益阳市 2016 年普通初中毕业学业考试试卷
数 学
注意事项：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；
2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上；
3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效；
4．本学科为闭卷考试，考试时量为 90 分钟，卷面满分为 150 分；
5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回。
试 题 卷
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1． 1
2016
的相反数是
A． 2016 B． 2016 C． 1
2016 D． 1
2016
2．下列运算正确的是
A． 2 2x y xy B． 2 22 2x y xy C． 22 2x x x D． 4 5 1x x
3．不等式组 3,
2 1 3
x
x
的解集在数轴上表示正确的是
A B C D
4．下列判断错误．．的是
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
5．小军为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中百米短跑决赛的 8 名男运动员的步
数进行了统计，记录的数据如下：66、68、67、68、67、69、68、71，这组数据的众数和中位数分
别为
A．67、68 B．67、67 C．68、68 D．68、67
6．将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是
A．360° B．540° C．720° D．900°
7．关于抛物线 2 2 1y x x ，下列说法错误．．的是
A．开口向上 B．与 x 轴有两个重合的交点
C．对称轴是直线 1x D．当 1x 时， y 随 x 的增大而减小
8．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆 PA 的高度与拉绳 PB 的长度相等．小
明将 PB 拉到 PB′的位置，测得∠ PB C （ B C 为水平线），测角仪 B D 的高度为 1 米，则旗杆 PA
的高度为
A． 1
1 sin B． 1
1 sin
B
B
A
P
C
D
第 17 题图
C． 1
1 cos D． 1
1 cos
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上）
9．将正比例函数 2y x 的图象向上平移 3 个单位，所得的直线不经过第 象限．
10．某学习小组为了探究函数 2 | |y x x 的图象和性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数
图象上一些点的坐标，表格中的 m = ．
x … –2 –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y … 2 0.75 0 –0.25 0 –0.25 0 m 2 …
11．我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数 3y x
的图象上有一些
整点，请写出其中一个整点的坐标 ．
12．下图是一个圆柱体的三视图，由图中数据计算此圆柱体的侧面积为 ．（结果保留 ）
13．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 是直径，过 C 点的切线与 AB 的延长线交于 P 点，若∠P=40°，
则∠D 的度数为 ．
14．小李用围棋子排成下列一组有规律的图案，其中第１个图案有１枚棋子，第２个图案有３枚棋子，
第３个图案有４枚棋子，第４个图案有６枚棋子，…，那么第９个图案的棋子数是 枚．
（1） （2） （3） （4） （5）
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）
15．计算：
0
3 1 3 2( 1) 2 2 3
．
16．先化简，再求值：
2
2
1 1( )1 1 1
x
x x x
，其中 1
2x ．
17．如图，在 ABCD 中，AE⊥BD 于 E，
CF⊥BD 于 F， 连接 AF，CE.
求证：AF=CE.
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）
18．在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对
成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）频数分布表中 a = ，b= ，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生 180 人，估计仰卧起坐能够一分钟完成 30 或 30 次以上的女学生有
多少人？
第 12 题图
6
4
主视图 左视图
俯视图
第 13 题图
（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选
一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
分 组 频数 频率
第一组（ 0 15x ） 3 0.15
第二组（15 30x ） 6 a
第三组（ 30 45x ） 7 0.35
第四组（ 45 60x ） b 0.20
19．某职业高中机电班共有学生 42 人，其中男生人数比女生人数的 2 倍少 3 人．
（1）该班男生和女生各有多少人？
（2）某工厂决定到该班招录 30 名学生，经测试，该班男、女生每天能加工的零件数分别为 50 个
和 45 个，为保证他们每天加工的零件总数不少于 1460 个，那么至少要招录多少名男学生？
20．在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你．．按照．．他们的解题思路完成解答过程．．．．．．．．．．．．．．
五、解答题（本题满分 12 分）
21．如图，顶点为 ( 3,1)A 的抛物线经过坐标原点 O，与 x 轴交于点 B．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）过 B 作 OA 的平行线交 y 轴于点 C，
交抛物线于点 D ，求证：△OCD≌△OAB；
（3）在 x 轴上找一点 P ，使得△PCD 的
周长最小，求出 P 点的坐标．
六、解答题（本题满分 14 分）
22．如图①，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D 为 AB 的中点，EF 为△ACD 的中位线，
四边形 EFGH 为△ACD 的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD 的边上）．
（1）计算矩形 EFGH 的面积；
（2）将矩形 EFGH 沿 AB 向右平移，F 落在 BC 上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD 重
叠部分的面积为 3
16
时，求矩形平移的距离；
（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形 1 1 1 1E FG H ，将矩形 1 1 1 1E FG H 绕 1G 点按
顺时针方向旋转，当 1H 落在 CD 上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形 2 2 1 2E F G H ，设旋转角为 ，
求 cos 的值．
根据勾股定理，利用
AD 作为“桥梁”，建
立方程模型求出 x
作 AD⊥BC 于 D，
设 BD = x，用含 x
的代数式表示 CD
利用勾股定理求
出 AD 的长，再
计算三角形面积
A
D CB
2016 年普通初中毕业学业考试参考答案及评分标准
数 学
一、选择题（本大题共 8 小 题，每小题 5 分，共 40 分）.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案新*课*标*
第*一*网
C B A D C D D A
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）.
9．四；10．0.75；11．答案不唯一，如：(-3,1)；12． 24 ；13．115°；14．13．
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）．
15．解：原式= 1 21 1 ( )
2 3
= 1 2
2 3
= 1
6
．…………………………………8 分
16．解：原式
2
2 2
1 (1 ) 1
1
x x x
x x
2
x
． …………………………………6 分
当 1
2x 时，原式=4． ………………………………………………8 分
17．证明：如图，∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，∠ADB=∠CBD． …………………………………2 分
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED=∠CFB，AE∥CF． …………4 分
∴ AED ≌ CFB ．………………………6 分
∴AE=CF．
∴四边形 AECF 是平行四边形．
∴AF=CE． ………………………………………………………8 分
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）
18．解:（1）a=0.3，b=4 ………………………………………………………2 分
图① 图②（备用）
图③
…………………………………4 分
（2）180 (0.35 0.20) 99 （人） …………………………………7 分
（3） 甲 乙 1 乙 2
甲 1 甲 2 甲 3 乙 甲 1 甲 2 甲 3 乙 甲 1 甲 2 甲 3 乙
3 1
12 4p ……………………………………………………………10 分
19．解：（1）设该班男生有 x 人，女生有 y 人，
依题意得： 42
2 3
x y
x y
， 解得 27
15
x
y
．
∴该班男生有 27 人，女生有 15 人．…………………………………5 分
（2）设招录的男生为 m 名，则招录的女生为 (30 )m 名，
依题意得：50 45(30 ) 1460x x ，解之得， 22x ，
答：工厂在该班至少要招录 22 名男生．…………………………10 分
20．解：如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，
设 BD x ，∴ 14CD x ． ……………………………………………2 分
由勾股定理得： 2 2 2 2 215AD AB BD x ，
2 2 2 2 213 (14 )AD AC CD x ，
∴ 2 215 x 2 213 (14 )x ，
解之得： 9x ．……………………………… 7 分
∴ 12AD ． ………………………………………8 分
∴ 1
2ABCS BC AD 1 14 12 842
．…………10 分
五、解答题（本题满分 12 分）
21．解：（1）∵抛物线顶点为 ( 3,1)A ，
设抛物线对应的二次函数的表达式为 2( 3) 1y a x ，
将原点坐标（0，0）代入表达式，得 1
3a ．
∴抛物线对应的二次函数的表达式为： 21 2 3
3 3y x x ． …………3 分
（2）将 0y 代入 21 2 3
3 3y x x 中，得 B 点坐标为： (2 3,0) ，
设直线 OA 对应的一次函数的表达式为 y kx ，
将 ( 3,1)A 代入表达式 y kx 中，得 3
3k ，
∴直线 OA 对应的一次函数的表达式为 3
3y x ．
∵BD∥AO，设直线 BD 对应的一次函数的表达式为 3
3y x b ，
A
D CB
将 B (2 3,0) 代入 3
3y x b 中，得 2b ，
∴直线 BD 对应的一次函数的表达式为 3 23y x ．
由
2
3 23
1 2 3
3 3
y x
y x x
得交点 D 的坐标为 ( 3, 3) ，
将 0x 代入 3 23y x 中，得 C 点的坐标为 (0, 2) ，
由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD, 2 3OB OD ．
在△OAB 与△OCD 中，
OA OC
AB CD
OB OD
， ∴△OAB≌△OCD．……………………8 分
（3）点C 关于 x 轴的对称点 C 的坐标为 (0,2) ，则 C D 与 x 轴的交点即为点 P ，它使得△PCD 的周长最小．
过点 D 作 DQ⊥ y ，垂足为 Q，则 PO∥DQ．∴ C PO ∽ C DQ ．
∴ PO C O
DQ C Q
,即 2
53
PO ，∴ 2 3
5PO ，
∴ 点 P 的坐标为 2 3( ,0)5
．………………………………………………………12 分
六、解答题（本题满分 14 分）
22． 解：（1）如 22 题解图 1，在 ABC 中，
∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2,
又∵D 是 AB 的中点，∴AD =1， 1 12CD AB ．
又∵EF 是 ACD 的中位线，∴ 1
2EF DF ，
在 ACD 中，AD=CD, ∠A=60°,
∴∠ADC=60°．
在 FGD 中, sinGF DF 60° 3
4
，
∴矩形 EFGH 的面积 1 3 3
2 4 8S EF GF ． ……………………………3 分
（2）如 22 题解图 2，设矩形移动的距
离为 ,x 则 10 2x ，
当矩形与△CBD 重叠部分为三角形时，
则 10 4x ，
1 332 16S x x ， ∴ 2 1
4 4x ．（舍去）．
当矩形与△CBD 重叠部分为直角梯形时，则 1 1
4 2x ，
22 题解图 1
C
A D B
22 题解图 2
重叠部分的面积 S= 3 1 1 3 3
4 2 4 4 16x , ∴ 3
8x ．
即矩形移动的距离为 3
8
时，矩形与△CBD 重叠部分的面积是 3
16
．…………8 分
（3）如 22 题解图 3，作 2H Q AB 于 Q ．
设 DQ m ，则 2 3H Q m ，又 1
1
4DG ， 2 1
1
2H G ．
在 Rt△H2QG1 中， 2 2 21 1( 3 ) ( ) ( )4 2m m ，
解之得 1 13
16m （负的舍去）．
∴ 1
2 1
1 13 1
3 1316 4cos 1 8
2
QG
H G
．……………………………………14 分
22 题解图 3
1H
1E
1F
1G
C
A
2H
2E
2F
D BQ
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