2016年绍兴市中考数学试题及答案解析版

2016 年浙江省绍兴市中考数学试卷 一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，请选出每小题中一个最符合题意 的选项，不选，多选，错选，均不给分） 1．﹣8 的绝对值等于（ ） A．8 B．﹣8 C． D． 2．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了 每秒 338 600 000 亿次，数字 338 600 000 用科学记数法可简洁表示为（ ） A．3.386×108B．0.3386×109C．33.86×107D．3.386×109 3．我国传统建筑中，窗框（如图 1）的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图 2，它是 一个轴对称图形，其对称轴有（ ） A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 4．如图是一个正方体，则它的表面展开图可以是（ ） A． B． C． D． 5．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一 面的数字是偶数的概率为（ ） A． B． C． D． 6．如图，BD 是⊙O 的直径，点 A、C 在⊙O 上， = ，∠AOB=60°，则∠BDC 的度数 是（ ） A．60° B．45° C．35° D．30° 7．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同 的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ） A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③ 8．如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，以点 A 为圆心，BC 长为半径画弧交 AB 于 点 D，分别以点 A、D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 E，连接 AE，DE，则∠EAD 的余弦值是（ ） A． B． C． D． 9．抛物线 y=x2+bx+c（其中 b，c 是常数）过点 A（2，6），且抛物线的对称轴与线段 y=0 （1≤x≤3）有交点，则 c 的值不可能是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 10．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结 绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自 出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ） A．84 B．336 C．510 D．1326 二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11．分解因式：a3﹣9a= ． 12．不等式 ＞ +2 的解是 ． 13．如图 1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图 2 是它的截面图，垂直放置的脸盆与 架子的交点为 A，B，AB=40cm，脸盆的最低点 C 到 AB 的距离为 10cm，则该脸盆的半径 为 cm． 14．书店举行购书优惠活动： ①一次性购书不超过 100 元，不享受打折优惠； ②一次性购书超过 100 元但不超过 200 元一律打九折； ③一次性购书 200 元一律打七折． 小丽在这次活动中，两次购书总共付款 229.4 元，第二次购书原价是第一次购书原价的 3 倍， 那么小丽这两次购书原价的总和是 元． 15．如图，已知直线 l：y=﹣x，双曲线 y= ，在 l 上取一点 A（a，﹣a）（a＞0），过 A 作 x 轴的垂线交双曲线于点 B，过 B 作 y 轴的垂线交 l 于点 C，过 C 作 x 轴的垂线交双曲线于点 D，过 D 作 y 轴的垂线交 l 于点 E，此时 E 与 A 重合，并得到一个正方形 ABCD，若原点 O 在正方形 ABCD 的对角线上且分这条对角线为 1：2 的两条线段，则 a 的值为 ． 16．如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=2，E 是 AB 的中点，直线 l 平行于直线 EC，且直 线 l 与直线 EC 之间的距离为 2，点 F 在矩形 ABCD 边上，将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠， 使点 A 恰好落在直线 l 上，则 DF 的长为 ． 三、解答题（本大题有 8 小题，第 17-20 小题每小题 8 分，第 21 小题 10 分，第 22、23 小 题每小题 8 分，第 24 小题 14 分，共 80 分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明 过程） 17．（1）计算： ﹣（2﹣ ）0+（ ）﹣2． （2）解分式方程： + =4． 18．为了解七年级学生上学期参加社会实践活动的情况，随机抽查 A 市七年级部分学生参 加社会实践活动天数，并根据抽查结果制作了如下不完整的频数分布表和条形统计图． A 市七年级部分学生参加社会实践活动天数的频数分布表 天数 频数 频率 3 20 0.10 4 30 0.15 5 60 0.30 6 a 0.25 7 40 0.20 A 市七年级部分学生参加社会实践活动天数的条形统计图 根据以上信息，解答下列问题； （1）求出频数分布表中 a 的值，并补全条形统计图． （2）A 市有七年级学生 20000 人，请你估计该市七年级学生参加社会实践活动不少于 5 天 的人数． 19．根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水，清洗．某游泳池周五早上 8：00 打开排 水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水 在 11：30 全部排完．游泳池内的水量 Q（m2）和开始排水后的时间 t（h）之间的函数图象 如图所示，根据图象解答下列问题： （1）暂停排水需要多少时间？排水孔排水速度是多少？ （2）当 2≤t≤3.5 时，求 Q 关于 t 的函数表达式． 20．如图 1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点 A 处，测得河的北岸边点 B 在其北偏东 45°方向，然后向西走 60m 到达 C 点，测得点 B 在 点 C 的北偏东 60°方向，如图 2． （1）求∠CBA 的度数． （2）求出这段河的宽（结果精确到 1m，备用数据 ≈1.41， ≈1.73）． 21．课本中有一个例题： 有一个窗户形状如图 1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为 6m， 如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为 0.35m 时，透光面积最大值约为 1.05m2． 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图 2，材料总长仍为 6m，利用图 3，解答下列问题： （1）若 AB 为 1m，求此时窗户的透光面积？ （2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过 计算说明． 22．如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形． （1）若固定三根木条 AB，BC，AD 不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木 条 CD=5cm，判断此时∠B 与∠D 是否相等，并说明理由． （2）若固定一根木条 AB 不动，AB=2cm，量得木条 CD=5cm，如果木条 AD，BC 的长度 不变，当点 D 移到 BA 的延长线上时，点 C 也在 BA 的延长线上；当点 C 移到 AB 的延长 线上时，点 A、C、D 能构成周长为 30cm 的三角形，求出木条 AD，BC 的长度． 23．对于坐标平面内的点，现将该点向右平移 1 个单位，再向上平移 2 的单位，这种点的运 动称为点 A 的斜平移，如点 P（2，3）经 1 次斜平移后的点的坐标为（3，5），已知点 A 的 坐标为（1，0）． （1）分别写出点 A 经 1 次，2 次斜平移后得到的点的坐标． （2）如图，点 M 是直线 l 上的一点，点 A 惯有点 M 的对称点的点 B，点 B 关于直线 l 的 对称轴为点 C． ①若 A、B、C 三点不在同一条直线上，判断△ABC 是否是直角三角形？请说明理由． ②若点 B 由点 A 经 n 次斜平移后得到，且点 C 的坐标为（7，6），求出点 B 的坐标及 n 的 值． 24．如图，在矩形 ABCD 中，点 O 为坐标原点，点 B 的坐标为（4，3），点 A、C 在坐标 轴上，点 P 在 BC 边上，直线 l1：y=2x+3，直线 l2：y=2x﹣3． （1）分别求直线 l1 与 x 轴，直线 l2 与 AB 的交点坐标； （2）已知点 M 在第一象限，且是直线 l2 上的点，若△APM 是等腰直角三角形，求点 M 的 坐标； （3）我们把直线 l1 和直线 l2 上的点所组成的图形为图形 F．已知矩形 ANPQ 的顶点 N 在图 形 F 上，Q 是坐标平面内的点，且 N 点的横坐标为 x，请直接写出 x 的取值范围（不用说明 理由）． 2016 年浙江省绍兴市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，请选出每小题中一个最符合题意 的选项，不选，多选，错选，均不给分） 1．﹣8 的绝对值等于（ ） A．8 B．﹣8 C． D． 【考点】绝对值． 【分析】根据绝对值的定义即可得出结果． 【解答】解：﹣8 的绝对值为 8， 故选 A． 2．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了 每秒 338 600 000 亿次，数字 338 600 000 用科学记数法可简洁表示为（ ） A．3.386×108B．0.3386×109C．33.86×107D．3.386×109 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：数字 338 600 000 用科学记数法可简洁表示为 3.386×108． 故选：A． 3．我国传统建筑中，窗框（如图 1）的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图 2，它是 一个轴对称图形，其对称轴有（ ） A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 【考点】轴对称图形． 【分析】直接利用轴对称图形的定义分析得出答案． 【解答】解：如图所示： 其对称轴有 2 条． 故选：B． 4．如图是一个正方体，则它的表面展开图可以是（ ） A． B． C． D． 【考点】几何体的展开图． 【分析】根据含有田字形和凹字形的图形不能折成正方体可判断 A、C，D，故此可得到答 案． 【解答】解：A、含有田字形，不能折成正方体，故 A 错误； B、能折成正方体，故 B 正确； C、凹字形，不能折成正方体，故 C 错误； D、含有田字形，不能折成正方体，故 D 错误． 故选：B． 5．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一 面的数字是偶数的概率为（ ） A． B． C． D． 【考点】概率公式． 【分析】直接得出偶数的个数，再利用概率公式求出答案． 【解答】解：∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，投掷 一次， ∴朝上一面的数字是偶数的概率为： = ． 故选：C． 6．如图，BD 是⊙O 的直径，点 A、C 在⊙O 上， = ，∠AOB=60°，则∠BDC 的度数 是（ ） A．60° B．45° C．35° D．30° 【考点】圆周角定理． 【分析】直接根据圆周角定理求解． 【解答】解：连结 OC，如图， ∵ = ， ∴∠BDC= ∠AOB= ×60°=30°． 故选 D． 7．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同 的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ） A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③ 【考点】平行四边形的判定． 【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题． 【解答】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，角的两边的延长线的交点就是平行四边 形的顶点， ∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选 D． 8．如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，∠A=30°，以点 A 为圆心，BC 长为半径画弧交 AB 于 点 D，分别以点 A、D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 E，连接 AE，DE，则∠EAD 的余弦值是（ ） A． B． C． D． 【考点】解直角三角形． 【分析】设 BC=x，由含 30°角的直角三角形的性质得出 AC=2BC=2x，求出 AB= BC= x， 根据题意得出 AD=BC=x，AE=DE=AB= x，作 EM⊥AD 于 M，由等腰三角形的性质得出 AM= AD= x，在 Rt△AEM 中，由三角函数的定义即可得出结果． 【解答】解：如图所示：设 BC=x， ∵在 Rt△ABC 中，∠B=90°，∠A=30°， ∴AC=2BC=2x，AB= BC= x， 根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB= x， 作 EM⊥AD 于 M，则 AM= AD= x， 在 Rt△AEM 中，cos∠EAD= = = ； 故选：B． 9．抛物线 y=x2+bx+c（其中 b，c 是常数）过点 A（2，6），且抛物线的对称轴与线段 y=0 （1≤x≤3）有交点，则 c 的值不可能是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【考点】二次函数的性质． 【分析】根据抛物线 y=x2+bx+c（其中 b，c 是常数）过点 A（2，6），且抛物线的对称轴与 线段 y=0（1≤x≤3）有交点，可以得到 c 的取值范围，从而可以解答本题． 【解答】解：∵抛物线 y=x2+bx+c（其中 b，c 是常数）过点 A（2，6），且抛物线的对称轴 与线段 y=0（1≤x≤3）有交点， ∴ 解得 6≤c≤14， 故选 A． 10．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结 绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自 出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ） A．84 B．336 C．510 D．1326 【考点】用数字表示事件． 【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+ 百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数． 【解答】解：1×73+3×72+2×7+6=510， 故选 C． 二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 11．分解因式：a3﹣9a= a（a+3）（a﹣3） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】本题应先提出公因式 a，再运用平方差公式分解． 【解答】解：a3﹣9a=a（a2﹣32）=a（a+3）（a﹣3）． 12．不等式 ＞ +2 的解是 x＞﹣3 ． 【考点】解一元一次不等式． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 可得． 【解答】解：去分母，得：3（3x+13）＞4x+24， 去括号，得：9x+39＞4x+24， 移项，得：9x﹣4x＞24﹣39， 合并同类项，得：5x＞﹣15， 系数化为 1，得：x＞﹣3， 故答案为：x＞﹣3． 13．如图 1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图 2 是它的截面图，垂直放置的脸盆与 架子的交点为 A，B，AB=40cm，脸盆的最低点 C 到 AB 的距离为 10cm，则该脸盆的半径 为 25 cm． 【考点】垂径定理的应用． 【分析】设圆的圆心为 O，连接 OA，OC，OC 与 AB 交于点 D，设⊙O 半径为 R，在 RT△AOD 中利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解；如图，设圆的圆心为 O，连接 OA，OC，OC 与 AB 交于点 D，设⊙O 半径为 R， ∵OC⊥AB， ∵AD=DB= AB=20， 在 RT△AOD 中，∵∠ADO=90°， ∴OA2=OD2+AD2， ∴R2=202+（R﹣10）2， ∴R=25． 故答案为 25． 14．书店举行购书优惠活动： ①一次性购书不超过 100 元，不享受打折优惠； ②一次性购书超过 100 元但不超过 200 元一律打九折； ③一次性购书 200 元一律打七折． 小丽在这次活动中，两次购书总共付款 229.4 元，第二次购书原价是第一次购书原价的 3 倍， 那么小丽这两次购书原价的总和是 248 或 296 元． 【考点】一元一次方程的应用． 【分析】设第一次购书的原价为 x 元，则第二次购书的原价为 3x 元．根据 x 的取值范围分 段考虑，根据“付款金额=第一次付款金额+第二次付款金额”即可列出关于 x 的一元一次方 程，解方程即可得出结论． 【解答】解：设第一次购书的原价为 x 元，则第二次购书的原价为 3x 元， 依题意得：①当 0＜x≤ 时，x+3x=229.4， 解得：x=57.35（舍去）； ②当 ＜x≤ 时，x+ ×3x=229.4， 解得：x=62， 此时两次购书原价总和为：4x=4×62=248； ③当 ＜x≤100 时，x+ ×3x=229.4， 解得：x=74， 此时两次购书原价总和为：4x=4×74=296． 综上可知：小丽这两次购书原价的总和是 248 或 296 元． 故答案为：248 或 296． 15．如图，已知直线 l：y=﹣x，双曲线 y= ，在 l 上取一点 A（a，﹣a）（a＞0），过 A 作 x 轴的垂线交双曲线于点 B，过 B 作 y 轴的垂线交 l 于点 C，过 C 作 x 轴的垂线交双曲线于点 D，过 D 作 y 轴的垂线交 l 于点 E，此时 E 与 A 重合，并得到一个正方形 ABCD，若原点 O 在正方形 ABCD 的对角线上且分这条对角线为 1：2 的两条线段，则 a 的值为 或 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质． 【分析】根据点的选取方法找出点 B、C、D 的坐标，由两点间的距离公式表示出线段 OA、 OC 的长，再根据两线段的关系可得出关于 a 的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：依照题意画出图形，如图所示． ∵点 A 的坐标为（a，﹣a）（a＞0）， ∴点 B（a， ）、点 C（﹣ ， ）、点 D（﹣ ，﹣a）， ∴OA= = a，OC= = ． 又∵原点 O 分对角线 AC 为 1：2 的两条线段， ∴OA=2OC 或 OC=2OA， 即 a=2× 或 =2 a， 解得：a1= ，a2=﹣ （舍去），a3= ，a4=﹣ （舍去）． 故答案为： 或 ． 16．如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=2，E 是 AB 的中点，直线 l 平行于直线 EC，且直 线 l 与直线 EC 之间的距离为 2，点 F 在矩形 ABCD 边上，将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠， 使点 A 恰好落在直线 l 上，则 DF 的长为 2 或 4﹣2 ． 【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）． 【分析】当直线 l 在直线 CE 上方时，连接 DE 交直线 l 于 M，只要证明△DFM 是等腰直角 三角形即可利用 DF= DM 解决问题，当直线 l 在直线 EC 下方时，由 ∠DEF1=∠BEF1=∠DF1E， 得到 DF1=DE，由此即可解决问题． 【解答】解：如图，当直线 l 在直线 CE 上方时，连接 DE 交直线 l 于 M， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A=∠B=90°，AD=BC， ∵AB=4，AD=BC=2， ∴AD=AE=EB=BC=2， ∴△ADE、△ECB 是等腰直角三角形， ∴∠AED=∠BEC=45°， ∴∠DEC=90°， ∵l∥EC， ∴ED⊥l， ∴EM=2=AE， ∴点 A、点 M 关于直线 EF 对称， ∵∠MDF=∠MFD=45°， ∴DM=MF=DE﹣EM=2 ﹣2， ∴DF= DM=4﹣2 ． 当直线 l 在直线 EC 下方时， ∵∠DEF1=∠BEF1=∠DF1E， ∴DF1=DE=2 ， 综上所述 DF 的长为 2 或 4﹣2 ． 故答案为 2 或 4﹣2 ． 三、解答题（本大题有 8 小题，第 17-20 小题每小题 8 分，第 21 小题 10 分，第 22、23 小 题每小题 8 分，第 24 小题 14 分，共 80 分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明 过程） 17．（1）计算： ﹣（2﹣ ）0+（ ）﹣2． （2）解分式方程： + =4． 【考点】实数的运算；解分式方程． 【分析】（1）本题涉及二次根式化简、零指数幂、负整数指数幂 3 个考点．在计算时，需要 针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． （2）观察可得方程最简公分母为（x﹣1），将方程去分母转化为整式方程即可求解． 【解答】解：（1） ﹣（2﹣ ）0+（ ）﹣2 = ﹣1+4 = +3； （2）方程两边同乘（x﹣1）， 得：x﹣2=4（x﹣1）， 整理得：﹣3x=﹣2， 解得：x= ， 经检验 x= 是原方程的解， 故原方程的解为 x= ． 18．为了解七年级学生上学期参加社会实践活动的情况，随机抽查 A 市七年级部分学生参 加社会实践活动天数，并根据抽查结果制作了如下不完整的频数分布表和条形统计图． A 市七年级部分学生参加社会实践活动天数的频数分布表 天数 频数 频率 3 20 0.10 4 30 0.15 5 60 0.30 6 a 0.25 7 40 0.20 A 市七年级部分学生参加社会实践活动天数的条形统计图 根据以上信息，解答下列问题； （1）求出频数分布表中 a 的值，并补全条形统计图． （2）A 市有七年级学生 20000 人，请你估计该市七年级学生参加社会实践活动不少于 5 天 的人数． 【考点】条形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表． 【分析】（1）利用表格中数据求出总人数，进而利用其频率求出频数即可，再补全条形图； （2）利用样本中不少于 5 天的人数所占频率，进而估计该市七年级学生参加社会实践活动 不少于 5 天的人数． 【解答】解：（1）由题意可得：a=20÷01×0.25=50（人），如图所示： ； （2）由题意可得：20000×（0.30+0.25+0.20） =15000（人）， 答：该市七年级学生参加社会实践活动不少于 5 天的人数约为 15000 人． 19．根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水，清洗．某游泳池周五早上 8：00 打开排 水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水 在 11：30 全部排完．游泳池内的水量 Q（m2）和开始排水后的时间 t（h）之间的函数图象 如图所示，根据图象解答下列问题： （1）暂停排水需要多少时间？排水孔排水速度是多少？ （2）当 2≤t≤3.5 时，求 Q 关于 t 的函数表达式． 【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）暂停排水时，游泳池内的水量 Q 保持不变，图象为平行于横轴的一条线段， 由此得出暂停排水需要的时间；由图象可知，该游泳池 3 个小时排水 900（m3），根据速度 公式求出排水速度即可； （2）当 2≤t≤3.5 时，设 Q 关于 t 的函数表达式为 Q=kt+b，易知图象过点（3.5，0），再求出 （2，450）在直线 y=kt+b 上，然后利用待定系数法求出表达式即可． 【解答】解：（1）暂停排水需要的时间为：2﹣1.5=0.5（小时）． ∵排水数据为：3.5﹣0.5=3（小时），一共排水 900m3， ∴排水孔排水速度是：900÷3=300m3/h； （2）当 2≤t≤3.5 时，设 Q 关于 t 的函数表达式为 Q=kt+b，易知图象过点（3.5，0）． ∵t=1.5 时，排水 300×1.5=450，此时 Q=900﹣450=450， ∴（2，450）在直线 Q=kt+b 上； 把（2，450），（3.5，0）代入 Q=kt+b， 得 ，解得 ， ∴Q 关于 t 的函数表达式为 Q=﹣300t+1050． 20．如图 1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点 A 处，测得河的北岸边点 B 在其北偏东 45°方向，然后向西走 60m 到达 C 点，测得点 B 在 点 C 的北偏东 60°方向，如图 2． （1）求∠CBA 的度数． （2）求出这段河的宽（结果精确到 1m，备用数据 ≈1.41， ≈1.73）． 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题． 【分析】（1）根据三角形的外角的性质、结合题意计算即可； （2）作 BD⊥CA 交 CA 的延长线于 D，设 BD=xm，根据正切的定义用 x 表示出 CD、AD， 根据题意列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）由题意得，∠BAD=45°，∠BCA=30°， ∴∠CBA=∠BAD﹣∠BCA=15°； （2）作 BD⊥CA 交 CA 的延长线于 D， 设 BD=xm， ∵∠BCA=30°， ∴CD= = x， ∵∠BAD=45°， ∴AD=BD=x， 则 x﹣x=60， 解得 x= ≈82， 答：这段河的宽约为 82m． 21．课本中有一个例题： 有一个窗户形状如图 1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为 6m， 如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为 0.35m 时，透光面积最大值约为 1.05m2． 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图 2，材料总长仍为 6m，利用图 3，解答下列问题： （1）若 AB 为 1m，求此时窗户的透光面积？ （2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过 计算说明． 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可； （2）设 AB 为 xcm，利用二次函数的最值解答即可． 【解答】解：（1）由已知可得：AD= ， 则 S=1× m2， （2）设 AB=xm，则 AD=3﹣ m， ∵ ， ∴ ， 设窗户面积为 S，由已知得： ， 当 x= m 时，且 x= m 在 的范围内， ， ∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大． 22．如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形． （1）若固定三根木条 AB，BC，AD 不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木 条 CD=5cm，判断此时∠B 与∠D 是否相等，并说明理由． （2）若固定一根木条 AB 不动，AB=2cm，量得木条 CD=5cm，如果木条 AD，BC 的长度 不变，当点 D 移到 BA 的延长线上时，点 C 也在 BA 的延长线上；当点 C 移到 AB 的延长 线上时，点 A、C、D 能构成周长为 30cm 的三角形，求出木条 AD，BC 的长度． 【考点】全等三角形的应用；二元一次方程组的应用；三角形三边关系． 【分析】（1）相等．连接 AC，根据 SSS 证明两个三角形全等即可． （2）分两种情形①当点 C 在点 D 右侧时，②当点 C 在点 D 左侧时，分别列出方程组即可 解决问题，注意最后理由三角形三边关系定理，检验是否符合题意． 【解答】解：（1）相等． 理由：连接 AC， 在△ACD 和△ACB 中， ， ∴△ACD≌△ACB， ∴∠B=∠D． （2）设 AD=x，BC=y， 当点 C 在点 D 右侧时， ，解得 ， 当点 C 在点 D 左侧时， 解得 ， 此时 AC=17，CD=5，AD=8，5+8＜17， ∴不合题意， ∴AD=13cm，BC=10cm． 23．对于坐标平面内的点，现将该点向右平移 1 个单位，再向上平移 2 的单位，这种点的运 动称为点 A 的斜平移，如点 P（2，3）经 1 次斜平移后的点的坐标为（3，5），已知点 A 的 坐标为（1，0）． （1）分别写出点 A 经 1 次，2 次斜平移后得到的点的坐标． （2）如图，点 M 是直线 l 上的一点，点 A 惯有点 M 的对称点的点 B，点 B 关于直线 l 的 对称轴为点 C． ①若 A、B、C 三点不在同一条直线上，判断△ABC 是否是直角三角形？请说明理由． ②若点 B 由点 A 经 n 次斜平移后得到，且点 C 的坐标为（7，6），求出点 B 的坐标及 n 的 值． 【考点】几何变换综合题． 【分析】（1）根据平移的性质得出点 A 平移的坐标即可； （2）①连接 CM，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定解答即可； ②延长 BC 交 x 轴于点 E，过 C 点作 CF⊥AE 于点 F，根据待定系数法得出直线的解析式进 而解答即可． 【解答】解：（1）∵点 P（2，3）经 1 次斜平移后的点的坐标为（3，5），点 A 的坐标为（1， 0）， ∴点 A 经 1 次平移后得到的点的坐标为（2，2），点 A 经 2 次平移后得到的点的坐标（3，4）； （2）①连接 CM，如图 1： 由中心对称可知，AM=BM， 由轴对称可知：BM=CM， ∴AM=CM=BM， ∴∠MAC=∠ACM，∠MBC=∠MCB， ∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB=180°， ∴∠ACM+∠MCB=90°， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC 是直角三角形； ②延长 BC 交 x 轴于点 E，过 C 点作 CF⊥AE 于点 F，如图 2： ∵A（1，0），C（7，6）， ∴AF=CF=6， ∴△ACF 是等腰直角三角形， 由①得∠ACE=90°， ∴∠AEC=45°， ∴E 点坐标为（13，0）， 设直线 BE 的解析式为 y=kx+b， ∵C，E 点在直线上， 可得： ， 解得： ， ∴y=﹣x+13， ∵点 B 由点 A 经 n 次斜平移得到， ∴点 B（n+1，2n），由 2n=﹣n﹣1+13， 解得：n=4， ∴B（5，8）． 24．如图，在矩形 ABCD 中，点 O 为坐标原点，点 B 的坐标为（4，3），点 A、C 在坐标 轴上，点 P 在 BC 边上，直线 l1：y=2x+3，直线 l2：y=2x﹣3． （1）分别求直线 l1 与 x 轴，直线 l2 与 AB 的交点坐标； （2）已知点 M 在第一象限，且是直线 l2 上的点，若△APM 是等腰直角三角形，求点 M 的 坐标； （3）我们把直线 l1 和直线 l2 上的点所组成的图形为图形 F．已知矩形 ANPQ 的顶点 N 在图 形 F 上，Q 是坐标平面内的点，且 N 点的横坐标为 x，请直接写出 x 的取值范围（不用说明 理由）． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求直线 l1 与 x 轴，直线 l2 与 AB 的交点坐标； （2）分三种情况：①若点 A 为直角顶点时，点 M 在第一象限；若点 P 为直角顶点时，点 M 在第一象限；③若点 M 为直角顶点时，点 M 在第一象限；进行讨论可求点 M 的坐标； （3）根据矩形的性质可求 N 点的横坐标 x 的取值范围． 【解答】解：（1）直线 l1：当 y=0 时，2x+3=0，x=﹣ 则直线 l1 与 x 轴坐标为（﹣ ，0） 直线 l2：当 y=3 时，2x﹣3=3，x=3 则直线 l2 与 AB 的交点坐标为（3，3）； （2）①若点 A 为直角顶点时，点 M 在第一象限，连结 AC， 如图 1，∠APB＞∠ACB＞45°， ∴△APM 不可能是等腰直角三角形， ∴点 M 不存在； ②若点 P 为直角顶点时，点 M 在第一象限，如图 2， 过点 M 作 MN⊥CB，交 CB 的延长线于点 N， 则 Rt△ABP≌Rt△PNM， ∴AB=PN=4，MN=BP， 设 M（x，2x﹣3），则 MN=x﹣4， ∴2x﹣3=4+3﹣（x﹣4）， x= ， ∴M（ ， ）； ③若点 M 为直角顶点时，点 M 在第一象限，如图 3， 设 M1（x，2x﹣3）， 过点 M1 作 M1G1⊥OA，交 BC 于点 H1， 则 Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1， ∴AG1=M1H1=3﹣（2x﹣3）， ∴x+3﹣（2x﹣3）=4， x=2 ∴M1（2，1）； 设 M2（x，2x﹣3）， 同理可得 x+2x﹣3﹣3=4， ∴x= ， ∴M2（ ， ）； 综上所述，点 M 的坐标为（ ， ），（2，1），（ ， ）； （3）x 的取值范围为﹣ ≤x＜0 或 0＜x≤ 或 ≤x≤ 或 ≤x≤2． 2016 年 7 月 12 日