2016年包头市中考数学试题及答案解析版

2016 年内蒙古包头市中考数学试卷 一、选择题：本大题共有 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。 1．若 2（a+3）的值与 4 互为相反数，则 a 的值为（ ） A．﹣1 B．﹣ C．﹣5 D． 2．下列计算结果正确的是（ ） A．2+ =2 B． =2 C．（﹣2a2）3=﹣6a6D．（a+1）2=a2+1 3．不等式 ﹣ ≤1 的解集是（ ） A．x≤4 B．x≥4 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1 4．一组数据 2，3，5，4，4，6 的中位数和平均数分别是（ ） A．4.5 和 4 B．4 和 4 C．4 和 4.8 D．5 和 4 5．120°的圆心角对的弧长是 6π，则此弧所在圆的半径是（ ） A．3 B．4 C．9 D．18 6．同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是（ ） A． B． C． D． 7．若关于 x 的方程 x2+（m+1）x+ =0 的一个实数根的倒数恰是它本身，则 m 的值是（ ） A．﹣ B． C．﹣ 或 D．1 8．化简（ ） •ab，其结果是（ ） A． B． C． D． 9．如图，点 O 在△ABC 内，且到三边的距离相等．若∠BOC=120°，则 tanA 的值为（ ） A． B． C． D． 10．已知下列命题：①若 a＞b，则 a2＞b2；②若 a＞1，则（a﹣1）0=1；③两个全等的三 角形的面积相等；④四条边相等的四边形是菱形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数 是（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 11．如图，直线 y= x+4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点，点 P 为 OA 上一动点，PC+PD 值最小时点 P 的坐标为（ ） A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（﹣ ，0） D．（﹣ ，0） 12．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，E 是 AB 上一点，且 DE⊥CE．若 AD=1，BC=2，CD=3，则 CE 与 DE 的数量关系正确的是（ ） A．CE= DE B．CE= DE C．CE=3DE D．CE=2DE 二、填空题：本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分 13．据统计，2015 年，我国发明专利申请受理量达 1102000 件，连续 5 年居世界首位，将 1102000 用科学记数法表示为 ． 14．若 2x﹣3y﹣1=0，则 5﹣4x+6y 的值为 ． 15．计算：6 ﹣（ +1）2= ． 16．已知一组数据为 1，2，3，4，5，则这组数据的方差为 ． 17．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 AE⊥BD，垂足为 点 E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度． 18．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 P， 连接 AC，若∠A=30°，PC=3，则 BP 的长为 ． 19．如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第二象限内，点 B 在 x 轴上，∠AOB=30°，AB=BO， 反比例函数 y= （x＜0）的图象经过点 A，若 S△ABO= ，则 k 的值为 ． 20．如图，已知△ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，且 CD=CE，连接 DE 并延长至点 F，使 EF=AE，连接 AF，CF，连接 BE 并延长交 CF 于点 G．下列结论： ①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S△ABC=S△ACF+S△DCF；④若 BD=2DC，则 GF=2EG．其 中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题：本大题共有 6 小题，共 60 分。 21．一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有 1 个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为 ． （1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答） （2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球 的概率．（请结合树状图或列表解答） 22．如图，已知四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线 与 AD 的延长线交于点 E． （1）若∠A=60°，求 BC 的长； （2）若 sinA= ，求 AD 的长． （注意：本题中的计算过程和结果均保留根号） 23．一幅长 20cm、宽 12cm 的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比 为 3：2．设竖彩条的宽度为 xcm，图案中三条彩条所占面积为 ycm2． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的 ，求横、竖彩条的宽度． 24．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=CB，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D，点 E 是 AB 边上一点（点 E 不与点 A、B 重合），DE 的延长线交⊙O 于点 G，DF⊥DG，且交 BC 于点 F． （1）求证：AE=BF； （2）连接 GB，EF，求证：GB∥EF； （3）若 AE=1，EB=2，求 DG 的长． 25．如图，已知一个直角三角形纸片 ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F 分别是 AC、AB 边上点，连接 EF． （1）图①，若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处，且使 S 四边形 ECBF=3S△EDF，求 AE 的长； （2）如图②，若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 BC 边上的点 M 处，且 使 MF∥CA． ①试判断四边形 AEMF 的形状，并证明你的结论； ②求 EF 的长； （3）如图③，若 FE 的延长线与 BC 的延长线交于点 N，CN=1，CE= ，求 的值． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx﹣2（a≠0）与 x 轴交于 A（1，0）、 B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，其顶点为点 D，点 E 的坐标为（0，﹣1），该抛物线与 BE 交于另一点 F，连接 BC． （1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为 y=a（x﹣h）2+k 的形式； （2）若点 H（1，y）在 BC 上，连接 FH，求△FHB 的面积； （3）一动点 M 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度平沿行与 y 轴方向向上运动，连接 OM， BM，设运动时间为 t 秒（t＞0），在点 M 的运动过程中，当 t 为何值时，∠OMB=90°？ （4）在 x 轴上方的抛物线上，是否存在点 P，使得∠PBF 被 BA 平分？若存在，请直接写 出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 2016 年内蒙古包头市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共有 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。 1．若 2（a+3）的值与 4 互为相反数，则 a 的值为（ ） A．﹣1 B．﹣ C．﹣5 D． 【考点】解一元一次方程；相反数． 【分析】先根据相反数的意义列出方程，解方程即可． 【解答】解：∵2（a+3）的值与 4 互为相反数， ∴2（a+3）+4=0， ∴a=﹣5， 故选 C 2．下列计算结果正确的是（ ） A．2+ =2 B． =2 C．（﹣2a2）3=﹣6a6D．（a+1）2=a2+1 【考点】二次根式的乘除法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式． 【分析】依次根据合并同类二次根式，二次根式的除法，积的乘方，完全平方公式的运算． 【解答】解：A、2+ 不是同类二次根式，所以不能合并，所以 A 错误； B、 =2，所以 B 正确； C、（﹣2a2）3=﹣8a6≠﹣6a6，所以 C 错误； D、（a+1）2=a2+2a+1≠a2+1，所以 D 错误． 故选 B 3．不等式 ﹣ ≤1 的解集是（ ） A．x≤4 B．x≥4 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1 【考点】解一元一次不等式． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项可得． 【解答】解：去分母，得：3x﹣2（x﹣1）≤6， 去括号，得：3x﹣2x+2≤6， 移项、合并，得：x≤4， 故选：A． 4．一组数据 2，3，5，4，4，6 的中位数和平均数分别是（ ） A．4.5 和 4 B．4 和 4 C．4 和 4.8 D．5 和 4 【考点】中位数；算术平均数． 【分析】根据中位数和平均数的定义结合选项选出正确答案即可． 【解答】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：2，3，4，4，5，6， 故中位数为：（4+4）÷2=4； 平均数为：（2+3+4+4+5+6）÷6=4． 故选：B． 5．120°的圆心角对的弧长是 6π，则此弧所在圆的半径是（ ） A．3 B．4 C．9 D．18 【考点】弧长的计算． 【分析】根据弧长的计算公式 l= ，将 n 及 l 的值代入即可得出半径 r 的值． 【解答】解：根据弧长的公式 l= ， 得到：6π= ， 解得 r=9． 故选 C． 6．同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】根据题意，通过列树状图的方法可以写出所有可能性，从而可以得到至少有两枚硬 币正面向上的概率． 【解答】解：由题意可得，所有的可能性为： ∴至少有两枚硬币正面向上的概率是： = ， 故选 D． 7．若关于 x 的方程 x2+（m+1）x+ =0 的一个实数根的倒数恰是它本身，则 m 的值是（ ） A．﹣ B． C．﹣ 或 D．1 【考点】一元二次方程的解． 【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2=﹣（m+1），x1•x2= ，又知个实数根的倒数恰是它 本身，则该实根为 1 或﹣1，然后把±1 分别代入两根之和的形式中就可以求出 m 的值． 【解答】解：由根与系数的关系可得： x1+x2=﹣（m+1），x1•x2= ， 又知个实数根的倒数恰是它本身， 则该实根为 1 或﹣1， 若是 1 时，即 1+x2=﹣（m+1），而 x2= ，解得 m=﹣ ； 若是﹣1 时，则 m= ． 故选：C． 8．化简（ ） •ab，其结果是（ ） A． B． C． D． 【考点】分式的混合运算． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果． 【解答】解：原式= • •ab= ， 故选 B 9．如图，点 O 在△ABC 内，且到三边的距离相等．若∠BOC=120°，则 tanA 的值为（ ） A． B． C． D． 【考点】角平分线的性质；特殊角的三角函数值． 【分析】由条件可知 BO、CO 平分∠ABC 和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠A，再由 特殊角的三角函数的定义求得结论． 【解答】解：∵点 O 到△ABC 三边的距离相等， ∴BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB， ∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣2（∠OBC+∠OCB）=180°﹣2×=180°﹣2×=60°， ∴tanA=tan60°= ， 故选 A． 10．已知下列命题：①若 a＞b，则 a2＞b2；②若 a＞1，则（a﹣1）0=1；③两个全等的三 角形的面积相等；④四条边相等的四边形是菱形．其中原命题与逆命题均为真命题的个数 是（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【考点】命题与定理． 【分析】交换原命题的题设和结论得到四个命题的逆命题，然后利用反例、零指数幂的意义、 全等三角形的判定与性质和菱形的判定与性质判断各命题的真假． 【解答】解：当 a=0，b=﹣1 时，a2＜b2，所以命题“若 a＞b，则 a2＞b2”为假命题，其逆命 题为若 a2＞b2；，则 a＞b“，此逆命题也是假命题，如 a=﹣2，b=﹣1； 若 a＞1，则（a﹣1）0=1，此命题为真命题，它的逆命题为：若（a﹣1）0=1，则 a＞1，此 逆命题为假命题，因为（a﹣1）0=1，则 a≠1； 两个全等的三角形的面积相等，此命题为真命题，它的逆命题为面积相等的三角形全等，此 逆命题为假命题； 四条边相等的四边形是菱形，这个命题为真命题，它的逆命题为菱形的四条边相等，此逆命 题为真命题． 故选 D． 11．如图，直线 y= x+4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点，点 P 为 OA 上一动点，PC+PD 值最小时点 P 的坐标为（ ） A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（﹣ ，0） D．（﹣ ，0） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；轴对称-最短路线问题． 【分析】根据一次函数解析式求出点 A、B 的坐标，再由中点坐标公式求出点 C、D 的坐标， 根据对称的性质找出点 D′的坐标，结合点 C、D′的坐标求出直线 CD′的解析式，令 y=0 即可 求出 x 的值，从而得出点 P 的坐标． 【解答】解：作点 D 关于 x 轴的对称点 D′，连接 CD′交 x 轴于点 P，此时 PC+PD 值最小， 如图所示． 令 y= x+4 中 x=0，则 y=4， ∴点 B 的坐标为（0，4）； 令 y= x+4 中 y=0，则 x+4=0，解得：x=﹣6， ∴点 A 的坐标为（﹣6，0）． ∵点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点， ∴点 C（﹣3，2），点 D（0，2）． ∵点 D′和点 D 关于 x 轴对称， ∴点 D′的坐标为（0，﹣2）． 设直线 CD′的解析式为 y=kx+b， ∵直线 CD′过点 C（﹣3，2），D′（0，﹣2）， ∴有 ，解得： ， ∴直线 CD′的解析式为 y=﹣ x﹣2． 令 y=﹣ x﹣2 中 y=0，则 0=﹣ x﹣2，解得：x=﹣ ， ∴点 P 的坐标为（﹣ ，0）． 故选 C． 12．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，E 是 AB 上一点，且 DE⊥CE．若 AD=1，BC=2，CD=3，则 CE 与 DE 的数量关系正确的是（ ） A．CE= DE B．CE= DE C．CE=3DE D．CE=2DE 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质． 【分析】过点 D 作 DH⊥BC，利用勾股定理可得 AB 的长，利用相似三角形的判定定理可 得△ADE∽△BEC，设 BE=x，由相似三角形的性质可解得 x，易得 CE，DE 的关系． 【解答】解：过点 D 作 DH⊥BC， ∵AD=1，BC=2， ∴CH=1， DH=AB= = =2 ， ∵AD∥BC，∠ABC=90°， ∴∠A=90°， ∵DE⊥CE， ∴∠AED+∠BEC=90°， ∵∠AED+∠ADE=90°， ∴∠ADE=∠BEC， ∴△ADE∽△BEC， ∴ ， 设 BE=x，则 AE=2 ， 即 ， 解得 x= ， ∴ ， ∴CE= ， 故选 B． 二、填空题：本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分 13．据统计，2015 年，我国发明专利申请受理量达 1102000 件，连续 5 年居世界首位，将 1102000 用科学记数法表示为 1.102×106 ． 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 1102000 用科学记数法表示为 1.102×106， 故答案为：1.102×106． 14．若 2x﹣3y﹣1=0，则 5﹣4x+6y 的值为 3 ． 【考点】代数式求值． 【分析】首先利用已知得出 2x﹣3y=1，再将原式变形进而求出答案． 【解答】解：∵2x﹣3y﹣1=0， ∴2x﹣3y=1， ∴5﹣4x+6y=5﹣2（2x﹣3y） =5﹣2×1 =3． 故答案为：3． 15．计算：6 ﹣（ +1）2= ﹣4 ． 【考点】二次根式的混合运算． 【分析】首先化简二次根式，进而利用完全平方公式计算，求出答案． 【解答】解：原式=6× ﹣（3+2 +1） =2 ﹣4﹣2 =﹣4． 故答案为：﹣4． 16．已知一组数据为 1，2，3，4，5，则这组数据的方差为 2 ． 【考点】方差． 【分析】先求出这 5 个数的平均数，然后利用方差公式求解即可． 【解答】解：平均数为=（1+2+3+4+5）÷5=3， S2= [（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2 ] =2． 故答案为：2． 17．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 A 作 AE⊥BD，垂足为 点 E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 22.5 度． 【考点】矩形的性质． 【分析】首先证明△AEO 是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE 即可． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OA=OB═OC， ∴∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA， ∴∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC， ∵∠EAC=2∠CAD， ∴∠EAO=∠AOE， ∵AE⊥BD， ∴∠AEO=90°， ∴∠AOE=45°， ∴∠OAB=∠OBA= =67.5°， ∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°． 故答案为 22.5°． 18．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的切线与 AB 的延长线交于点 P， 连接 AC，若∠A=30°，PC=3，则 BP 的长为 ． 【考点】切线的性质． 【分析】在 RT△POC 中，根据∠P=30°，PC=3，求出 OC、OP 即可解决问题． 【解答】解：∵OA=OC，∠A=30°， ∴∠OCA=∠A=30°， ∴∠COB=∠A+∠ACO=60°， ∵PC 是⊙O 切线， ∴∠PCO=90°，∠P=30°， ∵PC=3， ∴OC=PC•tan30°= ，PC=2OC=2 ， ∴PB=PO﹣OB= ， 故答案为 ． 19．如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第二象限内，点 B 在 x 轴上，∠AOB=30°，AB=BO， 反比例函数 y= （x＜0）的图象经过点 A，若 S△ABO= ，则 k 的值为 ﹣3 ． 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义． 【分析】过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D，由∠AOB=30°可得出 = ，由此可是点 A 的坐标 为（﹣3a， a），根据 S△ABO= 结合三角形的面积公式可用 a 表示出线段 OB 的长，再 由勾股定理可用含 a 的代数式表示出线段 BD 的长，由此即可得出关于 a 的无理方程，解方 程即可得出结论． 【解答】解：过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D，如图所示． ∵∠AOB=30°，AD⊥OD， ∴ =tan∠AOB= ， ∴设点 A 的坐标为（﹣3a， a）． ∵S△ABO= OB•AD= ， ∴OB= ． 在 Rt△ADB 中，∠ADB=90°，AD= a，AB=OB= ， ∴BD2=AB2﹣AD2= ﹣3a2，BD= ． ∵OD=OB+BD=3a，即 3a= + ， 解得：a=1 或 a=﹣1（舍去）． ∴点 A 的坐标为（﹣3， ）， ∴k=﹣3× =﹣3 ． 故答案为：﹣3 ． 20．如图，已知△ABC 是等边三角形，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，且 CD=CE，连接 DE 并延长至点 F，使 EF=AE，连接 AF，CF，连接 BE 并延长交 CF 于点 G．下列结论： ①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S△ABC=S△ACF+S△DCF；④若 BD=2DC，则 GF=2EG．其 中正确的结论是 ①②③④ ．（填写所有正确结论的序号） 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 【分析】①正确．根据两角夹边对应相等的两个三角形全等即可判断． ②正确．只要证明四边形 ABDF 是平行四边形即可． ③正确．只要证明△BCE≌△FDC． ④正确．只要证明△BDE∽△FGE，得 = ，由此即可证明． 【解答】解：①正确．∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°， ∵DE=DC， ∴△DEC 是等边三角形， ∴ED=EC=DC，∠DEC=∠AEF=60°， ∵EF=AE， ∴△AEF 是等边三角形， ∴AF=AE，∠EAF=60°， 在△ABE 和△ACF 中， ， ∴△ABE≌△ACF，故①正确． ②正确．∵∠ABC=∠FDC， ∴AB∥DF， ∵∠EAF=∠ACB=60°， ∴AB∥AF， ∴四边形 ABDF 是平行四边形， ∴DF=AB=BC，故②正确． ③正确．∵△ABE≌△ACF， ∴BE=CF，S△ABE=S△AFC， 在△BCE 和△FDC 中， ， ∴△BCE≌△FDC， ∴S△BCE=S△FDC， ∴S△ABC=S△ABE+S△BCE=S△ACF+S△BCE=S△ABC=S△ACF+S△DCF，故③正确． ④正确．∵△BCE≌△FDC， ∴∠DBE=∠EFG，∵∠BED=∠FEG， ∴△BDE∽△FGE， ∴ = ， ∴ = ， ∵BD=2DC，DC=DE， ∴ =2， ∴FG=2EG．故④正确． 三、解答题：本大题共有 6 小题，共 60 分。 21．一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有 1 个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为 ． （1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答） （2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球 的概率．（请结合树状图或列表解答） 【考点】列表法与树状图法；概率公式． 【分析】（1）首先设袋子中白球有 x 个，利用概率公式求即可得方程： = ，解此方程 即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜 色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）设袋子中白球有 x 个， 根据题意得： = ， 解得：x=2， 经检验，x=2 是原分式方程的解， ∴袋子中白球有 2 个； （2）画树状图得： ∵共有 9 种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有 5 种情况， ∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为： ． 22．如图，已知四边形 ABCD 中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线 与 AD 的延长线交于点 E． （1）若∠A=60°，求 BC 的长； （2）若 sinA= ，求 AD 的长． （注意：本题中的计算过程和结果均保留根号） 【考点】解直角三角形． 【分析】（1）要求 BC 的长，只要求出 BE 和 CE 的长即可，由题意可以得到 BE 和 CE 的长， 本题得以解决； （2）要求 AD 的长，只要求出 AE 和 DE 的长即可，根据题意可以得到 AE、DE 的长，本 题得以解决． 【解答】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA= ， ∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6 ， 又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE= ，∠E=30°， ∴CE= =8， ∴BC=BE﹣CE=6 ﹣8； （2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA= = ， ∴设 BE=4x，则 AE=5x，得 AB=3x， ∴3x=6，得 x=2， ∴BE=8，AE=10， ∴tanE= = = = ， 解得，DE= ， ∴AD=AE﹣DE=10﹣ = ， 即 AD 的长是 ． 23．一幅长 20cm、宽 12cm 的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比 为 3：2．设竖彩条的宽度为 xcm，图案中三条彩条所占面积为 ycm2． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的 ，求横、竖彩条的宽度． 【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式． 【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为 3：2 知横彩条的宽度为 xcm，根据：三条彩条面 积=横彩条面积+2 条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积，可列函数关系式； （2）根据：三条彩条所占面积是图案面积的 ，可列出关于 x 的一元二次方程，整理后求 解可得． 【解答】解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为 xcm， ∴y=20× x+2×12•x﹣2× x•x=﹣3x2+54x， 即 y 与 x 之间的函数关系式为 y=﹣3x2+54x； （2）根据题意，得：﹣3x2+54x= ×20×12， 整理，得：x2﹣18x+32=0， 解得：x1=2，x2=16（舍）， ∴ x=3， 答：横彩条的宽度为 3cm，竖彩条的宽度为 2cm． 24．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=CB，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D，点 E 是 AB 边上一点（点 E 不与点 A、B 重合），DE 的延长线交⊙O 于点 G，DF⊥DG，且交 BC 于点 F． （1）求证：AE=BF； （2）连接 GB，EF，求证：GB∥EF； （3）若 AE=1，EB=2，求 DG 的长． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）连接 BD，由三角形 ABC 为等腰直角三角形，求出∠A 与∠C 的度数，根据 AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB 为直角，即 BD 垂直于 AC，利用直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半，得到 AD=DC=BD= AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用 同角的余角相等得到一对角相等，利用 ASA 得到三角形 AED 与三角形 BFD 全等，利用全 等三角形对应边相等即可得证； （2）连接 EF，BG，由三角形 AED 与三角形 BFD 全等，得到 ED=FD，进而得到三角形 DEF 为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利 用同位角相等两直线平行即可得证； （3）由全等三角形对应边相等得到 AE=BF=1，在直角三角形 BEF 中，利用勾股定理求出 EF 的长，利用锐角三角形函数定义求出 DE 的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角 形 AED 与三角形 GEB 相似，由相似得比例，求出 GE 的长，由 GE+ED 求出 GD 的长即可． 【解答】（1）证明：连接 BD， 在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC， ∴∠A=∠C=45°， ∵AB 为圆 O 的直径， ∴∠ADB=90°，即 BD⊥AC， ∴AD=DC=BD= AC，∠CBD=∠C=45°， ∴∠A=∠FBD， ∵DF⊥DG， ∴∠FDG=90°， ∴∠FDB+∠BDG=90°， ∵∠EDA+∠BDG=90°， ∴∠EDA=∠FDB， 在△AED 和△BFD 中， ， ∴△AED≌△BFD（ASA）， ∴AE=BF； （2）证明：连接 EF，BG， ∵△AED≌△BFD， ∴DE=DF， ∵∠EDF=90°， ∴△EDF 是等腰直角三角形， ∴∠DEF=45°， ∵∠G=∠A=45°， ∴∠G=∠DEF， ∴GB∥EF； （3）∵AE=BF，AE=1， ∴BF=1， 在 Rt△EBF 中，∠EBF=90°， ∴根据勾股定理得：EF2=EB2+BF2， ∵EB=2，BF=1， ∴EF= = ， ∵△DEF 为等腰直角三角形，∠EDF=90°， ∴cos∠DEF= ， ∵EF= ， ∴DE= × = ， ∵∠G=∠A，∠GEB=∠AED， ∴△GEB∽△AED， ∴ = ，即 GE•ED=AE•EB， ∴ •GE=2，即 GE= ， 则 GD=GE+ED= ． 25．如图，已知一个直角三角形纸片 ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F 分别是 AC、AB 边上点，连接 EF． （1）图①，若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处，且使 S 四边形 ECBF=3S△EDF，求 AE 的长； （2）如图②，若将纸片 ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 BC 边上的点 M 处，且 使 MF∥CA． ①试判断四边形 AEMF 的形状，并证明你的结论； ②求 EF 的长； （3）如图③，若 FE 的延长线与 BC 的延长线交于点 N，CN=1，CE= ，求 的值． 【考点】三角形综合题． 【分析】（1）先利用折叠的性质得到 EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则 S△AEF≌S△DEF，则易得 S△ABC=4S△AEF，再证明 Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到 = （ ）2，再利用勾股定理求出 AB 即可得到 AE 的长； （2）①通过证明四条边相等判断四边形 AEMF 为菱形； ②连结 AM 交 EF 于点 O，如图②，设 AE=x，则 EM=x，CE=4﹣x，先证明△CME∽△CBA 得到 = = ，解出 x 后计算出 CM= ，再利用勾股定理计算出 AM，然后根据菱形 的面积公式计算 EF； （3）如图③，作 FH⊥BC 于 H，先证明△NCE∽△NFH，利用相似比得到 FH：NH=4：7， 设 FH=4x，NH=7x，则 CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，再证明△BFH∽△BAC，利 用相似比可计算出 x= ，则可计算出 FH 和 BH，接着利用勾股定理计算出 BF，从而得到 AF 的长，于是可计算出 的值． 【解答】解：（1）如图①， ∵△ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处， ∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF， ∴S△AEF≌S△DEF， ∵S 四边形 ECBF=3S△EDF， ∴S△ABC=4S△AEF， 在 Rt△ABC 中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3， ∴AB= =5， ∵∠EAF=∠BAC， ∴Rt△AEF∽Rt△ABC， ∴ =（ ）2，即（ ）2= ， ∴AE= ； （2）①四边形 AEMF 为菱形．理由如下： 如图②，∵△ACB 的一角沿 EF 折叠，折叠后点 A 落在 AB 边上的点 D 处， ∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE， ∵MF∥AC， ∴∠AEF=∠MFE， ∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF， ∴AE=EM=MF=AF， ∴四边形 AEMF 为菱形； ②连结 AM 交 EF 于点 O，如图②， 设 AE=x，则 EM=x，CE=4﹣x， ∵四边形 AEMF 为菱形， ∴EM∥AB， ∴△CME∽△CBA， ∴ = = ，即 = = ，解得 x= ，CM= ， 在 Rt△ACM 中，AM= = = ， ∵S 菱形 AEMF= EF•AM=AE•CM， ∴EF=2× = ； （3）如图③，作 FH⊥BC 于 H， ∵EC∥FH， ∴△NCE∽△NFH， ∴CN：NH=CE：FH，即 1：NH= ：FH， ∴FH：NH=4：7， 设 FH=4x，NH=7x，则 CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x， ∵FH∥AC， ∴△BFH∽△BAC， ∴BH：BC=FH：AC，即（4﹣7x）：3=4x：4，解得 x= ， ∴FH=4x= ，BH=4﹣7x= ， 在 Rt△BFH 中，BF= =2， ∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3， ∴ = ． 26．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx﹣2（a≠0）与 x 轴交于 A（1，0）、 B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，其顶点为点 D，点 E 的坐标为（0，﹣1），该抛物线与 BE 交于另一点 F，连接 BC． （1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为 y=a（x﹣h）2+k 的形式； （2）若点 H（1，y）在 BC 上，连接 FH，求△FHB 的面积； （3）一动点 M 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度平沿行与 y 轴方向向上运动，连接 OM， BM，设运动时间为 t 秒（t＞0），在点 M 的运动过程中，当 t 为何值时，∠OMB=90°？ （4）在 x 轴上方的抛物线上，是否存在点 P，使得∠PBF 被 BA 平分？若存在，请直接写 出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式； （2）先求出 GH，点 F 的坐标，用三角形的面积公式计算即可； （3）设出点 M，用勾股定理求出点 M 的坐标，从而求出 MD，最后求出时间 t； （4）由∠PBF 被 BA 平分，确定出过点 B 的直线 BN 的解析式，求出此直线和抛物线的交 点即可． 【解答】解：（1）∵抛物线 y=ax2+bx﹣2（a≠0）与 x 轴交于 A（1，0）、B（3，0）两点， ∴ ∴ ， ∴抛物线解析式为 y=﹣ x2+ x﹣2=﹣ （x﹣2）2+ ； （2）如图 1， 过点 A 作 AH∥y 轴交 BC 于 H，BE 于 G， 由（1）有，C（0，﹣2）， ∵B（0，3）， ∴直线 BC 解析式为 y= x﹣2， ∵H（1，y）在直线 BC 上， ∴y=﹣ ， ∴H（1，﹣ ）， ∵B（3，0），E（0，﹣1）， ∴直线 BE 解析式为 y=﹣ x﹣1， ∴G（1，﹣ ）， ∴GH= ， ∵直线 BE：y=﹣ x﹣1 与抛物线 y=﹣ x2+ x﹣2 相较于 F，B， ∴F（ ，﹣ ）， ∴S△FHB= GH×|xG﹣xF|+ GH×|xB﹣xG| = GH×|xB﹣xF| = × ×（3﹣ ） = ． （3）如图 2， 由（1）有 y=﹣ x2+ x﹣2， ∵D 为抛物线的顶点， ∴D（2， ）， ∵一动点 M 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度平沿行与 y 轴方向向上运动， ∴设 M（2，m），（m＞ ）， ∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9， ∵∠OMB=90°， ∴OM2+BM2=AB2， ∴m2+4+m2+1=9， ∴m= 或 m=﹣ （舍）， ∴M（0， ）， ∴MD= ﹣ ， ∵一动点 M 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度平沿行与 y 轴方向向上运动， ∴t= ﹣ ； （4）存在点 P，使∠PBF 被 BA 平分， 如图 3， ∴∠PBO=∠EBO， ∵E（0，﹣1）， ∴在 y 轴上取一点 N（0，1）， ∵B（3，0）， ∴直线 BN 的解析式为 y=﹣ x+1①， ∵点 P 在抛物线 y=﹣ x2+ x﹣2②上， 联立①②得， 或 （舍）， ∴P（ ， ）， 即：在 x 轴上方的抛物线上，存在点 P，使得∠PBF 被 BA 平分，P（ ， ）． 2016 年 7 月 12 日