2016年温州市中考数学试题解析版

2016 年浙江省温州市中考数学试卷 一、（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的，请把正 确的选项填在题后的括号内） 1．计算（+5）+（﹣2）的结果是（ ） A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣3 2．如图是九（1）班 45 名同学每周课外阅读时间的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．由 图可知，人数最多的一组是（ ） A．2～4 小时 B．4～6 小时 C．6～8 小时 D．8～10 小时 3．三本相同的书本叠成如图所示的几何体，它的主视图是（ ） A． B． C． D． 4．已知甲、乙两数的和是 7，甲数是乙数的 2 倍．设甲数为 x，乙数为 y，根据题意，列方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 5．若分式 的值为 0，则 x 的值是（ ） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2 6．一个不透明的袋中，装有 2 个黄球、3 个红球和 5 个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个 球，是白球的概率是（ ） A． B． C． D． 7．六边形的内角和是（ ） A．540° B．720° C．900° D．1080° 8．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于 A，B 两点，P 是线段 AB 上任意一点（不包括端点），过 P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为 10，则该直线的函数表达式是（ ） A．y=x+5 B．y=x+10 C．y=﹣x+5 D．y=﹣x+10 9．如图，一张三角形纸片 ABC，其中∠C=90°，AC=4，BC=3．现小林将纸片做三次折叠：第一次使点 A 落在 C 处；将纸片展平做第二次折叠，使点 B 落在 C 处；再将纸片展平做第三次折叠，使点 A 落在 B 处．这 三次折叠的折痕长依次记为 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a 10．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P 是 AB 边上一动点，PD⊥AC 于点 D，点 E 在 P 的右侧，且 PE=1，连结 CE．P 从点 A 出发，沿 AB 方向运动，当 E 到达点 B 时，P 停止运动．在整个运 动过程中，图中阴影部分面积 S1+S2 的大小变化情况是（ ） A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 11．因式分解：a2﹣3a= ． 12．某小组 6 名同学的体育成绩（满分 40 分）分别为：36，40，38，38，32，35，这组数据的中位数是 分． 13．方程组 的解是 ． 14．如图，将△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点 A′落在 BC 的延长线上．已知∠A=27°， ∠B=40°，则∠ACB′= 度． 15．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图 1 所示）中各板块的边 长之间的关系拼成一个凸六边形（如图 2 所示），则该凸六边形的周长是 cm． 新*课*标*第*一*网 16．如图，点 A，B 在反比例函数 y= （k＞0）的图象上，AC⊥x 轴，BD⊥x 轴，垂足 C，D 分别在 x 轴 的正、负半轴上，CD=k，已知 AB=2AC，E 是 AB 的中点，且△BCE 的面积是△ADE 的面积的 2 倍，则 k 的值是 ． 三、解答题（共 8 小题，满分 80 分） 17．（1）计算： +（﹣3）2﹣（ ﹣1）0． （2）化简：（2+m）（2﹣m）+m（m﹣1）． 18．为了解学生对“垃圾分类”知识的了解程度，某学校对本校学生进行抽样调查，并绘制统计图，其中统计 图中没有标注相应人数的百分比．请根据统计图回答下列问题： （1）求“非常了解”的人数的百分比． （2）已知该校共有 1200 名学生，请估计对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有多 少人？ 19．如图，E 是▱ ABCD 的边 CD 的中点，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F． （1）求证：△ADE≌△FCE． （2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求 CD 的长． 20．如图，在方格纸中，点 A，B，P 都在格点上．请按要求画出以 AB 为边的格点四边形，使 P 在四边形 内部（不包括边界上），且 P 到四边形的两个顶点的距离相等． （1）在图甲中画出一个▱ ABCD． （2）在图乙中画出一个四边形 ABCD，使∠D=90°，且∠A≠90°．（注：图甲、乙在答题纸上） 21．如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是 BC 边上一点，以 DB 为直径的⊙O 经过 AB 的中点 E，交 AD 的 延长线于点 F，连结 EF． （1）求证：∠1=∠F． （2）若 sinB= ，EF=2 ，求 CD 的长． 22．有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖 100 千克，其中各种糖果的单价和千克数如表所示，商家用 加权平均数来确定什锦糖的单价． 甲种糖果 乙种糖果 丙种糖果 单价（元/千克） 15 25 30 千克数 40 40 20 （1）求该什锦糖的单价． （2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低 2 元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共 100 千克，问 其中最多可加入丙种糖果多少千克？ 23．如图，抛物线 y=x2﹣mx﹣3（m＞0）交 y 轴于点 C，CA⊥y 轴，交抛物线于点 A，点 B 在抛物线上， 且在第一象限内，BE⊥y 轴，交 y 轴于点 E，交 AO 的延长线于点 D，BE=2AC． （1）用含 m 的代数式表示 BE 的长． （2）当 m= 时，判断点 D 是否落在抛物线上，并说明理由． （3）若 AG∥y 轴，交 OB 于点 F，交 BD 于点 G． ①若△DOE 与△BGF 的面积相等，求 m 的值． ②连结 AE，交 OB 于点 M，若△AMF 与△BGF 的面积相等，则 m 的值是 ． 24．如图，在射线 BA，BC，AD，CD 围成的菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，AB=6 ，O 是射线 BD 上一 点，⊙O 与 BA，BC 都相切，与 BO 的延长线交于点 M．过 M 作 EF⊥BD 交线段 BA（或射线 AD）于点 E， 交线段 BC（或射线 CD）于点 F．以 EF 为边作矩形 EFGH，点 G，H 分别在围成菱形的另外两条射线上． （1）求证：BO=2OM． （2）设 EF＞HE，当矩形 EFGH 的面积为 24 时，求⊙O 的半径． （3）当 HE 或 HG 与⊙O 相切时，求出所有满足条件的 BO 的长． 2016 年浙江省温州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的，请把正 确的选项填在题后的括号内） 1．计算（+5）+（﹣2）的结果是（ ） A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣3 【考点】有理数的加法． 【分析】根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解． 【解答】解：（+5）+（﹣2）， =+（5﹣2）， =3． 故选 C． 2．如图是九（1）班 45 名同学每周课外阅读时间的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．由 图可知，人数最多的一组是（ ） A．2～4 小时 B．4～6 小时 C．6～8 小时 D．8～10 小时 【考点】频数（率）分布直方图． 【分析】根据条形统计图可以得到哪一组的人数最多，从而可以解答本题． 【解答】解：由条形统计图可得， 人数最多的一组是 4～6 小时，频数为 22， 故选 B． 3．三本相同的书本叠成如图所示的几何体，它的主视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】主视图是分别从物体正面看，所得到的图形． 【解答】解：观察图形可知，三本相同的书本叠成如图所示的几何体，它的主视图是 ． 故选：B． 4．已知甲、乙两数的和是 7，甲数是乙数的 2 倍．设甲数为 x，乙数为 y，根据题意，列方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组． 【分析】根据题意可得等量关系：①甲数+乙数=7，②甲数=乙数×2，根据等量关系列出方程组即可． 【解答】解：设甲数为 x，乙数为 y，根据题意， 可列方程组，得： ， 故选：A． 5．若分式 的值为 0，则 x 的值是（ ） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2 【考点】分式的值为零的条件． 【分析】直接利用分式的值为 0，则分子为 0，进而求出答案． 【解答】解：∵分式 的值为 0， ∴x﹣2=0， ∴x=2． 故选：D． 6．一个不透明的袋中，装有 2 个黄球、3 个红球和 5 个白球，它们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个 球，是白球的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【分析】由题意可得，共有 10 可能的结果，其中从口袋中任意摸出一个球是白球的有 5 情况，利用概率公 式即可求得答案． 【解答】解：∵从装有 2 个黄球、3 个红球和 5 个白球的袋中任意摸出一个球有 10 种等可能结果， 其中摸出的球是白球的结果有 5 种， ∴从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是 = ， 故选：A． 7．六边形的内角和是（ ） A．540° B．720° C．900° D．1080° 【考点】多边形内角与外角． 【分析】多边形内角和定理：n 变形的内角和等于（n﹣2）×180°（n≥3，且 n 为整数），据此计算可得． 【解答】解：由内角和公式可得：（6﹣2）×180°=720°， 故选：B． 8．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于 A，B 两点，P 是线段 AB 上任意一点（不包括端点），过 P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为 10，则该直线的函数表达式是（ ） A．y=x+5 B．y=x+10 C．y=﹣x+5 D．y=﹣x+10 【考点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质． 【分析】设 P 点坐标为（x，y），由坐标的意义可知 PC=x，PD=y，根据题意可得到 x、y 之间的关系式，可 得出答案． 【解答】解： 设 P 点坐标为（x，y），如图，过 P 点分别作 PD⊥x 轴，PC⊥y 轴，垂足分别为 D、C， ∵P 点在第一象限， ∴PD=y，PC=x， ∵矩形 PDOC 的周长为 10， ∴2（x+y）=10， ∴x+y=5，即 y=﹣x+5， 故选 C． 9．如图，一张三角形纸片 ABC，其中∠C=90°，AC=4，BC=3．现小林将纸片做三次折叠：第一次使点 A 落在 C 处；将纸片展平做第二次折叠，使点 B 落在 C 处；再将纸片展平做第三次折叠，使点 A 落在 B 处．这 三次折叠的折痕长依次记为 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系是（ ） A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】（1）图1，根据折叠得：DE 是线段 AC 的垂直平分线，由中位线定理的推论可知：DE 是△ABC 的中位线，得出 DE 的长，即 a 的长； （2）图 2，同理可得：MN 是△ABC 的中位线，得出 MN 的长，即 b 的长； （3）图 3，根据折叠得：GH 是线段 AB 的垂直平分线，得出 AG 的长，再利用两角对应相等证△ACB∽△AGH， 利用比例式可求 GH 的长，即 c 的长． 【解答】解：第一次折叠如图 1，折痕为 DE， 由折叠得：AE=EC= AC= ×4=2，DE⊥AC ∵∠ACB=90° ∴DE∥BC ∴a=DE= BC= ×3= 第二次折叠如图 2，折痕为 MN， 由折叠得：BN=NC= BC= ×3= ，MN⊥BC ∵∠ACB=90° ∴MN∥AC ∴b=MN= AC= ×4=2 第三次折叠如图 3，折痕为 GH， 由勾股定理得：AB= =5 由折叠得：AG=BG= AB= ×5= ，GH⊥AB ∴∠AGH=90° ∵∠A=∠A，∠AGH=∠ACB ∴△ACB∽△AGH ∴ = ∴ = ∴GH= ，即 c= ∵2＞ ＞ ∴b＞c＞a 故选（D） 10．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P 是 AB 边上一动点，PD⊥AC 于点 D，点 E 在 P 的右侧，且 PE=1，连结 CE．P 从点 A 出发，沿 AB 方向运动，当 E 到达点 B 时，P 停止运动．在整个运 动过程中，图中阴影部分面积 S1+S2 的大小变化情况是（ ） A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【考点】动点问题的函数图象． 【分析】设 PD=x，AB 边上的高为 h，想办法求出 AD、h，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题 即可． 【解答】解：在 RT△ABC 中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=2， ∴AB= = =2 ，设 PD=x，AB 边上的高为 h， h= = ， ∵PD∥BC， ∴ = ， ∴AD=2x，AP= x， ∴S1+S2= •2x•x+ （2 ﹣1﹣ x）• =x2﹣2x+4﹣ =（x﹣1）2+3﹣ ， ∴当 0＜x＜1 时，S1+S2 的值随 x 的增大而减小， 当 1≤x≤2 时，S1+S2 的值随 x 的增大而增大． 故选 C． 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分） 11．因式分解：a2﹣3a= a（a﹣3） ． 【考点】因式分解-提公因式法． 【分析】直接把公因式 a 提出来即可． 【解答】解：a2﹣3a=a（a﹣3）． 故答案为：a（a﹣3）． 12．某小组 6 名同学的体育成绩（满分 40 分）分别为：36，40，38，38，32，35，这组数据的中位数是 37 分． 【考点】中位数． 【分析】直接利用中位数的定义分析得出答案． 【解答】解：数据按从小到大排列为：32，35，36，38，38，40， 则这组数据的中位数是：（36+38）÷2=37． 故答案为：37． 13．方程组 的解是 ． 【考点】二元一次方程组的解． 【分析】由于 y 的系数互为相反数，直接用加减法解答即可． 【解答】解：解方程组 ， ①+②，得：4x=12， 解得：x=3， 将 x=3 代入①，得：3+2y=5， 解得：y=1， ∴ ， 故答案为： ． 14．如图，将△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点 A′落在 BC 的延长线上．已知∠A=27°， ∠B=40°，则∠ACB′= 46 度． 【考点】旋转的性质． 【分析】先根据三角形外角的性质求出∠ACA′=67°，再由△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转至△A′B′C，得 到△ABC≌△A′B′C，证明∠BCB′=∠ACA′，利用平角即可解答． 【解答】解：∵∠A=27°，∠B=40°， ∴∠ACA′=∠A+∠B=27°+40°=67°， ∵△ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转至△A′B′C， ∴△ABC≌△A′B′C， ∴∠ACB=∠A′CB′， ∴∠ACB﹣∠B′CA=∠A′CB﹣∠B′CA， 即∠BCB′=∠ACA′， ∴∠BCB′=67°， ∴∠ACB′=180°∠ACA′﹣∠BCB′=180°﹣67°﹣67°=46°， 故答案为：46． 15．七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图 1 所示）中各板块的边 长之间的关系拼成一个凸六边形（如图 2 所示），则该凸六边形的周长是 （32 +16） cm． 【考点】七巧板． 【分析】由正方形的性质和勾股定理求出各板块的边长，即可求出凸六边形的周长． 【解答】解：如图所示：图形 1：边长分别是：16，8 ，8 ； 图形 2：边长分别是：16，8 ，8 ； 图形 3：边长分别是：8，4 ，4 ； 图形 4：边长是：4 ； 图形 5：边长分别是：8，4 ，4 ； 图形 6：边长分别是：4 ，8； 图形 7：边长分别是：8，8，8 ； ∴凸六边形的周长=8+2×8 +8+4 ×4=32 +16（cm）； 故答案为：32 +16． 16．如图，点 A，B 在反比例函数 y= （k＞0）的图象上，AC⊥x 轴，BD⊥x 轴，垂足 C，D 分别在 x 轴 的正、负半轴上，CD=k，已知 AB=2AC，E 是 AB 的中点，且△BCE 的面积是△ADE 的面积的 2 倍，则 k 的值是 ． 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义． 【分析】根据三角形面积间的关系找出 2S △ABD=S△BAC，设点 A 的坐标为（m， ），点 B 的坐标为（n， ）， 结合 CD=k、面积公式以及 AB=2AC 即可得出关于 m、n、k 的三元二次方程组，解方程组即可得出结论． 【解答】解：∵E 是 AB 的中点， ∴S△ABD=2S△ADE，S△BAC=2S△BCE， 又∵△BCE 的面积是△ADE 的面积的 2 倍， ∴2S△ABD=S△BAC． 设点 A 的坐标为（m， ），点 B 的坐标为（n， ）， 则有 ， 解得： ，或 （舍去）． 故答案为： ． 三、解答题（共 8 小题，满分 80 分） 17．（1）计算： +（﹣3）2﹣（ ﹣1）0． （2）化简：（2+m）（2﹣m）+m（m﹣1）． 【考点】实数的运算；单项式乘多项式；平方差公式；零指数幂． 【分析】（1）直接利用二次根式的性质结合零指数幂的性质分别分析得出答案； （2）直接利用平方差公式计算，进而去括号得出答案． 【解答】解：（1）原式=2 +9﹣1 =2 +8； （2）（2+m）（2﹣m）+m（m﹣1） =4﹣m2+m2﹣m =4﹣m． 18．为了解学生对“垃圾分类”知识的了解程度，某学校对本校学生进行抽样调查，并绘制统计图，其中统计 图中没有标注相应人数的百分比．请根据统计图回答下列问题： （1）求“非常了解”的人数的百分比． （2）已知该校共有 1200 名学生，请估计对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有多 少人？ 【考点】扇形统计图；用样本估计总体． 【分析】（1）根据扇形统计图可以求得“非常了解”的人数的百分比； （2）根据扇形统计图可以求得对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有多少人． 【解答】解：（1）由题意可得， “非常了解”的人数的百分比为： ， 即“非常了解”的人数的百分比为 20%； （2）由题意可得， 对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有：1200× =600（人）， 即对“垃圾分类”知识达到“非常了解”和“比较了解”程度的学生共有 600 人． 19．如图，E 是▱ ABCD 的边 CD 的中点，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F． （1）求证：△ADE≌△FCE． （2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求 CD 的长． 【考点】平行四边形的性质 ；全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出 AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，由 AAS 证明 △ADE≌△FCE 即可； （2）由全等三角形的性质得出 AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出 DE， 即可得出 CD 的长． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF， ∵E 是▱ ABCD 的边 CD 的中点， ∴DE=CE， 在△ADE 和△FCE 中， ， ∴△ADE≌△FCE（AAS）； （2）解：∵ADE≌△FCE， ∴AE=EF=3， ∵AB∥CD， ∴∠AED=∠BAF=90°， 在▱ ABCD 中，AD=BC=5， ∴DE= = =4， ∴CD=2DE=8． 20．如图，在方格纸中，点 A，B，P 都在格点上．请按要求画出以 AB 为边的格点四边形，使 P 在四边形 内部（不包括边界上），且 P 到四边形的两个顶点的距离相等． （1）在图甲中画出一个▱ ABCD． （2）在图乙中画出一个四边形 ABCD，使∠D=90°，且∠A≠90°．（注：图甲、乙在答题纸上） 【考点】平行四边形的性质． 【分析】（1）先以点 P 为圆心、PB 长为半径作圆，会得到 4 个格点，再选取合适格点，根据平行四边形的 判定作出平行四边形即可； （2）先以点 P 为圆心、PB 长为半径作圆，会得到 8 个格点，再选取合适格点记作点 C，再以 AC 为直径作 圆，该圆与方格网的交点任取一个即为点 D，即可得． 【解答】解：（1）如图①： ． （2）如图②， ． 21．如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是 BC 边上 一点，以 DB 为直径的⊙O 经过 AB 的中点 E，交 AD 的 延长线于点 F，连结 EF． （1）求证：∠1=∠F． （2）若 sinB= ，EF=2 ，求 CD 的长． 【考点】圆周角定理；解直角三角形． 【分析】（1）连接 DE，由 BD 是⊙O 的直径，得到∠DEB=90°，由于 E 是 AB 的中点，得到 DA=DB，根 据等腰三角形的性质得到∠1=∠B 等量代换即可得到结论； （2）g 根据等腰三角形的判定定理得到 AE=EF=2 ，推出 AB=2AE=4 ，在 Rt△ABC 中，根据勾股定 理得到 BC= =8，设 CD=x，则 AD=BD=8﹣x，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）证明：连接 DE， ∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠DEB=90°， ∵E 是 AB 的中点， ∴DA=DB， ∴∠1=∠B， ∵∠B=∠F， ∴∠1=∠F； （2）∵∠1=∠F， ∴AE=EF=2 ， ∴AB=2AE=4 ， 在 Rt△ABC 中，AC=AB•sinB=4， ∴BC= =8， 设 CD=x，则 AD=BD=8﹣x， ∵AC2+CD2=AD2， 即 42+x2=（8﹣x）2， ∴x=3，即 CD=3． 22．有甲、乙、丙三种糖果混合而成的什锦糖 100 千克，其中各种糖果的单价和千克数如表所示，商家用 加权平均数来确定什锦糖的单价． 甲种糖果 乙种糖果 丙种糖果 单价（元/千克） 15 25 30 千克数 40 40 20 （1）求该什锦糖的单价． （2）为了使什锦糖的单价每千克至少降低 2 元，商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共 100 千克，问 其中最多可加入丙种糖果多少千克？ 【考点】一元一次不等式的应用；加权平均数． 【分析】（1）根据加权平均数的计算公式和三种糖果的单价和克数，列出算式进行计算即可； （2）设加入丙种糖果 x 千克，则加入甲种糖果千克，根据商家计划在什锦糖中加入甲、丙两种糖果共 100 千克和锦糖的单价每千克至少降低 2 元，列出不等式进行求解即可． 【解答】解：（1）根据题意得： =22（元/千克）． 答：该什锦糖的单价是 22 元/千克； （2）设加入丙种糖果 x 千克，则加入甲种糖果千克，根据题意得： ≤20， 解得：x≤20． 答：加入丙种糖果 20 千克． 23．如图，抛物线 y=x2﹣mx﹣3（m＞0）交 y 轴于点 C，CA⊥y 轴，交抛物线于点 A，点 B 在抛物线上， 且在第一象限内，BE⊥y 轴，交 y 轴于点 E，交 AO 的延长线于点 D，BE=2AC． （1）用含 m 的代数式表示 BE 的长． （2）当 m= 时，判断点 D 是否落在抛物线上，并说明理由． （3）若 AG∥y 轴，交 OB 于点 F，交 BD 于点 G． ①若△DOE 与△BGF 的面积相等，求 m 的值． ②连结 AE，交 OB 于点 M，若△AMF 与△BGF 的面积相等，则 m 的值是 ． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据 A、C 两点纵坐标相同，求出点 A 横坐标即可解决问题． （2）求出点 D 坐标，然后判断即可． （3）①首先根据 EO=2FG，证明 BG=2DE，列出方程即可解决问题． ②求出直线 AE、BO 的解析式，求出交点 M 的横坐标，列出方程即可解决问题． 【解答】解：（1）∵C（0，﹣3），AC⊥OC， ∴点 A 纵坐标为﹣3， y=﹣3 时，﹣3=x2﹣mx﹣3，解得 x=0 或 m， ∴点 A 坐标（m，﹣3）， ∴AC=m， ∴BE=2AC=2m． （2）∵m= ， ∴点 A 坐标（ ，﹣3）， ∴直线 OA 为 y=﹣ x， ∴抛物线解析式为 y=x2﹣ x﹣3， ∴点 B 坐标（2 ，3）， ∴点 D 纵坐标为 3， 对于函数 y=﹣ x，当 y=3 时，x=﹣ ， ∴点 D 坐标（﹣ ，3）． ∵对于函数 y=x2﹣ x﹣3，x=﹣ 时，y=3， ∴点 D 在落在抛物线上． （3）①∵∠ACE=∠CEG=∠EGA=90°， ∴四边形 ECAG 是矩形， ∴EG=AC=BG， ∵FG∥OE， ∴OF=FB，∵EG=BG， ∴EO=2FG， ∵ •DE•EO= •GB•GF， ∴BG=2DE， ∵DE∥AC， ∴ = = ， ∵点 B 坐标（2m，2m2﹣3）， ∴OC=2OE， ∴3=2（2m2﹣3）， ∵m＞0， ∴m= ． ②∵A（m，﹣3），B（2m，2m2﹣3），E（0，2m2﹣3）， ∴直线 AE 解析式为 y=﹣2mx+2m2﹣3，直线 OB 解析式为 y= x， 由 消去 y 得到﹣2mx+2m2﹣3= x，解得 x= ， ∴点 M 横坐标为 ， ∵△AMF 的面积=△BFG 的面积， ∴ •（ +3）•（m﹣ ）= •m• •（2m2﹣3）， 整理得到：2m4﹣9m2=0， ∵m＞0， ∴m= ． 故答案为 ． 24．如图，在射线 BA，BC，AD，CD 围成的菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，AB=6 ，O 是射线 BD 上一 点，⊙O 与 BA，BC 都相切，与 BO 的延长线交于点 M．过 M 作 EF⊥BD 交线段 BA（或射线 AD）于点 E， 交线段 BC（或射线 CD）于点 F．以 EF 为边作矩形 EFGH，点 G，H 分别在围成菱形的另外两条射线上． （1）求证：BO=2OM． （2）设 EF＞HE，当矩形 EFGH 的面积为 24 时，求⊙O 的半径． （3）当 HE 或 HG 与⊙O 相切时，求出所有满足条件的 BO 的长． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）设⊙O 切 AB 于点 P，连接 OP，由切线的性质可知∠OPB=90°．先由菱形的性质求得∠OBP 的度数，然后依据含 30°直角三角形的性质证明即可； （2）设 GH 交 BD 于点 N，连接 AC，交 BD 于点 Q．先依据特殊锐角三角函数值求得 BD 的长，设⊙O 的 半径为 r，则 OB=2r，MB=3r．当点 E 在 AB 上时．在 Rt△BEM 中，依据特殊锐角三角函数值可得到 EM 的长（用含 r 的式子表示），由图形的对称性可得到 EF、ND、BM 的长（用含 r 的式子表示，从而得到 MN=18 ﹣6r，接下来依据矩形的面积列方程求解即可；当点 E 在 AD 边上时．BM=3r，则 MD=18﹣3r，最后由 MB=3r=12 列方程求解即可； （3）先根据题意画出符合题意的图形，①如图 4 所示，点 E 在 AD 上时，可求得 DM= r，BM=3r，然 后依据 BM+MD=18，列方程求解即可；②如图 5 所示；依据图形的对称性可知得到 OB= BD；③如图 6 所示，可证明 D 与 O 重合，从而可求得 OB 的长；④如图 7 所示：先求得 DM= r，OMB=3r，由 BM﹣ DM=DB 列方程求解即可． 【解答】解：（1）如图 1 所示：设⊙O 切 AB 于点 P，连接 OP，则∠OPB=90°． ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴∠ABD= ∠ABC=30°． ∴OB=2OP． ∵OP=OM， ∴BO=2OP=2OM． （2）如图 2 所示：设 GH 交 BD 于点 N，连接 AC，交 BD 于点 Q． ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD． ∴BD=2BQ=2AB•cos∠ABQ= AB=18． 设⊙O 的半径为 r，则 OB=2r，MB=3r． ∵EF＞HE， ∴点 E，F，G，H 均在菱形的边上． ①如图 2 所示，当点 E 在 AB 上时． 在 Rt△BEM 中，EM=BM•tan∠EBM= r． 由对称性得：EF=2EM=2 r，ND=BM=3r． ∴MN=18﹣6r． ∴S 矩形 EFGH=EF•MN=2 r（18﹣6r）=24 ． 解得：r1=1，r2=2． 当 r=1 时，EF＜HE， ∴r=1 时，不合题意舍 当 r=2 时，EF＞HE， ∴⊙O 的半径为 2． ∴BM=3r=6． 如图 3 所示： 当点 E 在 AD 边上时．BM=3r，则 MD=18﹣3r． 由对称性可知：NB=MD=6． ∴MB=3r=18﹣6=12． 解得：r=4． 综上所述，⊙O 的半径为 2 或 4． （3）解设 GH 交 BD 于点 N，⊙O 的半径为 r，则 BO=2r． 当点 E 在边 BA 上时，显然不存在 HE 或 HG 与⊙O 相切． ①如图 4 所示，点 E 在 AD 上时． ∵HE 与⊙O 相切， ∴ME=r，DM= r． ∴3r+ r=18． 解得：r=9﹣3 ． ∴OB=18﹣6 ． ②如图 5 所示； 由图形的对称性得：ON=OM，BN=DM． ∴OB= BD=9． ③如图 6 所示． ∵HG 与⊙O 相切时，MN=2r． ∵BN+MN=BM=3r． ∴BN=r． ∴DM= FM= GN=BN=r． ∴D 与 O 重合． ∴BO=BD=18． ④如图 7 所示： ∵HE 与⊙O 相切， ∴EM=r，DM= r． ∴3r﹣ r=18． ∴r=9+3 ． ∴OB=2r=18+6 ． 综上所述，当 HE 或 GH 与⊙O 相切时，OB 的长为 18﹣6 或 9 或 18 或 18+6 ．