2016年衢州市中考数学试题解析版

2016 年浙江省衢州市中考数学试卷 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．在 ，﹣1，﹣3，0 这四个实数中，最小的是（ ） A． B．﹣1 C．﹣3 D．0 2．据统计，2015 年“十•一”国庆长假期间，衢州市共接待国内外游客约 319 万人次，与 2014 年同比增长 16.43%，数据 319 万用科学记数法表示为（ ） A．3.19×105 B．3.19×106 C．0.319×107 D．319×106 3．如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是（ ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（ ） A．a3﹣a2=a B．a2•a3=a6 C．（3a）3=9a3 D．（a2）2=a4 5．如图，在▱ ABCD 中，M 是 BC 延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD 的度数是（ ） A．45° B．55° C．65° D．75° 6．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有 7 名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生 想要知道自己能否进入前 3 名，他不仅要了解自己的成绩，还要了解这 7 名学生成绩的（ ） A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数 7．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则该函数图象的对称轴是（ ） A．直线 x=﹣3 B．直线 x=﹣2 C．直线 x=﹣1 D．直线 x=0 8．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x﹣k=0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） A．k≥1 B．k＞1 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1 9．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，若∠A=30°， 则 sin∠E 的值为（ ） A． B． C． D． 10．如图，在△ABC 中，AC=BC=25，AB=30，D 是 AB 上的一点（不与 A、B 重合），DE⊥BC，垂足是 点 E，设 BD=x，四边形 ACED 的周长为 y，则下列图象能大致反映 y 与 x 之间的函数关系的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．当 x=6 时，分式 的值等于 ． 12．二次根式 中字母 x 的取值范围是 ． 13．某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示： 时间（小时） 5 6 7 8 人数 10 15 20 5 则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 小时． 14．已知直角坐标系内有四个点 O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以 O，A，B，C 为顶点 的四边形是平行四边形，则 x= ． 15．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长 50m），中间用两道墙隔开（如图）．已 知计划中的建筑材料可建墙的总长度为 48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 m2． 16．如图，正方形 ABCD 的顶点 A，B 在函数 y= （x＞0）的图象上，点 C，D 分别在 x 轴，y 轴的正半轴 上，当 k 的值改变时，正方形 ABCD 的大小也随之改变． （1）当 k=2 时，正方形 A′B′C′D′的边长等于 ． （2）当变化的正方形 ABCD 与（1）中的正方形 A′B′C′D′有重叠部分时，k 的取值范围是 ． 三、解答题（本题有 8 小题，第 17-19 小题每小题 6 分，第 20-21 小题每小题 6 分，第 22-23 小题每小题 6 分，第 24 小题 12 分，共 66 分，请务必写出解答过程） 17．计算：|﹣3|+ ﹣（﹣1）2+（﹣ ）0． 18．如图，已知 BD 是矩形 ABCD 的对角线． （1）用直尺和圆规作线段 BD 的垂直平分线，分别交 AD、BC 于 E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）． （2）连结 BE，DF，问四边形 BEDF 是什么四边形？请说明理由． 19．光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资 4 万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可 发电 30 度，其它天气平均每天可发电 5 度，已知某月（按 30 天计）共发电 550 度． （1）求这个月晴天的天数． （2）已知该家庭每月平均用电量为 150 度，若按每月发电 550 度计，至少需要几年才能收回成本（不计其 它费用，结果取整数）． 20．为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特 长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）， 请根据图中信息，解答下列问题： （1）求扇形统计图中 m 的值，并补全条形统计图； （2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？ （3）已知该校有 800 名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排 20 人，问学校开设多少个“实践活动类” 课程的班级比较合理？ 21．如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为点 P，直线 BF 与 AD 的延长线交于点 F，且∠AFB=∠ABC． （1）求证：直线 BF 是⊙O 的切线． （2）若 CD=2 ，OP=1，求线段 BF 的长． 22．已知二次函数 y=x2+x 的图象，如图所示 （1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程 x2+x=1 的根在图上近似地表示出来（描点），并观察图 象，写出方程 x2+x=1 的根（精确到 0.1）． （2）在同一直角坐标系中画出一次函数 y= x+ 的图象，观察图象写出自变量 x 取值在什么范围时，一次 函数的值小于二次函数的值． （3）如图，点 P 是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函 数图象的顶点落在 P 点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点 P 是否在函数 y= x+ 的图象 上，请说明理由． 23．如图 1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，问四边形 ABCD 是垂美四边形吗？请说 明理由． （2）性质探究：试探索垂美四边形 ABCD 两组对边 AB，CD 与 BC，AD 之间的数量关系． 猜想结论：（要求用文字语言叙述） 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）． （3）问题解决：如图 3，分别以 Rt△ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE， 连接 CE，BG，GE，已知 AC=4，AB=5，求 GE 长． 24．如图 1，在直角坐标系 xoy 中，直线 l：y=kx+b 交 x 轴，y 轴于点 E，F，点 B 的坐标是（2，2），过点 B 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为 A、C，点 D 是线段 CO 上的动点，以 BD 为对称轴，作与△BCD 或轴 对称的△BC′D． （1）当∠CBD=15°时，求点 C′的坐标． （2）当图 1 中的直线 l 经过点 A，且 k=﹣ 时（如图 2），求点 D 由 C 到 O 的运动过程中，线段 BC′扫过 的图形与△OAF 重叠部分的面积． （3）当图 1 中的直线 l 经过点 D，C′时（如图 3），以 DE 为对称轴，作于△DOE 或轴对称的△DO′E，连结 O′C，O′O，问是否存在点 D，使得△DO′E 与△CO′O 相似？若存在，求出 k、b 的值；若不存在，请说明理 由． 2016 年浙江省衢州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．在 ，﹣1，﹣3，0 这四个实数中，最小的是（ ） A． B．﹣1 C．﹣3 D．0 【考点】实数大小比较． 【分析】根据实数的大小比较法则（正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数，两个负数比较大小， 绝对值大的反而小）比较即可． 【解答】解：∵﹣3＜﹣1＜0＜ ， ∴最小的实数是﹣3， 故选 C． 2．据统计，2015 年“十•一”国庆长假期间，衢州市共接待国内外游客约 319 万人次，与 2014 年同比增长 16.43%，数据 319 万用科学记数法表示为（ ） A．3.19×105 B．3.19×106 C．0.319×107 D．319×106 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值是易错点，由于 319 万有 7 位，所以可以确定 n=7﹣1=6． 【解答】解：319 万=3 190 000=3.19×106． 故选 B． 3．如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【解答】解：从上面看，圆锥看见的是：圆和点，两个正方体看见的是两个正方形． 故答案为：C． 4．下列计算正确的是（ ） A．a3﹣a2=a B．a2•a3=a6 C．（3a）3=9a3 D．（a2）2=a4 【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法． 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方法则：把每一个因式分别乘 方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、a3，a2 不能合并，故 A 错误； B、a2•a3=a5，故 B 错误； C、（3a）3=27a3，故 C 错误； D、（a2）2=a4，故 D 正确． 故选：D． 5．如图，在▱ ABCD 中，M 是 BC 延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD 的度数是（ ） A．45° B．55° C．65° D．75° 【考点】平行四边形的性质． 【分析】根据平行四边形对角相等，求出∠BCD，再根据邻补角的定义求出∠MCD 即可． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠A=∠BCD=135°， ∴∠MCD=180°﹣∠DCB=180°﹣135°=45°． 故选 A． 6．在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有 7 名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生 想要知道自己能否进入前 3 名，他不仅要了解自己的成绩，还要了解这 7 名学生成绩的（ ） A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数 【考点】中位数． 【分析】由于其中一名学生想要知道自己能否进入前 3 名，共有 7 名选手参加，故应根据中位数的意义分 析． 【解答】解：因为 7 名学生参加决赛的成绩肯定是 7 名学生中最高的， 而且 7 个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后的共有 3 个数， 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入前 3 名． 故选：D． 7．二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 … 则该函数图象的对称轴是（ ） A．直线 x=﹣3 B．直线 x=﹣2 C．直线 x=﹣1 D．直线 x=0 【考点】二次函数的图象． 【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可． 【解答】解：∵x=﹣3 和﹣1 时的函数值都是﹣3 相等， ∴二次函数的对称轴为直线 x=﹣2． 故选：B． 8．已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x﹣k=0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） A．k≥1 B．k＞1 C．k≥﹣1 D．k＞﹣1 【考点】一元二次方程根的分布． 【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣2）2+4k＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x﹣k=0 有两个不相等的实数根， ∴△=（﹣2）2+4k＞0， 解得 k＞﹣1． 故选：D． 9．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，若∠A=30°， 则 sin∠E 的值为（ ） A． B． C． D． 【考点】切线的性质． 【分析】首先连接 OC，由 CE 是⊙O 切线，可证得 OC⊥CE，又由圆周角定理，求得∠BOC 的度数，继而 求得∠E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案． 【解答】解：连接 OC， ∵CE 是⊙O 切线， ∴OC⊥CE， ∵∠A=30°， ∴∠BOC=2∠A=60°， ∴∠E=90°﹣∠BOC=30°， ∴sin∠E=sin30°= ． 故选 A． 10．如图，在△ABC 中，AC=BC=25，AB=30，D 是 AB 上的一点（不与 A、B 重合），DE⊥BC，垂足是 点 E，设 BD=x，四边形 ACED 的周长为 y，则下列图象能大致反映 y 与 x 之间的函数关系的是（ ） A． B． C． D． 【考点】函数的图象． 【分析】由△DEB∽△CMB，得 = = ，求出 DE、EB，即可解决问题． 【解答】解：如图，作 CM⊥AB 于 M． ∵CA=CB，AB=20，CM⊥AB， ∴AM=BM=15，CM= =20 新_课_标第_一_网 ∵DE⊥BC， ∴∠DEB=∠CMB=90°， ∵∠B=∠B， ∴△DEB∽△CMB， ∴ = = ， ∴ = = ， ∴DE= ，EB= ， ∴四边形 ACED 的周长为 y=25+（25﹣ ）+ +30﹣x=﹣ x+80． ∵0＜x＜30， ∴图象是 D． 故选 D． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．当 x=6 时，分式 的值等于 ﹣1 ． 【考点】分式的值． 【分析】直接将 x 的值代入原式求出答案． 【解答】解：当 x=6 时， = =﹣1． 故答案为：﹣1． 12．二次根式 中字母 x 的取值范围是 x≥3 ． 【考点】二次根式有意义的条件． 【分析】由二次根式有意义的条件得出不等式，解不等式即可． 【解答】解：当 x﹣3≥0 时，二次根式 有意义， 则 x≥3； 故答案为：x≥3． 13．某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示： 时间（小时） 5 6 7 8 人数 10 15 20 5 则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 6.4 小时． 【考点】加权平均数． 【分析】根据平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数进行计算． 【解答】解： =6.4． 故答案为：6.4． 14．已知直角坐标系内有四个点 O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以 O，A，B，C 为顶点 的四边形是平行四边形，则 x= 4 或﹣2 ． 【考点】平行四边形的判定；坐标与图形性质． 【分析】分别在平面直角坐标系中确定出 A、B、O 的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边 形可确定 C 的位置，从而求出 x 的值． 【解答】解：根据题意画图如下： 以 O，A，B，C 为顶点的四边形是平行四边形，则 C（4，1）或（﹣2，1）， 则 x=4 或﹣2； 故答案为：4 或﹣2． 15．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长 50m），中间用两道墙隔开（如图）．已 知计划中的建筑材料可建墙的总长度为 48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 432 m2． 【考点】一元一次不等式的应用． 【分析】要求这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值，可设总占地面积为 S，中间墙长为 x，根据 题目所给出的条件列出 S 与 x 的关系式，再根据函数的性质求出 S 的最大值． 【解答】解：如图，设设总占地面积为 S（m2），CD 的长度为 x（m）， 由题意知：AB=CD=EF=GH=x， ∴BH=48﹣4x， ∵0＜BH≤50，CD＞0， ∴0＜x＜12， ∴S=AB•BH=x（48﹣x）=﹣（x﹣24）2+576 ∴x＜24 时，S 随 x 的增大而增大， ∴x=12 时，S 可取得最大值，最大值为 S=432 16．如图，正方形 ABCD 的顶点 A，B 在函数 y= （x＞0）的图象上，点 C，D 分别在 x 轴，y 轴的正半轴 上，当 k 的值改变时，正方形 ABCD 的大小也随之改变． （1）当 k=2 时，正方形 A′B′C′D′的边长等于 ． （2）当变化的正方形 ABCD 与（1）中的正方形 A′B′C′D′有重叠部分时，k 的取值范围是 ≤x≤18 ． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质；正方形的性质． 【分析】（1）过点 A′作 AE⊥y 轴于点 E，过点 B′⊥x 轴于点 F，由正方形的性质可得出“A′D′=D′C′， ∠A′D′C′=90°”，通过证△A′ED′≌△D′OC′可得出“OD′=EA′，OC′=ED′”，设 OD′=a，OC′=b，由此可表示出 点 A′的坐标，同理可表示出 B′的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于 a、b 的二元二次 方程组，解方程组即可得出 a、b 值，再由勾股定理即可得出结论； （2）由（1）可知点 A′、B′、C′、D′的坐标，利用待定系数法即可求出直线 A′B′、C′D′的解析式，设点 A 的坐标为（m，2m），点 D 坐标为（0，n），找出两正方形有重叠部分的临界点，由点在直线上，即可求出 m、n 的值，从而得出点 A 的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征即可得出 k 的取值范围． 【解答】解：（1）如图，过点 A′作 AE⊥y 轴于点 E，过点 B′⊥x 轴于点 F，则∠A′ED′=90°． ∵四边形 A′B′C′D′为正方形， ∴A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°， ∴∠OD′C′+∠ED′A′=90°． ∵∠OD′C′+∠OC′D′=90°， ∴∠ED′A′=∠OC′D′． 在△A′ED′和△D′OC′中， ， ∴△A′ED′≌△D′OC′（AAS）． ∴OD′=EA′，OC′=ED′． 同理△B′FC′≌△C′OD′． 设 OD′=a，OC′=b，则 EA′=FC′=OD′=a，ED′=FB′=OC′=b， 即点 A′（a，a+b），点 B′（a+b，b）． ∵点 A′、B′在反比例函数 y= 的图象上， ∴ ，解得： 或 （舍去）． 在 Rt△C′OD′中，∠C′OD′=90°，OD′=OC′=1， ∴C′D′= = ． 故答案为： ． （2）设直线 A′B′解析式为 y=k1x+b1，直线 C′D′解析式为 y=k2+b2， ∵点 A′（1，2），点 B′（2，1），点 C′（1，0），点 D′（0，1）， ∴有 和 ， 解得： 和 ． ∴直线 A′B′解析式为 y=﹣x+3，直线 C′D′解析式为 y=﹣x+1． 设点 A 的坐标为（m，2m），点 D 坐标为（0，n）． 当 A 点在直线 C′D′上时，有 2m=﹣m+1，解得：m= ， 此时点 A 的坐标为（ ， ）， ∴k= × = ； 当点 D 在直线 A′B′上时，有 n=3， 此时点 A 的坐标为（3，6）， ∴k=3×6=18． 综上可知：当变化的正方形 ABCD 与（1）中的正方形 A′B′C′D′有重叠部分时，k 的取值范围为 ≤x≤18． 故答案为： ≤x≤18． 三、解答题（本题有 8 小题，第 17-19 小题每小题 6 分，第 20-21 小题每小题 6 分，第 22-23 小题每小题 6 分，第 24 小题 12 分，共 66 分，请务必写出解答过程） 17．计算：|﹣3|+ ﹣（﹣1）2+（﹣ ）0． 【考点】实数的运算；零指数幂． 【分析】根据绝对值和算术平方根、乘方以及零指数幂的定义进行计算，即可得出结果． 【解答】解：|﹣3|+ ﹣（﹣1）2+（﹣ ）0 =3+3﹣1+1 =6． 18．如图，已知 BD 是矩形 ABCD 的对角线． （1）用直尺和圆规作线段 BD 的垂直平分线，分别交 AD、BC 于 E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）． （2）连结 BE，DF，问四边形 BEDF 是什么四边形？请说明理由． 【考点】矩形的性质；作图—基本作图． 【分析】（1）分别以 B、D 为圆心，比 BD 的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可； （2）连接 BE，DF，四边形 BEDF 为菱形，理由为：由 EF 垂直平分 BD，得到 BE=DE，∠DEF=∠BEF， 再由 AD 与 BC 平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到 BE=BF，再由 BF=DF，等量代换 得到四条边相等，即可得证． 【解答】解：（1）如图所示，EF 为所求直线； （2）四边形 BEDF 为菱形，理由为： 证明：∵EF 垂直平分 BD， ∴BE=DE，∠DEF=∠BEF， ∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠BFE， ∴∠BEF=∠BFE， ∴BE=BF， ∵BF=DF， ∴BE=ED=DF=BF， ∴四边形 BEDF 为菱形． 19．光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资 4 万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可 发电 30 度，其它天气平均每天可发电 5 度，已知某月（按 30 天计）共发电 550 度． （1）求这个月晴天的天数． （2）已知该家庭每月平均用电量为 150 度，若按每月发电 550 度计，至少需要几年才能收回成本（不计其 它费用，结果取整数）． 【考点】一元一次不等式的应用． 【分析】（1）设这个月有 x 天晴天，根据总电量 550 度列出方程即可解决问题． （2）需要 y 年才可以收回成本，根据电费≥40000，列出不等式即可解决问题． 【解答】解：（1）设这个月有 x 天晴天，由题意得 30x+5（30﹣x）=550， 解得 x=16， 故这个月有 16 个晴天． （2）需要 y 年才可以收回成本，由题意得 •（0.52+0.45）•12y≥40000， 解得 y≥8.6， ∵y 是整数， ∴至少需要 9 年才能收回成本． 20．为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特 长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）， 请根据图中信息，解答下列问题： （1）求扇形统计图中 m 的值，并补全条形统计图； （2）在被调查的学生中，随机抽一人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？ （3）已知该校有 800 名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排 20 人，问学校开设多少个“实践活动类” 课程的班级比较合理？ 【考点】条形统计图；扇形统计图；概率公式． 【分析】（1）根据 C 类人数有 15 人，占总人数的 25%可得出总人数，求出 A 类人数，进而可得出结论； （2）直接根据概率公式可得出结论； （3）求出“实践活动类”的总人数，进而可得出结论． 【解答】解：（1）总人数=15÷25%=60（人）． A 类人数=60﹣24﹣15﹣9=12（人）． ∵12÷60=0.2=20%， ∴m=20． 条形统计图如图； （2）抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率= = ； （3）∵800×25%=200，200÷20=10， ∴开设 10个“实验活动类”课程的班级数比较合理． 21．如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为点 P，直线 BF 与 AD 的延长线交于点 F，且∠AFB=∠ABC． （1）求证：直线 BF 是⊙O 的切线． （2）若 CD=2 ，OP=1，求线段 BF 的长． 【考点】切线的判定． 【分析】（1）欲证明直线 BF 是⊙O 的切线，只要证明 AB⊥BF 即可． （2）连接 OD，在 RT△ODE 中，利用勾股定理求出由△APD∽△ABF， = ，由此即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵∠AFB=∠ABC，∠ABC=∠ADC， ∴∠AFB=∠ADC， ∴CD∥BF， ∴∠AFD=∠ABF， ∵CD⊥AB， ∴AB⊥BF， ∴直线 BF 是⊙O 的切线． （2）解：连接 OD， ∵CD⊥AB， ∴PD= CD= ， ∵OP=1， ∴OD=2， ∵∠PAD=∠BAF，∠APO=∠ABF， ∴△APD∽△ABF， ∴ = ， ∴ = ， ∴BF= ． 22．已知二次函数 y=x2+x 的图象，如图所示 （1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程 x2+x=1 的根在图上近似地表示出来（描点），并观察图 象，写出方程 x2+x=1 的根（精确到0.1）． （2）在同一直角坐标系中画出一次函数 y= x+ 的图象，观察图象写出自变量 x 取值在什么范围时，一次 函数的值小于二次函数的值． （3）如图，点 P 是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函 数图象的顶点落在 P 点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点 P 是否在函数 y= x+ 的图象 上，请说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）令 y=0 求得抛物线与 x 的交点坐标，从而可确定出 1 个单位长度等于小正方形边长的 4 倍， 接下来作直线 y=1，找出直线 y=1 与抛物线的交点，直线与抛物线的交点的横坐标即可方程的解； （2）先求得直线上任意两点的坐标，然后画出过这两点的直线即可得到直线 y= x+ 的函数图象，然后找 出一次函数图象位于直线下方部分 x 的取值范围即可； （3）先依据抛物线的顶点坐标和点 P 的坐标，确定出抛物线移动的方向和距离，然后依据抛物线的顶点式 写出抛物线的解析式即可，将点 P 的坐标代入函数解析式，如果点 P 的坐标符合函数解析式，则点 P 在直 线上，否则点 P 不在直线上． 【解答】解：（1）∵令 y=0 得：x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1， ∴抛物线与 x 轴的交点坐标为（0，0），（﹣1，0）． 作直线 y=1，交抛物线与 A、B 两点，分别过 A、B 两点，作 AC⊥x 轴，垂足为 C，BD⊥x 轴，垂足为 D， 点 C 和点 D 的横坐标即为方程的根． 根据图形可知方程的解为 x1≈﹣1.6，x2≈0.6． （2）∵将 x=0 代入 y= x+ 得 y= ，将 x=1 代入得：y=2， ∴直线 y= x+ 经过点（0， ），（1，2）． 直线 y= x+ 的图象如图所示： 由函数图象可知：当 x＜﹣1.5 或 x＞1 时，一次函数的值小于二次函数的值． （3）先向上平移 个单位，再向左平移 个单位，平移后的顶点坐标为 P（﹣1，1）． 平移后的表达式为 y=（x+1）2+1，即 y=x2+2x+2． 点 P 在 y= x+ 的函数图象上． 理由：∵把 x=﹣1 代入得 y=1， ∴点 P 的坐标符合直线的解析式． ∴点 P 在直线 y= x+ 的函数图象上． 23．如图 1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，问四边形 ABCD 是垂美四边形吗？请说 明理由． （2）性质探究：试探索垂美四边形 ABCD 两组对边 AB，CD 与 BC，AD 之间的数量关系． 猜想结论：（要求用文字语言叙述） 垂美四边形两组对边的平方和相等 写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）． （3）问题解决：如图 3，分别以 Rt△ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正方形 ABDE， 连接 CE，BG，GE，已知 AC=4，AB=5，求 GE 长． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算． 【解答】解：（1）四边形 ABCD 是垂美四边形． 证明：∵AB=AD， ∴点 A 在线段 BD 的垂直平分线上， ∵CB=CD， ∴点 C 在线段 BD 的垂直平分线上， ∴直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形 ABCD 是垂美四边形； （2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等． 如图 2，已知四边形 ABCD 中，AC⊥BD，垂足为 E， 求证：AD2+BC2=AB2+CD2 证明：∵AC⊥BD， ∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2； （3）连接 CG、BE， ∵∠CAG=∠BAE=90°， ∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE， 在△GAB 和△CAE 中， ， ∴△GAB≌△CAE， ∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°， ∴∠ABG+∠AME=90°，即 CE⊥BG， ∴四边形 CGEB 是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2， ∵AC=4，AB=5， ∴BC=3，CG=4 ，BE=5 ， ∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73， ∴GE= ． 24．如图 1，在直角坐标系 xoy 中，直线 l：y=kx+b 交 x 轴，y 轴于点 E，F，点 B 的坐标是（2，2），过点 B 分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足为 A、C，点 D 是线段 CO 上的动点，以 BD 为对称轴，作与△BCD 或轴 对称的△BC′D． （1）当∠CBD=15°时，求点 C′的坐标． （2）当图 1 中的直线 l 经过点 A，且 k=﹣ 时（如图 2），求点 D 由 C 到 O 的运动过程中，线段 BC′扫过 的图形与△OAF 重叠部分的面积． （3）当图 1 中的直线 l 经过点 D，C′时（如图 3），以 DE 为对称轴，作于△DOE 或轴对称的△DO′E，连结 O′C，O′O，问是否存在点 D，使得△DO′E 与△CO′O 相似？若存在，求出 k、b 的值；若不存在，请说明理 由． 【考点】相似形综合题． 【分析】（1）利用翻折变换的性质得出∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，进而得出 CH 的长，进而得出答 案； （2）首先求出直线 AF 的解析式，进而得出当 D 与 O 重合时，点 C′与 A 重合，且 BC′扫过的图形与△OAF 重合部分是弓形，求出即可； （3）根据题意得出△DO′E 与△COO′相似，则△COO′必是 Rt△，进而得出 Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL）， 再利用勾股定理求出 EO 的长进而得出答案． 【解答】解：（1）∵△CBD≌△C′BD， ∴∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2， ∴∠CBC′=30°， 如图 1，作 C′H⊥BC 于 H，则 C′H=1，HB= ， ∴CH=2﹣ ， ∴点 C′的坐标为：（2﹣ ，1）； （2）如图 2，∵A（2，0），k=﹣ ， ∴代入直线 AF 的解析式为：y=﹣ x+b， ∴b= ， 则直线 AF 的解析式为：y=﹣ x+ ， ∴∠OAF=30°，∠BAF=60°， ∵在点 D 由 C 到 O 的运动过程中，BC′扫过的图形是扇形， ∴当 D 与 O 重合时，点 C′与 A 重合， 且 BC′扫过的图形与△OAF 重合部分是弓形， 当 C′在直线 y=﹣ x+ 上时，BC′=BC=AB， ∴△ABC′是等边三角形，这时∠ABC′=60°， ∴重叠部分的面积是： ﹣ ×22= π﹣ ； （3）如图 3，设 OO′与 DE 交于点 M，则 O′M=OM，OO′⊥DE， 若△DO′E 与△COO′相似，则△COO′必是 Rt△， 在点 D 由 C 到 O 的运动过程中，△COO′中显然只能∠CO′O=90°， ∴CO′∥DE， ∴CD=OD=1， ∴b=1， 连接 BE，由轴对称性可知 C′D=CD，BC′=BC=BA， ∠BC′E=∠BCD=∠BAE=90°， 在 Rt△BAE 和 Rt△BC′E 中 ∵ ， ∴Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL）， ∴AE=C′E， ∴DE=DC′+C′E=DC+AE， 设 OE=x，则 AE=2﹣x， ∴DE=DC+AE=3﹣x， 由勾股定理得：x2+1=（3﹣x）2， 解得：x= ， ∵D（0，1），E（ ，0）， ∴ k+1=0， 解得：k=﹣ ， ∴存在点 D，使△DO′E 与△COO′相似，这时 k=﹣ ，b=1． 2016 年 6 月 23 日