  是抛物线 2y ax bx c   （a ≠ 0）的对称轴， ∴ 1 2 2 2 x x bx a    . ∴ 1 2 bx x a    . ∴  1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0y y x x a x x b      ，即 1 2y y .………………3 分 （阅卷说明：其他代数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而 没有用代数方法进行证明的不给分） （2）∵ 二次函数 2 1y x bx   当 x = 4 时的函数值与 x = 2007 时的函数值相等， ∴ 由阅读材料可知二次函数 2 1y x bx   的对称轴为直线 2011 2x  . ∴ 2011 2 2 b  ， 2011b   . ∴ 二次函数的解析式为 2 2011 1y x x   . …………………………………4 分 ∵ 2011 2012 ( 1) 2 2   ， 由（1）知，当 x = 2012 的函数值与 1x   时的函数值相等. ① ② ∵ 当 x = 1 时的函数值为 2( 1) 2011 ( 1) 1 2011      ， ∴ 当 x = 2012 时的函数值为 2011. …………………………………………5 分 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23.解：（1）∵ k 为 2( 2) ( 1) 0m x m x m     的实数根， ∴ 2( 2) ( 1) 0m k m k m     .※ …………………………………………1 分 ① 当 k = m 时， ∵ k 为非零实数根， ∴ m ≠ 0，方程※两边都除以 m，得 ( 2) ( 1) 1 0m m m     . 整理，得 2 3 2 0m m   . 解得 1 1m  ， 2 2m  . ………………………………………………………2 分 ∵ 2( 2) ( 1) 0m x m x m     是关于 x 的一元二次方程， ∴ m ≠ 2. ∴ m= 1. ……………………………………………………………………3 分 （阅卷说明：写对 m= 1，但多出其他错误答案扣 1 分） ② ∵ k 为原方程的非零实数根， ∴ 将方程※两边都除以 k，得 ( 2) ( 1) 0mm k m k      .…………………4 分 整理，得 1( ) 2 1m k k mk     . ∴ 1( ) 2 5 4y m k k mk       .……………………………………………5 分 （2）解法一： 2 2[ ( 1)] 4 ( 2) 3 6 1 3 ( 2) 1m m m m m m m              .………6 分 当 1 4 ＜m＜2 时，m＞0， 2m  ＜0. ∴ 3 ( 2)m m  ＞0， 3 ( 2) 1m m   ＞1＞0，Δ＞0. ∴ 当 1 4 ＜m＜2 时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7 分 解法二：直接分析 1 4 ＜m＜2 时，函数 2( 2) ( 1)y m x m x m     的图象， ∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与 y 轴正半轴相交， ∴ 该抛物线必与 x 轴有两个不同交点. …………………………6 分 ∴ 当 1 4 ＜m＜2 时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7 分 解法三： 2 2 2[ ( 1)] 4 ( 2) 3 6 1 3( 1) 4m m m m m m              .…………6 分 结合 23( 1) 4m     关于 m 的图象可知，（如图 6） 当 1 4 ＜m≤1 时， 37 16 ＜  ≤4； 当 1＜m＜2 时，1＜  ＜4. ∴ 当 1 4 ＜m＜2 时，  ＞0. ∴ 当 1 4 ＜m＜2 时，此方程有两个不相等的实数根. …………………………………………7 分 24.解：（1）抛物线 2 ( )y ax a c x c    与 x 轴交点的横坐标是关于 x 的方程 2 ( ) 0ax a c x c    （其中 a ≠ 0，a ≠c）的解. 解得 1 1x  ， 2 cx a  . ………………………………………………………… 1 分 ∴ 抛物线与 x 轴交点的坐标为 (1,0) ， ( ,0)c a .……………………………… 2 分 （2）抛物线 2 ( )y ax a c x c    的顶点 A 的坐标为 2( )( , )2 4 a c a c a a   . ∵ 经过此抛物线顶点 A 的直线 y x k   与此抛物线的另一个交点为 ( , )a cB ca   ， 2 2 ( ) ,4 2 , ( ) ( ) . a c a c ka a a cc ka a c a cc a a c ca a                      由③得 c =0. ……………………………………………………………………3 分 将其代入①、② 得 1 ,4 2 0 1 . a k k          解得 2a   . ∴ 所求抛物线的解析式为 22 2y x x   .…………………………………… 4 分 （3）作 PE⊥x 轴于点 E， PF⊥y 轴于点 F.（如图 7） 抛物线 22 2y x x   的顶点 A 的坐标 1 1( , )2 2 ， 点 B 的坐标为 (1,0) ，点 C 的坐标为 (0,1) . 设点 P 的坐标为 ( , )m n . ∵ 点 P 在 x 轴上方的抛物线 22 2y x x   上， ∴ 22 2n m m   ，且 0＜m＜1， 10 2n  . ∴ tan PE nPOB OE m    ， tan PF mPOC OF n    . ∵ 1tan tan4POB POC   ， ① ② ③ 图 7 图 6 ∴ 2 24m n . 解得 m=2n，或 2m n  （舍去）. ………………………………………………5 分 将 m=2n 代入 22 2n m m   ，得 28 3 0n n  . 解得 1 3 8n  ， 2 0n  （舍去）. ∴ 32 4m n  . ∴ 点 P 的坐标为 3 3( , )4 8 . …………………………………………………………6 分 （4）N 关于 n 的函数关系式为 N=4n . ………………………………………………7 分 说明：二次函数 22 2y x x   的自变量 x 在 n≤x＜ 1n  （n 为正整数）的范围内取 值，此时 y 随 x 的增大而减小， ∴ 22 2n n  ＜y≤ 22 2n n  ， 其中的整数有 22 2 1n n   ， 22 2 2n n   ，… 22 2n n  . 2 2( 2 2 ) ( 2 2 ) 4N n n n n n       . 25.（1）当 ' 'A B 边经过点 B 时， = 60 °； ………………………………………… 1 分 （2）猜想：①如图 8，点 D 在 AB 边上时，m=2； ②如图 9，点 D 在 AB 的延长线上时，m=4. （阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点） 证明：① 当 0 90    时，点 D 在 AB 边上（如图 8）. （阅卷说明：①、②两种情况没写 的取值范围不扣分） ∵ DE∥ ' 'A B ， ∴ CD CE CA CB   . 由旋转性质可知，CA = 'CA ，CB= 'CB ，∠ACD=∠BCE. ∴ CD CE CA CB  . ∴ △CAD∽△CBE. ……………2 分 ∴ ∠A =∠CBE=30°. ∵ 点 D 在 AB 边上，∠CBD=60°， ∴ 2CBD CBE   ，即 m=2. ………………………………………3 分 ② 当90 120    时，点 D 在 AB 的延长线上（如图 9）. 与①同理可得 ∠A =∠CBE=30°. ∵ 点 D 在 AB 的延长线上， 180 120CBD CBA       ， ∴ 4CBD CBE   ，即 m=4. ……………………………………4 分 （阅卷说明：第（2）问用四点共圆方法证明的扣 1 分.） （3）解：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1， ∴ AB = 2 ， 3AC  ， 3 2ABCS  . 由 △CAD∽△CBE 得 AD BE AC BC  . ∵ AD=x， 图 9 图 8 ∴ 13 x BE ， 3 3BE x . ①当点 D 在 AB 边上时，AD=x， 2BD AB AD x    ，∠DBE=90°. 此时， 21 1 3 3 2 3(2 )2 2 3 6BDE x x xS S BD BE x         . 当 S = 1 3 ABCS 时， 23 2 3 3 6 6 x x   . 整理，得 2 2 1 0x x   . 解得 1 2 1x x  ，即 AD=1.…………………5 分 此时 D 为 AB 中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE.（如图 10） ∴ EC = EB. ∵ ' ' 90A CB   ，点 E 在 'CB 边上， ∴ 圆心 E 到 'A C 的距离 EC 等于⊙E 的半径 EB. ∴ 直线 'A C 与⊙E 相切. …………………………………………………6 分 ②当点 D 在 AB 的延长线上时，AD=x， 2BD x  ，∠DBE=90°.（如图 9）. 21 1 3 3 2 3( 2)2 2 3 6BDE x x xS S BD BE x        . 当 S = 1 3 ABCS 时， 23 2 3 3 6 6 x x  . 整理，得 2 2 1 0x x   . 解得 1 1 2x   ， 2 1 2x   （负值，舍去）. 即 1+ 2AD  .……………………………………………………………… 7 分 此时∠BCE= ，而 90 120    ，∠CBE=30°， ∴ ∠CBE＜∠BCE . ∴ EC＜EB，即圆心 E 到 'A C 的距离 EC 小于⊙E 的半径 EB. ∴ 直线 'A C 与⊙E相交. ……………………………………………………8分 图 10