2016年株洲市中考数学试卷及答案

株洲市 2016 年初中毕业学为考试 数学试题卷 一、选择题(每小题只有一个正确答案，本题共 10 小题，共 30 分) 1、下列数中，-3 的倒数是(A) A、 1 3  B、 1 3 C、－3 D、3 2、下列等式错误的是(D) A、 2 2 2(2 ) 4mn m n B、 2 2 2( 2 ) 4mn m n  C、 2 2 3 6 6(2 ) 8m n m n D、 2 2 3 5 5( 2 ) 8m n m n   3、甲、乙 、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如下表， 现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是 C A、甲 B、乙 C、丙 D、丁 队员 平均成绩 方差 甲 9.7 2.12 乙 9.6 0.56 丙 9.7 0.56 丁 9.6 1.34 4、如图，在三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，，∠B＝50°，将此三角形绕点 C 沿顺时 针方向旋转后得到三角形 ` `A B C ，若点 `B 恰好落在线段 AB 上，AC、 ` `A B 交于点 O，则∠CO `A 的度数是(B) A、50° B、60° C、70° D、80° 5、不等式 2 1 1 2 0 x x      的解集在数轴上表示为 C A、 B、 C、 D、 6 在解方程 1 3 1 3 2 x xx   时，方程两边同时乘以 6，去分母后，正确的是 B A、 2 1 6 3(3 1)x x x    B、 2( 1) 6 3(3 1)x x x    C、 2( 1) 3(3 1)x x x    D、 ( 1) 3( 1)x x x    7、已知四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC、BD 交于点 O，E 是 BC 的中点， 以下说法错误的是 D A、OE＝ 1 2 DC B、OA=OC C、∠BOE＝∠OBA D、∠OBE＝∠OCE 8、如图，以直角三角形 a 、b 、 c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三 角形和正方形，上述四各情况的面积关系满足 1 2 3S S S  图形个数有(D) A、1 B、2 C、3 D、4 有两种理解方式： 一、利用面积的计算方法来算出来 第一个图： 2 2 2 1 2 3 3 3 3, ,4 4 4S a S b S c   其他的依此类推 二、利用相似，依题意所作出的三个图形都 是相似形， 故： 2 2 2 1 2 3: : : :S S S a b c 从而得出结论 9、已知，如图一次函数 1y ax b  与反比例函数 2 ky x  的图象如图示，当 1 2y y 时， x 的取值范围是 D A、 2x  B、 5x  C、 2 5x  D、0 2x  或 5x  【解析】由图直接读出答案为 D 10、已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的图象经过点 A(－1,2)，B（2，5）顶 点坐标为 ( , )m n ，则下说法错误的是(B) A、 3c  B、 1 2m  C、 2n  D、 1b  【解析】由已知可知： 2 4 2 5 a b c a b c        消去b 得： 3 2 3c a   消去 c 得： 1 1b a   对称轴： 1 1 1 1 2 2 2 2 2 b ax a a a        故 B 错。 C 答案易从顶点的定义来理解。 二、填空题（本题共 8 小题，每题 3 分，共 24 分） 11、计算： 3 (2 1)a a   1a  12、据民政部网站消息，截至 2014 年底，我国 60 岁以上老年人口已经达到 2.12 亿，其中 2.12 亿用科学记数法表示为 82.12 10 13、从 1,2，3……99,100 个整数中，任取一个数，这个数大于 60 的概率是 0.4 14、如图正六边形 ABCDEF 内接于半径为 3 的圆 O，则劣弧 AB 的长度为 π 15、分解因式： ( 8)( 2) 6x x x    ( 4)( 4)x x  16、△ABC 的内切圆的三个切点分别为 D、E、F∠ A=75° ，∠ B=45° ，则圆心角 ∠ EOF= 120 度。 17 、已知 A 、 B 、 C 、 D 是平面坐标系中坐标轴上的点，且△ AOB ≌△ COD ，设直 线 AB 的表达式为 1 1 1y k x b  直线 CD 的表达式为 2 2 2y k x b  ，则 1 2k k  1 【解析】 方法一、利用斜率来解，非常快： 1 OAk OB  2 ODk OC  ,OA=OC,OB=OD 1 2 1k k  方法二：设出点 A(0, )a 、B( ,0)b 坐标，从而得到 C、D 坐标 求出 1k ， 2k 18 、已知点 P 是△ ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则 P点叫△ ABC 的费马点 (Fermat point) ，已经证明：在三个内角均小于 120° 的△ ABC中，当∠ APB= ∠ APC= ∠ BPC=120° 时， P 就是△ ABC 的费马点，若 P 就是△ ABC的费马点，若点 P 是腰长为 2 的等腰直角三角形 DEF 的费马点，则 PD+PE+PF= 3 1 新*课标*第*一*网 【解析】能正确作出图来，就什么都解决了。 如图：等腰 Rt△DEF 中，DE=DF= 2 ， 过点 D 作 DM⊥EF 于点 M，过 E、F 分别作∠MEP＝∠MFP＝30° 就可以得到满足条件的点 P 了。 根据特殊直角三角形才求出 PE=PF= 2 3 ,PM=1,DM= 1 3 三、解答题(本大题共 8 小题，共 66 分) 19、(本题满分 6 分)计算： 2016 09 ( 1) 4cos60   =3 1 2 =2  解：原式 20、(本题满分 6 分)先化简，再求值， 21 1 4( )2 2 x x x    其中 3x  [来源:Z#xx#k.Com] 21、(本题满分 8 分)某社区从 2011 年开始，组织全民健身活动，结合社区条件， 开展了广场舞、太极拳、羽毛球和跑步四个活动项目，现将参加项目活动总人数 进行统计，并绘制成每年参加总人数折线统计图和 2015 年各活动项目参与人数 的扇形统计图，请你根据统计图解答下列题 (1)2015 年比 2011 年增加 990 人； (2)请根据扇形统计图求出 2015 年参与跑步项目的人数；1600 55% 880  (3)组织者预计 2016 年参与人员人数将比 2015 年的人数增加 15%，名各活动项目 参与 人数的百分比与 2016 年相同，请根据以上统计结果，估计 2016 年参加太 极拳的人数。1600 (1 15%) (1 55% 30% 5%) 184       22 、 ( 本题满分 8 分 ) 某市对初二综合素质测评中的审美与艺术进行考核，规定如 下：考核综合评价得分由测试成绩 ( 满分 100 分 ) 和平时成绩 ( 满分 100 分 ) 两部分 组成，其中测试成绩占 80% ，平时成绩占 20% ，并且当综合评价得分大于或等 2 ( 2)( 2)= ( 2) 2 2 = =3 1 = 3 x x x x x x x     解：原式 当 时 原式 于 80 分时，该生综合评价为 A 等。 (1) 孔明同学的测试成绩和平时成绩两项得分之和为 185 分，而综合评价得分为 91 分，则孔明同学测试成绩和平时成绩各得多少分？ (2) 某同学测试成绩为 70 分，他的综合评价得分有可能达到 A 等吗？为什么？ (3) 如果一个同学综合评价要达到 A 等，他的测试成绩至少要多少分？ 【解析】(1)解设孔明同学测试成绩为 x 分，平时成绩为 y 分,依题意得： 185 80% 20% 91 x y x y      解之得： 90 95 x y    答略 (2)80-70×80%=24 24÷20%=120>100，故不可能。 (3)设平时成绩为满分，即 100 分，综合成绩为 100×20%=20，所以综合成绩还差 80-20=60 分 故测试成绩应该至少为：60÷80%=75 分 23 、 ( 本题满分 8 分 ) 已知正方形 ABCD 中， BC=3 ，点 E 、 F 分别是 CB 、 CD 延长 线上的点， DF=BE ，连接 AE 、 AF ，过点 A 作 AH⊥ED 于 H 点。 (1) 求证：△ ADF ≌△ ABE (2) 若 BE=1 ，求 tan ∠ AED 的值。 【解析】(1)易证 (2)过点 A 作 AM⊥CD 于点 M 在 Rt△ABE 中，求出 AE= 10 ，ED=5 S△AED= 1 2 AD×BA= 9 2 S△AED= 1 2 ED×AM= 9 2 解出 AM=1.8 在 Rt△AME 中，求出 EM=2.6 故 tan∠AED= 1.8 9 2.6 13 AM EM   24 、 ( 本题满分 8 分 ) 平行四边形 ABCD 的两个顶点 A 、 C 在反比例函数 ( 0)ky kx   图象上，点 B、D 在 x 轴上，且 B、D 两点关于原点对称，AD 交 y 轴于 P 点 (1)已知点 A 的坐标是(2,3)，求 k 的值及 C 点的坐标 (2)若△APO 的面积为 2，求点 D 到直线 AC 的距离。 【解析】第(1)易做，略 (2)设过点 A 作 AN⊥ y 轴于点 N，过点 D 作 DM⊥AC 设 A( , )( 0)ka aa  因为 S△AOP＝2, S△AON＝ 1 2 k 故可求出 OA＝ 2 2 2 ka a  ，OP＝ 4 a ，ON＝ k a Cos∠AON＝ 4 2 ON k OA a k   易证∠MDO＝∠AON Cos∠MDO＝ 4 2 k a k 下一步求出 OD 的长 A( , )ka a ,P 4(0, )a 2 4 4 AP ky xa a   令 0y  ,求出 4 4 ax k   故点 D 的坐标为 4 ,0)4 ax k   （ OD= 4 4 a k  Cos∠MDO＝ DM OD = 4 2 k a k 故：DM＝ 4 2 4 ( 4) ka k a k  25 、 ( 本题满分 10 分 ) 已知 AB 是半径为 1 的圆 O 直径， C 是圆上一点， D 是 BC延长线上一点，过点 D 的直线交 AC 于 E 点，且△ AEF 为等边三角形 (1) 求证：△ DFB 是等腰三角形； (2) 若 DA= 7 AF，求证上：CF⊥AB 【解析】 (1)易证，∠B＝∠FDB＝30°(略) (2)过点 A 作 AM⊥DF 于点 M，设 AF= 2a 由等边△AEF 易得 FM= a ，AM= 3a 在 Rt△DAM 中，AD= 7 AF＝ 2 7a ， AM= 3a 可得 DM= 5a ，故 DF=BF= 6a 故 AB 8AF BF a   在 Rt△ABC 中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，从而得：AC= 4a 而：AE= EF=AF= 2a ，从而∠ECF =∠EFC 利用∠AEF=∠ECF +∠EFC＝60°，得∠CFE＝30° 从而可知∠AFC=∠AFE +∠EFC＝60°+30°=90° 得证。 由此可以看出半径为 1 是多出的条件 26、(本题满分 12 分)已知二次函数 2 2(2 1) ( 0)y x k x k k k      (1)当 1 2k  时，求这个二次函数的顶点坐标； (2)求证：关于 x 的一元次方程 2 2(2 1) =0x k x k k    有两个不相等的实数根； (3)如图，该二次函数与 x 轴交于 A、B 两点(A 点在 B 点的左侧)，与 y 轴交于 C 点，P 是 y 轴负半轴上一点，且 OP=1，直线 AP 交 BC 于点 Q，求证： 2 2 2 1 1 1 OA AB AQ   【解析】第 1 问将 1 2k  代入二次函数可求得， 顶点坐标为 1(1, )4  (2)运用判别式可得证 (3)方法一： 点 P 的坐标为(0,1)，A ( ,0)k ， B ( 1,0)k  ,C 2(0, )k k 求出 AB=1，OA= k ， 1 1PAy xk   2 CBy kx k k    从而求出点 Q 坐标为 2 2 2( , )1 1 k kk k k    运用距离公式求出 2 2 2 1 kAQ k   全部代入可得证 这种方法走的路线是传统的函数思想。 方法二： 从角的关系发现△ABQ 中∠AQB=90°， 从而得△APO∽△ABQ AB AQ AP AO  (AB=1, OA= k , 21AP k  ) 从而求出 21 kAQ k   代入可得。 这种方法走的是相似路线。