2016年泰州市中考数学试题解析版

2016 年江苏省泰州市中考数学试卷 一、选择题：本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分 1．4 的平方根是（ ） A．±2 B．﹣2 C．2 D． 2．人体中红细胞的直径约为 0.0000077m，将数 0.0000077 用科学记数法表示为（ ） A．77×10﹣5 B．0.77×10﹣7 C．7.7×10﹣6 D．7.7×10﹣7 3．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4．如图所示的几何体，它的左视图与俯视图都正确的是（ ） A． B． C． D． 5．对于一组数据﹣1，﹣1，4，2，下列结论不正确的是（ ） A．平均数是 1 B．众数是﹣1 C．中位数是 0.5 D．方差是 3.5 6．实数 a、b 满足 +4a2+4ab+b2=0，则 ba 的值为（ ） A．2 B． C．﹣2 D．﹣ 二、填空题：本大题共10 小题，每小题 3 分，共 30 分 7．（﹣ ）0 等于 ． 8．函数 中，自变量 x 的取值范围是 ． 9．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子 1 枚，朝上一面的点数为偶数的概率是 ． 10．五边形的内角和是 °． 11．如图，△ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE 与△ABC 的面积之 比为 ． 12．如图，已知直线 l1 ∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β等于 ． 13．如图，△ABC 中，BC=5cm，将△ABC 沿 BC 方向平移至△A′B′C′的对应位置时，A′B′恰好经过 AC 的 中点 O，则△ABC 平移的距离为 cm． 14．方程 2x﹣4=0 的解也是关于 x 的方程 x2+mx+2=0 的一个解，则 m 的值为 ． 15．如图，⊙O 的半径为 2，点 A、C 在⊙O 上，线段 BD 经过圆心 O，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD= ， 则图中阴影部分的面积为 ． 16．二次函数 y=x2﹣2x﹣3 的图象如图所示，若线段 AB 在 x 轴上，且 AB 为 2 个单位长度，以 AB 为边 作等边△ABC，使点 C 落在该函数 y 轴右侧的图象上，则点 C 的坐标为 ． 三、解答题 17．计算或化简： （1） ﹣（3 + ）； （2）（ ﹣ ）÷ ． 18．某校为更好地开展“传统文化进校园”活动，随机抽查了部分学生，了解他们最喜爱的传统文化项目类 型（分为书法、围棋、戏剧、国画共 4 类），并将统计结果绘制成如图不完整的频数分布表及频数分布直方 图． 最喜爱的传统文化项目类型频数分布表 项目类型 频数 频率 书法类 18 a 围棋类 14 0.28 喜剧类 8 0.16 国画类 b 0.20 根据以上信息完成下列问题： （1）直接写出频数分布表中 a 的值； （2）补全频数分布直方图； （3）若全校共有学生 1500 名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有多少人？ 19．一只不透明的袋子中装有 3 个球，球上分别标有数字 0，1，2，这些球除了数字外其余都相同，甲、以 两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（不放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所 标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜． （1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果； （2）这样的游戏规则是否公平？请说明理由． 20．随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从 2013 年的 200 万元增长到 2015 年的 392 万元．求 该购物网站平均每年销售额增长的百分率． 21．如图，△ABC 中，AB=AC，E 在 BA 的延长线上，AD 平分∠CAE． （1）求证：AD∥BC； （2）过点 C 作 CG⊥AD 于点 F，交 AE 于点 G，若 AF=4，求 BC 的长． 22．如图，地面上两个村庄 C、D 处于同一水平线上，一飞行器在空中以 6 千米/小时的速度沿 MN 方向水 平飞行，航线 MN 与 C、D 在同一铅直平面内．当该飞行器飞行至村庄 C 的正上方 A 处时，测得∠NAD=60°； 该飞行器从 A 处飞行 40 分钟至 B 处时，测得∠ABD=75°．求村庄 C、D 间的距离（ 取 1.73，结果精确 到 0.1 千米） 23．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 上一点，以 CD 为直径的⊙O 交 BC 于点 E，连接 AE 交 CD 于点 P，交⊙O 于点 F，连接 DF，∠CAE=∠ADF． （1）判断 AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 PF：PC=1：2，AF=5，求 CP 的长． 24．如图，点 A（m，4），B（﹣4，n）在反比例函数 y= （k＞0）的图象上，经过点 A、B 的直线与 x 轴 相交于点 C，与 y 轴相交于点 D． （1）若 m=2，求 n 的值； （2）求 m+n 的值； （3）连接 OA、OB，若 tan∠AOD+tan∠BOC=1，求直线 AB 的函数关系式． 25．已知正方形 ABCD，P 为射线 AB 上的一点，以 BP 为边作正方形 BPEF，使点 F 在线段 CB 的延长线 上，连接 EA、EC． （1）如图 1，若点 P 在线段 AB 的延长线上，求证：EA=EC； （2）若点 P 在线段 AB 上． ①如图 2，连接 AC，当 P 为 AB 的中点时，判断△ACE 的形状，并说明理由； ②如图 3，设 AB=a，BP=b，当 EP 平分∠AEC 时，求 a：b 及∠AEC 的度数． 2016 年江苏省泰州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分 1．4 的平方根是（ ） A．±2 B．﹣2 C．2 D． 【考点】平方根． 【分析】直接利用平方根的定义分析得出答案． 【解答】解：4 的平方根是：± =±2． 故选：A． 2．人体中红细胞的直径约为 0.0000077m，将数 0.0000077 用科学记数法表示为（ ） A．77×10﹣5 B．0.77×10﹣7 C．7.7×10﹣6 D．7.7×10﹣7 【考点】科学记数法—表示较小的数． 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较大数的科学记数法不 同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 【解答】解：0.0000077=7.7×10﹣6， 故选：C． 3．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形．是中心对称图形，故错误； B、是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； D、是轴对称图形．不是中心对称图形，故错误． 故选 B． 4．如图所示的几何体，它的左视图与俯视图都正确的是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】该几何体的左视图为一个矩形，俯视图为矩形． 【解答】解：该几何体的左视图是边长分别为圆的半径和厚的矩形，俯视图是边长分别为圆的直径和厚的 矩形， 故选 D． 5．对于一组数据﹣1，﹣1，4，2，下列结论不正确的是（ ） A．平均数是 1 B．众数是﹣1 C．中位数是 0.5 D．方差是 3.5 【考点】方差；算术平均数；中位数；众数． 【分析】根据众数、中位数、方差和平均数的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【解答】解：这组数据的平均数是：（﹣1﹣1+4+2）÷4=1； ﹣1 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是﹣1； 把这组数据从小到大排列为：﹣1，﹣1，2，4，最中间的数是第 2、3 个数的平均数，则中位数是 =0.5； 这组数据的方差是： [（﹣1﹣1）2+（﹣1﹣1）2+（4﹣1）2+（2﹣1）2 ] =4.5； 则下列结论不正确的是 D； 故选 D． 6．实数 a、b 满足 +4a2+4ab+b2=0，则 ba 的值为（ ） A．2 B． C．﹣2 D．﹣ 【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方． 【分析】先根据完全平方公式整理，再根据非负数的性质列方程求出 a、b 的值，然后代入代数式进行计算 即可得解． 【解答】解：整理得， +（2a+b）2=0， 所以，a+1=0，2a+b=0， 解得 a=﹣1，b=2， 所以，ba=2﹣1= ． 故选 B． 二、填空题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 7．（﹣ ）0 等于 1 ． 【考点】零指数幂． 【分析】依据零指数幂的性质求解即可． 【解答】解：由零指数幂的性质可知：（﹣ ）0=1． 故答案为：1． 8．函数 中，自变量 x 的取值范围是 ． 【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件． 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为 0；令分母为 0，可得到答案． 【解答】解：根据题意得 2x﹣3≠0， 解可得 x≠ ， 故答案为 x≠ ． 9．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子 1 枚，朝上一面的点数为偶数的概率是 ． 【考点】概率公式． 【分析】根据概率公式知，6 个数中有 3 个偶数，故掷一次骰子，向上一面的点数为偶数的概率是 ． 【解答】解：根据题意可得：掷一次骰子，向上一面的点数有 6 种情况，其中有 3 种为向上一面的点数为 偶数， 故其概率是 = ． 故答案为： ． 10．五边形的内角和是 540 °． 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据多边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入计算即可． 【解答】解：（5﹣2）•180° =540°， 故答案为：540°． 11．如图，△ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE 与△ABC 的面积之 比为 1：9 ． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】由 DE 与 BC 平行，得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形 ADE 与三角 形 ABC 相似，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=1：9， 故答案为：1：9． 12．如图，已知直线 l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α=40°，则∠β等于 20° ． 【考点】等边三角形的性质；平行线的性质． 【分析】过点 A 作 AD∥l1，如图，根据平行线的性质可得∠BAD=∠β．根据平行线的传递性可得 AD∥l2， 从而得到∠DAC=∠α=40°．再根据等边△ABC 可得到∠BAC=60°，就可求出∠DAC，从而解决问题． 【解答】解：过点 A 作 AD∥l1，如图， 则∠BAD=∠β． ∵l1∥l2， ∴AD∥l2， ∵∠DAC=∠α=40°． ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∴∠β=∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=60°﹣40°=20°． 故答案为 20°． 13．如图，△ABC 中，BC=5cm，将△ABC 沿 BC 方向平移至△A′B′C′的对应位置时，A′B′恰好经过 AC 的 中点 O，则△ABC 平移的距离为 2.5 cm． 【考点】平移的性质． 【分析】根据平移的性质：对应线段平行，以及三角形中位线定理可得 B′是 BC 的中点，求出 BB′即为所求． 【解答】解：∵将△ABC 沿 BC 方向平移至△A′B′C′的对应位置， ∴A′ B′∥AB， ∵O 是 AC 的中点， ∴B′是 BC 的中点， ∴BB′=5÷2=2.5（cm）． 故△ABC 平移的距离为 2.5cm． 故答案为：2.5． 14．方程 2x﹣4=0 的解也是关于 x 的方程 x2+mx+2=0 的一个解，则 m 的值为 ﹣3 ． 【考点】一元二次方程的解． 【分析】先求出方程 2x﹣4=0 的解，再把 x 的值代入方程 x2+mx+2=0，求出 m 的值即可． 【解答】解：2x﹣4=0， 解得：x=2， 把 x=2 代入方程 x2+mx+2=0 得： 4+2m+2=0， 解得：m=﹣3． 故答案为：﹣3． 15．如图，⊙O 的半径为 2，点 A、C 在⊙O 上，线段 BD 经过圆心 O，∠ABD=∠CDB=90°，AB=1，CD= ， 则图中阴影部分的面积为 π ． 【考点】扇形面积的计算． 【分析】通过解直角三角形可求出∠AOB=30°，∠COD=60°，从而可求出∠AOC=150°，再通过证三角形全 等找出 S 阴影=S 扇形 OAC，套入扇形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：在 Rt△ABO 中，∠ABO=90°，OA=2，AB=1， ∴OB= = ，sin∠AOB= = ，∠AOB=30°． 同理，可得出：OD=1，∠COD=60°． ∴∠AOC=∠AOB+=30°+180°﹣60°=150°． 在△AOB 和△OCD 中，有 ， ∴△AOB≌△OCD（SSS）． ∴S 阴影=S 扇形 OAC． ∴S 扇形 OAC= πR2= π×22= π． 故答案为： π． 16．二次函数 y=x2﹣2x﹣3 的图象如图所示，若线段 AB 在 x 轴上，且 AB 为 2 个单位长度，以 AB 为边 作等边△ABC，使点 C 落在该函数 y 轴右侧的图象上，则点 C 的坐标为 （1﹣ ，﹣3） ． 【考点】二次函数的性质． 【分析】△ABC 是等边三角形，且边长为 2 ，所以该等边三角形的高为 3，又点 C 在二次函数上，所以 令 y=±3 代入解析式中，分别求出 x 的值．由因为使点 C 落在该函数 y 轴右侧的图象上，所以 x＜0． 【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，且 AB=2 ， ∴AB 边上的高为 3， 又∵点 C 在二次函数图象上， ∴C 的坐标为±3， 令 y=±3 代入 y=x2﹣2x﹣3， ∴x=1 或 0 或 2 ∵使点 C 落在该函数 y 轴右侧的图象上， ∴x＜0， ∴x=1﹣ ， ∴C（1﹣ ，﹣3）． 故答案为：（1﹣ ，﹣3） 三、解答题 17．计算或化简： （1） ﹣（3 + ）； （2）（ ﹣ ）÷ ． 【考点】二次根式的加减法；分式的混合运算． 【分析】（1）先化成最简二次根式，再去括号、合并同类二次根式即可； （2）先将括号内的分式通分，进行减法运算，再将除法转化为乘法，然后化简即可． 【解答】解：（1） ﹣（3 + ） = ﹣（ + ） = ﹣ ﹣ =﹣ ； （2）（ ﹣ ）÷ =（ ﹣ ）• = • = ． 18．某校为更好地开展“传统文化进校园”活动，随机抽查了部分学生，了解他们最喜爱的传统文化项目类型 （分为书法、围棋、戏剧、国画共 4 类），并将统计结果绘制成如图不完整的频数分布表及频数分布直方图． 最喜爱的传统文化项目类型频数分布表 项目类型 频数 频率 书法类 18 a 围棋类 14 0.28 喜剧类 8 0.16 国画类 b 0.20 根据以上信息完成下列问题： （1）直接写出频数分布表中 a 的值； （2）补全频数分布直方图； （3）若全校共有学生 1500 名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有多少人？ 【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表． 【分析】（1）首先根据围棋类是 14 人，频率是 0.28，据此即可求得总人数，然后利用 18 除以总人数即可 求得 a 的值； （2）用 50 乘以 0.20 求出 b 的值，即可解答； （4）用总人数 1500 乘以喜爱围棋的学生频率即可求解． 【解答】解：（1）14÷0.28=50（人）， a=18÷50=0.36． （2）b=50×0.20=10，如图， （3）1500×0.28=428（人）， 答：若全校共有学生 1500 名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有 428 人． 19．一只不透明的袋子中装有 3 个球，球上分别标有数字 0，1，2，这些球除了数字外其余都相同，甲、以 两人玩摸球游戏，规则如下：先由甲随机摸出一个球（不放回），再由乙随机摸出一个球，两人摸出的球所 标的数字之和为偶数时则甲胜，和为奇数时则乙胜． （1）用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果； （2）这样的游戏规则是否公平？请说明理由． 【考点】游戏公平性；列表法与树状图法． 【分析】（1）根据列表，可得答案； （2）游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等． 【解答】解：列举所有可能： 甲 0 1x k b 1 2 乙 x.k.b.1 1 0 0[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 2 2 1 （2）游戏不公平，理由如下： 由表可知甲获胜的概率= ，乙获胜的概率= ， 乙获胜的可能性大， 所以游戏是公平的． 20．随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从 2013 年的 200 万元增长到 2015 年的 392 万元．求 该购物网站平均每年销售额增长的百分率． 【考点】一元二次方程的应用． 【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均增长率为 x， 根据“从 2013 年的 200 万元增长到 2015 年的 392 万元”，即可得出方程． 【解答】解：设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为 x， 根据题意，得：200（1+x）2=392， 解得：x1=0.4，x2=﹣2.4（不符合题意，舍去）． 答：该购物网站平均每年销售额增长的百分率为 40%． 21．如图，△ABC 中，AB=AC，E 在 BA 的延长线上，AD 平分∠CAE． （1）求证：AD∥BC； （2）过点 C 作 CG⊥AD 于点 F，交 AE 于点 G，若 AF=4，求 BC 的长． 【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的定义． 【分析】（1）由 AB=AC，AD 平分∠CAE，易证得∠B=∠DAG= ∠CAG，继而证得结论； （2）由 CG⊥AD，AD 平分∠CAE，易得 CF=GF，然后由 AD∥BC，证得△AGF∽△BGC，再由相似三角 形的对应边成比例，求得答案． 【解答】（1）证明：∵AD 平分∠CAE， ∴∠DAG= ∠CAG， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵∠CAG=∠B+∠ACB， ∴∠B= ∠CAG， ∴∠B=∠CAG， ∴AD∥BC； （2）解：∵CG⊥AD， ∴∠AFC=∠AFG=90°， 在△AFC 和△AFG 中， ， ∴△AFC≌△AFG（ASA）， ∴CF=GF， ∵AD∥BC， ∴△AGF∽△BGC， ∴GF：GC=AF：BC=1：2， ∴BC=2AF=2×4=8． 22．如图，地面上两个村庄 C、D 处于同一水平线上，一飞行器在空中以 6 千米/小时的速度沿 MN 方向水 平飞行，航线 MN 与 C、D 在同一铅直平面内．当该飞行器飞行至村庄 C 的正上方 A 处时，测得∠NAD=60°； 该飞行器从 A 处飞行 40 分钟至 B 处时，测得∠ABD=75°．求村庄 C、D 间的距离（ 取 1.73，结果精确 到 0.1 千米） 【考点】解直角三角形的应用． 【分析】过B作BE⊥AD于E，三角形的内角和得到∠ADB=45°，根据直角三角形的性质得到AE=2．BE=2 ， 求得 AD=2+2 ，即可得到结论． 【解答】解：过 B 作 BE⊥AD 于 E， ∵∠NAD=60°，∠ABD=75°， ∴∠ADB=45°， ∵AB=6× =4， ∴AE=2．BE=2 ， ∴DE=BE=2 ， ∴AD=2+2 ， ∵∠C=90，∠CAD=30°， ∴CD= AD=1+ ． 23．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 上一点，以 CD 为直径的⊙O 交 BC 于点 E，连接 AE 交 CD 于点 P，交⊙O 于点 F，连接 DF，∠CAE=∠ADF． （1）判断 AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 PF：PC=1：2，AF=5，求 CP 的长． 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）结论：AB 是⊙O 切线，连接 DE，CF，由∠FCD+∠CDF=90°，只要证明∠ADF=∠DCF 即可 解决问题． （2）只要证明△PCF∽△PAC，得 = ，设 PF=a．则 PC=2a，列出方程即可解决问题． 【解答】解：（1）AB 是⊙O 切线． 理由：连接 DE、CF． ∵CD 是直径， ∴∠DEC=∠DFC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DEC+∠ACE=180°， ∴DE∥AC， ∴∠DEA=∠EAC=∠DCF， ∵∠DFC=90°， ∴∠FCD+∠CDF=90°， ∵∠ADF=∠EAC=∠DCF， ∴∠ADF+∠CDF=90°， ∴∠ADC=90°， ∴CD⊥AD， ∴AB 是⊙O 切线． （2）∵∠CPF=∠CPA，PCF=∠PAC， ∴△PCF∽△PAC， ∴ = ， ∴PC2=PF•PA，设 PF=a．则 PC=2a， ∴4a2=a（a+5）， ∴a= ， ∴PC=2a= ． 24．如图，点 A（m，4），B（﹣4，n）在反比例函数 y= （k＞0）的图象上，经过点 A、B 的直线与 x 轴 相交于点 C，与 y 轴相交于点 D． （1）若 m=2，求 n 的值； （2）求 m+n 的值； （3）连接 OA、OB，若 tan∠AOD+tan∠BOC=1，求直线 AB 的函数关系式． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）先把 A 点坐标代入 y= 求出 k 的值得到反比例函数解析式为 y= ，然后把 B（﹣4，n）代入 y= 可求出 n 的值； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到 4m=k，﹣4n=k，然后把两式相减消去 k 即可得到 m+n 的值； （3）作 AE⊥y 轴于 E，BF⊥x 轴于 F，如图，利用正切的定义得到 tan∠AOE= = ，tan∠BOF= = ， 则 + =1，加上 m+n=0，于是可解得 m=2，n=﹣2，从而得到 A（2，4），B（﹣4，﹣2），然后利用待定 系数法求直线 AB 的解析式． 【解答】解：（1）当 m=2，则 A（2，4）， 把 A（2，4）代入 y= 得 k=2×4=8， 所以反比例函数解析式为 y= ， 把 B（﹣4，n）代入 y= 得﹣4n=8，解得 n=﹣2； （2）因为点 A（m，4），B（﹣4，n）在反比例函数 y= （k＞0）的图象上， 所以 4m=k，﹣4n=k， 所以 4m+4n=0，即 m+n=0； （3）作 AE⊥y 轴于 E，BF⊥x 轴于 F，如图， 在 Rt△AOE 中，tan∠AOE= = ， 在 Rt△BOF 中，tan∠BOF= = ， 而 tan∠AOD+tan∠BOC=1， 所以 + =1， 而 m+n=0，解得 m=2，n=﹣2， 则 A（2，4），B（﹣4，﹣2）， 设直线 AB 的解析式为 y=px+q， 把 A（2，4），B（﹣4，﹣2）代入得 ，解得 ， 所以直线 AB 的解析式为 y=x+2． 25．已知正方形 ABCD，P 为射线 AB 上的一点，以 BP 为边作正方形 BPEF，使点 F 在线段 CB 的延长线 上，连接 EA、EC． （1）如图 1，若点 P 在线段 AB 的延长线上，求证：EA=EC； （2）若点 P 在线段 AB 上． ①如图 2，连接 AC，当 P 为 AB 的中点时，判断△ACE 的形状，并说明理由； ②如图 3，设 AB=a，BP=b，当 EP 平分∠AEC 时，求 a：b 及∠AEC 的度数． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明△APE≌△CFE，根据全等三角形的性质证明 结论； （2）①根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质解答； ②根据 PE∥CF，得到 = ，代入 a、b 的值计算求出 a：b，根据角平分线的判定定理得到∠HCG=∠BCG， 证明∠AEC=∠ACB，即可求出∠AEC 的度数． 【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 和四边形 BPEF 是正方形， ∴AB=BC，BP=BF， ∴AP=CF， 在△APE 和△CFE 中， ， ∴△APE≌△CFE， ∴EA=EC； （2）①∵P 为 AB 的中点， ∴PA=PB，又 PB=PE， ∴PA=PE， ∴∠PAE=45°，又∠DAC=45°， ∴∠CAE=90°，即△ACE 是直角三角形； ②∵EP 平分∠AEC，EP⊥AG， ∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a ∵PE∥CF， ∴ = ，即 = ， 解得，a= b； 作 GH⊥AC 于 H， ∵∠CAB=45°， ∴HG= AG= ×（2 b﹣2b）=（2﹣ ）b，又 BG=2b﹣a=（2﹣ ）b， ∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC， ∴∠HCG=∠BCG， ∵PE∥CF， ∴∠PEG=∠BCG， ∴∠AEC=∠ACB=45°． ∴a：b= ：1；∴∠AEC=45°．