2016年怀化市中考数学试题解析版

2016 年湖南省怀化市中考数学试卷 一 、 选 择 题 ： 每 小 题 4 分 ， 共 40 分 1．（ ﹣ 2） 2 的 平 方 根 是 （ ） A． 2 B． ﹣ 2 C． ±2 D． 2． 某 校 进 行 书 法 比 赛 ， 有 39 名 同 学 参 加 预 赛 ， 只 能 有 19 名 同 学 参 加 决 赛 ， 他 们 预 赛 的 成 绩 各 不 相 同 ， 其 中 一 名 同 学 想 知 道 自 己 能 否 进 入 决 赛 ， 不 仅 要 了 解 自 己 的 预 赛 成 绩 ， 还 要 了 解 这 39 名 同 学 预 赛 成 绩 的 （ ） A． 平 均 数 B． 中 位 数 C． 方 差 D． 众 数 3． 下 列 计 算 正 确 的 是 （ ） A．（ x+y） 2=x 2+y2B．（ x﹣ y） 2=x 2﹣ 2xy﹣ y2 C．（ x+1）（ x﹣ 1） =x 2﹣ 1 D．（ x﹣ 1） 2=x 2﹣ 1 4． 一 元 二 次 方 程 x2﹣ x﹣ 1=0 的 根 的 情 况 为 （ ） A． 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 B． 有 两 个 相 等 的 实 数 根 C． 只 有 一 个 实 数 根 D． 没 有 实 数 根 5． 如 图 ， OP 为 ∠AOB 的 角 平 分 线 ， PC⊥OA， PD⊥OB， 垂 足 分 别 是 C、 D， 则 下 列 结 论 错 误 的 是 （ ） A． PC=PD B． ∠CPD=∠DOP C． ∠CPO=∠DPO D． OC=OD 6． 不 等 式 3（ x﹣ 1） ≤5﹣ x 的 非 负 整 数 解 有 （ ） A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 7． 二 次 函 数 y=x2+2x﹣ 3 的 开 口 方 向 、 顶 点 坐 标 分 别 是 （ ） A． 开 口 向 上 ， 顶 点 坐 标 为 （ ﹣ 1， ﹣ 4） B． 开 口 向 下 ， 顶 点 坐 标 为 （ 1， 4） C． 开 口 向 上 ， 顶 点 坐 标 为 （ 1， 4） D． 开 口 向 下 ， 顶 点 坐 标 为 （ ﹣ 1， ﹣ 4） 8． 等 腰 三 角 形 的 两 边 长 分 别 为 4cm 和 8cm， 则 它 的 周 长 为 （ ） A． 16cm B． 17cm C． 20cm D． 16cm 或 20cm 9． 函 数 y= 中 ， 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 （ ） A． x≥1 B． x＞ 1 C． x≥1 且 x≠2 D． x≠2 10． 在 Rt△ABC 中 ， ∠C=90°， sinA= ， AC=6cm， 则 BC 的 长 度 为 （ ） A． 6cm B． 7cm C． 8cm D． 9cm 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 16 分 11． 已 知 扇 形 的 半 径 为 6cm， 面 积 为 10πcm 2， 则 该 扇 形 的 弧 长 等 于 ． 12． 旋 转 不 改 变 图 形 的 和 ． 13．已 知 点 P（ 3，﹣ 2）在 反 比 例 函 数 y= （ k≠0）的 图 象 上 ，则 k= ； 在 第 四 象 限 ， 函 数 值 y 随 x 的 增 大 而 ． 14．一 个 不 透 明 的 袋 子 ，装 了 除 颜 色 不 同 ，其 他 没 有 任 何 区 别 的 红 色 球 3 个 ， 绿 色 球 4 个 ， 黑 色 球 7 个 ， 黄 色 球 2 个 ， 从 袋 子 中 随 机 摸 出 一 个 球 ， 摸 到 黑 色 球 的 概 率 是 ． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 8 分 ， 共 64 分 15． 计 算 ： 20160+2|1﹣ sin30°|﹣ （ ） ﹣ 1 + ． 16．有 若 干 只 鸡 和 兔 关 在 一 个 笼 子 里 ，从 上 面 数 ，有 30 个 头 ；从 下 面 数 ，有 84 条 腿 ， 问 笼 中 各 有 几 只 鸡 和 兔 ？ 17． 如 图 ， 已 知 AD=BC， AC=BD． （ 1） 求 证 ： △ADB≌△BCA； （ 2） OA 与 OB 相 等 吗 ？ 若 相 等 ， 请 说 明 理 由 ． 18． 已 知 一 次 函 数 y=2x+4 （ 1） 在 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 画 出 函 数 的 图 象 ； （ 2） 求 图 象 与 x 轴 的 交 点 A 的 坐 标 ， 与 y 轴 交 点 B 的 坐 标 ； （ 3） 在 （ 2） 的 条 件 下 ， 求 出 △AOB 的 面 积 ； （ 4） 利 用 图 象 直 接 写 出 ： 当 y＜ 0 时 ， x 的 取 值 范 围 ． 19． 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠BAC=90° （ 1） 先 作 ∠ ACB 的 平 分 线 交 AB 边 于 点 P， 再 以 点 P 为 圆 心 ， PA 长 为 半 径 作 ⊙P；（ 要 求 ： 尺 规 作 图 ， 保 留 作 图 痕 迹 ， 不 写 作 法 ） （ 2） 请 你 判 断 （ 1） 中 BC 与 ⊙P 的 位 置 关 系 ， 并 证 明 你 的 结 论 ． 20．甲 、乙 两 人 都 握 有 分 别 标 记 为 A、B、C 的 三 张 牌 ，两 人 做 游 戏 ，游 戏 规 则 是 ： 若 两 人 出 的 牌 不 同 ， 则 A 胜 B， B 胜 C， C 胜 A； 若 两 人 出 的 牌 相 同 ， 则 为 平 局 ． （ 1） 用 树 状 图 或 列 表 等 方 法 ， 列 出 甲 、 乙 两 人 一 次 游 戏 的 所 有 可 能 的 结 果 ； （ 2） 求 出 现 平 局 的 概 率 ． 21．如 图 ，△ABC 为 锐 角 三 角 形 ，AD 是 BC 边 上 的 高 ，正 方 形 EFGH 的 一 边 FG 在 BC 上 ， 顶 点 E、 H 分 别 在 AB、 AC 上 ， 已 知 BC=40cm， AD=30cm． （ 1） 求 证 ： △AEH∽△ABC； （ 2） 求 这 个 正 方 形 的 边 长 与 面 积 ． 22． 如 图 ， 已 知 抛 物 线 y=ax 2+bx+c（ a≠0） 经 过 A（ ﹣ 3， 0）、 B（ 5， 0）、 C （ 0， 5） 三 点 ， O 为 坐 标 原 点 （ 1） 求 此 抛 物 线 的 解 析 式 ； （ 2） 若 把 抛 物 线 y=ax 2+bx+c（ a≠0） 向 下 平 移 个 单 位 长 度 ， 再 向 右 平 移 n （ n＞ 0） 个 单 位 长 度 得 到 新 抛 物 线 ， 若 新 抛 物 线 的 顶 点 M 在 △ABC 内 ， 求 n 的 取 值 范 围 ； （ 3） 设 点 P 在 y 轴 上 ， 且 满 足 ∠OPA+∠OCA=∠CBA， 求 CP 的 长 ． 2016 年湖南省怀化市中考数学试卷 参 考 答 案 与 试 题 解 析 一 、 选 择 题 ： 每 小 题 4 分 ， 共 40 分 1．（ ﹣ 2） 2 的 平 方 根 是 （ ） A． 2 B． ﹣ 2 C． ±2 D． 【 考 点 】 平 方 根 ． 【 分 析 】 直 接 利 用 有 理 数 的 乘 方 化 简 ， 进 而 利 用 平 方 根 的 定 义 得 出 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： ∵（ ﹣ 2） 2=4， ∴4 的 平 方 根 是 ： ±2． 故 选 ： C． 2． 某 校 进 行 书 法 比 赛 ， 有 39 名 同 学 参 加 预 赛 ， 只 能 有 19 名 同 学 参 加 决 赛 ， 他 们 预 赛 的 成 绩 各 不 相 同 ， 其 中 一 名 同 学 想 知 道 自 己 能 否 进 入 决 赛 ， 不 仅 要 了 解 自 己 的 预 赛 成 绩 ， 还 要 了 解 这 39 名 同 学 预 赛 成 绩 的 （ ） A． 平 均 数 B． 中 位 数 C． 方 差 D． 众 数 【 考 点 】 统 计 量 的 选 择 ． 【 分 析 】 由 于 比 赛 取 前 19 名 参 加 决 赛 ， 共 有 39 名 选 手 参 加 ， 根 据 中 位 数 的 意 义 分 析 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： 39 个 不 同 的 成 绩 按 从 小 到 大 排 序 后 ， 中 位 数 及 中 位 数 之 后 的 共 有 19 个 数 ， 故 只 要 知 道 自 己 的 成 绩 和 中 位 数 就 可 以 知 道 是 否 获 奖 了 ． 故 选 B． 3． 下 列 计 算 正 确 的 是 （ ） A．（ x+y） 2=x 2+y2B．（ x﹣ y） 2=x 2﹣ 2xy﹣ y2 C．（ x+1）（ x﹣ 1） =x 2﹣ 1 D．（ x﹣ 1） 2=x 2﹣ 1 【 考 点 】 平 方 差 公 式 ； 完 全 平 方 公 式 ． 【 分 析 】 直 接 利 用 完 全 平 方 公 式 以 及 平 方 差 公 式 分 别 计 算 得 出 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： A、（ x+y） 2=x 2+y2+2xy， 故 此 选 项 错 误 ； B、（ x﹣ y） 2=x 2﹣ 2xy+y 2， 故 此 选 项 错 误 ； C、（ x+1）（ x﹣ 1） =x 2﹣ 1， 正 确 ； D、（ x﹣ 1） 2=x2﹣ 2x+1， 故 此 选 项 错 误 ； 故 选 ： C． 4． 一 元 二 次 方 程 x2﹣ x﹣ 1=0 的 根 的 情 况 为 （ ） A． 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 B． 有 两 个 相 等 的 实 数 根 C． 只 有 一 个 实 数 根 D． 没 有 实 数 根 【 考 点 】 根 的 判 别 式 ． 【 分 析 】 先 求 出 △的 值 ， 再 判 断 出 其 符 号 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： ∵a=1， b=﹣ 1， c=﹣ 1， ∴△=b2﹣ 4ac=（ ﹣ 1） 2﹣ 4×1×（ ﹣ 1） =5＞ 0， ∴方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 故 选 ： A． 5． 如 图 ， OP 为 ∠AOB 的 角 平 分 线 ， PC⊥OA， PD⊥OB， 垂 足 分 别 是 C、 D， 则 下 列 结 论 错 误 的 是 （ ） A． PC=PD B． ∠CPD=∠DOP C． ∠CPO=∠DPO D． OC=OD 【 考 点 】 角 平 分 线 的 性 质 ． 【 分 析 】先 根 据 角 平 分 线 的 性 质 得 出 PC=PD，再 利 用 HL 证 明 △OCP≌△ODP， 根 据 全 等 三 角 形 的 性 质 得 出 ∠CPO=∠DPO， OC=OD． 【 解 答 】解 ：∵OP 为 ∠AOB 的 角 平 分 线 ，PC⊥OA，PD⊥OB，垂 足 分 别 是 C、 D， ∴PC=PD， 故 A 正 确 ； 在 Rt△OCP 与 Rt△ODP 中 ， ， ∴△OCP≌△ODP， ∴∠CPO=∠DPO， OC=OD， 故 C、 D 正 确 ． 不 能 得 出 ∠CPD=∠DOP， 故 B 错 误 ． 故 选 B． 6． 不 等 式 3（ x﹣ 1） ≤5﹣ x 的 非 负 整 数 解 有 （ ） A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 【 考 点 】 一 元 一 次 不 等 式 的 整 数 解 ． 【 分 析 】 根 据 解 不 等 式 得 基 本 步 骤 依 次 去 括 号 、 移 项 、 合 并 同 类 项 求 得 不 等 式 的 解 集 ， 在 解 集 内 找 到 非 负 整 数 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： 去 括 号 ， 得 ： 3x﹣ 3≤5﹣ x， 移 项 、 合 并 ， 得 ： 4x≤8， 系 数 化 为 1， 得 ： x≤2， ∴不 等 式 的 非 负 整 数 解 有 0、 1、 2 这 3 个 ， 故 选 ： C． 7． 二 次 函 数 y=x2+2x﹣ 3 的 开 口 方 向 、 顶 点 坐 标 分 别 是 （ ） A． 开 口 向 上 ， 顶 点 坐 标 为 （ ﹣ 1， ﹣ 4） B． 开 口 向 下 ， 顶 点 坐 标 为 （ 1， 4） C． 开 口 向 上 ， 顶 点 坐 标 为 （ 1， 4） D． 开 口 向 下 ， 顶 点 坐 标 为 （ ﹣ 1， ﹣ 4） 【 考 点 】 二 次 函 数 的 性 质 ． 【 分 析 】根 据 a＞ 0 确 定 出 二 次 函 数 开 口 向 上 ，再 将 函 数 解 析 式 整 理 成 顶 点 式 形 式 ， 然 后 写 出 顶 点 坐 标 ． 【 解 答 】 解 ： ∵二 次 函 数 y=x 2+2x﹣ 3 的 二 次 项 系 数 为 a=1＞ 0， ∴函 数 图 象 开 口 向 上 ， ∵y=x2+2x﹣ 3=（ x+1） 2﹣ 4， ∴顶 点 坐 标 为 （ ﹣ 1， ﹣ 4）． 故 选 A． 8． 等 腰 三 角 形 的 两 边 长 分 别 为 4cm 和 8cm， 则 它 的 周 长 为 （ ） A． 16cm B． 17cm C． 20cm D． 16cm 或 20cm 【 考 点 】 等 腰 三 角 形 的 性 质 ； 三 角 形 三 边 关 系 ． 【 分 析 】 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 ， 本 题 要 分 情 况 讨 论 ． 当 腰 长 为 4cm 或 是 腰 长 为 8cm 两 种 情 况 ． 【 解 答 】 解 ： 等 腰 三 角 形 的 两 边 长 分 别 为 4cm 和 8cm， 当 腰 长 是 4cm 时 ， 则 三 角 形 的 三 边 是 4cm， 4cm， 8cm， 4cm+4cm=8cm 不 满 足 三 角 形 的 三 边 关 系 ； 当 腰 长 是 8cm 时 ，三 角 形 的 三 边 是 8cm，8cm，4cm，三 角 形 的 周 长 是 20cm． 故 选 C． 9． 函 数 y= 中 ， 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 （ ） A． x≥1 B． x＞ 1 C． x≥1 且 x≠2 D． x≠2 【 考 点 】 函 数 自 变 量 的 取 值 范 围 ． 【 分 析 】 根 据 分 式 的 分 母 不 为 零 、 被 开 方 数 是 非 负 数 来 求 x 的 取 值 范 围 ． 【 解 答 】 解 ： 依 题 意 得 ： x﹣ 1≥0 且 x﹣ 2≠0， 解 得 x≥1 且 x≠2． 故 选 ： C． 10． 在 Rt△ABC 中 ， ∠C=90°， sinA= ， AC=6cm， 则 BC 的 长 度 为 （ ） A． 6cm B． 7cm C． 8cm D． 9cm 【 考 点 】 解 直 角 三 角 形 ． 【 分 析 】根 据 三 角 函 数 的 定 义 求 得 BC 和 AB 的 比 值 ，设 出 BC、AB，然 后 利 用 勾 股 定 理 即 可 求 解 ． 【 解 答 】 解 ： ∵sinA= = ， ∴设 BC=4x， AB=5x， 又 ∵AC 2+BC 2=AB 2， ∴62+（ 4x） 2=（ 5x） 2， 解 得 ： x=2 或 x=﹣ 2（ 舍 ）， 则 BC=4x=8cm， 故 选 ： C． 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 16 分 11． 已 知 扇 形 的 半 径 为 6cm， 面 积 为 10πcm 2， 则 该 扇 形 的 弧 长 等 于 cm ． 【 考 点 】 扇 形 面 积 的 计 算 ； 弧 长 的 计 算 ． 【 分 析 】 设 扇 形 的 弧 长 为 lcm， 再 由 扇 形 的 面 积 公 式 即 可 得 出 结 论 ． 【 解 答 】 解 ： 设 扇 形 的 弧 长 为 lcm， ∵扇 形 的 半 径 为 6cm， 面 积 为 10πcm 2， ∴ l×6=10π， 解 得 l= cm． 故 答 案 为 ： cm． 12． 旋 转 不 改 变 图 形 的 形 状 和 大 小 ． [ 来 源 : 学 | 科 | 网 Z | X | X | K ] 【 考 点 】 旋 转 的 性 质 ． 【 分 析 】 根 据 旋 转 的 性 质 （ 旋 转 不 改 变 图 形 的 大 小 与 形 状 ， 只 改 变 图 形 的 位 置 ． 也 就 是 旋 转 前 后 图 形 全 等 ， 对 应 点 与 旋 转 中 心 所 连 线 段 间 的 夹 角 为 旋 转 角 ） 即 可 得 出 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： 旋 转 不 改 变 图 形 的 形 状 和 大 小 ， 只 改 变 图 形 的 位 置 ， 故 答 案 为 ： 形 状 ， 大 小 ． 13．已 知 点 P（ 3，﹣ 2）在 反 比 例 函 数 y= （ k≠0）的 图 象 上 ，则 k= ﹣ 6 ； 在 第 四 象 限 ， 函 数 值 y 随 x 的 增 大 而 增 大 ． 【 考 点 】 反 比 例 函 数 的 性 质 ； 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 ． 【 分 析 】 由 点 的 坐 标 结 合 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 可 求 出 k 值 ， 根 据 k 值 结 合 反 比 例 函 数 的 性 质 即 可 得 出 其 函 数 图 象 在 每 个 象 限 内 的 增 减 性 ， 由 此 即 可 得 出 结 论 ． 【 解 答 】 解 ： ∵点 P（ 3， ﹣ 2） 在 反 比 例 函 数 y= （ k≠0） 的 图 象 上 ， ∴k=3×（ ﹣ 2） =﹣ 6． ∵k=﹣ 6＜ 0， ∴反 比 例 函 数 y= 的 图 象 在 第 二 、 四 象 限 ， 且 在 每 个 象 限 内 均 单 增 ， ∴在 第 四 象 限 ， 函 数 值 y 随 x 的 增 大 而 增 大 ． 故 答 案 为 ： ﹣ 6； 增 大 ． 14．一 个 不 透 明 的 袋 子 ，装 了 除 颜 色 不 同 ，其 他 没 有 任 何 区 别 的 红 色 球 3 个 ， 绿 色 球 4 个 ， 黑 色 球 7 个 ， 黄 色 球 2 个 ， 从 袋 子 中 随 机 摸 出 一 个 球 ， 摸 到 黑 色 球 的 概 率 是 ． 【 考 点 】 概 率 公 式 ． 【 分 析 】 先 求 出 球 的 总 数 ， 再 根 据 概 率 公 式 即 可 得 出 结 论 ． 【 解 答 】 解 ： ∵红 色 球 3 个 ， 绿 色 球 4 个 ， 黑 色 球 7 个 ， 黄 色 球 2 个 ， ∴球 的 总 数 =3+4+7+2=16， ∴摸 到 黑 色 球 的 概 率 = ． 故 答 案 为 ： ． 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 8 分 ， 共 64 分 15． 计 算 ： 20160+2|1﹣ sin30°|﹣ （ ） ﹣ 1+ ． 【 考 点 】 实 数 的 运 算 ； 零 指 数 幂 ； 负 整 数 指 数 幂 ； 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ． 【 分 析 】 根 据 实 数 的 运 算 顺 序 ， 首 先 计 算 乘 方 、 开 方 ， 然 后 计 算 乘 法 ， 最 后 从 左 向 右 依 次 计 算 ， 求 出 算 式 20160+2|1﹣ sin30°|﹣ （ ） ﹣ 1+ 的 值 是 多 少 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： 20160+2|1﹣ sin30°|﹣ （ ） ﹣ 1+ =1+2×|1﹣ |﹣ 3+4 =1+2× +1 =1+1+1 =3． 16．有 若 干 只 鸡 和 兔 关 在 一 个 笼 子 里 ，从 上 面 数 ，有 30 个 头 ； 从 下 面 数 ，有 84 条 腿 ， 问 笼 中 各 有 几 只 鸡 和 兔 ？ 【 考 点 】 二 元 一 次 方 程 组 的 应 用 ． 【 分 析 】 设 这 个 笼 中 的 鸡 有 x 只 ， 兔 有 y 只 ， 根 据 “从 上 面 数 ， 有 30 个 头 ； 从 下 面 数 ， 有 84 条 腿 ”列 出 方 程 组 ， 解 方 程 组 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： 设 这 个 笼 中 的 鸡 有 x 只 ， 兔 有 y 只 ， 根 据 题 意 得 ： ， 解 得 ； ； 答 ： 笼 子 里 鸡 有 18 只 ， 兔 有 12 只 ． x _ k _ b _ 1 17． 如 图 ， 已 知 AD=BC， AC=BD． （ 1） 求 证 ： △ADB≌△BCA； （ 2） OA 与 OB 相 等 吗 ？ 若 相 等 ， 请 说 明 理 由 ． 【 考 点 】 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ； 等 腰 三 角 形 的 判 定 ． 【 分 析 】（ 1） 根 据 SSS 定 理 推 出 全 等 即 可 ； （ 2） 根 据 全 等 得 出 ∠OAB=∠OBA， 根 据 等 角 对 等 边 得 出 即 可 ． 【 解 答 】（ 1） 证 明 ： ∵在 △ADB 和 △BCA 中 ， ， ∴△ADB≌△BCA（ SSS）； （ 2） 解 ： OA=OB， 理 由 是 ： ∵△ADB≌△BCA， ∴∠ABD=∠BAC， ∴OA=OB． 18． 已 知 一 次 函 数 y=2x+4 （ 1） 在 如 图 所 示 的 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 画 出 函 数 的 图 象 ； （ 2） 求 图 象 与 x 轴 的 交 点 A 的 坐 标 ， 与 y 轴 交 点 B 的 坐 标 ； （ 3） 在 （ 2） 的 条 件 下 ， 求 出 △AOB 的 面 积 ； （ 4） 利 用 图 象 直 接 写 出 ： 当 y＜ 0 时 ， x 的 取 值 范 围 ． 【 考 点 】 一 次 函 数 图 象 与 系 数 的 关 系 ； 一 次 函 数 的 图 象 ． 【 分 析 】（ 1） 利 用 两 点 法 就 可 以 画 出 函 数 图 象 ；（ 2） 利 用 函 数 解 析 式 分 别 代 入 x=0 与 y=0 的 情 况 就 可 以 求 出 交 点 坐 标 ；（ 3）通 过 交 点 坐 标 就 能 求 出 面 积 ； （ 4） 观 察 函 数 图 象 与 x 轴 的 交 点 就 可 以 得 出 结 论 ． 【 解 答 】 解 ：（ 1） 当 x=0 时 y=4， 当 y=0 时 ， x=﹣ 2， 则 图 象 如 图 所 示 （ 2） 由 上 题 可 知 A（ ﹣ 2， 0） B（ 0， 4）， （ 3） S △ AOB = ×2×4=4， （ 4） x＜ ﹣ 2． 19． 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠BAC=90° （ 1）先 作 ∠ACB 的 平 分 线 交 AB 边 于 点 P，再 以 点 P 为 圆 心 ，PA 长 为 半 径 作 ⊙P；（ 要 求 ： 尺 规 作 图 ， 保 留 作 图 痕 迹 ， 不 写 作 法 ） （ 2） 请 你 判 断 （ 1） 中 BC 与 ⊙P 的 位 置 关 系 ， 并 证 明 你 的 结 论 ． 【 考 点 】 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 ； 作 图 —复 杂 作 图 ． 【 分 析 】（ 1） 根 据 题 意 作 出 图 形 ， 如 图 所 示 ； （ 2） BC 与 ⊙P 相 切 ， 理 由 为 ： 过 P 作 PD⊥BC， 交 BC 于 点 P， 利 用 角 平 分 线 定 理 得 到 PD=PA， 而 PA 为 圆 P 的 半 径 ， 即 可 得 证 ． 【 解 答 】 解 ：（ 1） 如 图 所 示 ， ⊙P 为 所 求 的 圆 ； （ 2） BC 与 ⊙P 相 切 ， 理 由 为 ： 过 P 作 PD⊥BC， 交 BC 于 点 P， ∵CP 为 ∠ACB 的 平 分 线 ， 且 PA⊥AC， PD⊥CB， ∴PD=PA， ∵PA 为 ⊙P 的 半 径 ． ∴BC 与 ⊙P 相 切 ． 20．甲 、乙 两 人 都 握 有 分 别 标 记 为 A、B、C 的 三 张 牌 ，两 人 做 游 戏 ，游 戏 规 则 是 ： 若 两 人 出 的 牌 不 同 ， 则 A 胜 B， B 胜 C， C 胜 A； 若 两 人 出 的 牌 相 同 ， 则 为 平 局 ． （ 1） 用 树 状 图 或 列 表 等 方 法 ， 列 出 甲 、 乙 两 人 一 次 游 戏 的 所 有 可 能 的 结 果 ； （ 2） 求 出 现 平 局 的 概 率 ． 【 考 点 】 列 表 法 与 树 状 图 法 ． 【 分 析 】（ 1） 首 先 根 据 题 意 画 出 树 状 图 ， 然 后 由 树 状 图 求 得 所 有 等 可 能 的 结 果 ； （ 2） 由 （ 1） 可 求 得 出 现 平 局 的 情 况 ， 再 利 用 概 率 公 式 求 解 即 可 求 得 答 案 ． 【 解 答 】 解 ：（ 1） 画 树 状 图 得 ： 则 共 有 9 种 等 可 能 的 结 果 ； （ 2） ∵出 现 平 局 的 有 3 种 情 况 ， ∴出 现 平 局 的 概 率 为 ： = ． 21．如 图 ，△ABC 为 锐 角 三 角 形 ，AD 是 BC 边 上 的 高 ，正 方 形 EFGH 的 一 边 FG 在 BC 上 ， 顶 点 E、 H 分 别 在 AB、 AC 上 ， 已 知 BC=40cm， AD=30cm． （ 1） 求 证 ： △AEH∽△ABC； （ 2） 求 这 个 正 方 形 的 边 长 与 面 积 ． 【 考 点 】 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ； 正 方 形 的 性 质 ． 【 分 析 】（ 1） 根 据 EH∥BC 即 可 证 明 ． （ 2）如 图 设 AD 与 EH 交 于 点 M，首 先 证 明 四 边 形 EFDM 是 矩 形 ，设 正 方 形 边 长 为 x， 再 利 用 △AEH∽△ABC， 得 = ， 列 出 方 程 即 可 解 决 问 题 ． 【 解 答 】（ 1） 证 明 ： ∵四 边 形 EFGH 是 正 方 形 ， ∴EH∥BC， ∴∠AEH=∠B， ∠AHE=∠C， ∴△AEH∽△ABC． （ 2） 解 ： 如 图 设 AD 与 EH 交 于 点 M． ∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°， ∴四 边 形 EFDM 是 矩 形 ， ∴EF=DM， 设 正 方 形 EFGH 的 边 长 为 x， ∵△AEH∽△ABC， ∴ = ， ∴ = ， ∴x= ， ∴正 方 形 EFGH 的 边 长 为 cm， 面 积 为 cm 2． 22． 如 图 ， 已 知 抛 物 线 y=ax 2+bx+c（ a≠0） 经 过 A（ ﹣ 3， 0）、 B（ 5， 0）、 C （ 0， 5） 三 点 ， O 为 坐 标 原 点 （ 1） 求 此 抛 物 线 的 解 析 式 ； （ 2） 若 把 抛 物 线 y=ax 2+bx+c（ a≠0） 向 下 平 移 个 单 位 长 度 ， 再 向 右 平 移 n （ n＞ 0） 个 单 位 长 度 得 到 新 抛 物 线 ， 若 新 抛 物 线 的 顶 点 M 在 △ABC 内 ， 求 n 的 取 值 范 围 ； （ 3） 设 点 P 在 y 轴 上 ， 且 满 足 ∠OPA+∠OCA=∠CBA， 求 CP 的 长 ． 【 考 点 】 二 次 函 数 综 合 题 ． 【 分 析 】（ 1）根 据 A、B、C 三 点 的 坐 标 ，利 用 待 定 系 数 法 可 求 得 抛 物 线 的 解 析 式 ； （ 2） 可 先 求 得 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 ， 再 利 用 坐 标 平 移 ， 可 得 平 移 后 的 坐 标 为 （ 1+n， 1） ， 再 由 B、 C 两 点 的 坐 标 可 求 得 直 线 BC 的 解 析 式 ， 可 求 得 y=1 时 ， 对 应 的 x 的 值 ， 从 而 可 求 得 n 的 取 值 范 围 ； （ 3） 当 点 P 在 y 轴 负 半 轴 上 时 ， 过 P 作 PD⊥AC， 交 AC 的 延 长 线 于 点 D， 根 据 条 件 可 知 ∠PAD=45°，设 PD=DA=m，由 △COA∽△CDP，可 求 出 m 和 PC 的 长 ， 此 时 可 求 得 PO=12， 利 用 等 腰 三 角 形 的 性 质 ， 可 知 当 P 点 在 y 轴 正 半 轴 上 时 ， 则 有 OP=12， 从 而 可 求 得 PC=5． 【 解 答 】 解 ： （ 1） 把 A、 B、 C 三 点 的 坐 标 代 入 函 数 解 析 式 可 得 ， 解 得 ， ∴抛 物 线 解 析 式 为 y=﹣ x2+ x+5； （ 2） ∵y=﹣ x2+ x+5， ∴抛 物 线 顶 点 坐 标 为 （ 1， ）， ∴当 抛 物 线 y=ax 2+bx+c（ a≠0）向 下 平 移 个 单 位 长 度 ，再 向 右 平 移 n（ n＞ 0） 个 单 位 长 度 后 ， 得 到 的 新 抛 物 线 的 顶 点 M 坐 标 为 （ 1+n， 1）， 设 直 线 BC 解 析 式 为 y=kx+m，把 B、C 两 点 坐 标 代 入 可 得 ，解 得 ， ∴直 线 BC 的 解 析 式 为 y=﹣ x+5， 令 y=1， 代 入 可 得 1=﹣ x+5， 解 得 x=4， ∵新 抛 物 线 的 顶 点 M 在 △ABC 内 ， ∴1+n＜ 4， 且 n＞ 0， 解 得 0＜ n＜ 3， 即 n 的 取 值 范 围 为 0＜ n＜ 3； （ 3） 当 点 P 在 y 轴 负 半 轴 上 时 ， 如 图 1， 过 P 作 PD⊥AC， 交 AC 的 延 长 线 于 点 D， 由 题 意 可 知 OB=OC=5， ∴∠CBA=45°， ∴∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°， ∴AD=PD， 在 Rt△OAC 中 ， OA=3， OC=5， 可 求 得 AC= ， 设 PD=AD=m， 则 CD=AC+AD= +m， ∵∠ACO=∠PCD， ∠COA=∠PDC， ∴△COA∽△CDP， ∴ = = ， 即 = = ， 由 = 可 求 得 m= ， ∴ = ， 解 得 PC=17； 可 求 得 PO=PC﹣ OC=17﹣ 5=12， 如 图 2， 在 y 轴 正 半 轴 上 截 取 OP′=OP=12， 连 接 AP′， 则 ∠OP′A=∠OPA， ∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA， ∴P′也 满 足 题 目 条 件 ， 此 时 P′C=OP′﹣ OC=12﹣ 5=7， 综 上 可 知 PC 的 长 为 7 或 17．