2016年永州市中考数学试题解析版

2016 年湖南省永州市中考数学试卷 一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 48 分 1． ﹣ 的 相 反 数 的 倒 数 是 （ ） A． 1 B． ﹣ 1 C． 2016 D． ﹣ 2016 2． 不 等 式 组 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 正 确 的 是 （ ） A． B． C． D． 3． 下 列 图 案 中 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是 （ ） A． B． C． D． 4． 下 列 运 算 正 确 的 是 （ ） A． ﹣ a•a3=a 3B． ﹣ （ a2） 2=a 4C． x﹣ x= D．（ ﹣ 2）（ +2） =﹣ 1 5． 如 图 ， 将 两 个 形 状 和 大 小 都 相 同 的 杯 子 叠 放 在 一 起 ， 则 该 实 物 图 的 主 视 图 为 （ ） A． B． C． D． 6． 在 “爱 我 永 州 ”中 学 生 演 讲 比 赛 中 ， 五 位 评 委 分 别 给 甲 、 乙 两 位 选 手 的 评 分 如 下 ： 甲 ： 8、 7、 9、 8、 8 乙 ： 7、 9、 6、 9、 9 则 下 列 说 法 中 错 误 的 是 （ ） A． 甲 、 乙 得 分 的 平 均 数 都 是 8 B． 甲 得 分 的 众 数 是 8， 乙 得 分 的 众 数 是 9 C． 甲 得 分 的 中 位 数 是 9， 乙 得 分 的 中 位 数 是 6 D． 甲 得 分 的 方 差 比 乙 得 分 的 方 差 小 7． 对 下 列 生 活 现 象 的 解 释 其 数 学 原 理 运 用 错 误 的 是 （ ） A． 把 一 条 弯 曲 的 道 路 改 成 直 道 可 以 缩 短 路 程 是 运 用 了 “两 点 之 间 线 段 最 短 ”的 原 理 B．木 匠 师 傅 在 刨 平 的 木 板 上 任 选 两 个 点 就 能 画 出 一 条 笔 直 的 墨 线 是 运 用 了 “直 线 外 一 点 与 直 线 上 各 点 连 接 的 所 有 线 段 中 ， 垂 线 段 最 短 ”的 原 理 C． 将 自 行 车 的 车 架 设 计 为 三 角 形 形 状 是 运 用 了 “三 角 形 的 稳 定 性 ”的 原 理 D． 将 车 轮 设 计 为 圆 形 是 运 用 了 “圆 的 旋 转 对 称 性 ”的 原 理 8． 抛 物 线 y=x 2+2x+m﹣ 1 与 x 轴 有 两 个 不 同 的 交 点 ， 则 m 的 取 值 范 围 是 （ ） A． m＜ 2 B． m＞ 2 C． 0＜ m≤2 D． m＜ ﹣ 2 9．如 图 ，点 D，E 分 别 在 线 段 AB，AC 上 ，CD 与 BE 相 交 于 O 点 ，已 知 AB=AC，现 添 加 以 下 的 哪 个 条 件 仍 不 能 判 定 △ABE≌△ACD（ ） A． ∠B=∠C B． AD=AE C． BD=CE D． BE=CD 10． 圆 桌 面 （ 桌 面 中 间 有 一 个 直 径 为 0.4m 的 圆 洞 ） 正 上 方 的 灯 泡 （ 看 作 一 个 点 ） 发 出 的 光 线 照 射 平 行 于 地 面 的 桌 面 后 ， 在 地 面 上 形 成 如 图 所 示 的 圆 环 形 阴 影 ． 已 知 桌 面 直 径 为 1.2m， 桌 面 离 地 面 1m， 若 灯 泡 离 地 面 3m， 则 地 面 圆 环 形 阴 影 的 面 积 是 （ ） A． 0.324πm2B． 0.288πm2C． 1.08πm2D． 0.72πm2 11． 下 列 式 子 错 误 的 是 （ ） A． cos40°=sin50° B． tan15°•tan75°=1 C． sin 225°+cos 225°=1 D． sin60°=2sin30° 12． 我 们 根 据 指 数 运 算 ， 得 出 了 一 种 新 的 运 算 ， 如 表 是 两 种 运 算 对 应 关 系 的 一 组 实 例 ： 指 数 运 算 21=2 22=4 23=8 … 31=3 32=9 33=27 … 新 运 算 log 22=1 log 24=2 log 28=3 … log 33=1 log39=2 log 327=3 … 根 据 上 表 规 律 ， 某 同 学 写 出 了 三 个 式 子 ： ①log 216=4， ②log 525=5， ③log 2 =﹣ 1． 其 中 正 确 的 是 （ ） A． ①② B． ①③ C． ②③ D． ①②③ 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 32 分 13． 涔 天 河 水 库 位 于 永 州 市 江 华 瑶 族 自 治 县 境 内 ， 其 扩 建 工 程 是 湖 南 省 “十 二 五 ”期 间 水 利 建 设 的 “一 号 工 程 ”，也 是 国 务 院 重 点 推 进 的 重 大 工 程 ，其 中 灌 区 工 程 总 投 资 约 39 亿 元 ．请 将 3900000000 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ． 14． 在 1， π， ， 2， ﹣ 3.2 这 五 个 数 中 随 机 取 出 一 个 数 ， 则 取 出 的 这 个 数 大 于 2 的 概 率 是 ． 15． 已 知 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 经 过 点 A（ 1， ﹣ 2）， 则 k= ． 16． 方 程 组 的 解 是 ． 17． 化 简 ： ÷ = ． 18． 如 图 ， 在 ⊙O 中 ， A， B 是 圆 上 的 两 点 ， 已 知 ∠AOB=40°， 直 径 CD∥AB， 连 接 AC， 则 ∠BAC= 度 ． 19．已 知 一 次 函 数 y=kx+2k+3 的 图 象 与 y 轴 的 交 点 在 y 轴 的 正 半 轴 上 ，且 函 数 值 y 随 x 的 增 大 而 减 小 ， 则 k 所 有 可 能 取 得 的 整 数 值 为 ． 20． 如 图 ， 给 定 一 个 半 径 长 为 2 的 圆 ， 圆 心 O 到 水 平 直 线 l 的 距 离 为 d， 即 OM=d． 我 们 把 圆 上 到 直 线 l 的 距 离 等 于 1 的 点 的 个 数 记 为 m．如 d=0 时 ，l 为 经 过 圆 心 O 的 一 条 直 线 ， 此 时 圆 上 有 四 个 到 直 线 l 的 距 离 等 于 1 的 点 ， 即 m=4， 由 此 可 知 ： （ 1） 当 d=3 时 ， m= ； （ 2） 当 m=2 时 ， d 的 取 值 范 围 是 ． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 7 小 题 ， 共 79 分 21． 计 算 ： ﹣ （ 3﹣ π） 0﹣ |﹣ 3+2| 22． 二 孩 政 策 的 落 实 引 起 了 全 社 会 的 关 注 ， 某 校 学 生 数 学 兴 趣 小 组 为 了 了 解 本 校 同 学 对 父 母 生 育 二 孩 的 态 度 ， 在 学 校 抽 取 了 部 分 同 学 对 父 母 生 育 二 孩 所 持 的 态 度 进 行 了 问 卷 调 查 ， 调 查 分 别 为 非 常 赞 同 、 赞 同 、 无 所 谓 、 不 赞 同 等 四 种 态 度 ， 现 将 调 查 统 计 结 果 制 成 了 如 图 两 幅 统 计 图 ， 请 结 合 两 幅 统 计 图 ， 回 答 下 列 问 题 ： （ 1） 在 这 次 问 卷 调 查 中 一 共 抽 取 了 名 学 生 ， a= %； （ 2） 请 补 全 条 形 统 计 图 ； （ 3） 持 “不 赞 同 ”态 度 的 学 生 人 数 的 百 分 比 所 占 扇 形 的 圆 心 角 为 度 ； （ 4） 若 该 校 有 3000 名 学 生 ， 请 你 估 计 该 校 学 生 对 父 母 生 育 二 孩 持 “赞 同 ”和 “非 常 赞 同 ”两 种 态 度 的 人 数 之 和 ． 23． 如 图 ， 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形 ， ∠BAD 的 角 平 分 线 AE 交 CD 于 点 F， 交 BC 的 延 长 线 于 点 E． （ 1） 求 证 ： BE=CD； （ 2） 连 接 BF， 若 BF⊥AE， ∠BEA=60°， AB=4， 求 平 行 四 边 形 ABCD 的 面 积 ． 24． 某 种 商 品 的 标 价 为 400 元 /件 ， 经 过 两 次 降 价 后 的 价 格 为 324 元 /件 ， 并 且 两 次 降 价 的 百 分 率 相 同 ． （ 1） 求 该 种 商 品 每 次 降 价 的 百 分 率 ； （ 2） 若 该 种 商 品 进 价 为 300 元 /件 ， 两 次 降 价 共 售 出 此 种 商 品 100 件 ， 为 使 两 次 降 价 销 售 的 总 利 润 不 少 于 3210 元 ． 问 第 一 次 降 价 后 至 少 要 售 出 该 种 商 品 多 少 件 ？ 25． 如 图 ， △ABC 是 ⊙O 的 内 接 三 角 形 ， AB 为 直 径 ， 过 点 B 的 切 线 与 AC 的 延 长 线 交 于 点 D， E 是 BD 中 点 ， 连 接 CE． （ 1） 求 证 ： CE 是 ⊙O 的 切 线 ； （ 2） 若 AC=4， BC=2， 求 BD 和 CE 的 长 ． 26． 已 知 抛 物 线 y=ax 2+bx﹣ 3 经 过 （ ﹣ 1， 0），（ 3， 0） 两 点 ， 与 y 轴 交 于 点 C， 直 线 y=kx 与 抛 物 线 交 于 A， B 两 点 ． （ 1） 写 出 点 C 的 坐 标 并 求 出 此 抛 物 线 的 解 析 式 ； （ 2） 当 原 点 O 为 线 段 AB 的 中 点 时 ， 求 k 的 值 及 A， B 两 点 的 坐 标 ； （ 3） 是 否 存 在 实 数 k 使 得 △ABC 的 面 积 为 ？ 若 存 在 ， 求 出 k 的 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ． 新*课标*第*一*网 27． 问 题 探 究 ： 1． 新 知 学 习 若 把 将 一 个 平 面 图 形 分 为 面 积 相 等 的 两 个 部 分 的 直 线 叫 做 该 平 面 图 形 的 “面 线 ”， 其 “面 线 ” 被 该 平 面 图 形 截 得 的 线 段 叫 做 该 平 面 图 形 的 “面 径 ”（ 例 如 圆 的 直 径 就 是 圆 的 “面 径 ”）． 2． 解 决 问 题 已 知 等 边 三 角 形 ABC 的 边 长 为 2． （ 1） 如 图 一 ， 若 AD⊥BC， 垂 足 为 D， 试 说 明 AD 是 △ABC 的 一 条 面 径 ， 并 求 AD 的 长 ； （ 2） 如 图 二 ， 若 ME∥BC， 且 ME 是 △ABC 的 一 条 面 径 ， 求 面 径 ME 的 长 ； （ 3）如 图 三 ，已 知 D 为 BC 的 中 点 ，连 接 AD，M 为 AB 上 的 一 点（ 0＜ AM＜ 1），E 是 DC 上 的 一 点 ， 连 接 ME， ME 与 AD 交 于 点 O， 且 S △ MOA =S △ DOE ． ①求 证 ： ME 是 △ABC 的 面 径 ； ②连 接 AE， 求 证 ： MD∥AE； （ 4） 请 你 猜 测 等 边 三 角 形 ABC 的 面 径 长 l 的 取 值 范 围 （ 直 接 写 出 结 果 ） 2016 年湖南省永州市中考数学试卷 参 考 答 案 与 试 题 解 析 一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 48 分 1． ﹣ 的 相 反 数 的 倒 数 是 （ ） A． 1 B． ﹣ 1 C． 2016 D． ﹣ 2016 【 考 点 】 倒 数 ； 相 反 数 ． 【 分 析 】 直 接 利 用 相 反 数 的 概 念 以 及 倒 数 的 定 义 分 析 ， 进 而 得 出 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： ﹣ 的 相 反 数 是 ： ， ∵ ×2016=1， ∴﹣ 的 相 反 数 的 倒 数 是 ： 2016． 故 选 ： C． 2． 不 等 式 组 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 正 确 的 是 （ ） A． B． C． D． 【 考 点 】 解 一 元 一 次 不 等 式 组 ； 在 数 轴 上 表 示 不 等 式 的 解 集 ． 【 分 析 】 把 各 不 等 式 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： 不 等 式 组 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 为 ： ． 故 选 A． 3． 下 列 图 案 中 既 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形 的 是 （ ） A． B． C． D． 【 考 点 】 中 心 对 称 图 形 ； 轴 对 称 图 形 ． 【 分 析 】 根 据 轴 对 称 图 形 与 中 心 对 称 图 形 的 概 念 求 解 ． 【 解 答 】 解 ： A、 是 轴 对 称 图 形 ． 也 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 正 确 ； B、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ； C、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ； D、 是 轴 对 称 图 形 ， 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 此 选 项 错 误 ． 故 选 ： A． 4． 下 列 运 算 正 确 的 是 （ ） A． ﹣ a•a3=a 3B． ﹣ （ a2） 2=a 4C． x﹣ x= D．（ ﹣ 2）（ +2） =﹣ 1 【 考 点 】 二 次 根 式 的 混 合 运 算 ； 合 并 同 类 项 ； 同 底 数 幂 的 乘 法 ； 幂 的 乘 方 与 积 的 乘 方 ． 【 分 析 】 利 用 同 底 数 的 幂 的 乘 法 法 则 、 幂 的 乘 方 、 合 并 同 类 项 法 则 ， 以 及 平 方 差 公 式 即 可 判 断 ． 【 解 答 】 解 ： A、 ﹣ a•a3=﹣ a4， 故 选 项 错 误 ； B、 ﹣ （ a2） 2=﹣ a4， 选 项 错 误 ； C、 x﹣ x= x， 选 项 错 误 ； D、（ ﹣ 2）（ +2） =（ ） 2﹣ 22=3﹣ 4=﹣ 1， 选 项 正 确 ． 故 选 D． 5． 如 图 ， 将 两 个 形 状 和 大 小 都 相 同 的 杯 子 叠 放 在 一 起 ， 则 该 实 物 图 的 主 视 图 为 （ ） A． B． C． D． 【 考 点 】 简 单 组 合 体 的 三 视 图 ． 【 分 析 】 根 据 图 形 的 三 视 图 的 知 识 ， 即 可 求 得 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： 该 实 物 图 的 主 视 图 为 ． 故 选 B． 6． 在 “爱 我 永 州 ”中 学 生 演 讲 比 赛 中 ， 五 位 评 委 分 别 给 甲 、 乙 两 位 选 手 的 评 分 如 下 ： 甲 ： 8、 7、 9、 8、 8 乙 ： 7、 9、 6、 9、 9 则 下 列 说 法 中 错 误 的 是 （ ） A． 甲 、 乙 得 分 的 平 均 数 都 是 8 B． 甲 得 分 的 众 数 是 8， 乙 得 分 的 众 数 是 9 C． 甲 得 分 的 中 位 数 是 9， 乙 得 分 的 中 位 数 是 6 D． 甲 得 分 的 方 差 比 乙 得 分 的 方 差 小 【 考 点 】 方 差 ； 算 术 平 均 数 ； 中 位 数 ； 众 数 ． 【 分 析 】 分 别 求 出 甲 、 乙 的 平 均 数 、 众 数 、 中 位 数 及 方 差 可 逐 一 判 断 ． 【 解 答 】 解 ： A、 = =8， = =8， 故 此 选 项 正 确 ； B、 甲 得 分 次 数 最 多 是 8 分 ， 即 众 数 为 8 分 ， 乙 得 分 最 多 的 是 9 分 ， 即 众 数 为 9 分 ， 故 此 选 项 正 确 ； C、 ∵甲 得 分 从 小 到 大 排 列 为 ： 7、 8、 8、 8、 9， ∴甲 的 中 位 数 是 8 分 ； ∵乙 得 分 从 小 到 大 排 列 为 ： 6、 7、 9、 9、 9， ∴乙 的 中 位 数 是 9 分 ； 故 此 选 项 错 误 ； D、 ∵ = ×[（ 8﹣ 8） 2+（ 7﹣ 8） 2+（ 9﹣ 8） 2+（ 8﹣ 8） 2+（ 8﹣ 8） 2 ] = ×2=0.4， = ×[（ 7﹣ 8） 2+（ 9﹣ 8） 2+（ 6﹣ 8） 2+（ 9﹣ 8） 2+（ 9﹣ 8） 2 ] = ×8=1.6， ∴ ＜ ， 故 D 正 确 ； 故 选 ： C． 7． 对 下 列 生 活 现 象 的 解 释 其 数 学 原 理 运 用 错 误 的 是 （ ） A． 把 一 条 弯 曲 的 道 路 改 成 直 道 可 以 缩 短 路 程 是 运 用 了 “两 点 之 间 线 段 最 短 ”的 原 理 B．木 匠 师 傅 在 刨 平 的 木 板 上 任 选 两 个 点 就 能 画 出 一 条 笔 直 的 墨 线 是 运 用 了 “直 线 外 一 点 与 直 线 上 各 点 连 接 的 所 有 线 段 中 ， 垂 线 段 最 短 ”的 原 理 C． 将 自 行 车 的 车 架 设 计 为 三 角 形 形 状 是 运 用 了 “三 角 形 的 稳 定 性 ”的 原 理 D． 将 车 轮 设 计 为 圆 形 是 运 用 了 “圆 的 旋 转 对 称 性 ”的 原 理 【 考 点 】 圆 的 认 识 ； 线 段 的 性 质 ： 两 点 之 间 线 段 最 短 ； 垂 线 段 最 短 ； 三 角 形 的 稳 定 性 ． 【 分 析 】 根 据 圆 的 有 关 定 义 、 垂 线 段 的 性 质 、 三 角 形 的 稳 定 性 等 知 识 结 合 生 活 中 的 实 例 确 定 正 确 的 选 项 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： A、 把 一 条 弯 曲 的 道 路 改 成 直 道 可 以 缩 短 路 程 是 运 用 了 “两 点 之 间 线 段 最 短 ” 的 原 理 ， 正 确 ； B、木 匠 师 傅 在 刨 平 的 木 板 上 任 选 两 个 点 就 能 画 出 一 条 笔 直 的 墨 线 是 运 用 了 “两 点 确 定 一 条 直 线 ”的 原 理 ， 故 错 误 ； C、 将 自 行 车 的 车 架 设 计 为 三 角 形 形 状 是 运 用 了 “三 角 形 的 稳 定 性 ”的 原 理 ， 正 确 ； D、 将 车 轮 设 计 为 圆 形 是 运 用 了 “圆 的 旋 转 对 称 性 ”的 原 理 ， 正 确 ， 故 选 B． 8． 抛 物 线 y=x 2+2x+m﹣ 1 与 x 轴 有 两 个 不 同 的 交 点 ， 则 m 的 取 值 范 围 是 （ ） A． m＜ 2 B． m＞ 2 C． 0＜ m≤2 D． m＜ ﹣ 2 【 考 点 】 抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 ． 【 分 析 】 由 抛 物 线 与 x 轴 有 两 个 交 点 ， 则 △=b2﹣ 4ac＞ 0， 从 而 求 出 m 的 取 值 范 围 ． 【 解 答 】 解 ： ∵抛 物 线 y=x 2+2x+m﹣ 1 与 x 轴 有 两 个 交 点 ， ∴△=b 2﹣ 4ac＞ 0， 即 4﹣ 4m+4＞ 0， 解 得 m＜ 2， 故 选 A． 9．如 图 ，点 D，E 分 别 在 线 段 AB，AC 上 ，CD 与 BE 相 交 于 O 点 ，已 知 AB=AC，现 添 加 以 下 的 哪 个 条 件 仍 不 能 判 定 △ABE≌△ACD（ ） A． ∠B=∠C B． AD=AE C． BD=CE D． BE=CD 【 考 点 】 全 等 三 角 形 的 判 定 ． 【 分 析 】欲 使 △ABE≌△ACD，已 知 AB=AC，可 根 据 全 等 三 角 形 判 定 定 理 AAS、SAS、ASA 添 加 条 件 ， 逐 一 证 明 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： ∵AB=AC， ∠A 为 公 共 角 ， A、 如 添 加 ∠B=∠C， 利 用 ASA 即 可 证 明 △ABE≌△ACD； B、 如 添 AD=AE， 利 用 SAS 即 可 证 明 △ABE≌△ACD； C、 如 添 BD=CE， 等 量 关 系 可 得 AD=AE， 利 用 SAS 即 可 证 明 △ABE≌△ACD； D、如 添 BE=CD，因 为 SSA，不 能 证 明 △ABE≌△ACD，所 以 此 选 项 不 能 作 为 添 加 的 条 件 ． 故 选 ： D． 10． 圆 桌 面 （ 桌 面 中 间 有 一 个 直 径 为 0.4m 的 圆 洞 ） 正 上 方 的 灯 泡 （ 看 作 一 个 点 ） 发 出 的 光 线 照 射 平 行 于 地 面 的 桌 面 后 ， 在 地 面 上 形 成 如 图 所 示 的 圆 环 形 阴 影 ． 已 知 桌 面 直 径 为 1.2m， 桌 面 离 地 面 1m， 若 灯 泡 离 地 面 3m， 则 地 面 圆 环 形 阴 影 的 面 积 是 （ ） A． 0.324πm2B． 0.288πm2C． 1.08πm2D． 0.72πm2 【 考 点 】 中 心 投 影 ． 【 分 析 】先 根 据 AC⊥OB，BD⊥OB 可 得 出 △AOC∽△BOD，由 相 似 三 角 形 的 对 应 边 成 比 例 可 求 出 BD 的 长 ， 进 而 得 出 BD′=0.3m， 再 由 圆 环 的 面 积 公 式 即 可 得 出 结 论 ． 【 解 答 】 解 ： 如 图 所 示 ： ∵AC⊥OB， BD⊥OB， ∴△AOC∽△BOC， ∴ = ， 即 = ， 解 得 ： BD=0.9m， 同 理 可 得 ： AC′=0.2m， 则 BD′=0.3m， ∴S 圆 环 形 阴 影 =0.9 2π﹣ 0.3 2π=0.72π（ m2）． 故 选 ： D． 11． 下 列 式 子 错 误 的 是 （ ） A． cos40°=sin50° B． tan15°•tan75°=1 C． sin 225°+cos 225°=1 D． sin60°=2sin30° 【 考 点 】 互 余 两 角 三 角 函 数 的 关 系 ； 同 角 三 角 函 数 的 关 系 ； 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ． 【 分 析 】 根 据 正 弦 和 余 弦 的 性 质 以 及 正 切 、 余 切 的 性 质 即 可 作 出 判 断 ． 【 解 答 】 解 ： A、 sin40°=sin（ 90°﹣ 50°） =cos50°， 式 子 正 确 ； B、 tan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1， 式 子 正 确 ； C、 sin 225°+cos 225°=1 正 确 ； D、 sin60°= ， sin30°= ， 则 sin60°=2sin30°错 误 ． 故 选 D． 12． 我 们 根 据 指 数 运 算 ， 得 出 了 一 种 新 的 运 算 ， 如 表 是 两 种 运 算 对 应 关 系 的 一 组 实 例 ： 指 数 运 算 21=2 22=4 23=8 … 31=3 32=9 33=27 … 新 运 算 log 22=1 log 24=2 log 28=3 … log 33=1 log39=2 log 327=3 … 根 据 上 表 规 律 ， 某 同 学 写 出 了 三 个 式 子 ： ①log 216=4， ②log 525=5， ③log 2 =﹣ 1． 其 中 正 确 的 是 （ ） A． ①② B． ①③ C． ②③ D． ①②③ 【 考 点 】 实 数 的 运 算 ． 【 分 析 】 根 据 指 数 运 算 和 新 的 运 算 法 则 得 出 规 律 ， 根 据 规 律 运 算 可 得 结 论 ． 【 解 答 】 解 ： ①因 为 24=16， 所 以 此 选 项 正 确 ； ②因 为 55=3125≠25， 所 以 此 选 项 错 误 ； ③因 为 2 ﹣ 1= ， 所 以 此 选 项 正 确 ； 故 选 B． 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 32 分 13． 涔 天 河 水 库 位 于 永 州 市 江 华 瑶 族 自 治 县 境 内 ， 其 扩 建 工 程 是 湖 南 省 “十 二 五 ”期 间 水 利 建 设 的 “一 号 工 程 ”，也 是 国 务 院 重 点 推 进 的 重 大 工 程 ，其 中 灌 区 工 程 总 投 资 约 39 亿 元 ．请 将 3900000000 用 科 学 记 数 法 表 示 为 3.9×10 9 ． 【 考 点 】 科 学 记 数 法 —表 示 较 大 的 数 ． 【 分 析 】 科 学 记 数 法 的 表 示 形 式 为 a×10n 的 形 式 ， 其 中 1≤|a|＜ 10， n 为 整 数 ． 确 定 n 的 值 时 ，要 看 把 原 数 变 成 a 时 ，小 数 点 移 动 了 多 少 位 ，n 的 绝 对 值 与 小 数 点 移 动 的 位 数 相 同 ．当 原 数 绝 对 值 大 于 10 时 ， n 是 正 数 ； 当 原 数 的 绝 对 值 小 于 1 时 ， n 是 负 数 ． 【 解 答 】 解 ： 3900000000=3.9×109， 故 答 案 为 ： 3.9×10 9． 14． 在 1， π， ， 2， ﹣ 3.2 这 五 个 数 中 随 机 取 出 一 个 数 ， 则 取 出 的 这 个 数 大 于 2 的 概 率 是 ． 【 考 点 】 概 率 公 式 ． 【 分 析 】 首 先 找 出 大 于 2 的 数 字 个 数 ， 进 而 利 用 概 率 公 式 求 出 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： ∵在 1， π， ， 2， ﹣ 3.2 这 五 个 数 中 ， 只 有 π这 个 数 大 于 2， ∴随 机 取 出 一 个 数 ， 这 个 数 大 于 2 的 概 率 是 ： ． 故 答 案 为 ： ． 15． 已 知 反 比 例 函 数 y= 的 图 象 经 过 点 A（ 1， ﹣ 2）， 则 k= ﹣ 2 ． 【 考 点 】 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 ． 【 分 析 】 直 接 把 点 A（ 1， ﹣ 2） 代 入 y= 求 出 k 的 值 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： ∵反 比 例 函 数 y= 的 图 象 经 过 点 A（ 1， ﹣ 2）， ∴﹣ 2= ， 解 得 k=﹣ 2． 故 答 案 为 ： ﹣ 2． 16． 方 程 组 的 解 是 ． 【 考 点 】 二 元 一 次 方 程 组 的 解 ． 【 分 析 】 代 入 消 元 法 求 解 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： 解 方 程 组 ， 由 ①得 ： x=2﹣ 2y ③， 将 ③代 入 ②， 得 ： 2（ 2﹣ 2y） +y=4， 解 得 ： y=0， 将 y=0 代 入 ①， 得 ： x=2， 故 方 程 组 的 解 为 ， 故 答 案 为 ： ． 17． 化 简 ： ÷ = ． 【 考 点 】 分 式 的 乘 除 法 ． 【 分 析 】 将 分 子 、 分 母 因 式 分 解 ， 除 法 转 化 为 乘 法 ， 再 约 分 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： 原 式 = • = ， 故 答 案 为 ： ． 18． 如 图 ， 在 ⊙O 中 ， A， B 是 圆 上 的 两 点 ， 已 知 ∠AOB=40°， 直 径 CD∥AB， 连 接 AC， 则 ∠BAC= 35 度 ． 【 考 点 】 圆 周 角 定 理 ． 【 分 析 】先 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 求 出 ∠ABO 的 度 数 ，再 由 平 行 线 的 性 质 求 出 ∠BOC 的 度 数 ， 根 据 圆 周 角 定 理 即 可 得 出 结 论 ． 【 解 答 】 解 ： ∵∠AOB=40°， OA=OB， ∴∠ABO= =70°． ∵直 径 CD∥AB， ∴∠BOC=∠ABO=70°， ∴∠BAC= ∠BOC=35°． 故 答 案 为 ： 35． 19．已 知 一 次 函 数 y=kx+2k+3 的 图 象 与 y 轴 的 交 点 在 y 轴 的 正 半 轴 上 ，且 函 数 值 y 随 x 的 增 大 而 减 小 ， 则 k 所 有 可 能 取 得 的 整 数 值 为 ﹣ 1 ． 【 考 点 】 一 次 函 数 图 象 与 系 数 的 关 系 ． 【 分 析 】 由 一 次 函 数 图 象 与 系 数 的 关 系 可 得 出 关 于 k 的 一 元 一 次 不 等 式 组 ， 解 不 等 式 组 即 可 得 出 结 论 ． 【 解 答 】 解 ： 由 已 知 得 ： ， 解 得 ： ﹣ ＜ k＜ 0． ∵k 为 整 数 ， ∴k=﹣ 1． 故 答 案 为 ： ﹣ 1． 20． 如 图 ， 给 定 一 个 半 径 长 为 2 的 圆 ， 圆 心 O 到 水 平 直 线 l 的 距 离 为 d， 即 OM=d． 我 们 把 圆 上 到 直 线 l 的 距 离 等 于 1 的 点 的 个 数 记 为 m．如 d=0 时 ，l 为 经 过 圆 心 O 的 一 条 直 线 ， 此 时 圆 上 有 四 个 到 直 线 l 的 距 离 等 于 1 的 点 ， 即 m=4， 由 此 可 知 ： （ 1） 当 d=3 时 ， m= 1 ； （ 2） 当 m=2 时 ， d 的 取 值 范 围 是 0＜ d＜ 3 ． 【 考 点 】 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ． 【 分 析 】 根 据 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 和 直 线 与 圆 的 交 点 个 数 以 及 命 题 中 的 数 据 分 析 即 可 得 到 答 案 ． 【 解 答 】 解 ：（ 1） 当 d=3 时 ， ∵3＞ 2， 即 d＞ r， ∴直 线 与 圆 相 离 ， 则 m=1， 故 答 案 为 ： 1； （ 2） 当 m=2 时 ， 则 圆 上 到 直 线 l 的 距 离 等 于 1 的 点 的 个 数 记 为 2， ∴直 线 与 圆 相 交 或 相 切 或 相 离 ， ∴0＜ d＜ 3， ∴d 的 取 值 范 围 是 0＜ d＜ 3， 故 答 案 为 ： 0＜ d＜ 3． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 7 小 题 ， 共 79 分 21． 计 算 ： ﹣ （ 3﹣ π） 0﹣ |﹣ 3+2| 【 考 点 】 实 数 的 运 算 ； 零 指 数 幂 ． 【 分 析 】 直 接 利 用 立 方 根 的 性 质 化 简 再 结 合 零 指 数 幂 的 性 质 以 及 绝 对 值 的 性 质 化 简 求 出 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： ﹣ （ 3﹣ π） 0﹣ |﹣ 3+2| =2﹣ 1﹣ 1 =0． 22． 二 孩 政 策 的 落 实 引 起 了 全 社 会 的 关 注 ， 某 校 学 生 数 学 兴 趣 小 组 为 了 了 解 本 校 同 学 对 父 母 生 育 二 孩 的 态 度 ， 在 学 校 抽 取 了 部 分 同 学 对 父 母 生 育 二 孩 所 持 的 态 度 进 行 了 问 卷 调 查 ， 调 查 分 别 为 非 常 赞 同 、 赞 同 、 无 所 谓 、 不 赞 同 等 四 种 态 度 ， 现 将 调 查 统 计 结 果 制 成 了 如 图 两 幅 统 计 图 ， 请 结 合 两 幅 统 计 图 ， 回 答 下 列 问 题 ： （ 1） 在 这 次 问 卷 调 查 中 一 共 抽 取 了 50 名 学 生 ， a= 37.5 %； （ 2） 请 补 全 条 形 统 计 图 ； （ 3） 持 “不 赞 同 ”态 度 的 学 生 人 数 的 百 分 比 所 占 扇 形 的 圆 心 角 为 36 度 ； （ 4） 若 该 校 有 3000 名 学 生 ， 请 你 估 计 该 校 学 生 对 父 母 生 育 二 孩 持 “赞 同 ”和 “非 常 赞 同 ”两 种 态 度 的 人 数 之 和 ． 【 考 点 】 条 形 统 计 图 ； 用 样 本 估 计 总 体 ； 扇 形 统 计 图 ． 【 分 析 】（ 1） 由 赞 同 的 人 数 20， 所 占 40%， 即 可 求 出 样 本 容 量 ， 进 而 求 出 a 的 值 ； （ 2）由（ 1）可 知 抽 查 的 人 数 ，即 可 求 出 无 所 谓 态 度 的 人 数 ，即 可 将 条 形 统 计 图 补 充 完 整 ； （ 3） 求 出 不 赞 成 人 数 的 百 分 数 ， 即 可 求 出 圆 心 角 的 度 数 ； （ 4）求 出 “赞 同 ”和 “非 常 赞 同 ”两 种 态 度 的 人 数 所 占 的 百 分 数 ，用 样 本 估 计 总 体 的 思 想 计 算 即 可 ． 【 解 答 】 解 ：（ 1） 20÷40%=50（ 人 ）， 无 所 谓 态 度 的 人 数 为 50﹣ 10﹣ 20﹣ 5=15， 则 a= ×100%=37.5%； （ 2） 补 全 条 形 统 计 图 如 图 所 示 ： （ 3） 不 赞 成 人 数 占 总 人 数 的 百 分 数 为 ×100%=10%， 持 “不 赞 同 ”态 度 的 学 生 人 数 的 百 分 比 所 占 扇 形 的 圆 心 角 为 10%×360°=36°， （ 4） “赞 同 ”和 “非 常 赞 同 ”两 种 态 度 的 人 数 所 占 的 百 分 数 为 ×100%=60%， 则 该 校 学 生 对 父 母 生 育 二 孩 持 “赞 同 ”和 “非 常 赞 同 ”两 种 态 度 的 人 数 之 和 为 3000×60%=1800 （ 人 ）． [ 来 源 : 学 | 科 | 网 Z | X | X | K ] 故 答 案 为 （ 1） 50； 37.6；（ 3） 36． 23． 如 图 ， 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形 ， ∠BAD 的 角 平 分 线 AE 交 CD 于 点 F， 交 BC 的 延 长 线 于 点 E． （ 1） 求 证 ： BE=CD； （ 2） 连 接 BF， 若 BF⊥AE， ∠BEA=60°， AB=4， 求 平 行 四 边 形 ABCD 的 面 积 ． 【 考 点 】 平 行 四 边 形 的 性 质 ； 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ． 【 分 析 】（ 1） 由 平 行 四 边 形 的 性 质 和 角 平 分 线 得 出 ∠BAE=∠BEA， 即 可 得 出 AB=BE； （ 2） 先 证 明 △ABE 是 等 边 三 角 形 ， 得 出 AE=AB=4， AF=EF=2， 由 勾 股 定 理 求 出 BF， 由 AAS 证 明 △ADF≌△ECF，得 出 △ADF 的 面 积 =△ECF 的 面 积 ，因 此 平 行 四 边 形 ABCD 的 面 积 =△ABE 的 面 积 = AE•BF， 即 可 得 出 结 果 ． 【 解 答 】（ 1） 证 明 ： ∵四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， ∴AD∥BC， AB∥CD， AB=CD， ∴∠B+∠C=180°， ∠AEB=∠DAE， ∵AE 是 ∠BAD 的 平 分 线 ， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE， ∴BE=CD； （ 2） 解 ： ∵AB=BE， ∠BEA=60°， x k b 1 ∴△ABE 是 等 边 三 角 形 ， ∴AE=AB=4， ∵BF⊥AE， ∴AF=EF=2， ∴BF= = =2 ， ∵AD∥BC， ∴∠D=∠ECF， ∠DAF=∠E， 在 △ADF 和 △ECF 中 ， ， ∴△ADF≌△ECF（ AAS）， ∴△ADF 的 面 积 =△ECF 的 面 积 ， ∴平 行 四 边 形 ABCD 的 面 积 =△ABE 的 面 积 = AE•BF= ×4×2 =4 ． 24． 某 种 商 品 的 标 价 为 400 元 /件 ， 经 过 两 次 降 价 后 的 价 格 为 324 元 /件 ， 并 且 两 次 降 价 的 百 分 率 相 同 ． （ 1） 求 该 种 商 品 每 次 降 价 的 百 分 率 ； （ 2） 若 该 种 商 品 进 价 为 300 元 /件 ， 两 次 降 价 共 售 出 此 种 商 品 100 件 ， 为 使 两 次 降 价 销 售 的 总 利 润 不 少 于 3210 元 ． 问 第 一 次 降 价 后 至 少 要 售 出 该 种 商 品 多 少 件 ？ 【 考 点 】 一 元 二 次 方 程 的 应 用 ； 一 元 一 次 不 等 式 的 应 用 ． 【 分 析 】（ 1） 设 该 种 商 品 每 次 降 价 的 百 分 率 为 x%， 根 据 “两 次 降 价 后 的 售 价 =原 价 ×（ 1﹣ 降 价 百 分 比 ） 的 平 方 ”， 即 可 得 出 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ， 解 方 程 即 可 得 出 结 论 ； （ 2）设 第 一 次 降 价 后 售 出 该 种 商 品 m 件 ，则 第 二 次 降 价 后 售 出 该 种 商 品 件 ，根 据 “总 利 润 =第 一 次 降 价 后 的 单 件 利 润 ×销 售 数 量 +第 二 次 降 价 后 的 单 件 利 润 ×销 售 数 量 ”， 即 可 的 出 关 于 m 的 一 元 一 次 不 等 式 ， 解 不 等 式 即 可 得 出 结 论 ． 【 解 答 】 解 ：（ 1） 设 该 种 商 品 每 次 降 价 的 百 分 率 为 x%， 依 题 意 得 ： 400×（ 1﹣ x%） 2=324， 解 得 ： x=10， 或 x=190（ 舍 去 ）． 答 ： 该 种 商 品 每 次 降 价 的 百 分 率 为 10%． （ 2） 设 第 一 次 降 价 后 售 出 该 种 商 品 m 件 ， 则 第 二 次 降 价 后 售 出 该 种 商 品 件 ， 第 一 次 降 价 后 的 单 件 利 润 为 ： 400×（ 1﹣ 10%） ﹣ 300=60（ 元 /件 ）； 第 二 次 降 价 后 的 单 件 利 润 为 ： 324﹣ 300=24（ 元 /件 ）． 依 题 意 得 ： 60m+24×=36m+2400≥3210， 解 得 ： m≥22.5． ∴m≥23． 答 ：为 使 两 次 降 价 销 售 的 总 利 润 不 少 于 3210 元 ．第 一 次 降 价 后 至 少 要 售 出 该 种 商 品 23 件 ． 25． 如 图 ， △ABC 是 ⊙O 的 内 接 三 角 形 ， AB 为 直 径 ， 过 点 B 的 切 线 与 AC 的 延 长 线 交 于 点 D， E 是 BD 中 点 ， 连 接 CE． （ 1） 求 证 ： CE 是 ⊙O 的 切 线 ； （ 2） 若 AC=4， BC=2， 求 BD 和 CE 的 长 ． 【 考 点 】 切 线 的 判 定 与 性 质 ． 【 分 析 】（ 1）连 接 OC，由 弦 切 角 定 理 和 切 线 的 性 质 得 出 ∠CBE=∠A，∠ABD=90°，由 圆 周 角 定 理 得 出 ∠ACB=90°， 得 出 ∠ACO+∠BCO=90°， ∠BCD=90°， 由 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 性 质 得 出 CE= BD=BE， 得 出 ∠BCE=∠CBE=∠A， 证 出 ∠ACO=∠BCE， 得 出 ∠BCE+∠BCO=90°， 得 出 CE⊥OC， 即 可 得 出 结 论 ； [ 来 源 : 学 。 科 。 网 Z 。 X 。 X 。 K ] （ 2） 由 勾 股 定 理 求 出 AB， 再 由 三 角 函 数 得 出 tanA= = = ， 求 出 BD= AB= ， 即 可 得 出 CE 的 长 ． 【 解 答 】（ 1） 证 明 ： 连 接 OC， 如 图 所 示 ： ∵BD 是 ⊙O 的 切 线 ， ∴∠CBE=∠A， ∠ABD=90°， ∵AB 是 ⊙O 的 直 径 ， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠BCO=90°， ∠BCD=90°， ∵E 是 BD 中 点 ， ∴CE= BD=BE， ∴∠BCE=∠CBE=∠A， ∵OA=OC， ∴∠ACO=∠A， ∴∠ACO=∠BCE， ∴∠BCE+∠BCO= 90°， 即 ∠OCE=90°， CE⊥OC， ∴CE 是 ⊙O 的 切 线 ； （ 2） 解 ： ∵∠ACB=90°， ∴AB= = =2 ， ∵tanA= = = = ， ∴BD= AB= ， ∴CE= BD= ． 26． 已 知 抛 物 线 y=ax 2+bx﹣ 3 经 过 （ ﹣ 1，0），（ 3， 0） 两 点 ， 与 y 轴 交 于 点 C， 直 线 y=kx 与 抛 物 线 交 于 A， B 两 点 ． （ 1） 写 出 点 C 的 坐 标 并 求 出 此 抛 物 线 的 解 析 式 ； （ 2） 当 原 点 O 为 线 段 AB 的 中 点 时 ， 求 k 的 值 及 A， B 两 点 的 坐 标 ； （ 3） 是 否 存 在 实 数 k 使 得 △ABC 的 面 积 为 ？ 若 存 在 ， 求 出 k 的 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ． 【 考 点 】 二 次 函 数 综 合 题 ． 【 分 析 】（ 1） 令 抛 物 线 解 析 式 中 x=0 求 出 y 值 即 可 得 出 C 点 的 坐 标 ， 有 点 （ ﹣ 1，0）、（ 3， 0） 利 用 待 定 系 数 法 即 可 求 出 抛 物 线 的 解 析 式 ； （ 2）将 正 比 例 函 数 解 析 式 代 入 抛 物 线 解 析 式 中 ，找 出 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ，根 据 根 与 系 数 的 关 系 即 可 得 出 “xA+x B=2+k， xA•xB=﹣ 3”， 结 合 点 O 为 线 段 AB 的 中 点 即 可 得 出 xA+x B=2+k=0， 由 此 得 出 k 的 值 ， 将 k 的 值 代 入 一 元 二 次 方 程 中 求 出 xA、 xB， 在 代 入 一 次 函 数 解 析 式 中 即 可 得 出 点 A、 B 的 坐 标 ； （ 3） 假 设 存 在 ， 利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 以 及 （ 2） 中 得 到 的 “xA+x B=2+k， xA•xB=﹣ 3”， 即 可 得 出 关 于 k 的 一 元 二 次 方 程 ， 结 合 方 程 无 解 即 可 得 出 假 设 不 成 了 ， 从 而 得 出 不 存 在 满 足 题 意 的 k 值 ． 【 解 答 】 解 ：（ 1） 令 抛 物 线 y=ax 2+bx﹣ 3 中 x=0， 则 y=﹣ 3， ∴点 C 的 坐 标 为 （ 0， ﹣ 3）． ∵抛 物 线 y=ax 2+bx﹣ 3 经 过 （ ﹣ 1， 0），（ 3， 0） 两 点 ， ∴有 ， 解 得 ： ， ∴此 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=x 2﹣ 2x﹣ 3． （ 2） 将 y=kx 代 入 y=x 2﹣ 2x﹣ 3 中 得 ： kx=x 2﹣ 2x﹣ 3， 整 理 得 ： x2﹣ （ 2+k） x﹣ 3=0， ∴xA+x B=2+k， xA•xB=﹣ 3． ∵原 点 O 为 线 段 AB 的 中 点 ， ∴xA+x B=2+k=0， 解 得 ： k=﹣ 2． 当 k=﹣ 2 时 ， x2﹣ （ 2+k） x﹣ 3=x 2﹣ 3=0， 解 得 ： xA=﹣ ， xB= ． ∴yA=﹣ 2xA=2 ， yB=﹣ 2x B=2 ． 故 当 原 点 O 为 线 段 AB 的 中 点 时 ， k 的 值 为 ﹣ 2， 点 A 的 坐 标 为 （ ﹣ ， 2 ）， 点 B 的 坐 标 为 （ ， ﹣ 2 ）． （ 3） 假 设 存 在 ． 由 （ 2） 可 知 ： xA+x B=2+k， xA•xB=﹣ 3， S △ ABC= OC•|x A﹣ xB|= ×3× = ， ∴（ 2+k） 2﹣ 4×（ ﹣ 3） =10， 即 （ 2+k） 2+2=0． ∵（ 2+k） 2 非 负 ， 无 解 ． 故 假 设 不 成 了 ． 所 以 不 存 在 实 数 k 使 得 △ABC 的 面 积 为 ． 27． 问 题 探 究 ： 1． 新 知 学 习 若 把 将 一 个 平 面 图 形 分 为 面 积 相 等 的 两 个 部 分 的 直 线 叫 做 该 平 面 图 形 的 “面 线 ”， 其 “面 线 ” 被 该 平 面 图 形 截 得 的 线 段 叫 做 该 平 面 图 形 的 “面 径 ”（ 例 如 圆 的 直 径 就 是 圆 的 “面 径 ”）． 2． 解 决 问 题 已 知 等 边 三 角 形 ABC 的 边 长 为 2． （ 1） 如 图 一 ， 若 AD⊥BC， 垂 足 为 D， 试 说 明 AD 是 △ABC 的 一 条 面 径 ， 并 求 AD 的 长 ； （ 2） 如 图 二 ， 若 ME∥BC， 且 ME 是 △ABC 的 一 条 面 径 ， 求 面 径 ME 的 长 ； （ 3）如 图 三 ，已 知 D 为 BC 的 中 点 ，连 接 AD，M 为 AB 上 的 一 点（ 0＜ AM＜ 1），E 是 DC 上 的 一 点 ， 连 接 ME， ME 与 AD 交 于 点 O， 且 S △ MOA =S △ DOE ． ①求 证 ： ME 是 △ABC 的 面 径 ； ②连 接 AE， 求 证 ： MD∥AE； （ 4） 请 你 猜 测 等 边 三 角 形 ABC 的 面 径 长 l 的 取 值 范 围 （ 直 接 写 出 结 果 ） 【 考 点 】 圆 的 综 合 题 ； 等 边 三 角 形 的 性 质 ． 【 分 析 】（ 1）根 据 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 即 可 证 明 ，利 用 直 角 三 角 形 30°性 质 ，即 可 求 出 AD． （ 2） 根 据 相 似 三 角 形 性 质 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方 ， 即 可 解 决 问 题 ． （ 3） 如 图 三 中 ， 作 MN⊥AE 于 N， DF⊥AE 于 F， 先 证 明 MN=DF， 推 出 四 边 形 MNFD 是 平 行 四 边 形 即 可 ． （ 4）如 图 四 中 ，作 MF⊥BC 于 F，设 BM=x，BE=y，求 出 EM，利 用 不 等 式 性 质 证 明 ME≥ 即 可 解 决 问 题 ． 【 解 答 】 解 ：（ 1） 如 图 一 中 ， ∵AB=AC=BC=2， AD⊥BC， ∴BD=DC， ∴S △ ABD =S △ ADC， ∴线 段 AD 是 △ABC 的 面 径 ． ∵∠B=60°， ∴sin60°= ， ∴ = ， ∴AD= ． （ 2） 如 图 二 中 ， ∵ME∥BC， 且 ME 是 △ABC 的 一 条 面 径 ， ∴△AME∽△ABC， = ， ∴ = ， ∴ME= ． （ 3） 如 图 三 中 ， 作 MN⊥AE 于 N， DF⊥AE 于 F． ∵S △ MOA=S △ DOE ， ∴S △ AEM=S △ AED ， ∴ •AE•MN= •AE•DF， ∴MN=DF， ∵MN∥DF， ∴四 边 形 MNFD 是 平 行 四 边 形 ， ∴DM∥AE． （ 4） 如 图 四 中 ， 作 MF⊥BC 于 F， 设 BM=x， BE=y， ∵DM∥AE， ∴ = ， ∴ = ， ∴xy=2， 在 RT△MBF 中 ， ∵∠MFB=90°， ∠B=60°， BM=x， ∴BF= x， MF= x， ∴ME= = = ≥ ， ∴ME≥ ， ∵ME 是 等 边 三 角 形 面 径 ， AD 也 是 等 边 三 角 形 面 积 径 ， ∴等 边 三 角 形 ABC 的 面 径 长 l 的 取 值 范 围 ≤l≤ ．