福建福州第一期末九年级数学模拟试卷

福建省福州市 2009-2010 学年第一学期期末九年级数学模拟试卷 (满分 150 分，考试时间 120 分钟） 姓名____________ 座号_____________ 成绩____________ 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分；每小题只有一个正确选项） 1．要使 2x  在实数范围内有意义， x 应满足的条件是（ ）. Ａ． x ＜2 Ｂ． x ≤2 Ｃ． x ＞2 Ｄ． x ≥2 2．同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为 1，2，3，4，5，6）．下列事件中 是必然事件的是（ ）. A．两枚骰子朝上一面的点数和为 6 B．两枚骰子朝上一面的点数和不小于 2 C．两枚骰子朝上一面的点数均为偶数 D．两枚骰子朝上一面的点数均为奇数 3．下列计算正确的是（ ）. A． 532  B． 3223  C． 632  D． aa 48 2  ( a ＞0) 4．用配方法解方程 0142 2  xx ，下列配方正确的是（ ）. A． 1)2(2 2 x B． 9)2(2 2 x C． 1)1(2 2 x D． 3)1(2 2 x 5. 如图，已知 D、E 分别是 ABC 的 AB、AC 边上的点， ,DE BC 且 1ADE DBCES S   四边形 那么 :AE AC 等于（ ） A．1 : 9 B．1 : 3 C．1 : 8 D．1 : 2 6．如图，已知正方形 A、矩形 B、圆 C 的周长都是 a cm，其中矩形的长是宽的 2 倍，那么它们的面积 As 、 Bs 、 Cs 之间的关系式正确的是（ ）. A． As ＜ Bs ＜ Cs B． Bs ＜ As ＜ Cs C． As ＞ Bs ＞ Cs D． As ＞ Cs ＞ Bs 7．方程 02  cbxax 的两个根是－3 和 1，那么二次函数 cbxaxy  2 的图象的对称轴是直线 （ ）. A． x ＝－3 B． x ＝－2 C． x ＝－1 D． x ＝1 8．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007 年投入 3 000 万元，预计 2009 年投入 5 000 万元．设教育经费的年平均增长率为 x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A． 23 000(1 ) 5 000x  B． 23 000 5 000x  （第 6 题） B A C D E （第 10 题） O F C AP E （B） （第 14 题） （第 15 题） C． 23 000(1 ) 5 000x ％ D． 23 000(1 ) 3 000(1 ) 5 000x x    9．下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ ） 10．如图，已知 E、F 是⊙O 的直径，把∠A 为 60 的直角三角板 ABC 的一条直角边 BC 放在直线 EF 上，斜 边 AB 与⊙O 交于点 P，点 B 与点 O 重合；将三角形 ABC 沿 OE 方向平移，使得点 B 与点 E 重合为止．设 ∠POF＝ x °，则 x 的取值范围是（ ） Ａ．30 60x≤ ≤ Ｂ．30 90x≤ ≤ Ｃ．30 120x≤ ≤ Ｄ． 60 120x≤ ≤ 二、填空题（共 5 小题，每题 4 分，满分 20 分 ） 11．从一副未曾启封的扑克牌中取出 1 张红桃，2 张黑桃的牌共 3 张，洗匀后，从这 3 张牌中任取 1 张牌 恰好是黑桃的概率是 ． 12．如果 x＝4 是一元二次方程 22 3 axx  的一个根，那么常数 a 的值是 ． 13．在比例尺为1︰2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB两地间的实际距离为 m． 14. 如图，在△ABC 中，AB=8 ㎝，BC=4 ㎝,∠ABC=30°，把△ABC 以点 B 为中心 按逆时针方向旋转，使点 C 旋转到 AB 边的延长线上的C 处， 那么图中阴影部分的面积是__________ 2cm ．（结果保留 ） 15．如图，已知：抛物线 1C ， 2C 关于 x 轴对称；抛物线 1C ， 3C 关于 y 轴对称。 如果抛物线 2C 的解析式是 1)2(4 3 2  xy ，那么抛物线 3C 的解析式 是 ． 三、解答题（满分 90 分） 16．计算：（每题 7 分， 共 14 分） （1） )2 1645()208(  （2） )23)(23()13( 2  （第 9 题） A． B． C． D． （第 18（1）题） （第（2）题） （第 19 题） 17．解方程：（每题 7 分， 共 14 分） （1） 0222  xx （2） 0)3(2)3( 2  xxx 18．（第 1 小题 8 分，第 2 小题 9 分， 共 17 分） （1）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点 坐标分别是 A（2，3）、B（2，1）、C（3，2）． ①判断△ABC 的形状； ②如果将△ABC 沿着边 AC 旋转，求所得旋转体的全面积． （2）如图，方格纸中有三个点 A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点） 上，且四边形的顶点在方格的格点上． ①在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； ②在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； ③在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形． 19．(10 分)如图，AB 是半圆 O 的直径，AD 为弦，BC 是半圆 O 的切线，OC∥AD， （1）求证：CD 是半圆 O 的切线；（2）若 BD＝BC＝6，求 AD 的长． 20．(10 分) 如图，某小区有一长为 30m，宽为 20m 的广场，图案如下，其中白色区域四周出口的宽度一 样．小明在规定地点随意向图案内投掷小球，每球都能落在图案内，经过多次试验，发现落在黑色区域 第 21 题 M B D C E F G x A 的概率是 3 1 ,那么白色区域四周出口的宽度应是多少？ 21．（11 分）如图，平行四边形 ABCD 中，AB＝5，BC＝10，BC 边上的高 AM=4，E 为 BC 边上的一个动点（不 与 B、C 重合）．过 E 作直线 AB 的垂线，垂足为 F． FE 与 DC 的延长线相交于点 G，连结 DE，DF．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG． （2） 当点 E 在线段 BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由． （3）设 BE＝x，△DEF 的面积为 y，请你求出 y 和 x 之间的函数关系式，并求出当 x 为何值时,y 有最 大值，最大值是多少？ 22．（14 分）如图 11 所示，已知抛物线 2 1y x  与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C． （1）求 A、B、C 三点的坐标． （2）过点 A 作 AP∥CB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积． （3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MG  x 轴于点 G，使以 A、M、G 三点为顶点的三 角形与  PCA 相似．若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说明理由． （第 20 题） C P B y A o x 2009-2010 学年第一学期九年级数学模拟试卷参考答案 一、选择题(每小题 4 分，满分 40 分) DBCDB BCABA 二、填空题（每题 4 分，满分 20 分 ） 11、 3 2 ；12、±2 ； 13、100 ；14、 20 ；15、 1)2(4 3 2  xy 三、解答题（90 分） 16．（1） 解：原式= 23535222  …………………4 分 52  …………………………………7 分 （2）解：原式 11323  ……………………4 分 323  …………………………………7 分 17．（1）解： 2,2,1  cba ……………………3 分 128442  acb …………………………………5 分 312 122 x 311 x 312 x …………………………………7 分 （2）解： 0)23)(3(  xxx ……………………………2 分 0)33)(3(  xx …………………………………3 分 03 x 或 033 x …………………………………5 分 31 x 12 x …………………………………7 分 18．（1）解：∵ 2AB ， 2AC ， 2BC ……………3 分 ∴ 222 BCACAB  ∴△ABC 是直角三角形 …………………………………5 分 （2）△ABC 沿着边 AC 旋转所得的旋转体是圆锥 ∴全面积 2)2(2222 1   …………………7 分  222  …………………………………8 分 (2)（每图 3 分）（本题答案不唯一） 19． （1） 证明：连结 OD， ∵BC 是半圆 O 的切线, ∴∠CBO＝90° …………………………………1 分 ∵OC∥AD，AB 是半圆 O 的直径 ∴∠OED＝∠EDA＝90°………………………………2 分 ∴∠BOC＝∠DOC(垂径定理) ………………………3 分 ∴△BOC≌△DOC …………………………………4 分 ∴∠CBO＝∠CDO＝90° ∴CD 是半圆 O 的切线…………………………………5 分 （2）∵△BOC≌△DOC， ∴BC＝DC …………………………………………6 分 ∵BD＝BC＝6 ∴BD＝BC＝CD…………………………………………7 分 ∴∠CBD＝60°，∠DBA＝30°，……………………9 分 ∴AD＝ 32 ………………………………………10 分 20．解：设白色区域四周出口的宽度为 x m，依题意得 3 112030 2030 2   xxx ……………………………5 分 解得： 101 x 402 x （舍去）……………10 分 答：白色区域四周出口的宽度为 10m 21．（1） 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 AB DG ······························· 1 分 A 图甲（是中心对称图形 但不是轴对称图形） B C 图乙（是轴对称图形但 不是中心对称图形） 图丙（既是轴对称图形 又是中心对称图形） A B C A B C （第 20 题） 所以 ,B GCE G BFE      ·································································3 分 所以 BEF CEG△ ∽△ ················································································4 分 （2） BEF CEG△ 与△ 的周长之和为定值．····················································· 5 分 理由一： 过点 C 作 FG 的平行线交直线 AB 于 H ， 因为 GF⊥AB，所以四边形 FHCG 为矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH 因此， BEF CEG△ 与△ 的周长之和等于 BC＋CH＋BH 由 BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得 CH＝8，BH＝6， 所以 BC＋CH＋BH＝24 ··················································································· 7 分 理由二： 由 AB＝5，AM＝4，可知 在 Rt△BEF 与 Rt△GCE 中，有： 4 3 4 3, , ,5 5 5 5EF BE BF BE GE EC GC CE    ， 所以，△BEF 的周长是12 5 BE ， △ECG 的周长是12 5 CE 又 BE＋CE＝10，因此 BEF CEG 与 的周长之和是 24．······································7 分 （3）设 BE＝x，则 4 3, (10 )5 5EF x GC x   所以 21 1 4 3 6 22[ (10 ) 5]2 2 5 5 25 5y EF DG x x x x        ······························· 9 分 配方得： 26 55 121( )25 6 6y x    ． 所以，当 55 6x  时，y 有最大值．································································· 10 分 最大值为121 6 ．····························································································· 11 分 22．28．解：（1）令 0y  ，得 2 1 0x   解得 1x   令 0x  ，得 1y   ∴ A ( 1,0) B (1,0) C (0, 1) ···· （2 分） （2）∵OA=OB=OC=1 ∴  BAC=  ACO= BCO= 45 ∵AP∥CB， ∴  PAB= 45 过点 P 作 PE  x 轴于 E，则  APE 为等腰直角三角形 令 OE= a ，则 PE= 1a  ∴P ( , 1)a a  第 28 题图 1 E C B y P A o x A M x H G F E D C B ∵点 P 在抛物线 2 1y x  上 ∴ 21 1a a   解得 1 2a  ， 2 1a   （不合题意，舍去） ∴PE=3 ······························································································4 分） ∴四边形 ACBP 的面积 S = 1 2 AB•OC+ 1 2 AB•PE = 1 12 1 2 3 42 2       ······································· 6 分） (3)． 假设存在 ∵  PAB=  BAC = 45 ∴PA  AC ∵MG  x 轴于点 G， ∴  MGA=  PAC =90 在 Rt△AOC 中，OA=OC=1 ∴AC= 2 在 Rt△PAE 中，AE=PE=3 ∴AP= 3 2 ····················································7 分） 设 M 点的横坐标为 m ，则 M 2( , 1)m m  ①点 M 在 y 轴左侧时，则 1m   (ⅰ) 当  AMG ∽  PCA 时，有 AG PA = MG CA ∵AG= 1m  ，MG= 2 1m  即 21 1 3 2 2 m m   解得 1 1m   （舍去） 2 2 3m  （舍去） (ⅱ) 当  MAG ∽  PCA 时有 AG CA = MG PA 即 21 1 2 3 2 m m   解得： 1m   （舍去） 2 2m   ∴M ( 2,3) ·············································································（10 分） ② 点 M 在 y 轴右侧时，则 1m  (ⅰ) 当  AMG ∽  PCA 时有 AG PA = MG CA ∵AG= 1m  ，MG= 2 1m  ∴ 21 1 3 2 2 m m  G M C B y P A o x G M 第 28 题图 2 C B y P A o x （第 19 题） 解得 1 1m   （舍去） 2 4 3m  ∴M 4 7( , )3 9 (ⅱ) 当  MAG∽  PCA 时有 AG CA = MG PA 即 21 1 2 3 2 m m  解得： 1 1m   （舍去） 2 4m  ∴M (4,15) ∴存在点 M，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与  PCA 相似 M 点的坐标为 ( 2,3) ， 4 7( , )3 9 ， (4,15) ····································（13 分） 说明：以上各题如有其他解（证）法，请酌情给分． 备用： 18、(8 分)如图，方格纸上的每个小正方形的边长均为 1． (1)观察图①、②中所画的“L”型图形，然后补画一个小正方形，使图①中所成的图形是轴对称图 形，图②中所成的图形是中心对称图形； (2)补画后，图①、②中所成图形的是不是正方体的表面展开图(在括号内填“是”或“不是”)： 答：图①中的图形( )，图②中的图形( )． 19．（8 分）如图，A 箱中装有 2 张相同的卡片，它们分别写有数字 2 、 8 ；B 箱中装有 3 张相同的卡片，它们分别写有数字 2 、 6 、 8 ．现从 A 箱、B 箱中各随机地取出 1 张卡片： （1）试用树状图（或列表法）表示所有可能的结果； （2）求两张卡片上的数字相乘积为有理数的概率． 20．（10 分）宏达纺织品有限公司准备投资开发 A、B 两种新产品,通过市场调研发现：如果单独投资 A 种 产品,则所获利润（万元）与投资金额 x （万元）之间满足正比例函数关系： kxy A  ；如果单独投资 B 种产品,则所获利润（万元）与投资金额 x （万元）之间满足二次函数关系： bxaxyB  2 .根据公司信 息部的报告, Ay 、 By （万元）与投资金额 x （万元）的部分对应值（如下表） （1）填空 Ay _________________________； By _________________________； （2）如果公司准备投资 20 万元同时开发 A,B 两种新产品,请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少万 元？ 20．（本题满分 12 分） 某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 200 元时，房间可以住满．当每个 房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每 天支出 20 元的各种费用． 设每个房间每天的定价增加 x 元．求： （1）房间每天的入住量 y （间）关于 x （元）的函数关系式．（3 分） （2）该宾馆每天的房间收费 z （元）关于 x （元）的函数关系式．（3 分） （3）该宾馆客房部每天的利润 w （元）关于 x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元 时， w 有最大值？最大值是多少？（6 分） x 1 5 Ay 0.6 3 By 2.8 10 21．（11 分）两个直角边为 6 的全等的等腰直角三角形 Rt△AOB 和 Rt△CED 按图 1 所示的位置放置 A 与 C 重合，O 与 E 重合． （1）求图 1 中，A、B、D 三点的坐标． （2）Rt△AOB 固定不动，Rt△CED 沿 x 轴以每秒 2 个单位长的速度向右运动，当 D 点运动到与 B 点重 合时停止，设运动 x 秒后 Rt△CED 和 Rt△AOB 重叠部分面积为 y ，求 y 与 x 之间的函数关系式． （3）当 Rt△CED 以（2）中的速度和方向运动，运动时间 4x  秒时 Rt△CED 运动到如图 2 所示的位置， 求经过 A、G、C 三点的抛物线的解析式． （4）现有一半径为 2，圆心 P 在（3）中的抛物线上运动的动圆，试问⊙P 在运动过程中是否存在⊙P 与 x 轴或 y 轴相切的情况，若存在请求出 P 的坐标，若不存在请说明理由． 21．（11 分）在平面直角坐标系中，给出如下三种变换：P 变换，Q 变换，R 变换． 将图形 F 沿 x 轴向左平移得图形 F1，称为作 1 次 P 变换； 将图形 F 沿 y 轴翻折得图形 F2，称为作 1 次 Q 变换； 将图形 F 绕坐标原点顺时针旋转 90 得图形 F3，称为作 1 次 R 变换． 规定：PQ 变换表示先作 1 次 P 变换，再作 1 次 Q 变换；RQ 变换表示先作1次 R 变换，再作 1 次 Q 变换． 如图，将两块全等的含 30°角的三角尺如图(1)摆放在平面直角坐标系中，它们的较短直角边长为 3． (1) 将△ECD 沿 x 轴向左平移到图(2)的位置，使 E 点落在 AB 上，△ECD 经过___ 变化得到 DCE  ， 且 CC′=___ ； (2) 将△ECD 绕点 C 逆时针旋转到图(3)的位置，使点 E 落在 AB 上，求△ECD 绕点 C 旋转的度数； (3) 将△ECD 沿直线 AC 翻折到图(4)的位置，ED′与 AB 相交于点 F， DEC  可以看成△ABC 经过___ （第 21 题） EO B x y A C D 图 2 G （图 2）（图 1） 变化得到，并证明 AF=FD′． 22．（14 分）已知二次函数 cbxaxy  2 1 自变量 x 与函数值 1y 之间满足下列数量关系，回答下列问 题： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 1y －12 －5 0 3 4 3 0 －12 （1）二次函数 1y 的解析式是 ；对称轴是 ； （2）当 4x 时， 1y 的值是 ； 代数式 a acbb a acbb 2 4 2 4 22  +(a+b+c)(a－b+c)的值是 ； （3）如图（1），把二次函数 1y 向左平移 1 个单位得到二次函数 2y ，则二次函数 2y 的解析式 是 ；点 A 是二次函数 1y 的顶点，点 B 是二次函数 1y 与 x 轴的一个交点，那么曲线 AB 在平移过程中扫过的图形的面积是 ； （4）如图（2），二次函数 2y 的顶点为 C，与 x 轴的一个交点为 D，点 Q 的坐标为（1，0），点 P 在线段 CD 上运动（端点除外），问：在是否存在点 P，使得△OQP 是等腰三角形？若存在，请求出点 P 的坐标； 若不存在，请说明理由． 备用题参考答案: 20、（1） xy A 5 3 ； xxyB 35 1 2  （2）设投资 m 万元开发 B 产品，则投资 20-m 万元开发 A 产品，所得利润 5 119)6(5 1125 12 5 1)20(5 335 1 222  mmmmmmw （第 21 题） 当 6m 时， w 最大值 5 119 ∴投资 14 万元开发 A 产品，投资 6 万元开发 B 产品，公司能获得最大的利润，利润值是 5 119 万元 20、 21．解：（1） (0 6)A ， ， (6 0)B ， ， ( 6 0)D  ， --------------------------3 分 （2）当 0 3x ≤ 时，位置如图Ａ所示， 作GH DB⊥ ，垂足为 H ，可知： 2OE x ， EH x ， 6 2DO x  ， 6DH x  ， 2 2( )GHD IODIOHGy S S S   △ △梯形 2 21 12 (6 ) (6 2 )2 2x x       2 232 6 3 122 x x x x         ---------------------------4 分 当3 6x≤ ≤ 时，位置如图Ｂ所示． 可知： 12 2DB x  2 1 2 2 2DGBy S DB         △ 2 21 2 (12 2 ) 12 362 2 x x x          --------------------5 分 （求梯形 IOHG 的面积及 DGB△ 的面积时只要所用方法适当，所得结论正确均可给分） y 与 x 的函数关系式为： 2 2 3 12 (0 3) 12 36(3 6) x x xy x x x       ≤ ≤ ≤ -----------------------6 分 （3）图 2 中，作GH OE⊥ ，垂足为 H ，当 4x  时， 2 8OE x  ， 12 2 4DB x   1 22GH DH DB    ， 16 6 6 2 42OH HB DB       y xBEHOD J G CA I 图Ａ D H B E xO G C y A 图Ｂ 可知： (0 6)A ， ， (4 2)G ， ， (8 6)C ， -------------------------------------------------7 分 经过 A G C， ， 三点的抛物线解析式： 2 21 ( 4) 2 2 64 4 xy x x      --8 分 （4）当 P 在运动过程中，存在 P 与坐标轴相切的情况，设 P 点坐标为 0 0( )x y， 当 P 与 y 轴相切时，有 0 2x  ， 0 2x   ，由 0 2x   得： 0 11y  ， 1( 211)P  ， 由 0 2x  ，得 0 3y  ， 2 (2 3)P ， 当 P 与 x 轴相切时，有 0 2y  21 ( 4) 2 04y x    0 2y  ，得： 0 4x  ， 3 (4 2)P ， 综上所述，符合条件的圆心 P 有三个，其坐标分别是： 1( 211)P  ， ， 2 (2 3)P ， ， 3 (4 2)P ， -------------------11 分（每求出一个点坐标得 1 分） 21 (1) P 变化，3- 3 ； …………………………………3 分（1+2） (2)30°； …………………………………6 分 (3)RQ 变化 …………………………………8 分 证明：在△AEF 和△D′BF 中， ∵AE=AC-EC, D’ B=D’ C-BC， 又 AC=D’ C,EC=BC，∴AE=D’ B． 又 ∠AEF=∠D’ BF=180°-60°=120°，∠A=∠CD’E=30°， ∴△AEF≌△D’ BF． ∴AF=FD’． ……………………………………11 分 22．（1） 4)1( 2 1  xy ， 1x ………………………2 分（1+1） （2）－5 ； 2……………………………………5 分（1+2） （3） 42 1  xy ；4；…………………………………8 分（1+2） （4）第一种情况：OP＝PQ 时，点 P 的坐标是（ 2 1 ，3） 第二种情况：OP＝OQ 时，点 O 到直线 CD 的距离= 5 5 ＞1，点 P 不存在 第三种情况：OQ＝QP 时，设 P（m，-2m+4），得 1)42()1( 22  mm ， 解得： 5 8 1 x ， 22 x （舍去） ∴点 P 的坐标是（ 5 8 ， 5 4 ） 综上所述，点 P 的坐标为（ 2 1 ，3）或（ 5 8 ， 5 4 ）时，△OQP 是等腰三角形。 …………………………………………………………………………14 分（2+2+2）