2016年丽水市中考数学试题解析版

2016 年浙江省丽水市中考数学试卷 一、选择题：每小题 3 分，共 30 分 1．下列四个数中，与﹣2 的和为 0 的数是（ ） A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣ 2．计算 32×3﹣1 的结果是（ ） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 3．下列图形中，属于立体图形的是（ ） A． B． C． D． 4． + 的运算结果正确的是（ ） A． B． C． D．a+b 5．某校对全体学生开展心理健康知识测试，七、八、九三个年级共有 800 名学生，各年级 的合格人数如表所示，则下列说法正确的是（ ） 年级 七年级 八年级 九年级 合格人数 270 262 254 A．七年级的合格率最高 B．八年级的学生人数为 262 名 C．八年级的合格率高于全校的合格率 D．九年级的合格人数最少 6．下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0 7．如图，▱ ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，已知 AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC 的周长为（ ） A．13 B．17 C．20 D．26 8．在直角坐标系中，点 M，N 在同一个正比例函数图象上的是（ ） A．M（2，﹣3），N（﹣4，6） B．M（﹣2，3），N（4，6） C．M（﹣2，﹣3），N（4， ﹣6） D．M（2，3），N（﹣4，6） 9．用直尺和圆规作 Rt△ABC 斜边 AB 上的高线 CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，已知⊙O 是等腰 Rt△ABC 的外接圆，点 D 是 上一点，BD 交 AC 于点 E，若 BC=4，AD= ，则 AE 的长是（ ） A．3 B．2 C．1 D．1.2 二、填空题：每小题 4 分，共 24 分 11．分解因式：am﹣3a= ． 12．如图，在△ABC 中，∠A=63°，直线 MN∥BC，且分别与 AB，AC 相交于点 D，E，若 ∠AEN=133°，则∠B 的度数为 ． 13．箱子里放有 2 个黑球和 2 个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出两个 球，恰好为 1 个黑球和 1 个红球的概率是 ． 14．已知 x2+2x﹣1=0，则 3x2+6x﹣2= ． 15．如图，在菱形 ABCD 中，过点 B 作 BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点 E，F，延长 BD 至 G，使得 DG=BD，连结 EG，FG，若 AE=DE，则 = ． 16．如图，一次函数 y=﹣x+b 与反比例函数 y= （x＞0）的图象交于 A，B 两点，与 x 轴、 y 轴分别交于 C，D 两点，连结 OA，OB，过 A 作 AE⊥x 轴于点 E，交 OB 于点 F，设点 A 的横坐标为 m． （1）b= （用含 m 的代数式表示）； （2）若 S△OAF+S 四边形 EFBC=4，则 m 的值是 ． 三、解答题 17．计算：（﹣3）0﹣|﹣ |+ ． 18．解不等式：3x﹣5＜2（2+3x） 19．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含 45°的三角板的 斜边与含 30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角 板直角顶点重合拼放在一起，点 B，C，E 在同一直线上，若 BC=2，求 AF 的长． 请你运用所学的数学知识解决这个问题． 20．为了帮助九年级学生做好体育考试项目的选考工作，某校统计了本县上届九年级毕业生 体育考试各个项目参加的男、女生人数及平均成绩，并绘制成如图两个统计图，请结合统计 图信息解决问题． （1）“掷实心球”项目男、女生总人数是“跳绳”项目男、女生总人数的 2 倍，求“跳绳”项目的 女生人数； （2）若一个考试项目的男、女生总平均成绩不小于 9 分为“优秀”，试判断该县上届毕业生 的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目，并说明理由； （3）请结合统计图信息和实际情况，给该校九年级学生体育考试项目的选择提出合理化建 议． 21．2016 年 3 月 27 日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出 发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回中点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程 S（千 米）与跑步时间 t（分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是 0.3 千米/分，用时 35 分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求图中 a 的值； （2）组委会在距离起点 2.1 千米处设立一个拍摄点 C，该运动员从第一次经过 C 点到第二 次经过 C 点所用的时间为 68 分钟． ①求 AB 所在直线的函数解析式； ②该运动员跑完赛程用时多少分钟？ 22．如图，AB 是以 BC 为直径的半圆 O 的切线，D 为半圆上一点，AD=AB，AD，BC 的 延长线相交于点 E． （1）求证：AD 是半圆 O 的切线； （2）连结 CD，求证：∠A=2∠CDE； （3）若∠CDE=27°，OB=2，求 的长． 23．如图 1，地面 BD 上两根等长立柱 AB，CD 之间悬挂一根近似成抛物线 y= x2﹣ x+3 的绳子． （1）求绳子最低点离地面的距离； （2）因实际需要，在离 AB 为 3 米的位置处用一根立柱 MN 撑起绳子（如图 2），使左边抛 物线 F1 的最低点距 MN 为 1 米，离地面 1.8 米，求 MN 的长； （3）将立柱 MN 的长度提升为 3 米，通过调整 MN 的位置，使抛物线 F2 对应函数的二次 项系数始终为 ，设 MN 离 AB 的距离为 m，抛物线 F2 的顶点离地面距离为 k，当 2≤k≤2.5 时，求 m 的取值范围． 24．如图，矩形 ABCD 中，点 E 为 BC 上一点，F 为 DE 的中点，且∠BFC=90°． （1）当 E 为 BC 中点时，求证：△BCF≌△DEC； （2）当 BE=2EC 时，求 的值； （3）设 CE=1，BE=n，作点 C 关于 DE 的对称点 C′，连结 FC′，AF，若点 C′到 AF 的距离 是 ，求 n 的值． 2016 年浙江省丽水市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：每小题 3 分，共 30 分 1．下列四个数中，与﹣2 的和为 0 的数是（ ） A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣ 【考点】相反数． 【分析】找出﹣2 的相反数即为所求． 【解答】解：下列四个数中，与﹣2 的和为 0 的数是 2， 故选 B 2．计算 32×3﹣1 的结果是（ ） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【考点】负整数指数幂． 【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案． 【解答】解：32×3﹣1=32﹣1=3． 故选：A． 3．下列图形中，属于立体图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】认识立体图形． 【分析】根据平面图形所表示的各个部分都在同一平面内，立体图形是各部分不在同一平面 内的几何，由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形，可得答案． 【解答】解：A、角是平面图形，故 A 错误； B、圆是平面图形，故 B 错误； C、圆锥是立体图形，故 C 正确； D、三角形是平面图形，故 D 错误． 故选：C． 4． + 的运算结果正确的是（ ） A． B． C． D．a+b 【考点】分式的加减法． 【分析】首先通分，把 、 都化成以 ab 为分母的分式，然后根据同分母分式加减法法则， 求出 + 的运算结果正确的是哪个即可． 【解答】解： + = + = 故 + 的运算结果正确的是 ． 故选：C． 5．某校对全体学生开展心理健康知识测试，七、八、九三个年级共有 800 名学生，各年级 的合格人数如表所示，则下列说法正确的是（ ） 年级 七年级 八年级 九年级 合格人数 270 262 254 A．七年级的合格率最高 B．八年级的学生人数为 262 名 C．八年级的合格率高于全校的合格率 D．九年级的合格人数最少 【考点】统计表． 【分析】分析统计表，可得出各年级合格的人数，然后结合选项进行回答即可． 【解答】解：∵七、八、九年级的人数不确定， ∴无法求得七、八、九年级的合格率． ∴A 错误、C 错误． 由统计表可知八年级合格人数是 262 人，故 B 错误． ∵270＞262＞254， ∴九年级合格人数最少． 故 D 正确． 故选；D． 6．下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0 【考点】根的判别式． 【分析】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断． 【解答】解：A、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误； B、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确； C、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误； D、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误； 故选：B． 7．如图，▱ ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，已知 AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC 的周长为（ ） A．13 B．17 C．20 D．26 【考点】平行四边形的性质． 【分析】由平行四边形的性质得出 OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，即可求出△OBC 的 周长． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8， ∴△OBC 的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17． 故选：B． 8．在直角坐标系中，点 M，N 在同一个正比例函数图象上的是（ ） A．M（2，﹣3），N（﹣4，6） B．M（﹣2，3），N（4，6） C．M（﹣2，﹣3），N（4， ﹣6） D．M（2，3），N（﹣4，6） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】设正比例函数的解析式为 y=kx，根据 4 个选项中得点 M 的坐标求出 k 的值，再代 入 N 点的坐标去验证点 N 是否在正比例函数图象上，由此即可得出结论． 【解答】解：设正比例函数的解析式为 y=kx， A、﹣3=2k，解得：k=﹣ ， ﹣4×（﹣ ）=6，6=6， ∴点 N 在正比例函数 y=﹣ x 的图象上； B、3=﹣2k，解得：k=﹣ ， 4×（﹣ ）=﹣6，﹣6≠6， ∴点 N 不在正比例函数 y=﹣ x 的图象上； C、﹣3=﹣2k，解得：k= ， 4× =6，6≠﹣6， ∴点 N 不在正比例函数 y= x 的图象上； D、3=2k，解得：k= ， ﹣4× =﹣6，﹣6≠6， ∴点 N 不在正比例函数 y= x 的图象上． 故选 A． 9．用直尺和圆规作 Rt△ABC 斜边 AB 上的高线 CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ） A． B． C． D． 【考点】作图—复杂作图． 【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解． 【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高线，不符 合题意； B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高线，不符合 题意； C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高线，不符合题意； D、无法证明 CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高线，符合题意． 故选：D． 10．如图，已知⊙O 是等腰 Rt△ABC 的外接圆，点 D 是 上一点，BD 交 AC 于点 E，若 BC=4，AD= ，则 AE 的长是（ ） A．3 B．2 C．1 D．1.2 【考点】三角形的外接圆与外心． 【分析】利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定 AB 为圆的直径，利用相似三角形的判定 及性质，确定△ADE 和△BCE 边长之间的关系，利用相似比求出线段 AE 的长度即可． 【解答】解：∵等腰 Rt△ABC，BC=4， ∴AB 为⊙O 的直径，AC=4，AB=4 ， ∴∠D=90°， 在 Rt△ABD 中，AD= ，AB=4 ， ∴BD= ， ∵∠D=∠C，∠DAC=∠CBE， ∴△ADE∽△BCE， ∵AD：BC= ：4=1：5， ∴相似比为 1：5， 设 AE=x， ∴BE=5x， ∴DE= ﹣5x， ∴CE=28﹣25x， ∵AC=4， ∴x+28﹣25x=4， 解得：x=1． 故选：C． 二、填空题：每小题 4 分，共 24 分 11．分解因式：am﹣3a= a（m﹣3） ． 【考点】因式分解-提公因式法． 【分析】根据提公因式法的一般步骤进行因式分解即可． 【解答】解：am﹣3a=a（m﹣3）． 故答案为：a（m﹣3）． 12．如图，在△ABC 中，∠A=63°，直线 MN∥BC，且分别与 AB，AC 相交于点 D，E，若 ∠AEN=133°，则∠B 的度数为 70° ． 【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质． 【分析】根据平行线的性质只要求出∠ADE，由∠AEN=∠A+∠ADE 计算即可． 【解答】解：∵∠AEN=∠A+∠ADE，∠AEN=133°，∠A=63°， ∴∠ADE=70°， ∵MN∥BC， ∴∠B=∠ADE=70°， 故答案为 70°． 13．箱子里放有 2 个黑球和 2 个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里随机摸出两个 球，恰好为 1 个黑球和 1 个红球的概率是 ． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】根据题意可以列出相应的树状图，从而可以得到恰好为 1 个黑球和 1 个红球的概率． 【解答】解：由题意可得， 故恰好为 1 个黑球和 1 个红球的概率是： ， 故答案为； ． 14．已知 x2+2x﹣1=0，则 3x2+6x﹣2= 1 ． 【考点】代数式求值． 【分析】直接利用已知得出 x2+2x=1，再代入原式求出答案． 【解答】解：∵x2+2x﹣1=0， ∴x2+2x=1， ∴3x2+6x﹣2=3（x2﹣2x）﹣2=3×1﹣2=1． 故答案为：1． 15．如图，在菱形 ABCD 中，过点 B 作 BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点 E，F，延长 BD 至 G，使得 DG=BD，连结 EG，FG，若 AE=DE，则 = ． 【考点】菱形的性质． 【分析】连接 AC、EF，根据菱形的对角线互相垂直平分可得 AC⊥BD，根据线段垂直平分 线上的点到线段两端点的距离相等可得 AB=BD，然后判断出△ABD 是等边三角形，再根据 等边三角形的三个角都是 60°求出∠ADB=60°，设 EF 与 BD 相交于点 H，AB=4x，然后根 据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出 EH，再求出 DH，从而得到 GH， 利用勾股定理列式求出 EG，最后求出比值即可． 【解答】解：如图，连接 AC、EF， 在菱形 ABCD 中，AC⊥BD， ∵BE⊥AD，AE=DE， ∴AB=BD， 又∵菱形的边 AB=AD， ∴△ABD 是等边三角形， ∴∠ADB=60°， 设 EF 与 BD 相交于点 H，AB=4x， ∵AE=DE， ∴由菱形的对称性，CF=DF， ∴EF 是△ACD 的中位线， ∴DH= DO= BD=x， 在 Rt△EDH 中，EH= DH= x， ∵DG=BD， ∴GH=BD+DH=4x+x=5x， 在 Rt△EGH 中，由勾股定理得，EG= = =2 x， 所以， = = ． 故答案为： ． 16．如图，一次函数 y=﹣x+b 与反比例函数 y= （x＞0）的图象交于 A，B 两点，与 x 轴、 y 轴分别交于 C，D 两点，连结 OA，OB，过 A 作 AE⊥x 轴于点 E，交 OB 于点 F，设点 A 的横坐标为 m． （1）b= m+ （用含 m 的代数式表示）； （2）若 S△OAF+S 四边形 EFBC=4，则 m 的值是 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）根据待定系数法点 A 的纵坐标相等列出等式即可解决问题． （2）作 AM⊥OD 于 M，BN⊥OC 于 N．记△AOF 面积为 S，则△OEF 面积为 2﹣S，四边 形 EFBN 面积为 4﹣S，△OBC 和△OAD 面积都是 6﹣2S，△ADM 面积为 4﹣2S=2（2﹣s）， 所以 S△ADM=2S△OEF，推出 EF= AM= NB，得 B（2m， ）代入直线解析式即可解决问题． 【解答】解：（1）∵点 A 在反比例函数 y= （x＞0）的图象上，且点 A 的横坐标为 m， ∴点 A 的纵坐标为 ，即点 A 的坐标为（m， ）． 令一次函数 y=﹣x+b 中 x=m，则 y=﹣m+b， ∴﹣m+b= 即 b=m+ ． 故答案为：m+ ． （2）作 AM⊥OD 于 M，BN⊥OC 于 N． ∵反比例函数 y= ，一次函数 y=﹣x+b 都是关于直线 y=x 对称， ∴AD=BC，OD=OC，DM=AM=BN=CN，记△AOF 面积为 S， 则△OEF 面积为 2﹣S，四边形 EFBN 面积为 4﹣S，△OBC 和△OAD 面积都是 6﹣2S，△ADM 面积为 4﹣2S=2（2﹣s）， ∴S△ADM=2S△OEF， ∴EF= AM= NB， ∴点 B 坐标（2m， ）代入直线 y=﹣x+m+ ， ∴ =﹣2m=m+ ，整理得到 m2=2， ∵m＞0， ∴m= ． 故答案为 ． 三、解答题 17．计算：（﹣3）0﹣|﹣ |+ ． 【考点】实数的运算；零指数幂． 【分析】原式利用零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及二次根式性质计算即可得到结果． 【解答】解：原式=1﹣ +2 =1+ ． 18．解不等式：3x﹣5＜2（2+3x） 【考点】解一元一次不等式． 【分析】先去括号，然后移项及合并同类项，系数化为 1，即可解答本题． 【解答】解：3x﹣5＜2（2+3x）， 去括号，得 3x﹣5＜4+6x， 移项及合并同类项，得﹣3x＜9， 系数化为 1，得 x＞﹣3． 故原不等式组的解集是：x＞﹣3． 19．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含 45°的三角板的 斜边与含 30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角 板直角顶点重合拼放在一起，点 B，C，E 在同一直线上，若 BC=2，求 AF 的长． 请你运用所学的数学知识解决这个问题． 【考点】特殊角的三角函数值． 【分析】根据正切的定义求出 AC，根据正弦的定义求出 CF，计算即可． 【解答】解：在 Rt△ABC 中，BC=2，∠A=30°， AC= =2 ， 则 EF=AC=2 ， ∵∠E=45°， ∴FC=EF•sinE= ， ∴AF=AC﹣FC=2 ﹣ ． 20．为了帮助九年级学生做好体育考试项目的选考工作，某校统计了本县上届九年级毕业生 体育考试各个项目参加的男、女生人数及平均成绩，并绘制成如图两个统计图，请结合统计 图信息解决问题． （1）“掷实心球”项目男、女生总人数是“跳绳”项目男、女生总人数的 2 倍，求“跳绳”项目的 女生人数； （2）若一个考试项目的男、女生总平均成绩不小于 9 分为“优秀”，试判断该县上届毕业生 的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目，并说明理由； （3）请结合统计图信息和实际情况，给该校九年级学生体育考试项目的选择提出合理化建 议． 【考点】条形统计图；频数（率）分布折线图． 【分析】（1）先根据统计图得到“掷实心球”项目男、女生总人数，除以 2 可求“跳绳”项目男、 女生总人数，再减去“跳绳”项目男生人数，即可得到“跳绳”项目的女生人数； （2）根据平均数公式得到该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目即可求解； （3）根据统计图提出合理化建议，合理即可． 【解答】解：（1）÷2﹣260 =1000÷2﹣260 =500﹣260 =240（人） 答：“跳绳”项目的女生人数是 240 人； （2）“掷实心球”项目平均分： ÷ =÷1000 =9000÷1000 =9（分）， 投篮项目平均分大于 9 分， 其余项目平均分小于 9 分． 故该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有投篮，掷实心球两个项目． （3）如：游泳项目考试的人数最多，可以选考游泳． 21．2016 年 3 月 27 日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出 发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回中点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程 S（千 米）与跑步时间 t（分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是 0.3 千米/分，用时 35 分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求图中 a 的值； （2）组委会在距离起点 2.1 千米处设立一个拍摄点 C，该运动员从第一次经过 C 点到第二 次经过 C 点所用的时间为 68 分钟． ①求 AB 所在直线的函数解析式； ②该运动员跑完赛程用时多少分钟？ 【考点】一次函数综合题． 【分析】（1）根据路程=速度×时间，即可解决问题． （2）①先求出 A、B 两点坐标即可解决问题． ②令 s=0，求出 x 的值即可解决问题． 【解答】解：（1）∵从起点到紫金大桥的平均速度是 0.3 千米/分，用时 35 分钟， ∴a=0.3×35=10.5 千米． （2）①∵线段 OA 经过点 O（0，0），A（35，10.5）， ∴直线 OA 解析式为 y=0.3t（0≤t≤35）， ∴当 s=2.1 时，0.3t=2.1，解得 t=7， ∵该运动员从第一次经过 C 点到第二次经过 C 点所用的时间为 68 分钟， ∴该运动员从起点点到第二次经过 C 点所用的时间是 7+68=75 分钟， ∴直线 AB 经过（35，10.5），（75，2.1）， 设直线 AB 解析式 s=kt+b， ∴ 解得 ， ∴直线 AB 解析式为 s=﹣0.21t+17.85． ②该运动员跑完赛程用的时间即为直线 AB 与 x 轴交点的横坐标， ∴当 s=0，时，﹣0.21t+17.85=0，解得 t=85 ∴该运动员跑完赛程用时 85 分钟． 22．如图，AB 是以 BC 为直径的半圆 O 的切线，D 为半圆上一点，AD=AB，AD，BC 的 延长线相交于点 E． （1）求证：AD 是半圆 O 的切线； （2）连结 CD，求证：∠A=2∠CDE； （3）若∠CDE=27°，OB=2，求 的长． 【考点】切线的判定与性质；弧长的计算． 【分析】（1）连接 OD，BD，根据圆周角定理得到∠ABO=90°，根据等腰三角形的性质得 到∠ABD=∠ADB，∠DBO=∠BDO，根据等式的性质得到∠ADO=∠ABO=90°，根据切线 的判定定理即可得到即可； （2）由 AD 是半圆 O 的切线得到∠ODE=90°，于是得到∠ODC+∠CDE=90°，根据圆周角 定理得到∠ODC+∠BDO=90°，等量代换得到∠DOC=2∠BDO，∠DOC=2∠CDE 即可得到 结论； （3）根据已知条件得到∠DOC=2∠CDE=54°，根据平角的定义得到∠BOD=180°﹣54°=126°， 然后由弧长的公式即可计算出结果． 【解答】（1）证明：连接 OD，BD， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AB⊥BC，即∠ABO=90°， ∵AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∵OB=OD， ∴∠DBO=∠BDO， ∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO， ∴∠ADO=∠ABO=90°， ∴AD 是半圆 O 的切线； （2）证明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°， ∴∠A=360°﹣∠ADO﹣∠ABO﹣∠BOD=180°﹣∠BOD， ∵AD 是半圆 O 的切线， ∴∠ODE=90°， ∴∠ODC+∠CDE=90°， ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠ODC+∠BDO=90°， ∴∠BDO=∠CDE， ∵∠BDO=∠OBD， ∴∠DOC=2∠BDO， ∴∠DOC=2∠CDE， ∴∠A=∠CDE； （3）解：∵∠CDE=27°， ∴∠DOC=2∠CDE=54°， ∴∠BOD=180°﹣54°=126°， ∵OB=2， ∴ 的长= = π． 23．如图 1，地面 BD 上两根等长立柱 AB，CD 之间悬挂一根近似成抛物线 y= x2﹣ x+3 的绳子． （1）求绳子最低点离地面的距离； （2）因实际需要，在离 AB 为 3 米的位置处用一根立柱 MN 撑起绳子（如图 2），使左边抛 物线 F1 的最低点距 MN 为 1 米，离地面 1.8 米，求 MN 的长； （3）将立柱 MN 的长度提升为 3 米，通过调整 MN 的位置，使抛物线 F2 对应函数的二次 项系数始终为 ，设 MN 离 AB 的距离为 m，抛物线 F2 的顶点离地面距离为 k，当 2≤k≤2.5 时，求 m 的取值范围． 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案； （2）利用顶点式求出抛物线 F1 的解析式，进而得出 x=3 时，y 的值，进而得出 MN 的长； （3）根据题意得出抛物线 F2 的解析式，得出 k 的值，进而得出 m 的取值范围． 【解答】解：（1）∵a= ＞0， ∴抛物线顶点为最低点， ∵y= x2﹣ x+3= （x﹣4）2+ ， ∴绳子最低点离地面的距离为： m； （2）由（1）可知，BD=8， 令 x=0 得 y=3， ∴A（0，3），C（8，3）， 由题意可得：抛物线 F1 的顶点坐标为：（2，1.8）， 设 F1 的解析式为：y=a（x﹣2）2+1.8， 将（0，3）代入得：4a+1.8=3， 解得：a=0.3， ∴抛物线 F1 为：y=0.3（x﹣2）2+1.8， 当 x=3 时，y=0.3×1+1.8=2.1， ∴MN 的长度为：2.1m； （3）∵MN=DC=3， ∴根据抛物线的对称性可知抛物线 F2 的顶点在 ND 的垂直平分线上， ∴抛物线 F2 的顶点坐标为：（ m+4，k）， ∴抛物线 F2 的解析式为：y= （x﹣ m﹣4）2+k， 把 C（8，3）代入得： （4﹣ m﹣4）2+k=3， 解得：k=﹣ （4﹣ m）2+3， ∴k=﹣ （m﹣8）2+3， ∴k 是关于 m 的二次函数， 又∵由已知 m＜8，在对称轴的左侧， ∴k 随 m 的增大而增大， ∴当 k=2 时，﹣ （m﹣8）2+3=2， 解得：m1=4，m2=12（不符合题意，舍去）， 当 k=2.5 时，﹣ （m﹣8）2+3=2.5， 解得：m18﹣2 4，m2=8+2 （不符合题意，舍去）， ∴m 的取值范围是：4≤m≤8﹣2 ． 24．如图，矩形 ABCD 中，点 E 为 BC 上一点，F 为 DE 的中点，且∠BFC=90°． （1）当 E 为 BC 中点时，求证：△BCF≌△DEC； （2）当 BE=2EC 时，求 的值； （3）设 CE=1，BE=n，作点 C 关于 DE 的对称点 C′，连结 FC′，AF，若点 C′到 AF 的距离 是 ，求 n 的值． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）由矩形和直角三角形斜边上的中线性质得出 CF= DE=EF，由等腰三角形的性 质得出∠FEC=∠FCE，证出 CF=CE，由 ASA 证明△BCF≌△DEC 即可； （2）设 CE=a，则 BE=2a，BC=3a，证明△BCF∽△DEC，得出对应边成比例 = ，得出 ED2=6a2，由勾股定理得出 DC= a，即可得出结果； （3）过 C′作 C′H⊥AF 于点 H，连接 CC′交 EF 于 M，由直角三角形斜边上的中线性质得出 ∠FEC=∠FCE，证出∠ADF=∠BCF，由 SAS 证明△ADF≌△BCF，得出∠AFD=∠BFC=90°， 证出四边形 C′MFH 是矩形，得出 FM=C′H= ，设 EM=x，则 FC=FE=x+ ，由勾股 定理得出方程，解方程求出 EM= ，FC=FE= + ；由（2）得： ，把 CE=1， BE=n 代入计算即可得出 n 的值． 【解答】（1）证明；∵在矩形 ABCD 中，∠DCE=90°，F 是斜边 DE 的中点， ∴CF= DE=EF， ∴∠FEC=∠FCE， ∵∠BFC=90°，E 为 BC 中点， ∴EF=EC， ∴CF=CE， 在△BCF 和△DEC 中， ， ∴△BCF≌△DEC（ASA）； （2）解：设 CE=a，由 BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a， ∵CF 是 Rt△DCE 斜边上的中线， ∴CF= DE， ∵∠FEC=∠FCE，∠BFC=∠DCE=90°， ∴△BCF∽△DEC， ∴ = ， 即： = ， 解得：ED2=6a2， 由勾股定理得：DC= = = a， ∴ = = ； （3）解：过 C′作 C′H⊥AF 于点 H，连接 CC′交 EF 于 M，如图所示： ∵CF 是 Rt△DCE 斜边上的中线， ∴FC=FE=FD， ∴∠FEC=∠FCE， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠ADF=∠CEF， ∴∠ADF=∠BCF， 在△ADF 和△BCF 中， ， ∴△ADF≌△BCF（SAS）， ∴∠AFD=∠BFC=90°， ∵CH⊥AF，C′C⊥EF，∠HFE=∠C′HF=∠C′MF=90°， ∴四边形 C′MFH 是矩形， ∴FM=C′H= ， 设 EM=x，则 FC=FE=x+ ， 在 Rt△EMC 和 Rt△FMC 中， 由勾股定理得：CE2﹣EM2=CF2﹣FM2， ∴12﹣x2=（x+ ）2﹣（ ）2， 解得：x= ，或 x=﹣ （舍去）， ∴EM= ，FC=FE= + ； 由（2）得： ， 把 CE=1，BE=n 代入计算得：CF= ， ∴ ， 解得：n=4 2016 年 6 月 21 日