2016年达州市中考数学试题解析版

2016 年四川省达州市中考数学试卷 一、（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合 题目要求） 1．下列各数中最小的是（ ） A．0 B．﹣3 C．﹣ D．1 2．在“十二•五”期间，达州市经济保持稳步增长，地区生产总值约由 819 亿元增加到 1351 亿元，年均增长约 10%，将 1351 亿元用科学记数法表示应为（ ） A．1.351×1011 B．13.51×1012 C．1.351×1013 D．0.1351×1012 3．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“你”字所在面相对的面上标的字是 （ ） A．遇 B．见 C．未 D．来 4．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 5．下列说法中不正确的是（ ） A．函数 y=2x 的图象经过原点 B．函数 y= 的图象位于第一、三象限 C．函数 y=3x﹣1 的图象不经过第二象限 D．函数 y=﹣ 的值随 x 的值的增大而增大 6．如图，在 5×5 的正方形网格中，从在格点上的点 A，B，C，D 中任取三点，所构成的三 角形恰好是直角三角形的概率为（ ） A． B． C． D． 7．如图，半径为 3 的⊙A 经过原点 O 和点 C（0，2），B 是 y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则 tan∠OBC 为（ ） A． B．2 C． D． 8．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成 4 个小三角形，称为第一次操作；然后，将 其中的一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到 7 个小三角形，称为第二次操作； 再将其中一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到 10 个小三角形，称为第三次 操作；…根据以上操作，若要得到 100 个小三角形，则需要操作的次数是（ ） A．25 B．33 C．34 D．50 9．如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC，AF⊥BF 于点 F，D 为 AB 的中点，连接 DF 延长 交 AC 于点 E．若 AB=10，BC=16，则线段 EF 的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0），与 y 轴的 交点 B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x=1．下列结论： ①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④ ＜a＜ ⑤b＞c． 其中含所有正确结论的选项是（ ） A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤ 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分，把最后答案直接填在题中的横线上） 11．分解因式：a3﹣4a= ． 12．如图，AB∥CD，AE 交 CD 于点 C，DE⊥AE 于点 E，若∠A=42°，则∠D= ． 13．已知一组数据 0，1，2，2，x，3 的平均数是 2，则这组数据的方差是 ． 14．设 m，n 分别为一元二次方程 x2+2x﹣2018=0 的两个实数根，则 m2+3m+n= ． 15．如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60°得到线段 AQ， 连接 BQ．若 PA=6，PB=8，PC=10，则四边形 APBQ 的面积为 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB：BC=3：2，点 A（3，0），B（0，6） 分别在 x 轴，y 轴上，反比例函数 y= （x＞0）的图象经过点 D，且与边 BC 交于点 E，则 点 E 的坐标为 ． 三、解答题（72 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）（本题 2 个 小题，共 12 分） 17．计算： ﹣（﹣2016）0+|﹣3|﹣4cos45°． 18．已知 x，y 满足方程组 ，求代数式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）的值． （二）、本题 2 个小题，共 14 分． 19．达州市图书馆今年 4 月 23 日开放以来，受到市民的广泛关注.5 月底，八年级（1）班学 生小颖对全班同学这一个多月来去新图书馆的次数做了调查统计，并制成了如图不完整的统 计图表． 八年级（1）班学生去新图书馆的次数统计表 去图书馆的次数 0 次 1 次 2 次 3 次 4 次及以上 人数 8 12 a 10 4 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）填空：a= ，b= ； （2）求扇形统计图中“0 次”的扇形所占圆心角的度数； （3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取 1 人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好 抽中去过“4 次及以上”的同学的概率． 20．如图，在▱ ABCD 中，已知 AD＞AB． （1）实践与操作：作∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，在 AD 上截取 AF=AB，连接 EF；（要 求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想并证明：猜想四边形 ABEF 的形状，并给予证明． （三）、本题 2 个小题，共 16 分． 21．如图，在一条笔直的东西向海岸线 l 上有一长为 1.5km 的码头 MN 和灯塔 C，灯塔 C 距 码头的东端 N 有 20km．以轮船以 36km/h 的速度航行，上午 10：00 在 A 处测得灯塔 C 位 于轮船的北偏西 30°方向，上午 10：40 在 B 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏东 60°方向，且与 灯塔 C 相距 12km． （1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？ （2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据： ≈1.4， ≈1.7） 22．如图，已知 AB 为半圆 O 的直径，C 为半圆 O 上一点，连接 AC，BC，过点 O 作 OD⊥AC 于点 D，过点 A 作半圆 O 的切线交 OD 的延长线于点 E，连接 BD 并延长交 AE 于点 F． （1）求证：AE•BC=AD•AB； （2）若半圆 O 的直径为 10，sin∠BAC= ，求 AF 的长． （四）、本题 2 个小题，共 19 分 23．某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表： 原进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套） 餐桌 a 270 500 元 餐椅 a﹣110 70 已知用 600 元购进的餐桌数量与用 160 元购进的餐椅数量相同． （1）求表中 a 的值； （2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、 餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ （3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了 10 元，按照（2）中获得最大 利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出 后，所得利润比（2）中的最大利润少了 2250 元．请问本次成套的销售量为多少？ 24．△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与 B，C 重合）， 以 AD 为边在 AD 右侧作正方形 ADEF，连接 CF． （1）观察猜想 如图 1，当点 D 在线段 BC 上时， ①BC 与 CF 的位置关系为： ． ②BC，CD，CF 之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上） （2）数学思考 如图 2，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证 明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸 如图 3，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，延长 BA 交 CF 于点 G，连接 GE．若已知 AB=2 ， CD= BC，请求出 GE 的长． （五）、本题 11 分 25．如图，已知抛物线 y=ax2+2x+6（a≠0）交 x 轴与 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），将直 尺 WXYZ 与 x 轴负方向成 45°放置，边 WZ 经过抛物线上的点 C（4，m），与抛物线的另一 交点为点 D，直尺被 x 轴截得的线段 EF=2，且△CEF 的面积为 6． （1）求该抛物线的解析式； （2）探究：在直线 AC 上方的抛物线上是否存在一点 P，使得△ACP 的面积最大？若存在， 请求出面积的最大值及此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）将直尺以每秒 2 个单位的速度沿 x 轴向左平移，设平移的时间为 t 秒，平移后的直尺 为 W′X′Y′Z′， 其中边 X′Y′所在的直线与 x 轴交于点 M，与抛物线的其中一个交点为点 N， 请直接写出当 t 为何值时，可使得以 C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形． 2016 年四川省达州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合 题目要求） 1．下列各数中最小的是（ ） A．0 B．﹣3 C．﹣ D．1 【考点】实数大小比较． 【分析】根据正数都大于 0，负数都小于 0，两个负数绝对值大的反而小即可解答． 【解答】解：因为在 A、B、C、D 四个选项中只有 B、C 为负数，故应从 B、C 中选择； 又因为|﹣3|＞|﹣ |=2， 所以﹣3＜﹣ ， 故选 B． 2．在“十二•五”期间，达州市经济保持稳步增长，地区生产总值约由 819 亿元增加到 1351 亿元，年均增长约 10%，将 1351 亿元用科学记数法表示应为（ ） A．1.351×1011 B．13.51×1012 C．1.351×1013 D．0.1351×1012 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值是 易错点，由于 1351 亿有 12 位，所以可以确定 n=12﹣1=11． 【解答】解：1351 亿=135 100 000 000=1.351×1011． 故选 A． 3．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“你”字所在面相对的面上标的字是 （ ） A．遇 B．见 C．未 D．来 【考点】几何体的展开图． 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “遇”与“的”是相对面， “见”与“未”是相对面， “你”与“来”是相对面． 故选 D． 4．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 【分析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集． 【解答】解： 由①得，x≤3； 由②得，x＞﹣ ； 所以，不等式组的解集为﹣ ＜x≤3． 故选 A． 5．下列说法中不正确的是（ ） A．函数 y=2x 的图象经过原点 B．函数 y= 的图象位于第一、三象限 C．函数 y=3x﹣1 的图象不经过第二象限 D．函数 y=﹣ 的值随 x 的值的增大而增大 【考点】正比例函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质． 【分析】分别利用正比例函数以及反比例函数的定义分析得出答案． 【解答】解：A、函数 y=2x 的图象经过原点，正确，不合题意； B、函数 y= 的图象位于第一、三象限，正确，不合题意； C、函数 y=3x﹣1 的图象不经过第二象限，正确，不合题意； D、函数 y=﹣ 的值，在每个象限内，y 随 x 的值的增大而增大，故错误，符合题意． 故选：D． 6．如图，在 5×5 的正方形网格中，从在格点上的点 A，B，C，D 中任取三点，所构成的三 角形恰好是直角三角形的概率为（ ） A． B． C． D． 【考点】勾股定理的应用． 【分析】从点 A，B，C，D 中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况 数，即可求出所求的概率． 【解答】解：∵从点 A，B，C，D 中任取三点能组成三角形的一共有 4 种可能，其中△ABD， △ADC，△ABC 是直角三角形， ∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为 ． 故选 D． 7．如图，半径为 3 的⊙A 经过原点 O 和点 C（0，2），B 是 y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则 tan∠OBC 为（ ） A． B．2 C． D． 【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义． 【分析】作直径 CD，根据勾股定理求出 OD，根据正切的定义求出 tan∠CDO，根据圆周角 定理得到∠OBC=∠CDO，等量代换即可． 【解答】解：作直径 CD， 在 Rt△OCD 中，CD=6，OC=2， 则 OD= =4 ， tan∠CDO= = ， 由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO， 则 tan∠OBC= ， 故选：C． 8．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成 4 个小三角形，称为第一次操作；然后，将 其中的一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到 7 个小三角形，称为第二次操作； 再将其中一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到 10 个小三角形，称为第三次 操作；…根据以上操作，若要得到 100 个小三角形，则需要操作的次数是（ ） A．25 B．33 C．34 D．50 【考点】规律型：图形的变化类． 【分析】由第一次操作后三角形共有 4 个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操 作后三角形共有（4+3+3）个，可得第 n 次操作后三角形共有 4+3（n﹣1）=3n+1 个，根据 题意得 3n+1=100，求得 n 的值即可． 【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有 4 个； 第二次操作后，三角形共有 4+3=7 个； 第三次操作后，三角形共有 4+3+3=10 个； … ∴第 n 次操作后，三角形共有 4+3（n﹣1）=3n+1 个； 当 3n+1=100 时，解得：n=33， 故选：B． 9．如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC，AF⊥BF 于点 F，D 为 AB 的中点，连接 DF 延长 交 AC 于点 E．若 AB=10，BC=16，则线段 EF 的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的判定；直角三角形斜边上的中线． 【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得 DF= AB=AD=BD=5 且 ∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即 DE∥BC，进而可得 DE=8，由 EF=DE ﹣DF 可得答案． 【解答】解：∵AF⊥BF， ∴∠AFB=90°， ∵AB=10，D 为 AB 中点， ∴DF= AB=AD=BD=5， ∴∠ABF=∠BFD， 又∵BF 平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠CBF=∠DFB， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ = ，即 ， 解得：DE=8， ∴EF=DE﹣DF=3， 故选：B． 10．如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0），与 y 轴的 交点 B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x=1．下列结论： ①abc＞0 ②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④ ＜a＜ ⑤b＞c． 其中含所有正确结论的选项是（ ） A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤ 【考点】二次函数的性质． 【分析】根据对称轴为直线 x=1 及图象开口向 下可判断出 a、b、c 的符号，从而判断①； 根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到 a、 b、c 之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与 y 轴的交点 B 在（0，﹣2）和（0，﹣1） 之间可以判断 c 的大小得出④的正误． 【解答】解：①∵函数开口方向向上， ∴a＞0； ∵对称轴在原点左侧 ∴ab 异号， ∵抛物线与 y 轴交点在 y 轴负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0， 故①正确； ②∵图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0），对称轴为直线 x=﹣1， ∴图象与 x 轴的另一个交点为（3，0）， ∴当 x=2 时，y＜0， ∴4a+2b+c＜0， 故②错误； ③∵图象与 x 轴交于点 A（﹣1，0）， ∴当 x=﹣1 时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0， ∴a﹣b+c=0，即 a=b﹣c，c=b﹣a， ∵对称轴为直线 x=1 ∴ =1，即 b=﹣2a， ∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a， ∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0 ∵8a＞0 ∴4ac﹣b2＜8a 故③正确 ④∵图象与 y 轴的交点 B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间， ∴﹣2＜c＜﹣1 ∴﹣2＜﹣3a＜﹣1， ∴ ＞a＞ ； 故④正确 ⑤∵a＞0， ∴b﹣c＞0，即 b＞c； 故⑤正确； 故选：D． 二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分，把最后答案直接填在题中的横线上） 11．分解因式：a3﹣4a= a（a+2）（a﹣2） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】原式提取 a，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=a（a2﹣4） =a（a+2）（a﹣2）． 故答案为：a（a+2）（a﹣2） 12．如图，AB∥CD，AE 交 CD 于点 C，DE⊥AE 于点 E，若∠A=42°，则∠D= 48° ． 【考点】平行线的性质． 【分析】首先根据平行线的性质求得∠ECD 的度数，然后在直角△ECD 中，利用三角形内 角和定理求解． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠ECD=∠A=42°， 又∵DE⊥AE， ∴直角△ECD 中，∠D=90°﹣∠ECD=90°﹣42°=48°． 故答案为：48°． 13．已知一组数据 0，1，2，2，x，3 的平均数是 2，则这组数据的方差是 ． 【考点】方差；算术平均数． 【分析】先由平均数的公式计算出 x 的值，再根据方差的公式计算即可． 【解答】解：∵数据 0，1，2，2，x，3 的平均数是 2， ∴（0+1+2+2+x+3）÷6=2， ∴x=4， ∴这组数据的方差= [（2﹣0）2+（2﹣1）2+（2﹣2）2+（2﹣2）2+（2﹣4）2+（2﹣3）2 ] = ， 故答案为： ． 14．设 m，n 分别为一元二次方程 x2+2x﹣2018=0 的两个实数根，则 m2+3m+n= 2016 ． 【考点】根与系数的关系． 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到 m2=﹣2m+2018，则 m2+3m+n 可化简为 2018+m+n，再根据根与系数的关系得到 m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵m 为一元二次方程 x2+2x﹣2018=0 的实数根， ∴m2+2m﹣2018=0，即 m2=﹣2m+2018， ∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n， ∵m，n 分别为一元二次方程 x2+2x﹣2018=0 的两个实数根， ∴m+n=﹣2， ∴m2+3m+n=2018﹣2=2016． 15．如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60°得到线段 AQ， 连接 BQ．若 PA=6，PB=8，PC=10，则四边形 APBQ 的面积为 24+9 ． 【考点】旋转的性质；等边三角形的性质． 【分析】连结 PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC，再根据旋转的性 质得 AP=PQ=6，∠PAQ=60°，则可判断△APQ 为等边三角形，所以 PQ=AP=6，接着证明 △APC≌△ABQ 得到 PC=QB=10，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ 为直角三角形， 再根据三角形面积公式，利用 S 四边形 APBQ=S△BPQ+S△APQ 进行计算． 【解答】解：连结 PQ，如图， ∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC， ∵线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60°得到线段 AQ， ∴AP=PQ=6，∠PAQ=60°， ∴△APQ 为等边三角形， ∴PQ=AP=6， ∵∠CAP+∠BAP=60°，∠BAP+∠BAQ=60°， ∴∠CAP=∠BAQ， 在△APC 和△ABQ 中， ， ∴△APC≌△ABQ， ∴PC=QB=10， 在△BPQ 中，∵PB2=82=64，PQ2=62，BQ2=1 02， 而 64+36=100， ∴PB2+PQ2=BQ2， ∴△PBQ 为直角三角形，∠BPQ=90°， ∴S 四边形 APBQ=S△BPQ+S△APQ= ×6×8+ ×62=24+9 ． 故答案为 24+9 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AB：BC=3：2，点 A（3，0），B（0，6） 分别在 x 轴，y 轴上，反比例函数 y= （x＞0）的图象经过点 D，且与边 BC 交于点 E，则 点 E 的坐标为 （2，7） ． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】首先过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F，易证得△AOB∽△DFA，然后由相似三角形的对 应边成比例，求得点 D 的坐标，即可求得反比例函数的解析式，再利用平移的性质求得点 C 的坐标，继而求得直线 BC 的解析式，则可求得点 E 的坐标． 【解答】解：过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F，则∠AOB=∠DFA=90°， ∴∠OAB+∠ABO=90°， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD=90°，AD=BC， ∴∠OAB+∠DAF=90°， ∴∠ABO=∠DAF， ∴△AOB∽△DFA， ∴OA：DF=OB：AF=AB：AD， ∵AB：BC=3：2，点 A（3，0），B（0，6）， ∴AB：AD=3：2，OA=3，OB=6， ∴DF=2，AF=4， ∴OF=OA+AF=7， ∴点 D 的坐标为：（7，2）， ∴反比例函数的解析式为：y= ①，点 C 的坐标为：（4，8）， 设直线 BC 的解析式为：y=kx+b， 则 ， 解得： ， ∴直线 BC 的解析式为：y= x+6②， 联立①②得： 或 （舍去）， ∴点 E 的坐标为：（2，7）． 故答案为：（2，7）． 三、解答题（72 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）（本题 2 个 小题，共 12 分） 17．计算： ﹣（﹣2016）0+|﹣3|﹣4cos45°． 【考点】平方根；绝对值；零指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角 函数值计算即可得到结果． 【解答】解：原式=2 ﹣1+3﹣4× =2． 18．已知 x，y 满足方程组 ，求代数式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）的值． 【考点】代数式求值；解二元一次方程组． 【分析】求出方程组的解得到 x 与 y 的值，原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括 号合并后代入计算即可求出值． 【解答】解：原式=x2﹣2xy+y2﹣x2+4y2=﹣2xy+5y2， ， ①+②得：3x=﹣3，即 x=﹣1， 把 x=﹣1 代入①得：y= ， 则原式= + = ． （二）、本题 2 个小题，共 14 分． 19．达州市图书馆今年 4 月 23 日开放以来，受到市民的广泛关注.5 月底，八年级（1）班学 生小颖对全班同学这一个多月来去新图书馆的次数做了调查统计，并制成了如图不完整的统 计图表． 八年级（1）班学生去新图书馆的次数统计表 去图书馆的次数 0 次 1 次 2 次 3 次 4 次及以上 人数 8 12 a 10 4 请你根据统计图表中的信息，解答下列问题： （1）填空：a= 16 ，b= 20 ； （2）求扇形统计图中“0 次”的扇形所占圆心角的度数； （3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取 1 人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好 抽中去过“4 次及以上”的同学的概率． 【考点】扇形统计图． 【分析】（1）根据去图书馆“1 次”的学生数÷其占全班人数的百分比可得总人数，将总人数 减去其余各次数的人数可得“2 次”的人数，即 a 的值，将“3 次”的人数除以总人数可得 b 的 值； （2）将 360°乘以“0 次”人数占总人数比例可得； （3）直接根据概率公式可得． 【解答】解：（1）该班学生总数为：12÷24%=50（人）， 则 a=50﹣8﹣12﹣10﹣4=16， b= ×100=20； （2）扇形统计图中“0 次”的扇形所占圆心角的度数为：360°× =57.6°； （3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取 1 人，有 50 种等可能结果， 其中恰好抽中去过“4 次及以上”的同学有 4 种结果， 故恰好抽中去过“4 次及以上”的同学的概率为 = ． 故答案为：（1）16，20． 20．如图，在▱ ABCD 中，已知 AD＞AB． （1）实践与操作：作∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，在 AD 上截取 AF=AB，连接 EF；（要 求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）猜想并证明：猜想四边形 ABEF 的形状，并给予证明． 【考点】平行四边形的性质；作图—基本作图． 【分析】（1）由角平分线的作法容易得出结果，在 AD 上截取 AF=AB，连接 EF；画出图形 即可； （2）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB，证出 BE=AB，由（1）得：AF=AB， 得出 BE=AF，即可得出结论． 【解答】解：（1）如图所示： （2）四边形 ABEF 是菱形；理由如下： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB， ∵AE 平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AEB， ∴BE=AB， 由（1）得：AF=AB， ∴BE=AF， 又∵BE∥AF， ∴四边形 ABEF 是平行四边形， ∵AF=AB， ∴四边形 ABEF 是菱形． （三）、本题 2 个小题，共 16 分． 21．如图，在一条笔直的东西向海岸线 l 上有一长为 1.5km 的码头 MN 和灯塔 C，灯塔 C 距 码头的东端 N 有 20km．以轮船以 36km/h 的速度航行，上午 10：00 在 A 处测得灯塔 C 位 于轮船的北偏西 30°方向，上午 10：40 在 B 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏东 60°方向，且 与灯塔 C 相距 12km． （1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？ （2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据： ≈1.4， ≈1.7） 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题． 【分析】（1）延长 AB 交海岸线 l 于点 D，过点 B 作 BE⊥海岸线 l 于点 E，过点 A 作 AF⊥l 于 F，首先证明△ABC 是直角三角形，再证明∠BAC=30°，再求出 BD 的长即可角问题． （2）求出 CD 的长度，和 CN、CM 比较即可解决问题． 【解答】解：（1）延长 AB 交海岸线 l 于点 D，过点 B 作 BE⊥海岸线 l 于点 E，过点 A 作 AF⊥l 于 F，如图所示． ∵∠BEC=∠AFC=90°，∠EBC=60°，∠CAF=30°， ∴∠ECB=30°，∠ACF=60°， ∴∠BCA=90°， ∵BC=12，AB=36× =24， ∴AB=2BC， ∴∠BAC=30°，∠ABC=60°， ∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°， ∴∠BDC=∠BCD=30°， ∴BD=BC=12， ∴时间 t= = 小时=20 分钟， ∴轮船照此速度与航向航向，上午 11：：00 到达海岸线． （2）∵BD=BC，BE⊥CD， ∴DE=EC， 在 RT△BEC 中，∵BC=12，∠BCE=30°， ∴BE=6，EC=6 ≈10.2， ∴CD=20.4， ∵20＜20.4＜21.5， ∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头． 22．如图，已知 AB 为半圆 O 的直径，C 为半圆 O 上一点，连接 AC，BC，过点 O 作 OD⊥AC 于点 D，过点 A 作半圆 O 的切线交 OD 的延长线于点 E，连接 BD 并延长交 AE 于点 F． （1）求证：AE•BC=AD•AB； （2）若半圆 O 的直径为 10，sin∠BAC= ，求 AF 的长． 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义． 【分析】（1）只要证明△EAD∽△ABC 即可解决问题． （2）作 DM⊥AB 于 M，利用 DM∥AE，得 = ，求出 DM、BM 即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AB 为半圆 O 的直径， ∴∠C=90°， ∵OD⊥AC， ∴∠CAB+∠AOE=90°，∠ADE=∠C=90°， ∵AE 是切线， ∴OA⊥AE， ∴∠E+∠AOE=90°， ∴∠E=∠CAB， ∴△EAD∽△ABC， ∴AE：AB=AD：BC， ∴AE•BC=AD•AB． （2）解：作 DM⊥AB 于 M， ∵半圆 O 的直径为 10，sin∠BAC= ， ∴BC=AB•sin∠BAC=6， ∴AC= =8， ∵OE⊥AC， ∴AD= AC=4，OD= BC=3， ∵sin∠MAD= = ， ∴DM= ，AM= = = ，BM=AB﹣AM= ， ∵DM∥AE， ∴ = ， ∴AF= ． （四）、本题 2 个小题，共 19 分 23．某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表： 原进价（元/张） 零售价（元/张） 成套售价（元/套） 餐桌 a 270 500 元 餐椅 a﹣110 70 已知用 600 元购进的餐桌数量与用 160 元购进的餐椅数量相同． （1）求表中 a 的值； （2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的 5 倍还多 20 张，且餐桌和餐椅的总数量不超过 200 张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、 餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？ （3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了 10 元，按照（2）中获得最大 利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出 后，所得利润比（2）中的最大利润少了 2250 元．请问本次成套的销售量为多少？ 【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用． 【分析】（1）根据餐桌和餐椅数量相等列出方程求解即可； （2）设购进餐桌 x 张，餐椅（5x+20）张，销售利润为 W 元．根据购进总数量不超过 200 张，得出关于 x 的一元一次不等式，解不等式即可得出 x 的取值范围，再根据“总利润=成套 销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出 W 关于 x 的一次函数，根据一次函 数的性质即可解决最值问题； （3）设本次成套销售量为 m 套，先算出涨价后每张餐桌及餐椅的进价，再根据利润间的关 系找出关于 m 的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意得 = ， 解得 a=150， 经检验，a=150 是原分式方程的解； （2）设购进餐桌 x 张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为 W 元． 由题意得：x+5x+20≤200， 解得：x≤30． ∵a=150， ∴餐桌的进价为 150 元/张，餐椅的进价为 40 元/张． 依题意可知： W= x•+ x•+（5x+20﹣ x•4）•（70﹣40）=245x+600， ∵k=245＞0， ∴W 关于 x 的函数单调递增， ∴当 x=30 时，W 取最大值，最大值为 7950． 故购进餐桌 30 张、餐椅 170 张时，才能获得最大利润，最大利润是 7950 元． （3）涨价后每张餐桌的进价为 160 元，每张餐椅的进价为 50 元， 设本次成套销售量为 m 套． 依题意得：m+（30﹣m）×+×（70﹣50）=7950﹣2250， 即 6700﹣50m=5700，解得：m=20． 答：本次成套的销售量为 20 套． 24．△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与 B，C 重合）， 以 AD 为边在 AD 右侧作正方形 ADEF，连接 CF． （1）观察猜想 如图 1，当点 D 在线段 BC 上时， ①BC 与 CF 的位置关系为： 垂直 ． ②BC，CD，CF 之间的数量关系为： BC=CD+CF ；（将结论直接写在横线上） （2）数学思考 如图 2，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证 明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸 如图 3，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，延长 BA 交 CF 于点 G，连接 GE．若已知 AB=2 ， CD= BC，请求出 GE 的长． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全 等三角形的性质即可得到结论；②由正方形 ADEF 的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全 等三角形的性质得到 CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论； （2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的 性质即可得到结论 （3）根据等腰直角三角形的性质得到 BC= AB=4，AH= BC=2，求得 DH=3，根据正方 形的性质得到 AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到 NE=CM，EM=CN，由角的性质 得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到 EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到 CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到 CG=BC=4，根据勾股定理即可得 到结论． 【解答】解：（1）①正方形 ADEF 中，AD=AF， ∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 在△DAB 与△FAC 中， ， ∴△DAB≌△FAC， ∴∠B=∠ACF， ∴∠ACB+∠ACF=90°，即 CF⊥BD； 故答案为：垂直； ②△DAB≌△FAC， ∴CF=BD， ∵BC=BD+CD， ∴BC=CF+CD； 故答案为：BC=CF+CD； （2）成立， ∵正方形 ADEF 中，AD=AF， ∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 在△DAB 与△FAC 中， ， ∴△DAB≌△FAC， ∴∠B=∠ACF，CF=BD ∴∠ACB+∠ACF=90°，即 CF⊥BD； ∵BC=BD+CD， ∴BC=CF+CD； （3）解：过 A 作 AH⊥BC 于 H，过 E 作 EM⊥BD 于 M，EN⊥CF 于 N， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴BC= AB=4，AH= BC=2， ∴CD= BC=1，CH= BC=2， ∴DH=3， 由（2）证得 BC⊥CF，CF=BD=5， ∵四边形 ADEF 是正方形， ∴AD=DE，∠ADE=90°， ∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF， ∴四边形 CMEN 是矩形， ∴NE=CM，EM=CN， ∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°， ∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°， ∴∠ADH=∠DEM， 在△ADH 与△DEM 中， ， ∴△ADH≌△DEM， ∴EM=DH=3，DM=AH=2， ∴CN=EM=3，EN=CM=3， ∵∠ABC=45°， ∴∠BGC=45°， ∴△BCG 是等腰直角三角形， ∴CG=BC=4， ∴GN=1， ∴EG= = ． （五）、本题 11 分 25．如图，已知抛物线 y=ax2+2x+6（a≠0）交 x 轴与 A，B 两点（点 A 在点 B 左侧），将直 尺 WXYZ 与 x 轴负方向成 45°放置，边 WZ 经过抛物线上的点 C（4，m），与抛物线的另一 交点为点 D，直尺被 x 轴截得的线段 EF=2，且△CEF 的面积为 6． （1）求该抛物线的解析式； （2）探究：在直线 AC 上方的抛物线上是否存在一点 P，使得△ACP 的面积最大？若存在， 请求出面积的最大值及此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）将直尺以每秒 2 个单位的速度沿 x 轴向左平移，设平移的时间为 t 秒，平移后的直尺 为 W′X′Y′Z′，其中边 X′Y′所在的直线与 x 轴交于点 M，与抛物线的其中一个交点为点 N， 请直接写出当 t 为何值时，可使得以 C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形． 【考点】二次函数综合题；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积； 平行四边形的性质． 【分析】（1）根据三角形的面积公式求出 m 的值，结合点 C 的坐标利用待定系数法即可求 出 a 值，从而得出结论； （2）假设存在．过点 P 作 y 轴的平行线，交 x 轴与点 M，交直线 AC 于点 N．根据抛物线 的解析式找出点 A 的坐标．设直线 AC 的解析式为 y=kx+ b，点 P 的坐标为（n，﹣ n2+2n+6） （﹣2＜n＜4），由点 A、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线 AC 的解析式，代入 x=n， 即可得出点 N 的坐标，利用三角形的面积公式即可得出 S△ACP 关于 n 的一元二次函数，根 据二次函数的性质即可解决最值问题； （3）根据直尺的摆放方式可设出直线 CD 的解析式为 y=﹣x+c，由点 C 的坐标利用待定系 数法即可得出直线 CD 的解析式，联立直线 CD 的解析式与抛物线的解析式成方程组，解方 程组即可求出点 D 的坐标，令直线 CD 的解析式中 y=0，求出 x 值即可得出点 E 的坐标，结 合线段 EF 的长度即可找出点 F 的坐标，设出点 M 的坐标，结合平行四边形的性质以及 C、 D 点坐标的坐标即可找出点 N 的坐标，再由点 N 在抛物线图象上，将其代入抛物线解析式 即可得出关于时间 t 的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）∵S△CEF= EF•yC= ×2m=6， ∴m=6，即点 C 的坐标为（4，6）， 将点 C（4，6）代入抛物线 y=ax2+2x+6（a≠0）中， 得：6=16a+8+6，解得：a=﹣ ， ∴该抛物线的解析式为 y=﹣ x2+2x+6． （2）假设存在．过点 P 作 y 轴的平行线，交 x 轴与点 M，交直线 AC 于点 N，如图 1 所示． 令抛物线 y=﹣ x2+2x+6 中 y=0，则有﹣ x2+2x+6=0， 解得：x1=﹣2，x2=6， ∴点 A 的坐标为（﹣2，0），点 B 的坐标为（6，0）． 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，点 P 的坐标为（n，﹣ n2+2n+6）（﹣2＜n＜4）， ∵直线 AC 过点 A（﹣2，0）、C（4，6）， ∴ ，解得： ， ∴直线 AC 的解析式为 y=x+2． ∵点 P 的坐标为（n，﹣ n2+2n+6）， ∴点 N 的坐标为（n，n+2）． ∵S△ACP= PN•（xC﹣xA）= ×（﹣ n2+2n+6﹣n﹣2）×[4﹣（﹣2） ] =﹣ （n﹣1）2+ ， ∴当 n=1 时，S△ACP 取最大值，最大值为 ， 此时点 P 的坐标为（1， ）． ∴在直线 AC 上方的抛物线上存在一点 P，使得△ACP 的面积最大，面积的最大值为 ， 此时点 P 的坐标为（1， ）． （3）∵直尺 WXYZ 与 x 轴负方向成 45°放置， ∴设直线 CD 的解析式为 y=﹣x+c， ∵点 C（4，6）在直线 CD 上， ∴6=﹣4+c，解得：c=10， ∴直线 CD 的解析式为 y=﹣x+10． 联立直线 CD 与抛物线解析式成方程组： ， 解得： ，或 ， ∴点 D 的坐标为（2，8）． 令直线 CD 的解析式 y=﹣x+10 中 y=0，则 0=﹣x+10， 解得：x=10，即点 E 的坐标为（10，0）， ∵EF=2，且点 E 在点 F 的左边， ∴点 F 的坐标为（12，0）． 设点 M 的坐标为（12﹣2t，0），则点 N 的坐标为（12﹣2t﹣2，0+2），即 N（10﹣2t，2）． ∵点 N（10﹣2t，2）在抛物线 y=﹣ x2+2x+6 的图象上， ∴﹣ （10﹣2t）2+2（10﹣2t）+6=2，整理得：t2﹣8t+13=0， 解得：t1=4﹣ ，t2=4+ ． ∴当 t 为 4﹣ 或 4+ 秒时，可使得以 C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形．