北京西城08-09学年九年级数学上期末测试试卷

北京市西城区 2008——2009 学年度第一学期期末测试 初三数学试卷 2009.1 第Ⅰ卷 （机读卷 共 32 分） 一、选择题（共 8 道小题，每小题 4 分，共 32 分） 1. 若方程 2 5 0x x  的一个根是 a，则 2 5 2a a  的值为（ ）. A.  2 B. 0 C. 2 D.4 2. 如图，⊙O 的半径 OA 等于 5，半径 OC 与弦 AB 垂直，垂足为 D ，若 OD=3，则弦 AB 的长为（ ）. A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 3. 将抛物线 22y x 经过怎样的平移可得到抛物线 22( 3) 4y x   ？答：（ ）. A. 先向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位 B. 先向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位 C. 先向右平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位 D. 先向右平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位 4. 小莉站在离一棵树水平距离为 a 米的地方，用一块含 30°的直角三角板按如图所示的方 式测量这棵树的高度，已知小莉的眼睛离地面的高度是 1.5 米 ，那么她测得这棵树的高 度为（ ）. A. 3( )3 a 米 B. ( 3 )a 米 C. 3(1.5 )3 a 米 D. (1.5 3 )a 米 5. 如图，以某点为位似中心，将△AOB 进行位似变换得到△CDE，记△AOB 与△CDE 对应边 的比为 k，则位似中心的坐标和 k 的值分别为（ ）. A. (0 0)， ，2 B. (2 2)， ， 1 2 C. (2 2)， ，2 D. (2 2)， ，3 6. 将抛物线 2 1y x  绕原点 O 旋转 180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）. A. 2y x  B. 2 1y x   C. 2 1y x  D. 2 1y x   7．如图，PA、PB 分别与⊙O 相切，切点分别为 A、B，PA =3， ∠P=60°，若 AC 为⊙O 的直径，则图中阴影部分的面 积为（ ）. A. 2  B. 3 6  C. 3 3  D.  8. 已知 b＞0 时，二次函数 2 2 1y ax bx a    的图象如下列四个图之一所示. 根据图象分析， a 的值等于．．．．（ ）. A. -2 B.-1 C. 1 D. 2 第Ⅱ卷 （非机读卷 共 88 分） 二、填空题（共 4 道小题，每小题 4 分，共 16 分） 9. 若△ABC∽△DEF ，且对应边 BC 与 EF 的比为 2∶3，则△ABC 与△DEF 的面积 比等于 ． 10. 如图，⊙O 的直径是 AB，CD 是⊙O 的弦，若∠D=70°，则∠ABC 等于 ． 11. 如 图 ， ∠ABC=90°， O 为 射 线 BC 上 一 点 ， 以 点 O 为圆心， 2 1 OB 长为半径作 ⊙O，若射线 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转至 BA ，若 BA 与⊙O 相切，则旋转的角度 （0° ＜ ＜180°）等于 ． 12. 等腰△ABC 中， 8BC  ，若 AB、AC 的长是关于 x 的方程 2 10 0x x m   的根，则 m 的 值等于 ． 三、解答题（本题共 29 分，13～17 题每小题 5 分，第 18 题 4 分） 13．解方程： 22 6 1 0x x   . 14．计算： 2cos60 tan 45 sin 45sin30      . 15．已知：关于 x 的方程 2 2 3 4x x k   有两个不相等的实数根（其中 k 为实数）. （1）求 k 的取值范围； （2）若 k 为非负整数，求此时方程的根. 16．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，∠B=30°， 延长 BA 到 D，使∠BDC=30°. （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）若 AB=2，求 DC 的长. 17．已 知 ： 如 图 ， △ A B C 中 ， A B = 2 ， B C = 4 ， D 为 BC 边上一点，BD=1. （1）求证：△ABD ∽△CBA； （2）若 DE∥AB 交 AC 于点 E，请再写出另一个与△ABD 相似的三角形，并直接写出 DE 的长. 18．已知：如图，∠MAN=45°，B 为 AM 上的一个定点， 若点 P 在射线 AN 上，以 P 为圆心，PA 为半径的圆 与射线 AN 的另一个交点为 C，请确定⊙P 的位置，使 BC 恰与⊙P 相切. （1）画出图形（不要求尺规作图，不要求写画法）； （2）连结 BP 并填空： ① ∠ABC= °； ② 比较大小：∠ABP ∠CBP.（用“＞”、“＜”或“=”连接） 四、解答题（本题共 21 分，第 19 题 6 分，第 20 题 4 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分） 19．已知抛物线 2y ax bx c   经过点 0 3 4 3 1 0A B C（ ，）、 （ ，）、 （ ，）. （1）填空：抛物线的对称轴为直线 x= ，抛物线与 x 轴的另一个交点 D 的 坐标为 ； （2）求该抛物线的解析式. 20．已知：如图，等腰△ABC 中，AB= BC，AE⊥BC 于 E， EF⊥AB 于 F，若 CE=2， 4cos 5AEF  ， 求 EF 的长. 21．某水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利 10 元， 每天可售出 500 千克.经 市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每 涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克. （1）如果市场每天销售这种水果盈利了 6 000 元，同时顾客又得到了实惠．．．．．．．．．．，那么 每千克这种水果涨了多少元？ （2）设每千克这种水果涨价 x 元时（0＜x≤25），市场每天销售这种水果所获利 润为 y 元.若不考虑其它因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多 少元时，市场每天销售这种水果盈利最多？最多盈利多少元？ 22．已知：如图，△ABC 中，AB=3，∠BAC=120°，AC=1，D 为 AB 延长线上一点，BD=1，点 P 在∠BAC 的平分线上，且满足△PAD 是等边三角形. （1）求证：BC=BP； （2）求点 C 到 BP 的距离. 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．已知关于 x 的方程 2 2 2 0x ax a b    ，其中 a、b 为实数. （1）若此方程有一个根为 2 a（a ＜0），判断 a 与 b 的大小关系并说明理由； （2）若对于任何实数 a ，此方程都有实数根，求 b 的取值范围. 24．已知：如图，⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC=45°，∠ABC =15°，AD∥OC 并交 BC 的延长线于 D，OC 交 AB 于 E. （1）求∠D 的度数； （2）求证： 2AC AD CE  ； （3）求 BC CD 的值. 25．已知：抛物线 2 23 2 3( 1) 3( 2 )y x a x a a      与 x 轴交于点 A（x 1 ，0）、 B（x2，0），且 x1 < 1 < x2 . （1）求 A、B 两点的坐标(用 a 表示)； （2）设抛物线得顶点为 C, 求△ABC 的面积； （3）若 a 是整数, P 为线段 AB 上的一个动点（P 点与 A、B 两点不重合），在 x 轴 上 方 作 等 边 △AP M 和 等 边 △ BP N ， 记 线 段 MN 的 中 点 为 Q ， 求 抛 物 线 的 解析式及线段 PQ 的长的取值范围. 北京市西城区 2008——2009 学年度第一学期期末 初三数学试卷答案及评分参考 2009.1 第Ⅰ卷 （机读卷 共 32 分） 一、选择题（共 8 道小题，每小题 4 分，共 32 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C C D A B 第Ⅱ卷 （非机读卷 共 88 分） 二、填空题（共 4 道小题，每小题 4 分，共 16 分） 题号 9 10 11 12 答案 4∶9 20° 60°或 120°（各 2 分） 16 或 25（各 2 分） 三、解答题（本题共 29 分，13～17 题每小题 5 分，第 18 题 4 分） 13．解：因为 2 6 1a b c   ， ， ，- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 分 所以 2 24 6 4 2 1 28b ac      （ ） ．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 分 代入公式，得 2 4 2 b b acx a    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 分 6 28 6 2 7 3 7 2 2 4 2      . 所以 原方程的根为 1 2 3 7 3 7 2 2x x  ， ．（每个根各 1 分）- - - - - - - - - - - - - 5 分 14．解： 2cos60 tan 45 sin 45sin30      . 2 1 22 1 ( )1 2 2    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 分 1 .2  - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5 分 15．（1）解一：原方程可化为 2( 1) 4 4x k   .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 分 ∵ 该方程有两个不相等的实数根， ∴ 4 4 0k  .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 分 解得 1k  . ∴ k 的取值范围是 1k  .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3 分 A B C D O 解二：原方程可化为 2 2 4 3 0x x k    .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 分 22 4(4 3) 4(4 4 )k k      .以下同解法一. （2）解：∵ k 为非负整数， 1k  ， ∴ k = 0 . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 分 此时方程为 2 2 3x x  ，它的根为 1 3x   ， 2 1x  . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5 分 16．（1）证明：连结 OC. ∵ OB=OC，∠B=30°， ∴ ∠OCB=∠B=30°. ∴ ∠COD=∠B+∠OCB=60°. - - - - - - - - - - 1 分 ∵ ∠BDC=30°， ∴ ∠BDC +∠COD =90°， DC⊥OC. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 分 ∵ BC 是弦， ∴ 点 C 在⊙O 上. ∴ DC 是⊙O 的切线. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 分 （2）解：∵ AB=2， ∴ 12 ABOC OB   . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 分 ∵ 在 Rt△COD 中，∠OCD=90°，∠D=30°， ∴ 3 3DC OC  .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5 分 17．（1）证明：∵ AB=2 ，BC=4 ，BD=1 ， ∴ AB BD CB BA  ．- - - - - - - - - - - - 1 分 ∵ ∠ABD =∠CBA ，- - - - - - - - 2 分 A B C D E ∴ △ABD ∽△CBA ．- - - - - - -3 分 （2）答：△ABD ∽ △CDE ；- - - - - - - 4 分 DE = 1.5 . - - - - - - - - - - - - - - 5 分 18．解：（1）图形见右. - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 分 （2）① ∠ABC= 45 °；- - - - - - -3 分 ② ∠ABP ＜ ∠CBP . - - - - - - 4 分 四、解答题（本题共 21 分，第 19 题 6 分，第 20 题 4 分，第 21 题 6 分，第 22 题 5 分） 19．解：（1）抛物线的对称轴为直线 x= 2 ，抛物线与 x 轴的另一个交点 D 的坐标为 （3， 0） ； - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 分 （2）∵ 抛物线经过点 1 0 3 0C D（ ，）、 （ ，）， ∴ 设抛物线的解析式为 ( 1)( 3)y a x x   .- - - - - - - - 4 分 由抛物线经过点 0 3A（ ，），得 a =1. - - - - - - - - - - - - - - 5 分 ∴ 抛物线的解析式为 2 4 3y x x   .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 6 分 20．解：∵ AE⊥BC， EF⊥AB， ∴ ∠1+∠2=90°，∠B+∠2=90°. ∴ ∠1=∠B . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 分 ∵ 4cos 5AEF  ， ∴ Rt△ABE 中， 4cos 5 BEB AB   .- - - - - - - - - - - - 2 分 设 BE =4k，则 AB=BC=5k， 2EC BC BE k    . ∴ BE =8. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 分 ∴ Rt△BEF 中， 3 24sin 8 5 5EF BE B     .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 分 M N P A B C 2 1 F E C B A 21．解：（1）设市场某天销售这种水果盈利了 6 000 元，同时顾客又得到了实惠时，每千克 这种水果涨了 x 元. 由题意得 (10 )(500 20 ) 6 000x x   .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1 分 整理，得 2 15 50 0x x   . 解得 1 5x  ， 2 10x  . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2 分 因为顾客得到了实惠，应取 5x  .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 分 答：市场某天销售这种水果盈利 6 000 元，同时顾客又得到了实惠时，每千克 这 种水果涨了 5 元. （2）因为每千克这种水果涨价 x 元时，市场每天销售这种水果所获利润为 y 元， y 关于 x 的函数解析式为 (10 )(500 20 )y x x   （0＜x≤25）.- - - - - - - - - - 4 分 而 2 2 (10 )(500 20 ) 20 300 5 000= 20( 7.5) 6125.y x x x x x          所以，当 x=7.5 时（0＜7.5≤25），y 取得最大值，最大值为 6 125. - - - - - - 6 分 答: 不考虑其它因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价 7.5 元时，市 场每天销售这种水果盈利最多，最多盈利 6 125 元. 22.（1）证明：如图 1，连结 PC.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 分 ∵ AC=1，BD =1， ∴ AC=BD. ∵ ∠BAC=120°，AP 平分∠BAC， ∴ 11 602 BAC     . ∵ △PAD 是等边三角形， ∴ PA=PD，∠D=60°. ∴ ∠1=∠D. ∴ △PAC≌△PDB. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 图 1 4 3 2 1 A B C D P - - - - - - - - - - - - - - - 2 分 ∴ PC= PB，∠2=∠3. ∴ ∠2+∠4=∠3+∠4， ∠BPC=∠DPA=60°. ∴ △PBC 是等边三角形，BC=BP. - - - - - - - - - - 3 分 证法二：作 BM∥PA 交 PD 于 M ，证明△PBM≌△BCA. （2）解法一：如图 2，作 CE⊥PB 于 E， PF⊥AB 于 F. ∵ AB=3，BD=1， ∴ AD=4. ∵ △PAD 是等边三角形，PF⊥AB， ∴ 1 22DF AD  ， sin60 2 3PF PD    . ∴ 1BF DF BD   ， 2 2 13BP BF PF   .- - - - - - - - - - - - - - - - - 4 分 ∴ 3 39sin60 sin60 13 2 2CE BC BP         . - - - - - - - - - - - - - - 5 分 即点 C 到 BP 的距离等于 39 2 . 解法二：作 BN⊥DP 于 N，DN= 1 2 ， 7 2NP DP DN   ，BN= 3 2 ， 2 2 13BP BN NP   . 以下同解法一. 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．解：（1）∵ 方程 2 2 2 0x ax a b    有一个根为 2a ， ∴ 2 24 4 2 0a a a b    .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -1 分 整理，得 2 ab  .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 分 ∵ 0a ， ∴ 2 aa  ，即 a b .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 分 （2） 2 24 4( 2 ) 4 4 8a a b a a b        .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4 分 图 2 F E P D C B A ∵ 对于任何实数 a，此方程都有实数根， ∴ 对于任何实数 a，都有 24 4 8a a b  ≥0 ，即 2 2a a b  ≥0. - - - - - - - - 5 分 ∴ 对于任何实数 a，都有 b≤ 2 2 a a . ∵ 2 21 1 1( )2 2 2 8 a a a    ， 当 1 2a   时， 2 2 a a 有最小值 1 8  .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -6 分 ∴ b 的取值范围是 b≤ 1 8  . - - - - - - - - - - -7 分 24．（1）解：如图 3，连结 OB.- - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 分 ∵ ⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC=45°， ∴ ∠BOC =2∠BAC =90°. ∵ OB=OC ， ∴ ∠OBC =∠OCB =45°. ∵ AD∥OC ， ∴ ∠D =∠OCB =45°. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2 分 （2）证明：∵ ∠BAC =45°，∠D =45°， ∴ ∠BAC =∠D . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 分 ∵ AD∥OC ， ∴ ∠ACE =∠DAC . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4 分 ∴ △ACE ∽△DAC ． ∴ AC CE DA AC  ． ∴ 2AC AD CE  ．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5 分 （3）解法一：如图 4，延长 BO 交 DA 的延长线于 F，连结 OA . ∵ AD∥OC ， D O E A C B 图 3 B C A F E O D ∴ ∠F=∠BOC =90°. ∵ ∠ABC =15°， ∴ ∠OBA =∠OBC －∠ABC =30°. ∵ OA = OB ， ∴ ∠FOA=∠OBA＋∠OAB =60°，∠OAF =30°. ∴ 1 2OF OA . ∵ AD∥OC ， ∴ △BOC ∽△BFD ． ∴ BC BO BD BF  ． ∴ 2BC BO OA CD OF OF    ，即 BC CD 的值为 2. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -7 分 解法二：作 OM⊥BA 于 M，设⊙O 的半径为 r，可得 BM= 3 2 r ，OM= 2 r ， 30MOE   ， 3tan30 6ME OM r    ，BE= 2 3 3 r ，AE= 3 3 r ，所以 2BC BE CD EA   . 25．解：（1）∵ 抛物线与 x 轴交于点 A（x1，0）、B（x2，0）， ∴ x1、x2 是关于 x 的方程 2 23 2 3( 1) 3( 2 ) 0x a x a a      的解. 方程可化简为 2 22( 1) ( 2 ) 0x a x a a     . 解方程，得 x a  或 2x a   . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 分 ∵ x1 < x2 ， 2a a    ， ∴ 1x a  ， 2 2x a   . ∴ A、 B 两点的坐标分别为 ( ,0)A a ， ( 2,0)B a  . - - - - - - - - - - - - - - - - 2 分 （2）∵ AB=2， 顶点 C 的纵坐标为 3 ，- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 分 ∴ △ABC 的面积等于 3 .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 分 （3）∵ x1 < 1 < x2 ， ∴ 1 2a a     . ∴ 1 1a   . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5 分 ∵ a 是整数， ∴ a = 0 ，所求抛物线的解析式为 23 2 3y x x   . - - - - - - - - - - - - - - - - 6 分 解一：此时顶点 C 的坐标为 C (1 3)， . 如图 5，作 CD⊥AB 于 D ，连结 CQ. 则 AD=1，CD= 3 ，tan∠BAC= 3 . ∴ ∠BAC=60°. 由抛物线的对称性可知△ABC 是等边三角形. 由 △APM 和△BPN 是等边三角形，线段 MN 的中点为 Q 可得，点 M、N 分别在 AC 和 BC 边上，四边形 PMCN 为平行四边形，C、Q、 P 三点共线，且 1 2PQ PC .- - - - - - - - - - - - - - -7 分 ∵ 点 P 在线段 AB 上运动的过程中，P 与 A、B 两点不重合， DC≤PC＜AC ， 3DC  ，AC=2， ∴ 3 2 ≤PQ＜1. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -8 分 解二：设点 P 的坐标为 P ( 0)x， （0＜x＜2）.如图 6，作 MM1⊥AB 于 M1 ，NN1 ⊥AB 于 N1. ∵ △APM 和△BPN 是等边三角形，且都在 x 轴上方， ∴ AM=AP= x，BN=BP= 2 x ，∠MAP=60°，∠NBP=60°. ∴ 1 cos 2 xAM AM MAB    ， 1 3sin 2 xMM AM MAB    ， 1 2cos 2 xBN BN NBP     ， 图 5 图 6 1 2 3 3sin 2 xNN BN NBP     . ∴ 1 1 2 22 2 2 x xAN AB BN       . ∴ M、 N 两点的坐标分别为 3( , )2 2 x xM ， 2 2 3 3( , )2 2 x xN   . 可得线段 MN 的中点 Q 的坐标为 1 3( , )2 2 xQ  . 由勾股定理得 2 2 21 3 1( ) ( ) ( 1) 32 2 2 xPQ x x      .- - - - - - - - - - -7 分 ∵ 点 P 在线段 AB 上运动的过程中，P 与 A、B 两点不重合，0＜x＜2 ， ∴ 3≤ 2( 1) 3x   ＜4. ∴ 3 2 ≤PQ＜1. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8 分