2016年宿迁市中考数学试题解析版

2016 年江苏省宿迁市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题所给出的四个选项中，有 且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．﹣2 的绝对值是（ ） A．﹣2 B．﹣ C． D．2 2．下列四个几何体中，左视图为圆的几何体是（ ） A． B． C． D． 3．地球与月球的平均距离为 384 000km，将 384 000 这个数用科学记数法表示为（ ） A．3.84×103 B．3.84×104 C．3.84×105 D．3.84×106 4．下列计算正确的是（ ） A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a5 D．a5÷a2=a3 5．如图，已知直线 a、b 被直线 c 所截．若 a∥b，∠1=120°，则∠2 的度数为（ ） A．50° B．60° C．120° D．130° 6．一组数据 5，4，2，5，6 的中位数是（ ） A．5 B．4 C．2 D．6 7．如图，把正方形纸片 ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为 MN，再过点 B 折叠纸片，使点 A 落在 MN 上的点 F 处，折痕为 BE．若 AB 的长为 2，则 FM 的长为（ ） A．2 B． C． D．1 8．若二次函数 y=ax2﹣2ax+c 的图象经过点（﹣1，0），则方程 ax2﹣2ax+c=0 的解为（ ） A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置上） 9．因式分解：2a2﹣8= ． 10．计算： = ． 11．若两个相似三角形的面积比为 1：4，则这两个相似三角形的周长比是 ． 12．若一元二次方程 x2﹣2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 ． 13．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表： 每批粒数 n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的频数 m 96 284 380 571 948 1902 2848 发芽的频率 0.960 0.947 0.950 0.952 0.948 0.951 0.949 那么这种油菜籽发芽的概率是 （结果精确到 0.01）． 14．如图，在△ABC 中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点 C 为圆心，CB 为半 径的圆交 AB 于点 D，则 BD 的长为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数 y= （x＞0）的图象交于两点 A、 B，与 x 轴交于点 C，且点 B 是 AC 的中点，分别过两点 A、B 作 x 轴的平行线，与反比例 函数 y= （x＞0）的图象交于两点 D、E，连接 DE，则四边形 ABED 的面积为 ． 16．如图，在矩形 ABCD 中，AD=4，点 P 是直线 AD 上一动点，若满足△PBC 是等腰三角 形的点 P 有且只有 3 个，则 AB 的长为 ． 三、解答题（本大题共 10 题，共 72 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算：2sin30°+3﹣1+（ ﹣1）0﹣ ． 18．解不等式组： ． 19．某校对七、八、九年级的学生进行体育水平测试，成绩评定为优秀、良好、合格、不合 格四个等第．为了解这次测试情况，学校从三个年级随机抽取 200 名学生的体育成绩进行统 计分析．相关数据的统计图、表如下： 各年级学生成绩统计表 优 秀 良 好 合 格 不合 格 七年级 a 20 24 8 八年级 29 13 13 5 九年级 24 b 14 7 根据以上信息解决下列问题： （1）在统计表中，a 的值为 ，b 的值为 ； （2）在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为 度； （3）若该校三个年级共有 2000 名学生参加考试，试估计该校学生体育成绩不合格的人数． 20．在一只不透明的袋子中装有 2 个白球和 2 个黑球，这些球除颜色外都相同． （1）若先从袋子中拿走 m 个白球，这时从袋子中随机摸出一个球是黑球的事件为“必然事 件”，则 m 的值为 ； （2）若将袋子中的球搅匀后随机摸出 1 个球（不放回），再从袋中余下的 3 个球中随机摸出 1 个球，求两次摸到的球颜色相同的概率． 21．如图，已知 BD 是△ABC 的角平分线，点 E、F 分别在边 AB、BC 上，ED∥BC，EF∥AC．求 证：BE=CF． 22．如图，大海中某灯塔 P 周围 10 海里范围内有暗礁，一艘海轮在点 A 处观察灯塔 P 在北 偏东 60°方向，该海轮向正东方向航行 8 海里到达点 B 处，这时观察灯塔 P 恰好在北偏东 45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据： ≈1.73） 23．如图 1，在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O 是 △ABD 的外接圆． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）当 BD 是⊙O 的直径时（如图 2），求∠CAD 的度数． 24．某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过 30 人时，人均收费 120 元；超过 30 人且不超过 m（30＜m≤100）人时，每增加 1 人，人均收费降低 1 元；超过 m 人时，人均 收费都按照 m 人时的标准．设景点接待有 x 名游客的某团队，收取总费用为 y 元． （1）求 y 关于 x 的函数表达式； （2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取 的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求 m 的 取值范围． 25．已知△ABC 是等腰直角三角形，AC=BC=2，D 是边 AB 上一动点（A、B 两点除外）， 将△CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点 E 是点 A 的对应点，点 F 是点 D 的对应点． （1）如图 1，当α=90°时，G 是边 AB 上一点，且 BG=AD，连接 GF．求证：GF∥AC； （2）如图 2，当 90°≤α≤180°时，AE 与 DF 相交于点 M． ①当点 M 与点 C、D 不重合时，连接 CM，求∠CMD 的度数； ②设 D 为边 AB 的中点，当α从 90°变化到 180°时，求点 M 运动的路径长． 26．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将二次函数 y=x2﹣1 的图象 M 沿 x 轴翻折，把所得 到的图象向右平移 2 个单位长度后再向上平移 8 个单位长度，得到二次函数图象 N． （1）求 N 的函数表达式； （2）设点 P（m，n）是以点 C（1，4）为圆心、1 为半径的圆上一动点，二次函数的图象 M 与 x 轴相交于两点 A、B，求 PA2+PB2 的最大值； （3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求 M 与 N 所围成封闭图形 内（包括边界）整点的个数． 2016 年江苏省宿迁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题所给出的四个选项中，有 且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．﹣2 的绝对值是（ ） A．﹣2 B．﹣ C． D．2 【考点】绝对值． 菁优网版 权所有 【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝 对值定义去掉这个绝对值的符号． 【解答】解：∵﹣2＜0， ∴|﹣2|=﹣（﹣2）=2． 故选 D． 2．下列四个几何体中，左视图为圆的几何体是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单几何体的三视图． 菁优网版 权所有 【分析】根据左视图是从左边看所得到的图形逐一判断可得． 【解答】解：A、球的左视图是圆，故选项正确； B、正方体的左视图是正方形，故选项错误； C、圆锥的左视图是等腰三角形，故选项错误； D、圆柱的左视图是长方形，故选项错误； 故选：A． 3．地球与月球的平均距离为 384 000km，将 384 000 这个数用科学记数法表示为（ ） A．3.84×103 B．3.84×104 C．3.84×105 D．3.84×106 【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版 权所有 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值是 易错点，由于 384 000 有 6 位，所以可以确定 n=6﹣1=5． 【解答】解：384 000=3.84×105． 故选：C． 4．下列计算正确的是（ ） A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a5 D．a5÷a2=a3 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 菁优网版 权所有 【分析】根据合并同类项，可判断 A，根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可判断 B， 根据幂的乘方底数不变指数相乘，可判断 C，根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可判 断 D． 【解答】解：A、不是同类项不能合并，故 A 错误； B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故 B 错误； C、幂的乘方底数不变指数相乘，故 C 错误； D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故 D 正确； 故选：D． 5．如图，已知直线 a、b 被直线 c 所截．若 a∥b，∠1=120°，则∠2 的度数为（ ） A．50° B．60° C．120° D．130° 【考点】平行线的性质．菁优网版 权所有 【分析】根据邻补角的定义求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等解答． 【解答】解：如图，∠3=180°﹣∠1=180°﹣120°=60°， ∵a∥b， ∴∠2=∠3=60°． 故选：B． 6．一组数据 5，4，2，5，6 的中位数是（ ） A．5 B．4 C．2 D．6 【考点】中位数． 菁优网版 权所有 【分析】先将题目中数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的中位数，本题得以解 决． 【解答】解：将题目中数据按照从小到大排列是： 2，4，5，5，6， 故这组数据的中位数是 5， 故选 A． 7．如图，把正方形纸片 ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为 MN，再过点 B 折叠纸片，使点 A 落在 MN 上的点 F 处，折痕为 BE．若 AB 的长为 2，则 FM 的长为（ ） A．2 B． C． D．1 【考点】翻折变换（折叠问题）． 菁优网版 权所有 【分析】根据翻折不变性，AB=FB=2，BM=1，在 Rt△BFM 中，可利用勾股定理求出 FM 的值． 【解答】解：∵四边形 ABCD 为正方形，AB=2，过点 B 折叠纸片，使点 A 落在 MN 上的 点 F 处， ∴FB=AB=2，BM=1， 则在 Rt△BMF 中， FM= ， 故选：B． 8．若二次函数 y=ax2﹣2ax+c 的图象经过点（﹣1，0），则方程 ax2﹣2ax+c=0 的解为（ ） A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1 【考点】抛物线与 x 轴的交点． 菁优网版 权所有 【分析】直接利用抛物线与 x 轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案． 【解答】解：∵二次函数 y=ax2﹣2ax+c 的图象经过点（﹣1，0）， ∴方程 ax2﹣2ax+c=0 一定有一个解为：x=﹣1， ∵抛物线的对称轴为：直线 x=1， ∴二次函数 y=ax2﹣2ax+c 的图象与 x 轴的另一个交点为：（3，0）， ∴方程 ax2﹣2ax+c=0 的解为：x1=﹣1，x2=3． 故选：C． 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．不需写出解答过程，请把答案直接 填写在答题卡相应位置上） 9．因式分解：2a2﹣8= 2（a+2）（a﹣2） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版 权所有 【分析】首先提取公因式 2，进而利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：2a2﹣8=2（a2﹣4）=2（a+2）（a﹣2）． 故答案为：2（a+2）（a﹣2）． 10．计算： = x ． 【考点】分式的加减法．菁优网版 权所有 【分析】进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式． 【解答】解： = = =x．故答案为 x． 11．若两个相似三角形的面积比为 1：4，则这两个相似三角形的周长比是 1：2 ． 【考点】相似三角形的性质．菁优网版 权所有 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据似三角形周长的比等 于相似比得到答案． 【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为 1：4， ∴这两个相似三角形的相似比为 1：2， ∴这两个相似三角形的周长比是 1：2， 故答案为：1：2． 12．若一元二次方程 x2﹣2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k＜1 ． 【考点】根的判别式． 菁优网版 权所有 【分析】直接利用根的判别式得出△=b2﹣4ac=4﹣4k＞0 进而求出答案． 【解答】解：∵一元二次方程 x2﹣2x+k=0 有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=4﹣4k＞0， 解得：k＜1， 则 k 的取值范围是：k＜1． 故答案为：k＜1． 13．某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表： 每批粒数 n 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的频数 m 96 284 380 571 948 1902 2848 发芽的频率 0.960 0.947 0.950 0.952 0.948 0.951 0.949 那么这种油菜籽发芽的概率是 0.95 （结果精确到 0.01）． 【考点】利用频率估计概率．菁优网版 权所有 【分析】观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在 0.95 附近，即可估计出这种油菜发芽 的概率． 【解答】解：观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在 0.95 附近， 则这种油菜籽发芽的概率是 0.95， 故答案为：0.95． 14．如图，在△ABC 中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点 C 为圆心，CB 为半 径的圆交 AB 于点 D，则 BD 的长为 2 ． 【考点】垂径定理．菁优网版 权所有 【分析】如图，作 CE⊥AB 于 E，在 RT△BCE 中利用 30 度性质即可求出 BE，再根据垂径 定理可以求出 BD． 【解答】解：如图，作 CE⊥AB 于 E． ∵∠B=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣20°﹣130°=30°， 在 RT△BCE 中，∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=2， ∴CE= BC=1，BE= CE= ， ∵CE⊥BD， ∴DE=EB， ∴BD=2EB=2 ． 故答案为 2 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数 y= （x＞0）的图象交于两点 A、 B，与 x 轴交于点 C，且点 B 是 AC 的中点，分别过两点 A、B 作 x 轴的平行线，与反比例 函数 y= （x＞0）的图象交于两点 D、E，连接 DE，则四边形 ABED 的面积为 ． 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义． 菁优网版 权所有 【分析】根据点 A、B 在反比例函数 y= （x＞0）的图象上，可设出点 B 坐标为（ ，m）， 再根据 B 为线段 AC 的中点可用 m 表示出来 A 点的坐标，由 AD∥x 轴、BE∥x 轴，即可用 m 表示出来点 D、E 的坐标，结合梯形的面积公式即可得出结论． 【解答】解：∵点 A、B 在反比例函数 y= （x＞0）的图象上， 设点 B 的坐标为（ ，m）， ∵点 B 为线段 AC 的中点，且点 C 在 x 轴上， ∴点 A 的坐标为（ ，2m）． ∵AD∥x 轴、BE∥x 轴，且点 D、E 在反比例函数 y= （x＞0）的图象上， ∴点 D 的坐标为（ ，2m），点 E 的坐标为（ ，m）． ∴S 梯形 ABED= （ + ）×（2m﹣m）= ． 故答案为： ． 16．如图，在矩形 ABCD 中，AD=4，点 P 是直线 AD 上一动点，若满足△PBC 是等腰三角 形的点 P 有且只有 3 个，则 AB 的长为 4 ． 【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理． 菁优网版 权所有 【分析】如图，当 AB=AD 时，满足△PBC 是等腰三角形的点 P 有且只有 3 个． 【解答】解：如图，当 AB=AD 时，满足△PBC 是等腰三角形的点 P 有且只有 3 个， △P1BC，△P2BC 是等腰直角三角形，△P3BC 是等腰直角三角形（P3B=P3C）， 则 AB=AD=4， 故答案为 4． 三、解答题（本大题共 10 题，共 72 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算：2sin30°+3﹣1+（ ﹣1）0﹣ ． 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 菁优网版 权所有 【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化 简进而求出答案． 【解答】解：2sin30°+3﹣1+（ ﹣1）0﹣ =2× + +1﹣2 = ． 18．解不等式组： ． 【考点】解一元一次不等式组． 菁优网版 权所有 【分析】根据解不等式组的方法可以求得不等式组的解集，从而可以解答本题． 【解答】解： 由①得，x＞1， 由②得，x＜2， 由①②可得，原不等式组的解集是：1＜x＜2． 19．某校对七、八、九年级的学生进行体育水平测试，成绩评定为优秀、良好、合格、不合 格四个等第．为了解这次测试情况，学校从三个年级随机抽取 200 名学生的体育成绩进行统 计分析．相关数据的统计图、表如下： 各年级学生成绩统计表 优 秀 良 好 合 格 不合 格 七年级 a 20 24 8 八年级 29 13 13 5 九年级 24 b 14 7 根据以上信息解决下列问题： （1）在统计表中，a 的值为 28 ，b 的值为 15 ； （2）在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为 108 度； （3）若该校三个年级共有 2000 名学生参加考试，试估计该校学生体育成绩不合格的人数． 【考点】扇形统计图；用样本估计总体． 菁优网版 权所有 【分析】（1）根据学校从三个年级随机抽取 200 名学生的体育成绩进行统计分析和扇形统计 图可以求得七年级抽取的学生数，从而可以求得 a 的值，也可以求得九年级抽取的学生数， 进而得到 b 的值； （2）根据扇形统计图可以求得八年级所对应的扇形圆心角的度数； （3）根据表格中的数据可以估计该校学生体育成绩不合格的人数． 【解答】解：（1）由题意和扇形统计图可得， a=200×40%﹣20﹣24﹣8=80﹣20﹣24﹣8=28， b=200×30%﹣24﹣14﹣7=60﹣24﹣14﹣7=15， 故答案为：28，15； （2）由扇形统计图可得， 八年级所对应的扇形圆心角为：360°×（1﹣40%﹣30%）=360°×30%=108°， 故答案为：108； （3）由题意可得， 2000× =200 人， 即该校三个年级共有 2000 名学生参加考试，该校学生体育成绩不合格的有 200 人． 20．在一只不透明的袋子中装有 2 个白球和 2 个黑球，这些球除颜色外都相同． （1）若先从袋子中拿走 m 个白球，这时从袋子中随机摸出一个球是黑球的事件为“必然事 件”，则 m 的值为 2 ； （2）若将袋子中的球搅匀后随机摸出 1 个球（不放回），再从袋中余下的 3 个球中随机摸出 1 个球，求两次摸到的球颜色相同的概率． 【考点】列表法与树状图法；随机事件． 菁优网版 权所有 【分析】（1）由必然事件的定义可知：透明的袋子中装的都是黑球，从袋子中随机摸出一个 球是黑球的事件为“必然事件”才能成立，所以 m 的值即可求出； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸到的球颜色相同的情况数，即可求出所求 的概率． 【解答】解： （1）∵在一只不透明的袋子中装有 2 个白球和 2 个黑球，这些球除颜色外都相同，从袋子 中拿走 m 个白球，这时从袋子中随机摸出一个球是黑球的事件为“必然事件”， ∴透明的袋子中装的都是黑球， ∴m=2， 故答案为：2； （2）设红球分别为 H1、H2，黑球分别为 B1、B2，列表得： 第二球 第一球 H1 H2 B1 B2 H1 （H1，H2） （H1，B1） （H1，B2） H2 （H2，H1） （H2，B1） （H2，B2） B1 （B1，H1） （B1，H2） （B1，B2） B2 （B2，H1） （B2，H2） （B2，B1） 总共有 12 种结果，每种结果的可能性相同，两次都摸到球颜色相同结果有 4 种， 所以两次摸到的球颜色相同的概率= = ． 21．如图，已知 BD 是△ABC 的角平分线，点 E、F 分别在边 AB、BC 上，ED∥BC，EF∥AC．求 证：BE=CF． 【考点】平行四边形的判定与性质． 菁优网版 权所有 【分析】先利用平行四边形性质证明 DE=CF，再证明 EB=ED，即可解决问题． 【解答】证明：∵ED∥BC，EF∥AC， ∴四边形 EFCD 是平行四边形， ∴DE=CF， ∵BD 平分∠ABC， ∴∠EBD=∠DBC， ∵DE∥BC， ∴∠EDB=∠DBC， ∴∠EBD=∠EDB， ∴EB=ED， ∴EB=CF． 22．如图，大海中某灯塔 P 周围 10 海里范围内有暗礁，一艘海轮在点 A 处观察灯塔 P 在北 偏东 60°方向，该海轮向正东方向航行 8 海里到达点 B 处，这时观察灯塔 P 恰好在北偏东 45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据： ≈1.73） 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题． 菁优网版 权所有 【分析】作 PC⊥AB 于 C，如图，∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=8，设 PC=x，先判断△PBC 为等腰直角三角形得到 BC=PC=x，再在 Rt△PAC 中利用正切的定义得到 8+x= ，解得 x=4 （ +1）≈10.92，即 AC≈10.92，然后比较 AC 与 10 的大小即可判断海轮继续向正东方向航 行，是否有触礁的危险． 【解答】解：没有触礁的危险．理由如下： 作 PC⊥AB 于 C，如图，∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=8， 设 PC=x， 在 Rt△PBC 中，∵∠PBC=45°， ∴△PBC 为等腰直角三角形， ∴BC=PC=x， 在 Rt△PAC 中，∵tan∠PAC= ， ∴AC= ，即 8+x= ，解得 x=4（ +1）≈10.92， 即 AC≈10.92， ∵10.92＞10， ∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险． 23．如图 1，在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O 是 △ABD 的外接圆． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）当 BD 是⊙O 的直径时（如图 2），求∠CAD 的度数． 【考点】切线的判定；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版 权所有 【分析】（1）连接 AO，延长 AO 交⊙O 于点 E，则 AE 为⊙O 的直径，连接 DE，由已知条 件得出∠ABC=∠CAD，由圆周角定理得出∠ADE=90°，证出∠AED=∠ABC=∠CAD，求出 EA⊥AC，即可得出结论； （2）由圆周角定理得出∠BAD=90°，由角的关系和已知条件得出∠ABC=22.5°，由（1）知： ∠ABC=∠CAD，即可得出结果． 【解答】（1）证明：连接 AO，延长 AO 交⊙O 于点 E，则 AE 为⊙O 的直径，连接 DE，如 图所示： ∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∠ADB=∠ACB+∠CAD， ∴∠ABC=∠CAD， ∵AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE=90°， ∴∠EAD=90°﹣∠AED， ∵∠AED=∠ABD， ∴∠AED=∠ABC=∠CAD， ∴∠EAD=90°﹣∠CAD， 即∠EAD+∠CAD=90°， ∴EA⊥AC， ∴AC 是⊙O 的切线； （2）解：∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠BAD=90°， ∴∠ABC+∠ADB=90°， ∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3， ∴4∠ABC=90°， ∴∠ABC=22.5°， 由（1）知：∠ABC=∠CAD， ∴∠CAD=22.5°． 24．某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过 30 人时，人均收费 120 元；超过 30 人且不超过 m（30＜m≤100）人时，每增加 1 人，人均收费降低 1 元；超过 m 人时，人均 收费都按照 m 人时的标准．设景点接待有 x 名游客的某团队，收取总费用为 y 元． （1）求 y 关于 x 的函数表达式； （2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取 的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求 m 的 取值范围． 【考点】二次函数的应用；分段函数．菁优网版 权所有 【分析】（1）根据收费标准，分 0＜x≤30，30＜x≤m，m＜x≤100 分别求出 y 与 x 的关系即可． （2）由（1）可知当 0＜x≤30 或 m＜x＜100，函数值 y 都是随着 x 是增加而增加，30＜x≤m 时，y=﹣x2+150x=﹣（x﹣75）2+5625，根据二次函数的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）y= ． （2）由（1）可知当 0＜x≤30 或 m＜x＜100，函数值 y 都是随着 x 是增加而增加， 当 30＜x≤m 时，y=﹣x2+150x=﹣（x﹣75）2+5625， ∵a=﹣1＜0， ∴x≤75 时，y 随着 x 增加而增加， ∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加， ∴30＜m≤75． 25．已知△ABC 是等腰直角三角形，AC=BC=2，D 是边 AB 上一动点（A、B 两点除外）， 将△CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点 E 是点 A 的对应点，点 F 是点 D 的对应点． （1）如图 1，当α=90°时，G 是边 AB 上一点，且 BG=AD，连接 GF．求证：GF∥AC； （2）如图 2，当 90°≤α≤180°时，AE 与 DF 相交于点 M． ①当点 M 与点 C、D 不重合时，连接 CM，求∠CMD 的度数； ②设 D 为边 AB 的中点，当α从 90°变化到 180°时，求点 M 运动的路径长． 【考点】几何变换综合题． 菁优网版 权所有 【分析】（1）欲证明 GF∥AC，只要证明∠A=∠FGB 即可解决问题． （2）①先证明 A、D、M、C 四点共圆，得到∠CMF=∠CAD=45°，即可解决问题． ②利用①的结论可知，点 M 在以 AC 为直径的⊙O 上，运动路径是弧 CD，利用弧长公式 即可解决问题． 【解答】解：（1）如图 1 中，∵CA=CB，∠ACB=90°， ∴∠A=∠ABC=45°， ∵△CEF 是由△CAD 旋转逆时针α得到，α=90°， ∴CB 与 CE 重合， ∴∠CBE=∠A=45°， ∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°， ∵BG=AD=BF， ∴∠BGF=∠BFG=45°， ∴∠A=∠BGF=45°， ∴GF∥AC． （2）①如图 2 中，∵CA=CE，CD=CF， ∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD， ∵∠ACD=∠ECF， ∴∠ACE=∠CDF， ∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°， ∴∠CAE=∠CDF， ∴A、D、M、C 四点共圆， ∴∠CMF=∠CAD=45°， ∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°． ②如图 3 中，O 是 AC 中点，连接 OD、CM． ∵AD=DB，CA=CB， ∴CD⊥AB， ∴∠ADC=90°， 由①可知 A、D、M、C 四点共圆， ∴当α从 90°变化到 180°时， 点 M 在以 AC 为直径的⊙O 上，运动路径是弧 CD， ∵OA=OC，CD=DA， ∴DO⊥AC， ∴∠DOC=90°， ∴ 的长= = ． ∴当α从 90°变化到 180°时，点 M 运动的路径长为 ． 26．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，将二次函数 y=x2﹣1 的图象 M 沿 x 轴翻折，把所得 到的图象向右平移 2 个单位长度后再向上平移 8 个单位长度，得到二次函数图象 N． （1）求 N 的函数表达式； （2）设点 P（m，n）是以点 C（1，4）为圆心、1 为半径的圆上一动点，二次函数的图象 M 与 x 轴相交于两点 A、B，求 PA2+PB2 的最大值； （3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求 M 与 N 所围成封闭图形 内（包括边界）整点的个数． 【考点】二次函数综合题． 菁优网版 权所有 【分析】（1）根据二次函数 N 的图象是由二次函数 M 翻折、平移得到所以 a=﹣1，求出二 次函数 N 的顶点坐标即可解决问题． （2）由 PA2+PB2=（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2=2（m2+n2）+2=2•PO2+2 可知 OP 最大时， PA2+PB2 最大，求出 OP 的最大值即可解决问题． （3）画出函数图象即可解决问题． 【解答】（1）解：二次函数 y=x2﹣1 的图象 M 沿 x 轴翻折得到函数的解析式为 y=﹣x2+1， 此时顶点坐标（0，1）， 将此图象向右平移 2 个单位长度后再向上平移 8 个单位长度得到二次函数图象 N 的顶点为 （2，9）， 故 N 的函数表达式 y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5． （2）∵A（﹣1，0），B（1，0）， ∴PA2+PB2=（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2=2（m2+n2）+2=2•PO2+2， ∴当 PO 最大时 PA2+PB2 最大．如图，延长 OC 与⊙O 交于点 P，此时 OP 最大， ∴OP 的最大值=OC+PO= +1， ∴PA2+PB2 最大值=2（ +1）2+2=38+4 ． （3）M 与 N 所围成封闭图形如图所示， 由图象可知，M 与 N 所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为 25 个． 2016 年 6 月 29 日