2016年邵阳市中考数学试题解析版

2016 年湖南省邵阳市中考数学试卷 一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30 分 1． ﹣ 的 相 反 数 是 （ ） A． B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣ 2 2． 下 面 四 个 手 机 应 用 图 标 中 是 轴 对 称 图 形 的 是 （ ） A． B． C． D． 3． 如 图 所 示 ， 直 线 AB、 CD 被 直 线 EF 所 截 ， 若 AB∥CD， ∠1=100°， 则 ∠2 的 大 小 是 （ ） A． 10° B． 50° C． 80° D． 100° 4． 在 学 校 演 讲 比 赛 中 ， 10 名 选 手 的 成 绩 统 计 图 如 图 所 示 ， 则 这 10 名 选 手 成 绩 的 众 数 是 （ ） A． 95 B． 90 C． 85 D． 80 5． 一 次 函 数 y=﹣ x+2 的 图 象 不 经 过 的 象 限 是 （ ） A． 第 一 象 限 B． 第 二 象 限 C． 第 三 象 限 D． 第 四 象 限 6． 分 式 方 程 = 的 解 是 （ ） A． x=﹣ 1 B． x=1 C． x=2 D． x=3 7． 一 元 二 次 方 程 2x 2﹣ 3x+1=0 的 根 的 情 况 是 （ ） A． 有 两 个 相 等 的 实 数 根 B． 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 C． 只 有 一 个 实 数 根 D． 没 有 实 数 根 8．如 图 所 示 ，点 D 是 △ABC 的 边 AC 上 一 点（ 不 含 端 点 ），AD=BD，则 下 列 结 论 正 确 的 是 （ ） A． AC＞ BC B． AC=BC C． ∠A＞ ∠ABC D． ∠A=∠ABC 9．如 图 所 示 ，AB 是 ⊙O 的 直 径 ，点 C 为 ⊙O 外 一 点 ，CA，CD 是 ⊙O 的 切 线 ，A，D 为 切 点 ， 连 接 BD， AD． 若 ∠ACD=30°， 则 ∠DBA 的 大 小 是 （ ） A． 15° B． 30° C． 60° D． 75° 10． 如 图 所 示 ， 下 列 各 三 角 形 中 的 三 个 数 之 间 均 具 有 相 同 的 规 律 ， 根 据 此 规 律 ， 最 后 一 个 三 角 形 中 y 与 n 之 间 的 关 系 是 （ ） A． y=2n+1 B． y=2 n+n C． y=2 n+1+n D． y=2n+n+1 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 24 分 11． 将 多 项 式 m3﹣ mn 2 因 式 分 解 的 结 果 是 ． 12． 学 校 射 击 队 计 划 从 甲 、 乙 两 人 中 选 拔 一 人 参 加 运 动 会 射 击 比 赛 ， 在 选 拔 过 程 中 ， 每 人 射 击 10 次 ， 计 算 他 们 的 平 均 成 绩 及 方 差 如 下 表 ： 选 手 甲 乙 平 均 数 （ 环 ） 9.5 9.5 方 差 0.035 0.015 请 你 根 据 上 表 中 的 数 据 选 一 人 参 加 比 赛 ， 最 适 合 的 人 选 是 ． 13．将 等 边 △CBA 绕 点 C 顺 时 针 旋 转 ∠α得 到 △CB′A′， 使 得 B，C，A′三 点 在 同 一 直 线 上 ， 如 图 所 示 ， 则 ∠α的 大 小 是 ． 14． 已 知 反 比 例 函 数 y= （ k≠0） 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 k 的 值 可 能 是 （ 写 一 个 即 可 ）． 15． 不 等 式 组 的 解 集 是 ． 16．2015 年 7 月 ，第 四 十 五 届 “世 界 超 级 计 算 机 500 强 排 行 榜 ”榜 单 发 布 ， 我 国 国 防 科 技 大 学 研 制 的 “天 河 二 号 ”以 每 秒 3386×10 13 次 的 浮 点 运 算 速 度 第 五 次 蝉 联 冠 军 ，若 将 3386×10 13 用 科 学 记 数 法 表 示 成 a×10n 的 形 式 ， 则 n 的 值 是 ． 17． 如 图 所 示 ， 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 相 交 于 点 O， 若 AB∥CD， 请 添 加 一 个 条 件 （ 写 一 个 即 可 ）， 使 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ． 18． 如 图 所 示 ， 在 3×3 的 方 格 纸 中 ， 每 个 小 方 格 都 是 边 长 为 1 的 正 方 形 ， 点 O， A， B 均 为 格 点 ， 则 扇 形 OAB 的 面 积 大 小 是 ． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 8 分 ， 共 24 分 19． 计 算 ：（ ﹣ 2） 2+2cos60°﹣ （ ） 0． 20． 先 化 简 ， 再 求 值 ：（ m﹣ n） 2﹣ m（ m﹣ 2n）， 其 中 m= ， n= ． 21． 如 图 所 示 ， 点 E， F 是 平 行 四 边 形 ABCD 对 角 线 BD 上 的 点 ， BF=DE， 求 证 ： AE=CF． 四 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 8 分 ， 共 24 分 22．如 图 为 放 置 在 水 平 桌 面 上 的 台 灯 的 平 面 示 意 图 ，灯 臂 AO 长 为 40cm，与 水 平 面 所 形 成 的 夹 角 ∠OAM 为 75°． 由 光 源 O 射 出 的 边 缘 光 线 OC， OB 与 水 平 面 所 形 成 的 夹 角 ∠OCA， ∠OBA 分 别 为 90°和 30°， 求 该 台 灯 照 亮 水 平 面 的 宽 度 BC（ 不 考 虑 其 他 因 素 ， 结 果 精 确 到 0.1cm． 温 馨 提 示 ： sin75°≈0.97， cos75°≈0.26， ）． 23． 为 了 响 应 “足 球 进 校 园 ”的 目 标 ， 某 校 计 划 为 学 校 足 球 队 购 买 一 批 足 球 ， 已 知 购 买 2 个 A 品 牌 的 足 球 和 3 个 B 品 牌 的 足 球 共 需 380 元 ；购 买 4 个 A 品 牌 的 足 球 和 2 个 B 品 牌 的 足 球 共 需 360 元 ． （ 1） 求 A， B 两 种 品 牌 的 足 球 的 单 价 ． （ 2） 求 该 校 购 买 20 个 A 品 牌 的 足 球 和 2 个 B 品 牌 的 足 球 的 总 费 用 ． 24． 为 了 解 市 民 对 全 市 创 卫 工 作 的 满 意 程 度 ， 某 中 学 教 学 兴 趣 小 组 在 全 市 甲 、 乙 两 个 区 内 进 行 了 调 查 统 计 ， 将 调 查 结 果 分 为 不 满 意 ， 一 般 ， 满 意 ， 非 常 满 意 四 类 ， 回 收 、 整 理 好 全 部 问 卷 后 ， 得 到 下 列 不 完 整 的 统 计 图 ． 请 结 合 图 中 信 息 ， 解 决 下 列 问 题 ： （ 1） 求 此 次 调 查 中 接 受 调 查 的 人 数 ． （ 2） 求 此 次 调 查 中 结 果 为 非 常 满 意 的 人 数 ． （ 3）兴 趣 小 组 准 备 从 调 查 结 果 为 不 满 意 的 4 位 市 民 中 随 机 选 择 2 为 进 行 回 访 ，已 知 4 为 市 民 中 有 2 位 来 自 甲 区 ， 另 2 位 来 自 乙 区 ， 请 用 列 表 或 用 画 树 状 图 的 方 法 求 出 选 择 的 市 民 均 来 自 甲 区 的 概 率 ． 五 、 综 合 题 ： 本 大 题 共 2 小 题 ， 其 中 25 题 8 分 ， 26 题 10 分 ， 共 18 分 25．尤 秀 同 学 遇 到 了 这 样 一 个 问 题 ：如 图 1 所 示 ，已 知 AF，BE 是 △ABC 的 中 线 ，且 AF⊥BE， 垂 足 为 P， 设 BC=a， AC=b， AB=c． 求 证 ： a2+b 2=5c 2 该 同 学 仔 细 分 析 后 ， 得 到 如 下 解 题 思 路 ： 先 连 接 EF， 利 用 EF 为 △ABC 的 中 位 线 得 到 △EPF∽△BPA， 故 ， 设 PF=m， PE=n， 用 m， n 把 PA， PB 分 别 表 示 出 来 ， 再 在 Rt△APE， Rt△BPF 中 利 用 勾 股 定 理 计 算 ， 消 去 m， n 即 可 得 证 （ 1） 请 你 根 据 以 上 解 题 思 路 帮 尤 秀 同 学 写 出 证 明 过 程 ． （ 2） 利 用 题 中 的 结 论 ， 解 答 下 列 问 题 ： 在 边 长 为 3 的 菱 形 ABCD 中 ， O 为 对 角 线 AC， BD 的 交 点 ， E， F 分 别 为 线 段 AO， DO 的 中 点 ， 连 接 BE， CF 并 延 长 交 于 点 M， BM， CM 分 别 交 AD 于 点 G， H， 如 图 2 所 示 ， 求 MG 2+MH 2 的 值 ． 26． 已 知 抛 物 线 y=ax 2﹣ 4a（ a＞ 0） 与 x 轴 相 交 于 A， B 两 点 （ 点 A 在 点 B 的 左 侧 ）， 点 P 是 抛 物 线 上 一 点 ， 且 PB=AB， ∠PBA=120°， 如 图 所 示 ． （ 1） 求 抛 物 线 的 解 析 式 ． （ 2） 设 点 M（ m， n） 为 抛 物 线 上 的 一 个 动 点 ， 且 在 曲 线 PA 上 移 动 ． ①当 点 M 在 曲 线 PB 之 间 （ 含 端 点 ） 移 动 时 ， 是 否 存 在 点 M 使 △APM 的 面 积 为 ？ 若 存 在 ， 求 点 M 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ． ②当 点 M 在 曲 线 BA 之 间（ 含 端 点 ）移 动 时 ，求 |m|+|n|的 最 大 值 及 取 得 最 大 值 时 点 M 的 坐 标 ． 2016 年湖南省邵阳市中考数学试卷 参 考 答 案 与 试 题 解 析 一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30 分 1． ﹣ 的 相 反 数 是 （ ） A． B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣ 2 【 考 点 】 实 数 的 性 质 ． 【 分 析 】 根 据 只 有 符 号 不 同 的 两 个 数 叫 做 互 为 相 反 数 解 答 ． 【 解 答 】 解 ： ﹣ 的 相 反 数 是 ． 故 选 A． 2． 下 面 四 个 手 机 应 用 图 标 中 是 轴 对 称 图 形 的 是 （ ） A． B． C． D． 【 考 点 】 轴 对 称 图 形 ． 【 分 析 】 分 别 根 据 轴 对 称 图 形 与 中 心 对 称 图 形 的 性 质 对 各 选 项 进 行 逐 一 分 析 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： A、 既 不 是 轴 对 称 图 形 ， 也 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ； B、 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ； C、 既 不 是 轴 对 称 图 形 ， 也 不 是 中 心 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 错 误 ； D、 是 轴 对 称 图 形 ， 故 本 选 项 正 确 ． 故 选 D． 3． 如 图 所 示 ， 直 线 AB、 CD 被 直 线 EF 所 截 ， 若 AB∥CD， ∠1=100°， 则 ∠2 的 大 小 是 （ ） A． 10° B． 50° C． 80° D． 100° 【 考 点 】 平 行 线 的 性 质 ． 【 分 析 】 根 据 平 行 线 的 性 质 得 到 ∠3=∠1=100°， 根 据 平 角 的 定 义 即 可 得 到 结 论 ． 【 解 答 】 解 ： ∵AB∥CD， ∠3=∠1=100°， ∴∠2=180°﹣ ∠3=80°， 故 选 C． 4． 在 学 校 演 讲 比 赛 中 ， 10 名 选 手 的 成 绩 统 计 图 如 图 所 示 ， 则 这 10 名 选 手 成 绩 的 众 数 是 （ ） A． 95 B． 90 C． 85 D． 80 【 考 点 】 众 数 ； 折 线 统 计 图 ． 【 分 析 】 根 据 众 数 的 定 义 和 给 出 的 数 据 可 直 接 得 出 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： 根 据 折 线 统 计 图 可 得 ： 90 分 的 人 数 有 5 个 ， 人 数 最 多 ， 则 众 数 是 90； 故 选 B． 5． 一 次 函 数 y=﹣ x+2 的 图 象 不 经 过 的 象 限 是 （ ） A． 第 一 象 限 B． 第 二 象 限 C． 第 三 象 限 D． 第 四 象 限 【 考 点 】 一 次 函 数 的 图 象 ； 一 次 函 数 图 象 与 系 数 的 关 系 ． 【 分 析 】 根 据 一 次 函 数 的 系 数 确 定 函 数 图 象 经 过 的 象 限 ， 由 此 即 可 得 出 结 论 ． 【 解 答 】 解 ： ∵一 次 函 数 y=﹣ x+2 中 k=﹣ 1＜ 0， b=2＞ 0， ∴该 函 数 图 象 经 过 第 一 、 二 、 四 象 限 ． 故 选 C． 6． 分 式 方 程 = 的 解 是 （ ） A． x=﹣ 1 B． x=1 C． x=2 D． x=3 【 考 点 】 分 式 方 程 的 解 ． 【 分 析 】 观 察 可 得 最 简 公 分 母 是 x（ x+1）， 方 程 两 边 乘 最 简 公 分 母 ， 可 以 把 分 式 方 程 转 化 为 整 式 方 程 求 解 ． 【 解 答 】 解 ： 两 边 都 乘 以 x（ x+1） 得 ： 3（ x+1） =4x， 去 括 号 ， 得 ： 3x+3=4x， 移 项 、 合 并 ， 得 ： x=3， 经 检 验 x=3 是 原 分 式 方 程 的 解 ， 故 选 ： D． 7． 一 元 二 次 方 程 2x 2﹣ 3x+1=0 的 根 的 情 况 是 （ ） A． 有 两 个 相 等 的 实 数 根 B． 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 C． 只 有 一 个 实 数 根 D． 没 有 实 数 根 【 考 点 】 根 的 判 别 式 ． 【 分 析 】 代 入 数 据 求 出 根 的 判 别 式 △=b 2﹣ 4ac 的 值 ， 根 据 △的 正 负 即 可 得 出 结 论 ． 【 解 答 】 解 ： ∵△=b 2﹣ 4ac=（ ﹣ 3） 2﹣ 4×2×1=1＞ 0， ∴该 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ． 故 选 B． 8．如 图 所 示 ，点 D 是 △ABC 的 边 AC 上 一 点（ 不 含 端 点 ），AD=BD，则 下 列 结 论 正 确 的 是 （ ） A． AC＞ BC B． AC=BC C． ∠A＞ ∠ABC D． ∠A=∠ABC 【 考 点 】 等 腰 三 角 形 的 性 质 ． 【 分 析 】根 据 等 腰 三 角 形 的 两 个 底 角 相 等 ，由 AD=BD 得 到 ∠A=∠ABD，所 以 ∠ABC＞ ∠A， 则 对 各 C、 D 选 项 进 行 判 断 ； 根 据 大 边 对 大 角 可 对 A、 B 进 行 判 断 ． 【 解 答 】 解 ： ∵AD=BD， ∴∠A=∠ABD， ∴∠ABC＞ ∠A， 所 以 C 选 项 和 D 选 项 错 误 ； ∴AC＞ BC， 所 以 A 选 项 正 确 ； B 选 项 错 误 ． 故 选 A． 9．如 图 所 示 ，AB 是 ⊙O 的 直 径 ，点 C 为 ⊙O 外 一 点 ，CA，CD 是 ⊙O 的 切 线 ，A，D 为 切 点 ， 连 接 BD， AD． 若 ∠ACD=30°， 则 ∠DB A 的 大 小 是 （ ） A． 15° B． 30° C． 60° D． 75° 【 考 点 】 切 线 的 性 质 ； 圆 周 角 定 理 ． 【 分 析 】首 先 连 接 OD，由 CA，CD 是 ⊙O 的 切 线 ，∠ACD=30°，即 可 求 得 ∠AOD 的 度 数 ， 又 由 OB=OD， 即 可 求 得 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： 连 接 OD， ∵CA， CD 是 ⊙O 的 切 线 ， ∴OA⊥AC， OD⊥CD， ∴∠OAC=∠ODC=90°， ∵∠ACD=30°， ∴∠AOD=360°﹣ ∠C﹣ ∠OAC﹣ ∠ODC=150°， ∵OB=OD， ∴∠DBA=∠ODB= ∠AOD=75°． 故 选 D． 10． 如 图 所 示 ， 下 列 各 三 角 形 中 的 三 个 数 之 间 均 具 有 相 同 的 规 律 ， 根 据 此 规 律 ， 最 后 一 个 三 角 形 中 y 与 n 之 间 的 关 系 是 （ ） A． y=2n+1 B． y=2 n+n C． y=2 n+1+n D． y=2n+n+1 【 考 点 】 规 律 型 ： 数 字 的 变 化 类 ． 【 分 析 】 由 题 意 可 得 下 边 三 角 形 的 数 字 规 律 为 ： n+2 n， 继 而 求 得 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： ∵观 察 可 知 ： 左 边 三 角 形 的 数 字 规 律 为 ： 1， 2， …， n， 右 边 三 角 形 的 数 字 规 律 为 ： 2， 22， …， 2n， 下 边 三 角 形 的 数 字 规 律 为 ： 1+2， 2+22， …， n+2 n， ∴y=2n+n． 故 选 B． 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 24 分 11． 将 多 项 式 m3﹣ mn 2 因 式 分 解 的 结 果 是 m（ m+n）（ m﹣ n） ． 【 考 点 】 提 公 因 式 法 与 公 式 法 的 综 合 运 用 ． 【 分 析 】 原 式 提 取 公 因 式 后 ， 利 用 平 方 差 公 式 分 解 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： 原 式 =m（ m2﹣ n2） =m（ m+n）（ m﹣ n）． 故 答 案 为 ： m（ m+n）（ m﹣ n） 12． 学 校 射 击 队 计 划 从 甲 、 乙 两 人 中 选 拔 一 人 参 加 运 动 会 射 击 比 赛 ， 在 选 拔 过 程 中 ， 每 人 射 击 10 次 ， 计 算 他 们 的 平 均 成 绩 及 方 差 如 下 表 ： 选 手 甲 乙 平 均 数 （ 环 ） 9.5 9.5 方 差 0.035 0.015 请 你 根 据 上 表 中 的 数 据 选 一 人 参 加 比 赛 ， 最 适 合 的 人 选 是 乙 ． 【 考 点 】 方 差 ； 算 术 平 均 数 ． 【 分 析 】 根 据 方 差 的 定 义 ， 方 差 越 小 数 据 越 稳 定 ． 【 解 答 】 解 ： 因 为 S 甲 2=0.035＞ S 乙 2=0.015， 方 差 小 的 为 乙 ， 所 以 本 题 中 成 绩 比 较 稳 定 的 是 乙 ． 故 答 案 为 乙 ． 13．将 等 边 △CBA 绕 点 C 顺 时 针 旋 转 ∠α得 到 △CB′A′， 使 得 B，C，A′三 点 在 同 一 直 线 上 ， 如 图 所 示 ， 则 ∠α的 大 小 是 120° ． 【 考 点 】 旋 转 的 性 质 ； 等 边 三 角 形 的 性 质 ． 【 分 析 】 根 据 旋 转 的 性 质 和 等 边 三 角 形 的 性 质 解 答 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： ∵三 角 形 ABC 是 等 边 三 角 形 ， ∴∠ACB=60°， ∵等 边 △CBA 绕 点 C 顺 时 针 旋 转 ∠α得 到 △CB′A′， 使 得 B， C， A′三 点 在 同 一 直 线 上 ， ∴∠BCA'=180°， ∠B'CA'=60°， ∴∠ACB'=60°， ∴∠α=60°+60°=120°， 故 答 案 为 ： 120°． 14．已 知 反 比 例 函 数 y= （ k≠0）的 图 象 如 图 所 示 ，则 k 的 值 可 能 是 ﹣ 1 （ 写 一 个 即 可 ）． 【 考 点 】 反 比 例 函 数 的 性 质 ． 【 分 析 】 利 用 反 比 例 函 数 的 性 质 得 到 k＜ 0， 然 后 在 此 范 围 内 取 一 个 值 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： ∵双 曲 线 的 两 支 分 别 位 于 第 二 、 第 四 象 限 ， ∴k＜ 0， ∴k 可 取 ﹣ 1． 故 答 案 为 ﹣ 1． 15． 不 等 式 组 的 解 集 是 ﹣ 2＜ x≤1 ． 【 考 点 】 解 一 元 一 次 不 等 式 组 ． 【 分 析 】 分 别 求 出 各 不 等 式 的 解 集 ， 再 求 出 其 公 共 解 集 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： ， 由 ①得 ， x≤1， 由 ②得 ， x＞ ﹣ 2， 故 不 等 式 组 的 解 集 为 ： ﹣ 2＜ x≤1． 故 答 案 为 ： ﹣ 2＜ x≤1． 16．2015 年 7 月 ，第 四 十 五 届 “世 界 超 级 计 算 机 500 强 排 行 榜 ”榜 单 发 布 ， 我 国 国 防 科 技 大 学 研 制 的 “天 河 二 号 ”以 每 秒 3386×10 13 次 的 浮 点 运 算 速 度 第 五 次 蝉 联 冠 军 ，若 将 3386×10 13 用 科 学 记 数 法 表 示 成 a×10n 的 形 式 ， 则 n 的 值 是 16 ． 【 考 点 】 科 学 记 数 法 —表 示 较 大 的 数 ． 【 分 析 】 直 接 利 用 科 学 记 数 法 的 表 示 方 法 分 析 得 出 n 的 值 ． 【 解 答 】 解 ： 3386×10 13=3.386×10 16， 则 n=16． 故 答 案 为 ： 16． 17．如 图 所 示 ，四 边 形 ABCD 的 对 角 线 相 交 于 点 O，若 AB∥CD，请 添 加 一 个 条 件 AD∥BC （ 写 一 个 即 可 ）， 使 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ． 【 考 点 】 平 行 四 边 形 的 判 定 ． 【 分 析 】 根 据 平 行 四 边 形 的 定 义 或 判 定 定 理 即 可 解 答 ． 【 解 答 】 解 ： 可 以 添 加 ： AD∥BC（ 答 案 不 唯 一 ）． 故 答 案 是 ： AD∥BC． 18． 如 图 所 示 ， 在 3×3 的 方 格 纸 中 ， 每 个 小 方 格 都 是 边 长 为 1 的 正 方 形 ， 点 O， A， B 均 为 格 点 ， 则 扇 形 OAB 的 面 积 大 小 是 ． 【 考 点 】 扇 形 面 积 的 计 算 ． 【 分 析 】 根 据 题 意 知 ， 该 扇 形 的 圆 心 角 是 90°． 根 据 勾 股 定 理 可 以 求 得 OA=OB= ， 由 扇 形 面 积 公 式 可 得 出 结 论 ． 【 解 答 】 解 ： ∵每 个 小 方 格 都 是 边 长 为 1 的 正 方 形 ， ∴OA=OB= = ， ∴S 扇 形 OAB = = = ． 故 答 案 为 ： ． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 8 分 ， 共 24 分 19． 计 算 ：（ ﹣ 2 ） 2+2cos60°﹣ （ ） 0． 【 考 点 】 实 数 的 运 算 ； 零 指 数 幂 ； 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ． 【 分 析 】 原 式 利 用 乘 方 的 意 义 ， 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ， 以 及 零 指 数 幂 法 则 计 算 即 可 得 到 结 果 ． 【 解 答 】 解 ： 原 式 =4+2× ﹣ 1 =4+1﹣ 1 =4． 20． 先 化 简 ， 再 求 值 ：（ m﹣ n） 2﹣ m（ m﹣ 2n）， 其 中 m= ， n= ． 【 考 点 】 整 式 的 混 合 运 算 —化 简 求 值 ． 【 分 析 】 原 式 利 用 完 全 平 方 公 式 ， 以 及 单 项 式 乘 以 多 项 式 法 则 计 算 ， 去 括 号 合 并 得 到 最 简 结 果 ， 把 m 与 n 的 值 代 入 计 算 即 可 求 出 值 ． 【 解 答 】 解 ： 原 式 =m 2﹣ 2mn+n2﹣ m2+2mn=n 2， 当 n= 时 ， 原 式 =2． 21． 如 图 所 示 ， 点 E， F 是 平 行 四 边 形 ABCD 对 角 线 BD 上 的 点 ， BF=DE， 求 证 ： AE=CF． 【 考 点 】 平 行 四 边 形 的 性 质 ； 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ． 【 分 析 】 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 可 得 AD∥BC， AD=BC， 根 据 平 行 线 的 性 质 可 得 ∠EDA=∠FBC， 再 加 上 条 件 ED=BF 可 利 用 SAS 判 定 △AED≌△CFB， 进 而 可 得 AE=CF． 【 解 答 】 证 明 ： ∵四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 ， ∴AD∥BC， AD=BC， ∴∠EDA=∠FBC， 在 △AED 和 △CFB 中 ， ， ∴△AED≌△CFB（ SAS）， ∴AE=CF． 四 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 3 小 题 ， 每 小 题 8 分 ， 共 24 分 22．如 图 为 放 置 在 水 平 桌 面 上 的 台 灯 的 平 面 示 意 图 ，灯 臂 AO 长 为 40cm，与 水 平 面 所 形 成 的 夹 角 ∠OAM 为 75°． 由 光 源 O 射 出 的 边 缘 光 线 OC， OB 与 水 平 面 所 形 成 的 夹 角 ∠OCA， ∠OBA 分 别 为 90°和 30°， 求 该 台 灯 照 亮 水 平 面 的 宽 度 BC（ 不 考 虑 其 他 因 素 ， 结 果 精 确 到 0.1cm． 温 馨 提 示 ： sin75°≈0.97， cos75°≈0.26， ）． 【 考 点 】 解 直 角 三 角 形 的 应 用 ． 【 分 析 】 根 据 sin75°= = ， 求 出 OC 的 长 ， 根 据 tan30°= ， 再 求 出 BC 的 长 ， 即 可 求 解 ． 【 解 答 】 解 ： 在 直 角 三 角 形 ACO 中 ， sin75°= = ≈0.97， 解 得 OC≈38.8， 在 直 角 三 角 形 BCO 中 ， tan30°= = ≈ ， 解 得 BC≈67.3． 答 ： 该 台 灯 照 亮 水 平 面 的 宽 度 BC 大 约 是 67.3cm． 23． 为 了 响 应 “足 球 进 校 园 ”的 目 标 ， 某 校 计 划 为 学 校 足 球 队 购 买 一 批 足 球 ， 已 知 购 买 2 个 A 品 牌 的 足 球 和 3 个 B 品 牌 的 足 球 共 需 380 元 ；购 买 4 个 A 品 牌 的 足 球 和 2 个 B 品 牌 的 足 球 共 需 360 元 ． （ 1） 求 A， B 两 种 品 牌 的 足 球 的 单 价 ． （ 2） 求 该 校 购 买 20 个 A 品 牌 的 足 球 和 2 个 B 品 牌 的 足 球 的 总 费 用 ． 【 考 点 】 二 元 一 次 方 程 组 的 应 用 ． 【 分 析 】（ 1） 设 一 个 A 品 牌 的 足 球 需 x 元 ， 则 一 个 B 品 牌 的 足 球 需 y 元 ， 根 据 “购 买 2 个 A 品 牌 的 足 球 和 3 个 B 品 牌 的 足 球 共 需 380 元 ；购 买 4 个 A 品 牌 的 足 球 和 2 个 B 品 牌 的 足 球 共 需 360 元 ”列 出 方 程 组 并 解 答 ； （ 2） 把 （ 1） 中 的 数 据 代 入 求 值 即 可 ． 【 解 答 】 解 ：（ 1） 设 一 个 A 品 牌 的 足 球 需 x 元 ， 则 一 个 B 品 牌 的 足 球 需 y 元 ， 依 题 意 得 ： ， 解 得 ． 答 ： 一 个 A 品 牌 的 足 球 需 90 元 ， 则 一 个 B 品 牌 的 足 球 需 100 元 ； （ 2） 依 题 意 得 ： 20×90+2×100=1900（ 元 ）． 答 ： 该 校 购 买 20 个 A 品 牌 的 足 球 和 2 个 B 品 牌 的 足 球 的 总 费 用 是 1900 元 ． 24． 为 了 解 市 民 对 全 市 创 卫 工 作 的 满 意 程 度 ， 某 中 学 教 学 兴 趣 小 组 在 全 市 甲 、 乙 两 个 区 内 进 行 了 调 查 统 计 ， 将 调 查 结 果 分 为 不 满 意 ， 一 般 ， 满 意 ， 非 常 满 意 四 类 ， 回 收 、 整 理 好 全 部 问 卷 后 ， 得 到 下 列 不 完 整 的 统 计 图 ． 请 结 合 图 中 信 息 ， 解 决 下 列 问 题 ： （ 1） 求 此 次 调 查 中 接 受 调 查 的 人 数 ． （ 2） 求 此 次 调 查 中 结 果 为 非 常 满 意 的 人 数 ． （ 3）兴 趣 小 组 准 备 从 调 查 结 果 为 不 满 意 的 4 位 市 民 中 随 机 选 择 2 为 进 行 回 访 ，已 知 4 为 市 民 中 有 2 位 来 自 甲 区 ， 另 2 位 来 自 乙 区 ， 请 用 列 表 或 用 画 树 状 图 的 方 法 求 出 选 择 的 市 民 均 来 自 甲 区 的 概 率 ． 【 考 点 】 列 表 法 与 树 状 图 法 ； 扇 形 统 计 图 ； 条 形 统 计 图 ． 【 分 析 】（ 1） 由 满 意 的 有 20 人 ， 占 40%， 即 可 求 得 此 次 调 查 中 接 受 调 查 的 人 数 ． （ 2） 由 （ 1）， 即 可 求 得 此 次 调 查 中 结 果 为 非 常 满 意 的 人 数 ． （ 3）首 先 根 据 题 意 画 出 树 状 图 ，然 后 由 树 状 图 求 得 所 有 等 可 能 的 结 果 与 选 择 的 市 民 均 来 自 甲 区 的 情 况 ， 再 利 用 概 率 公 式 即 可 求 得 答 案 ． 【 解 答 】 解 ：（ 1） ∵满 意 的 有 20 人 ， 占 40%， ∴此 次 调 查 中 接 受 调 查 的 人 数 ： 20÷40%=50（ 人 ）； （ 2） 此 次 调 查 中 结 果 为 非 常 满 意 的 人 数 为 ： 50﹣ 4﹣ 8﹣ 20=18（ 人 ）； （ 3） 画 树 状 图 得 ： ∵共 有 12 种 等 可 能 的 结 果 ， 选 择 的 市 民 均 来 自 甲 区 的 有 2 种 情 况 ， ∴选 择 的 市 民 均 来 自 甲 区 的 概 率 为 ： = ． 五 、 综 合 题 ： 本 大 题 共 2 小 题 ， 其 中 25 题 8 分 ， 26 题 10 分 ， 共 18 分 25 ．尤 秀 同 学 遇 到 了 这 样 一 个 问 题 ：如 图 1 所 示 ，已 知 AF，BE 是 △ABC 的 中 线 ，且 AF⊥BE， 垂 足 为 P， 设 BC=a， AC=b， AB=c． 求 证 ： a2+b 2=5c 2 该 同 学 仔 细 分 析 后 ， 得 到 如 下 解 题 思 路 ： 先 连 接 EF， 利 用 EF 为 △ABC 的 中 位 线 得 到 △EPF∽△BPA， 故 ， 设 PF=m， PE=n， 用 m， n 把 PA， PB 分 别 表 示 出 来 ， 再 在 Rt△APE， Rt△BPF 中 利 用 勾 股 定 理 计 算 ， 消 去 m， n 即 可 得 证 （ 1） 请 你 根 据 以 上 解 题 思 路 帮 尤 秀 同 学 写 出 证 明 过 程 ． （ 2） 利 用 题 中 的 结 论 ， 解 答 下 列 问 题 ： 在 边 长 为 3 的 菱 形 ABCD 中 ， O 为 对 角 线 AC， BD 的 交 点 ， E， F 分 别 为 线 段 AO， DO 的 中 点 ， 连 接 BE， CF 并 延 长 交 于 点 M， BM， CM 分 别 交 AD 于 点 G， H， 如 图 2 所 示 ， 求 MG 2+MH 2 的 值 ． 【 考 点 】 相 似 三 角 形 的 判 定 ； 三 角 形 中 位 线 定 理 ． 【 分 析 】（ 1）设 PF=m，PE=n，连 结 EF，如 图 1，根 据 三 角 形 中 位 线 性 质 得 EF∥AB，EF= c， 则 可 判 断 △EFP∽△BPA， 利 用 相 似 比 得 到 PB=2n， PA=2m， 接 着 根 据 勾 股 定 理 得 到 n2+4m 2= b2，m2+4n 2= a2，则 5（ n2+m 2）= （ a2+b 2），而 n2+m 2=EF2= c2，所 以 a2+b 2=5c 2； （ 2）利 用（ 1）的 结 论 得 MB 2+MC 2=5BC 2=5×32=45，再 利 用 △AEG∽△CEB 可 计 算 出 AG=1， 同 理 可 得 DH=1，则 GH=1，然 后 利 用 GH∥BC，根 据 平 行 线 分 线 段 长 比 例 定 理 得 到 MB=3GM， MC=3MH， 然 后 等 量 代 换 后 可 得 MG 2+MH 2=5． 【 解 答 】 解 ：（ 1） 设 PF=m， PE=n， 连 结 EF， 如 图 1， ∵AF， BE 是 △ABC 的 中 线 ， ∴EF 为 △ABC 的 中 位 线 ， AE= b， BF= a， ∴EF∥AB， EF= c， ∴△EFP∽△BPA， ∴ ， 即 = = ， ∴PB=2n， PA=2m， 在 Rt△AEP 中 ， ∵PE 2+PA 2=AE 2， ∴n2+4m 2= b2①， 在 Rt△AEP 中 ， ∵PF2+PB 2=BF2， ∴m2+4n 2= a2②， ①+②得 5（ n2+m 2） = （ a2+b 2）， 在 Rt△EFP 中 ， ∵PE 2+PF 2=EF2， ∴n2+m 2=EF2= c2， ∴5• c2= （ a2+b 2）， ∴a2+b 2=5c 2； （ 2） ∵四 边 形 ABCD 为 菱 形 ， ∴BD⊥AC， ∵E， F 分 别 为 线 段 AO， DO 的 中 点 ， 由 （ 1） 的 结 论 得 MB 2+MC 2=5BC 2=5×32=45， ∵AG∥BC， ∴△AEG∽△CEB， ∴ = = ， ∴AG=1， 同 理 可 得 DH=1， ∴GH=1， ∴GH∥BC， ∴ = = = ， ∴MB=3GM， MC=3MH， ∴9MG 2+9MH 2=45， ∴MG 2+MH 2=5． 26． 已 知 抛 物 线 y=ax 2﹣ 4a（ a＞ 0） 与 x 轴 相 交 于 A， B 两 点 （ 点 A 在 点 B 的 左 侧 ）， 点 P 是 抛 物 线 上 一 点 ， 且 PB=AB， ∠PBA=120°， 如 图 所 示 ． （ 1） 求 抛 物 线 的 解 析 式 ． （ 2） 设 点 M（ m， n） 为 抛 物 线 上 的 一 个 动 点 ， 且 在 曲 线 PA 上 移 动 ． ①当 点 M 在 曲 线 PB 之 间 （ 含 端 点 ） 移 动 时 ， 是 否 存 在 点 M 使 △APM 的 面 积 为 ？ 若 存 在 ， 求 点 M 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ． ②当 点 M 在 曲 线 BA 之 间（ 含 端 点 ）移 动 时 ，求 |m|+|n|的 最 大 值 及 取 得 最 大 值 时 点 M 的 坐 标 ． 【 考 点 】 二 次 函 数 综 合 题 ． 【 分 析 】（ 1） 先 求 出 A、 B 两 点 坐 标 ， 然 后 过 点 P 作 PC⊥x 轴 于 点 C， 根 据 ∠PBA=120°， PB=AB， 分 别 求 出 BC 和 PC 的 长 度 即 可 得 出 点 P 的 坐 标 ， 最 后 将 点 P 的 坐 标 代 入 二 次 函 数 解 析 式 即 ； （ 2） ①过 点 M 作 ME⊥x 轴 于 点 E， 交 AP 于 点 D， 分 别 用 含 m 的 式 子 表 示 点 D、 M 的 坐 标 ， 然 后 代 入 △APM 的 面 积 公 式 DM•AC， 根 据 题 意 列 出 方 程 求 出 m 的 值 ； ②根 据 题 意 可 知 ： n＜ 0， 然 后 对 m 的 值 进 行 分 类 讨 论 ， 当 ﹣ 2≤m≤0 时 ， |m|=﹣ m； 当 0＜ m≤2 时 ， |m|=m， 列 出 函 数 关 系 式 即 可 求 得 |m|+|n|的 最 大 值 ． 【 解 答 】 解 ：（ 1） 如 图 1， 令 y=0 代 入 y=ax 2﹣ 4a， ∴0=ax2﹣ 4a， ∵a＞ 0， ∴x2﹣ 4=0， ∴x=±2， ∴A（ ﹣ 2， 0）， B（ 2， 0）， ∴AB=4， 过 点 P 作 PC⊥x 轴 于 点 C， ∴∠PBC=180°﹣ ∠PBA=60°， ∵PB=AB=4， ∴cos∠PBC= ， ∴BC=2， 由 勾 股 定 理 可 求 得 ： PC=2 ， ∵OC=OC+BC=4， ∴P（ 4， 2 ）， 把 P（ 4， 2 ） 代 入 y=ax 2﹣ 4a， ∴2 =16a﹣ 4a， ∴a= ， ∴抛 物 线 解 析 式 为 ； y= x2﹣ ； （ 2） ∵点 M 在 抛 物 线 上 ， ∴n= m2﹣ ， ∴M 的 坐 标 为 （ m， m2﹣ ）， ①当 点 M 在 曲 线 PB 之 间 （ 含 端 点 ） 移 动 时 ， ∴2≤m≤4， 如 图 2， 过 点 M 作 ME⊥x 轴 于 点 E， 交 AP 于 点 D， 设 直 线 AP 的 解 析 式 为 y=kx+b， 把 A（ ﹣ 2， 0） 与 P（ 4， 2 ） 代 入 y=kx+b， 得 ： ， 解 得 ∴直 线 AP 的 解 析 式 为 ： y= x+ ， 令 x=m 代 入 y= x+ ， ∴y= m+ ， ∴D 的 坐 标 为 （ m， m+ ）， ∴DM=（ m+ ） ﹣ （ m2﹣ ） =﹣ m2+ m+ ， ∴S △ APM = DM•AE+ DM•CE = DM（ AE+CE） = DM•AC =﹣ m2+ m+4 当 S △ APM= 时 ， ∴ =﹣ m2+ m+4 ， ∴解 得 m=3 或 m=﹣ 1， ∵2≤m≤4， ∴m=3， 此 时 ， M 的 坐 标 为 （ 3， ）； ②当 点 M 在 曲 线 BA 之 间 （ 含 端 点 ） 移 动 时 ， ∴﹣ 2≤m≤2， n＜ 0， 当 ﹣ 2≤m≤0 时 ， ∴|m|+|n|=﹣ m﹣ n=﹣ m2﹣ m+ =﹣ （ m+ ） 2+ ， 当 m=﹣ 时 ， ∴|m|+|n|可 取 得 最 大 值 ， 最 大 值 为 ， 此 时 ， M 的 坐 标 为 （ ﹣ ， ﹣ ）， 当 0＜ m≤2 时 ， ∴|m|+|n|=m﹣ n=﹣ m2+m+ =﹣ （ m﹣ ） 2+ ， 当 m= 时 ， ∴|m|+|n|可 取 得 最 大 值 ， 最 大 值 为 ， 此 时 ， M 的 坐 标 为 （ ， ﹣ ）， 综 上 所 述 ，当 点 M 在 曲 线 BA 之 间（ 含 端 点 ）移 动 时 ，M 的 坐 标 为（ ，﹣ ）或（ ﹣ ， ﹣ ） 时 ， |m|+|n|的 最 大 值 为 ．