2016年湖州市中考数学试题及答案解析版

2016 年浙江省湖州市中考数学试卷 一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确 的，请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、 错选均不给分 1．计算（﹣20）+16 的结果是（ ） A．﹣4 B．4 C．﹣2016 D．2016 2．为了迎接杭州 G20 峰会，某校开展了设计“YJG20”图标的活动，下列图形中及时轴对称图形又是中心对 称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．由六个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ） A． B． C． D． 4．受“乡村旅游第一市”的品牌效应和 2015 年国际乡村旅游大会的宣传效应的影响，2016 年湖州市在春节 黄金周期间共接待游客约 2800000 人次，同比增长约 56%，将 2800000 用科学记数法表示应是（ ） A．28×105B．2.8×106C．2.8×105D．0.28×105 5．数据 1，2，3，4，4，5 的众数是（ ） A．5 B．3 C．3.5 D．4 6．如图，AB∥CD，BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB，AD 过点 P，且与 AB 垂直．若 AD=8，则点 P 到 BC 的距离是（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为 1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上 的面的点数记为 x，计算|x﹣4|，则其结果恰为 2 的概率是（ ） A． B． C． D． 8．如图，圆 O 是 Rt△ABC 的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点 C 作圆 O 的切线，交 AB 的延长线于 点 D，则∠D 的度数是（ ） A．25° B．40° C．50° D．65° 9．定义：若点 P（a，b）在函数 y= 的图象上，将以 a 为二次项系数，b 为一次项系数构造的二次函数 y=ax2+bx 称为函数 y= 的一个“派生函数”．例如：点（2， ）在函数 y= 的图象上，则函数 y=2x2+ 称为函数 y= 的一个“派生函数”．现给出以下两个命题： （1）存在函数 y= 的一个“派生函数”，其图象的对称轴在 y 轴的右侧 （2）函数 y= 的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，下列判断正确的是（ ） A．命题（1）与命题（2）都是真命题 B．命题（1）与命题（2）都是假命题 C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题 D．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题 10．如图 1，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC=4，BC=7．如图 2，在底边 BC 上取一点 D，连结 AD，使得 ∠DAC=∠ACD．如图 3，将△ACD 沿着 AD 所在直线折叠，使得点 C 落在点 E 处，连结 BE，得到四边形 ABED．则 BE 的长是（ ） A．4 B． C．3 D．2 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．数 5 的相反数是 ． 12．方程 =1 的根是 x= ． 13．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点 A，B 为圆心，大于线段 AB 长度一半 的长为半径作弧，相交于点 E，F，过点 E，F 作直线 EF，交 AB 于点 D，连结 CD，则 CD 的长是 ． 14．如图 1 是我们常用的折叠式小刀，图 2 中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘 线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图 2 所示的∠1 与∠2，则∠1 与∠2 的度数和是 度． 15．已知四个有理数 a，b，x，y 同时满足以下关系式：b＞a，x+y=a+b，y﹣x＜a﹣b．请将这四个有理数 按从小到大的顺序用“＜”连接起来是 ． 16．已知点 P 在一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，且 k＜0，b＞0）的图象上，将点 P 向左平移 1 个单位， 再向上平移 2 个单位得到点 Q，点 Q 也在该函数 y=kx+b 的图象上． （1）k 的值是 ； （2）如图，该一次函数的图象分别与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，且与反比例函数 y= 图象交于 C，D 两点（点 C 在第二象限内），过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，记 S1 为四边形 CEOB 的面积，S2 为△OAB 的面 积，若 = ，则 b 的值是 ． 三、解答题（本题有 8 小题，共 66 分） 17．计算：tan45°﹣sin30°+（2﹣ ）0． 18．当 a=3，b=﹣1 时，求下列代数式的值． （1）（a+b）（a﹣b）； （2）a2+2ab+b2． 19．湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为 2000 平方米的长方形鱼塘． （1）求鱼塘的长 y（米）关于宽 x（米）的函数表达式； （2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖 20 米，当鱼塘的宽是 20 米，鱼塘的长为多少米？ 20．如图，已知四边形 ABCD 内接于圆 O，连结 BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°． （1）求证：BD=CD； （2）若圆 O 的半径为 3，求 的长． 21．中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校 2000 名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50 分，为了更好地了 解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中 200 名学生的海选比赛成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本进行整理，得到下列统计图表： 抽取的 200 名学生海选成绩分组表 组别 海选成绩 x A 组 50≤x＜60 B 组 60≤x＜70 C 组 70≤x＜80 D 组 80≤x＜90 E 组 90≤x＜100 请根据所给信息，解答下列问题： （1）请把图 1 中的条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） （2）在图 2 的扇形统计图中，记表示 B 组人数所占的百分比为 a%，则 a 的值为 ，表示 C 组 扇形的圆心角θ的度数为 度； （3）规定海选成绩在 90 分以上（包括 90 分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的 2000 名学生中 成绩“优等”的有多少人？ 22．随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老 床位不断增加． （1）该市的养老床位数从 2013 年底的 2 万个增长到 2015 年底的 2.88 万个，求该市这两年（从 2013 年度 到 2015 年底）拥有的养老床位数的平均年增长率； （2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共 100 间，这三类养老专用 房间分别为单人间（1 个养老床位），双人间（2 个养老床位），三人间（3 个养老床位），因实际需要，单人 间房间数在 10 至 30 之间（包括 10 和 30），且双人间的房间数是单人间的 2 倍，设规划建造单人间的房间 数为 t． ①若该养老中心建成后可提供养老床位 200 个，求 t 的值； ②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？ 23．如图，已知二次函数 y=﹣x2+bx+c（b，c 为常数）的图象经过点 A（3，1），点 C（0，4），顶点为点 M， 过点 A 作 AB∥x 轴，交 y 轴于点 D，交该二次函数图象于点 B，连结 BC． （1）求该二次函数的解析式及点 M 的坐标； （2）若将该二次函数图象向下平移 m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求 m 的取值范围； （3）点P 是直线 AC 上的动点，若点 P，点 C，点 M 所构成的三角形与△BCD 相似，请直接写出所有点 P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）． 24．数学活动课上，某学习小组对有一内角为 120°的平行四边形 ABCD（∠BAD=120°）进行探究：将一块 含 60°的直角三角板如图放置在平行四边形 ABCD 所在平面内旋转，且 60°角的顶点始终与点 C 重合，较短 的直角边和斜边所在的两直线分别交线段 AB，AD 于点 E，F（不包括线段的端点）． （1）初步尝试 如图 1，若 AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC； （2）类比发现 如图 2，若 AD=2AB，过点 C 作 CH⊥AD 于点 H，求证：AE=2FH； （3）深入探究 如图 3，若 AD=3AB，探究得： 的值为常数 t，则 t= ． 2016 年浙江省湖州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确 的，请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、 错选均不给分 1．计算（﹣20）+16 的结果是（ ） A．﹣4 B．4 C．﹣2016 D．2016 【考点】有理数的加法． 【分析】根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解． 【解答】解：（﹣20）+16， =﹣（20﹣16）， =﹣4． 故选 A． 2．为了迎接杭州 G20 峰会，某校开展了设计“YJG20”图标的活动，下列图形中及时轴对称图形又是中心对 称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转 180 度后它的两部 分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故错误； B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足 轴对称图形的定义．也不是中心对称图形．故错误； C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足 轴对称图形的定义．也不是中心对称图形．故错误； D、是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确． 故选：D． 3．由六个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】根据主视方向确定看到的平面图形即可． 【解答】解：结合几何体发现：从主视方向看到上面有一个正方形，下面有 3 个正方形， 故选 A． 4．受“乡村旅游第一市”的品牌效应和 2015 年国际乡村旅游大会的宣传效应的影响，2016 年湖州市在春节 黄金周期间共接待游客约 2800000 人次，同比增长约 56%，将 2800000 用科学记数法表示应是（ ） A．28×105B．2.8×106C．2.8×105D．0.28×105 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变 成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于 10 时，n 是正数； 当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数． 【解答】解：2800000=2.8×106， 故选：B． 5．数据 1，2，3，4，4，5 的众数是（ ） A．5 B．3 C．3.5 D．4 【考点】众数． 【分析】直接利用众数的定义分析得出答案． 【解答】解：∵数据 1，2，3，4，4，5 中，4 出现的次数最多， ∴这组数据的众数是：4． 故选：D． 6．如图，AB∥CD，BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB，AD 过点 P，且与 AB 垂直．若 AD=8，则点 P 到 BC 的距离是（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【考点】角平分线的性质． 【分析】过点 P 作 PE⊥BC 于 E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 PA=PE，PD=PE，那么 PE=PA=PD，又 AD=8，进而求出 PE=4． 【解答】解：过点 P 作 PE⊥BC 于 E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD， ∵BP 和 CP 分别平分∠ABC 和∠DCB， ∴PA=PE，PD=PE， ∴PE=PA=PD， ∵PA+PD=AD=8， ∴PA=PD=4， ∴PE=4． 故选 C． 7．有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为 1，2，3， 4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝 上的面的点数记为 x，计算|x﹣4|，则其结果恰为 2 的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】列表法与树状图法；绝对值；概率的意义． 【分析】先求出绝对值方程|x﹣4|=2 的解，即可解决问题． 【解答】解：∵|x﹣4|=2， ∴x=2 或 6． ∴其结果恰为 2 的概率= = ． 故选 C． 8．如图，圆 O 是 Rt△ABC 的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点 C 作圆 O 的切线，交 AB 的延长线于 点 D，则∠D 的度数是（ ） A．25° B．40° C．50° D．65° 【考点】切线的性质；圆周角定理． 【分析】首先连接 OC，由∠A=25°，可求得∠BOC 的度数，由 CD 是圆 O 的切线，可得 OC⊥CD，继而求 得答案． 【解答】解：连接 OC， ∵圆 O 是 Rt△ABC 的外接圆，∠ACB=90°， ∴AB 是直径， ∵∠A=25°， ∴∠BOC=2∠A=50°， ∵CD 是圆 O 的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠D=90°﹣∠BOC=40°． 故选 B．xkb1 9．定义：若点 P（a，b）在函数 y= 的图象上，将以 a 为二次项系数，b 为一次项系数构造的二次函数 y=ax2+bx 称为函数 y= 的一个“派生函数”．例如：点（2， ）在函数 y= 的图象上，则函数 y=2x2+ 称为函数 y= 的一个“派生函数”．现给出以下两个命题： （1）存在函数 y= 的一个“派生函数”，其图象的对称轴在 y 轴的右侧 （2）函数 y= 的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，下列判断正确的是（ ） A．命题（1）与命题（2）都是真命题 B．命题（1）与命题（2）都是假命题 C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题 D．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题 【考点】命题与定理． 【分析】（1）根据二次函数 y=ax2+bx 的性质 a、b 同号对称轴在 y 轴左侧，a、b 异号对称轴在 y 轴右侧即 可判断． （2）根据“派生函数”y=ax2+bx，x=0 时，y=0，经过原点，不能得出结论． 【解答】解：（1）∵P（a，b）在 y= 上， ∴a 和 b 同号，所以对称轴在 y 轴左侧， ∴存在函数 y= 的一个“派生函数”，其图象的对称轴在 y 轴的右侧是假命题． （2）∵函数 y= 的所有“派生函数”为 y=ax2+bx， ∴x=0 时，y=0， ∴所有“派生函数”为 y=ax2+bx 经过原点， ∴函数 y= 的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，是真命题． 故选 C． 10．如图 1，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC=4，BC=7．如图 2，在底边 BC 上取一点 D，连结 AD，使得 ∠DAC=∠ACD．如图 3，将△ACD 沿着 AD 所在直线折叠，使得点 C 落在点 E 处，连结 BE，得到四边形 ABED．则 BE 的长是（ ） A．4 B． C．3 D．2 【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质． 【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得 = ，只要求出 BM、BD 即可解决问题． 【解答】解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠DAC=∠ACD， ∴∠DAC=∠ABC， ∵∠C=∠C， ∴△CAD∽△CBA， ∴ = ， ∴ = ， ∴CD= ，BD=BC﹣CD= ， ∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB， ∴△ADM∽△BDA， ∴ = ，即 = ， ∴DM= ，MB=BD﹣DM= ， ∵∠ABM=∠C=∠MED， ∴A、B、E、D 四点共圆， ∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD， ∴△ABD∽△MBE， ∴ = ， ∴BE= = = ． 故选 B． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．数 5 的相反数是 ﹣5 ． 【考点】相反数． 【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案． 【解答】解：数 5 的相反数是：﹣5． 故答案为：﹣5． 12．方程 =1 的根是 x= ﹣2 ． 【考点】分式方程的解． 【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入 x﹣3 进行检验即可． 【解答】解：两边都乘以 x﹣3，得：2x﹣1=x﹣3， 解得：x=﹣2， 检验：当 x=﹣2 时，x﹣3=﹣5≠0， 故方程的解为 x=﹣2， 故答案为：﹣2． 13．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点 A，B 为圆心，大于线段 AB 长度一半 的长为半径作弧，相交于点 E，F，过点 E，F 作直线 EF，交 AB 于点 D，连结 CD，则 CD 的长是 5 ． 【考点】作图—基本作图；直角三角形斜边上的中线；勾股定理． 【分析】首先说明 AD=DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题． 【解答】解：由题意 EF 是线段 AB 的垂直平分线， ∴AD=DB， Rt△ABC 中，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8， ∴AB= = =10， ∵AD=DB，∠ACB=90°， ∴CD= AB=5． 故答案为 5． 14．如图 1 是我们常用的折叠式小刀，图 2 中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘 线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图 2 所示的∠1 与∠2，则∠1 与∠2 的度数和是 90 度． 【考点】平行线的性质． 【分析】如图 2，AB∥CD，∠AEC=90°，作 EF∥AB，根据平行线的传递性得到 EF∥CD，则根据平行线 的性质得∠1=∠AEF，∠2=∠CEF，所以∠1+∠2=∠AEC=90° 【解答】解：如图 2，AB∥CD，∠AEC=90°， 作 EF∥AB，则 EF∥CD， 所以∠1=∠AEF，∠2=∠CEF， 所以∠1+∠2=∠AEF+∠CEF=∠AEC=90°． 故答案为 90． 15．已知四个有理数 a，b，x，y 同时满足以下关系式：b＞a，x+y=a+b，y﹣x＜a﹣b．请将这四个有理数 按从小到大的顺序用“＜”连接起来是 y＜a＜b＜x ． 【考点】有理数大小比较． 【分析】由 x+y=a+b 得出 y=a+b﹣x，x=a+b﹣y，求出 b＜x，y＜a，即可得出答案． 【解答】解：∵x+y=a+b， ∴y=a+b﹣x，x=a+b﹣y， 把 y=a=b﹣x 代入 y﹣x＜a﹣b 得：a+b﹣x﹣x＜a﹣b， 2b＜2x， b＜x①， 把 x=a+b﹣y 代入 y﹣x＜a﹣b 得：y﹣（a+b﹣y）＜a﹣b， 2y＜2a， y＜a②，xkb1 ∵b＞a③， ∴由①②③得：y＜a＜b＜x， 故答案为：y＜a＜b＜x． 16．已知点 P 在一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，且 k＜0，b＞0）的图象上，将点 P 向左平移 1 个单位， 再向上平移 2 个单位得到点 Q，点 Q 也在该函数 y=kx+b 的图象上． （1）k 的值是 ﹣2 ； （2）如图，该一次函数的图象分别与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，且与反比例函数 y= 图象交于 C，D 两点（点 C 在第二象限内），过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，记 S1 为四边形 CEOB 的面积，S2 为△OAB 的面 积，若 = ，则 b 的值是 3 ． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数 k 的几何意义． 【分析】（1）设出点 P 的坐标，根据平移的特性写出点 Q 的坐标，由点 P、Q 均在一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，且 k＜0，b＞0）的图象上，即可得出关于 k、m、n、b 的四元一次方程组，两式做差即可得出 k 值； （2）根据 BO⊥x 轴，CE⊥x 轴可以找出△AOB∽△AEC，再根据给定图形的面积比即可得出 ， 根据一次函数的解析式可以用含 b 的代数式表示出来线段 AO、BO，由此即可得出线段 CE、AE 的长度， 利用 OE=AE﹣AO 求出 OE 的长度，再借助于反比例函数系数 k 的几何意义即可得出关于 b 的一元二次方 程，解方程即可得出结论． 【解答】解：（1）设点 P 的坐标为（m，n），则点 Q 的坐标为（m﹣1，n+2）， 依题意得： ， 解得：k=﹣2． 故答案为：﹣2． （2）∵BO⊥x 轴，CE⊥x 轴， ∴BO∥CE， ∴△AOB∽△AEC． 又∵ = ， ∴ = = ． 令一次函数 y=﹣2x+b 中 x=0，则 y=b， ∴BO=b； 令一次函数 y=﹣2x+b 中 y=0，则 0=﹣2x+b， 解得：x= ，即 AO= ． ∵△AOB∽△AEC，且 = ， ∴ ． ∴AE= AO= b，CE= BO= b，OE=AE﹣AO= b． ∵OE•CE=|﹣4|=4，即 b2=4， 解得：b=3 ，或 b=﹣3 （舍去）． 故答案为：3 ． 三、解答题（本题有 8 小题，共 66 分） 17．计算：tan45°﹣sin30°+（2﹣ ）0． 【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分析得出答案． 【解答】解：原式=1﹣ +1 = ． 18．当 a=3，b=﹣1 时，求下列代数式的值． （1）（a+b）（a﹣b）； （2）a2+2ab+b2． 【考点】代数式求值． 【分析】（1）把 a 与 b 的值代入计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式变形，将 a 与 b 的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）当 a=3，b=﹣1 时，原式=2×4=8； （2）当 a=3，b=﹣1 时，原式=（a+b）2=22=4． 19．湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为 2000 平方米的长方形鱼塘． （1）求鱼塘的长 y（米）关于宽 x（米）的函数表达式； （2）由于受场地的限制，鱼塘的宽最多只能挖 20 米，当鱼塘的宽是 20 米，鱼塘的长为多少米？ 【考点】反比例函数的应用． 【分析】（1）根据矩形的面积=长×宽，列出 y 与 x 的函数表达式即可； （2）把 x=20 代入计算求出 y 的值，即可得到结果． 【解答】解：（1）由长方形面积为 2000 平方米，得到 xy=2000，即 y= ； （2）当 x=20（米）时，y= =100（米）， 则当鱼塘的宽是 20 米时，鱼塘的长为 100 米． 20．如图，已知四边形 ABCD 内接于圆 O，连结 BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°． （1）求证：BD=CD； （2）若圆 O 的半径为 3，求 的长． 【考点】圆内接四边形的性质；弧长的计算． 【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB 的度数，再利用∠DCB=∠DBC 求出答案； （2）首先求出 的度数，再利用弧长公式直接求出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 内接于圆 O， ∴∠DCB+∠BAD=180°， ∵∠BAD=105°， ∴∠DCB=180°﹣105°=75°， ∵∠DBC=75°， ∴∠DCB=∠DBC=75°， ∴BD=CD； （2）解：∵∠DCB=∠DBC=75°， ∴∠BDC=30°， 由圆周角定理，得， 的度数为：60°， 故 = = =π， 答： 的长为π． 21．中华文明，源远流长；中华诗词，寓意深广．为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校 2000 名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于 50 分，为了更好地了 解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中 200 名学生的海选比赛成绩（成绩 x 取整数，总分 100 分）作为样本进行整理，得到下列统计图表： 抽取的 200 名学生海选成绩分组表 组别 海选成绩 x A 组 50≤x＜60 B 组 60≤x＜70 C 组 70≤x＜80 D 组 80≤x＜90 E 组 90≤x＜100 请根据所给信息，解答下列问题： （1）请把图 1 中的条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） （2）在图 2 的扇形统计图中，记表示 B 组人数所占的百分比为 a%，则 a 的值为 15 ，表示 C 组扇形的 圆心角θ的度数为 72 度； （3）规定海选成绩在 90 分以上（包括 90 分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的 2000 名学生中 成绩“优等”的有多少人？ 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）用随机抽取的总人数减去 A、B、C、E 组的人数，求出 D 组的人数，从而补全统计图； （2）用 B 组抽查的人数除以总人数，即可求出 a；用 360 乘以 C 组所占的百分比，求出 C 组扇形的圆心角 θ的度数； （3）用该校参加这次海选比赛的总人数乘以成绩在 90 分以上（包括 90 分）所占的百分比，即可得出答案． 【解答】解：（1）D 的人数是：200﹣10﹣30﹣40﹣70=50（人）， 补图如下： （2）B 组人数所占的百分比是 ×100%=15%， 则 a 的值是 15； C 组扇形的圆心角θ的度数为 360× =72°； 故答案为：15，72； （3）根据题意得： 2000× =700（人）， 答：估计该校参加这次海选比赛的 2000 名学生中成绩“优等”的有 700 人． 22．随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老 床位不断增加． （1）该市的养老床位数从 2013 年底的 2 万个增长到 2015 年底的 2.88 万个，求该市这两年（从 2013 年度 到 2015 年底）拥有的养老床位数的平均年增长率； （2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共 100 间，这三类养老专用 房间分别为单人间（1 个养老床位），双人间（2 个养老床位），三人间（3 个养老床位），因实际需要，单人 间房间数在 10 至 30 之间（包括 10 和 30），且双人间的房间数是单人间的 2 倍， 设规划建造单人间的房间 数为 t． ①若该养老中心建成后可提供养老床位 200 个，求 t 的值； ②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？最少提供养老床位多少个？ 【考点】一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元二次方程的应用． 【分析】（1）设该市这两年（从 2013 年度到 2015 年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为 x，根据“2015 年的床位数=2013 年的床位数×（1+增长率）的平方”可列出关于 x 的一元二次方程，解方程即可得出结论； （2）①设规划建造单人间的房间数为 t（10≤t≤30），则建造双人间的房间数为 2t，三人间的房间数为 100 ﹣3t，根据“可提供的床位数=单人间数+2 倍的双人间数+3 倍的三人间数”即可得出关于 t 的一元一次方程， 解方程即可得出结论； ②设该养老中心建成后能提供养老床位 y 个，根据“可提供的床位数=单人间数+2 倍的双人间数+3 倍的三人 间数”即可得出 y 关于 t 的函数关系式，根据一次函数的性质结合 t 的取值范围，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该市这两年（从 2013 年度到 2015 年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为 x，由题 意可列出方程： 2（1+x）2=2.88， 解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为 20%． （2）①设规划建造单人间的房间数为 t（10≤t≤30），则建造双人间的房间数为 2t，三人间的房间数为 100 ﹣3t， 由题意得：t+4t+3=200， 解得：t=25． 答：t 的值是 25． ②设该养老中心建成后能提供养老床位 y 个， 由题意得：y=t+4t+3=﹣4t+300（10≤t≤30）， ∵k=﹣4＜0， ∴y 随 t 的增大而减小． 当 t=10 时，y 的最大值为 300﹣4×10=260（个）， 当 t=30 时，y 的最小值为 300﹣4×30=180（个）． 答：该养老中心建成后最多提供养老床位 260 个，最少提供养老床位 180 个． 23．如图，已知二次函数 y=﹣x2+bx+c（b，c 为常数）的图象经过点 A（3，1），点 C（0，4），顶点为点 M， 过点 A 作 AB∥x 轴，交 y 轴于点 D，交该二次函数图象于点 B，连结 BC． （1）求该二次函数的解析式及点 M 的坐标； （2）若将该二次函数图象向下平移 m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边界），求 m 的取值范围； （3）点 P 是直线 AC 上的动点，若点 P，点 C，点 M 所构成的三角形与△BCD 相似，请直接写出所有点 P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）将点 A、点 C 的坐标代入函数解析式，即可求出 b、c 的值，通过配方法得到点 M 的坐标； （2）点 M 是沿着对称轴直线 x=1 向下平移的，可先求出直线 AC 的解析式，将 x=1 代入求出点 M 在向下 平移时与 AC、AB 相交时 y 的值，即可得到 m 的取值范围； （3）由题意分析可得∠MCP=90°，则若△PCM 与△BCD 相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC 或△PCM∽△CDB 两种，然后利用边的对应比值求出点坐标． 【解答】解：（1）把点 A（3，1），点 C（0，4）代入二次函数 y=﹣x2+bx+c 得， 解得 ∴二次函数解析式为 y=﹣x2+2x+4， 配方得 y=﹣（x﹣1）2+5， ∴点 M 的坐标为（1，5）； （2）设直线 AC 解析式为 y=kx+b，把点 A（3，1），C（0，4）代入得， 解得 ∴直线 AC 的解析式为 y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线 x=1 与△ABC 两边分别交于点 E、点 F 把 x=1 代入直线 AC 解析式 y=﹣x+4 解得 y=3，则点 E 坐标为（1，3），点 F 坐标为（1，1） ∴1＜5﹣m＜3，解得 2＜m＜4； （3）连接 MC，作 MG⊥y 轴并延长交 AC 于点 N，则点 G 坐标为（0，5） ∵MG=1，GC=5﹣4=1 ∴MC= = ， 把 y=5 代入 y=﹣x+4 解得 x=﹣1，则点 N 坐标为（﹣1，5）， ∵NG=GC，GM=GC， ∴∠NCG=∠GCM=45°， ∴∠NCM=90°， 由此可知，若点 P 在 AC 上，则∠MCP=90°，则点 D 与点 C 必为相似三角形对应点 ①若有△PCM∽△BDC，则有 ∵BD=1，CD=3， ∴CP= = = ， ∵CD=DA=3， ∴∠DCA=45°， 若点 P 在 y 轴右侧，作 PH⊥y 轴， ∵∠PCH=45°，CP= ∴PH= = 把 x= 代入 y=﹣x+4，解得 y= ， ∴P1（ ）； 同理可得，若点 P 在 y 轴左侧，则把 x=﹣ 代入 y=﹣x+4，解得 y= ∴P2（ ）； ②若有△PCM∽△CDB，则有 ∴CP= =3 ∴PH=3 ÷ =3， 若点 P 在 y 轴右侧，把 x=3 代入 y=﹣x+4，解得 y=1； 若点 P 在 y 轴左侧，把 x=﹣3 代入 y=﹣x+4，解得 y=7 ∴P3（3，1）；P4（﹣3，7）． ∴所有符合题意得点 P 坐标有 4 个，分别为 P1（ ），P2（ ），P3（3，1），P4（﹣3，7）． 24．数学活动课上，某学习小组对有一内角为 120°的平行四边形 ABCD（∠BAD=120°）进行探究：将一块 含 60°的直角三角板如图放置在平行四边形 ABCD 所在平面内旋转，且 60°角的顶点始终与点 C 重合，较短 的直角边和斜边所在的两直线分别交线段 AB，AD 于点 E，F（不包括线段的端点）． （1）初步尝试 如图 1，若 AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC； （2）类比发现 如图 2，若 AD=2AB，过点 C 作 CH⊥AD 于点 H，求证：AE=2FH； （3）深入探究 如图 3，若 AD=3AB，探究得： 的值为常数 t，则 t= ． 【考点】几何变换综合题． 【分析】（1）①先证明△ABC，△ACD 都是等边三角形，再证明∠BCE=∠ACF 即可解决问题．②根据 ①的结论得到 BE=AF，由此即可证明． （2）设 DH=x，由由题意，CD=2x，CH= x，由△ACE∽△HCF，得 = 由此即可证明． （3）如图 3 中，作 CN⊥AD 于 N，CM⊥BA 于 M，CM 与 AD 交于点 H．先证明△CFN∽△CEM，得 = ， 由 AB•CM=AD•CN，AD=3AB，推出 CM=3CN，所以 = = ，设 CN=a，FN=b，则 CM=3a，EM=3b， 想办法求出 AC，AE+3AF 即可解决问题． 【解答】解；（1）①∵四边形 ABCD 是平行四边形，∠BAD=120°， ∴∠D=∠B=60°， ∵AD=AB， ∴△ABC，△ACD 都是等边三角形， ∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC， ∵∠ECF=60°， ∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°， ∴∠BCE=∠ACF， 在△BCE 和△ACF 中， ∴△BCE≌△ACF． ②∵△BCE≌△ACF， ∴BE=AF， ∴AE+AF=AE+BE=AB=AC． （2）设 DH=x，由由题意，CD=2x，CH= x， ∴AD=2AB=4x， ∴AH=AD﹣DH=3x， ∵CH⊥AD， ∴AC= =2 x， ∴AC2+CD2=AD2， ∴∠ACD=90°， ∴∠BAC=∠ACD=90°， ∴∠CAD=30°， ∴∠ACH=60°， ∵∠ECF=60°， ∴∠HCF=∠ACE， ∴△ACE∽△HCF， ∴ = =2， ∴AE=2FH． （3）如图 3 中，作 CN⊥AD 于 N，CM⊥BA 于 M，CM 与 AD 交于点 H． ∵∠ECF+∠EAF=180°， ∴∠AEC+∠AFC=180°， ∵∠AFC+∠CFN=180°， ∴∠CFN=∠AEC，∵∠M=∠CNF=90°， ∴△CFN∽△CEM， ∴ = ， ∵AB•CM=AD•CN，AD=3AB， ∴CM=3CN， ∴ = = ，设 CN=a，FN=b，则 CM=3a，EM=3b， ∵∠MAH=60°，∠M=90°， ∴∠AHM=∠CHN=30°， ∴HC=2a，HM=a，HN= a， ∴AM= a，AH= a， ∴AC= = a， AE+3AF=（EM﹣AM）+3（AH+HN﹣FN）=EM﹣AM+3AH+3HN﹣3FN=3AH+3HN﹣AM= a， ∴ = = ． 故答案为 ．