2016年苏州市中考数学试题解析版

2016 年江苏省苏州市中考数学试卷 一 、 选 择 题 （ 共 10 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 30 分 ） 1． 的 倒 数 是 （ ） A． B． C． D． 2．肥 皂 泡 的 泡 壁 厚 度 大 约 是 0.0007mm，0.0007 用 科 学 记 数 法 表 示 为（ ） A． 0.7×10 ﹣ 3B． 7×10 ﹣ 3C． 7×10 ﹣ 4D． 7×10 ﹣ 5 3． 下 列 运 算 结 果 正 确 的 是 （ ） A． a+2b=3ab B． 3a 2﹣ 2a 2=1 C． a2•a4=a 8D．（ ﹣ a2b） 3÷（ a3b） 2=﹣ b 4．一 次 数 学 测 试 后 ，某 班 40 名 学 生 的 成 绩 被 分 为 5 组 ，第 1～ 4 组 的 频 数 分 别 为 12、 10、 6、 8， 则 第 5 组 的 频 率 是 （ ） A． 0.1 B． 0.2 C． 0.3 D． 0.4 5．如 图 ，直 线 a∥b，直 线 l 与 a、b 分 别 相 交 于 A、B 两 点 ，过 点 A 作 直 线 l 的 垂 线 交 直 线 b 于 点 C， 若 ∠1=58°， 则 ∠2 的 度 数 为 （ ） A． 58° B． 42° C． 32° D． 28° 6． 已 知 点 A（ 2， y1）、 B（ 4， y2） 都 在 反 比 例 函 数 y= （ k＜ 0） 的 图 象 上 ， 则 y1、 y2 的 大 小 关 系 为 （ ） A． y1＞ y2B． y1＜ y2C． y1=y 2D． 无 法 确 定 7．根 据 国 家 发 改 委 实 施 “阶 梯 水 价 ”的 有 关 文 件 要 求 ，某 市 结 合 地 方 实 际 ，决 定 从 2016 年 1 月 1 日 起 对 居 民 生 活 用 水 按 新 的 “阶 梯 水 价 ”标 准 收 费 ，某 中 学 研 究 学 习 小 组 的 同 学 们 在 社 会 实 践 活 动 中 调 查 了 30 户 家 庭 某 月 的 用 水 量 ，如 表 所 示 ： 用 水 量 （ 吨 ） 15 20 25 30 35 户 数 3 6 7 9 5 则 这 30 户 家 庭 该 用 用 水 量 的 众 数 和 中 位 数 分 别 是 （ ） A． 25， 27 B． 25， 25 C． 30， 27 D． 30， 25 8． 如 图 ， 长 4m 的 楼 梯 AB 的 倾 斜 角 ∠ABD 为 60°， 为 了 改 善 楼 梯 的 安 全 性 能 ，准 备 重 新 建 造 楼 梯 ，使 其 倾 斜 角 ∠ACD 为 45°，则 调 整 后 的 楼 梯 AC 的 长 为 （ ） A． 2 m B． 2 m C．（ 2 ﹣ 2） m D．（ 2 ﹣ 2） m 9．矩 形 OABC 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 位 置 如 图 所 示 ，点 B 的 坐 标 为（ 3，4）， D 是 OA 的 中 点 ， 点 E 在 AB 上 ， 当 △CDE 的 周 长 最 小 时 ， 点 E 的 坐 标 为 （ ） A．（ 3， 1） B．（ 3， ） C．（ 3， ） D．（ 3， 2） 10．如 图 ，在 四 边 形 ABCD 中 ，∠ABC=90°，AB=BC=2 ，E、F 分 别 是 AD、 CD 的 中 点 ， 连 接 BE、 BF、 EF． 若 四 边 形 ABCD 的 面 积 为 6， 则 △BEF 的 面 积 为 （ ） A． 2 B． C． D． 3 二 、 填 空 题 （ 共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 24 分 ） 11． 分 解 因 式 ： x2﹣ 1= ． 12． 当 x= 时 ， 分 式 的 值 为 0． 13．要 从 甲 、乙 两 名 运 动 员 中 选 出 一 名 参 加 “2016 里 约 奥 运 会 ”100m 比 赛 ，对 这 两 名 运 动 员 进 行 了 10 次 测 试 ，经 过 数 据 分 析 ，甲 、乙 两 名 运 动 员 的 平 均 成 绩 均 为 10.05（ s）， 甲 的 方 差 为 0.024（ s2）， 乙 的 方 差 为 0.008（ s2）， 则 这 10 次 测 试 成 绩 比 较 稳 定 的 是 运 动 员 ．（ 填 “甲 ”或 “乙 ”） 14． 某 学 校 计 划 购 买 一 批 课 外 读 物 ， 为 了 了 解 学 生 对 课 外 读 物 的 需 求 情 况 ， 学 校 进 行 了 一 次 “我 最 喜 爱 的 课 外 读 物 ”的 调 查 ， 设 置 了 “文 学 ”、 “科 普 ”、 “艺 术 ”和 “其 他 ”四 个 类 别 ，规 定 每 人 必 须 并 且 只 能 选 择 其 中 一 类 ， 现 从 全 体 学 生 的 调 查 表 中 随 机 抽 取 了 部 分 学 生 的 调 查 表 进 行 统 计 ， 并 把 统 计 结 果 绘 制 了 如 图 所 示 的 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ， 则 在 扇 形 统 计 图 中 ， 艺 术 类 读 物 所 在 扇 形 的 圆 心 角 是 度 ． 15． 不 等 式 组 的 最 大 整 数 解 是 ． 16． 如 图 ， AB 是 ⊙O 的 直 径 ， AC 是 ⊙O 的 弦 ， 过 点 C 的 切 线 交 AB 的 延 长 线 于 点 D， 若 ∠A=∠D， CD=3， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 ． 17． 如 图 ， 在 △ABC 中 ， AB=10， ∠B=60°， 点 D、 E 分 别 在 AB、 BC 上 ， 且 BD=BE=4， 将 △BDE 沿 DE 所 在 直 线 折 叠 得 到 △B′DE（ 点 B′在 四 边 形 ADEC 内 ）， 连 接 AB′， 则 AB′的 长 为 ． 18． 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点 A、 B 的 坐 标 分 别 为 （ 8， 0）、（ 0， 2 ）， C 是 AB 的 中 点 ， 过 点 C 作 y 轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 D， 动 点 P 从 点 D 出 发 ，沿 DC 向 点 C 匀 速 运 动 ，过 点 P 作 x 轴 的 垂 线 ，垂 足 为 E，连 接 BP、EC．当 BP 所 在 直 线 与 EC 所 在 直 线 第 一 次 垂 直 时 ， 点 P 的 坐 标 为 ． 三 、 解 答 题 （ 共 10 小 题 ， 满 分 76 分 ） 19． 计 算 ：（ ） 2+|﹣ 3|﹣ （ π+ ） 0． 20． 解 不 等 式 2x﹣ 1＞ ， 并 把 它 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 ． 21． 先 化 简 ， 再 求 值 ： ÷（ 1﹣ ）， 其 中 x= ． 22． 某 停 车 场 的 收 费 标 准 如 下 ： 中 型 汽 车 的 停 车 费 为 12 元 /辆 ， 小 型 汽 车 的 停 车 费 为 8 元 /辆 ， 现 在 停 车 场 共 有 50 辆 中 、 小 型 汽 车 ， 这 些 车 共 缴 纳 停 车 费 480 元 ， 中 、 小 型 汽 车 各 有 多 少 辆 ？ 23． 在 一 个 不 透 明 的 布 袋 中 装 有 三 个 小 球 ， 小 球 上 分 别 标 有 数 字 ﹣ 1、 0、 2， 它 们 除 了 数 字 不 同 外 ， 其 他 都 完 全 相 同 ． （ 1）随 机 地 从 布 袋 中 摸 出 一 个 小 球 ，则 摸 出 的 球 为 标 有 数 字 2 的 小 球 的 概 率 为 ； （ 2）小 丽 先 从 布 袋 中 随 机 摸 出 一 个 小 球 ，记 下 数 字 作 为 平 面 直 角 坐 标 系 内 点 M 的 横 坐 标 ． 再 将 此 球 放 回 、 搅 匀 ， 然 后 由 小 华 再 从 布 袋 中 随 机 摸 出 一 个 小 球 ，记 下 数 字 作 为 平 面 直 角 坐 标 系 内 点 M 的 纵 坐 标 ，请 用 树 状 图 或 表 格 列 出 点 M 所 有 可 能 的 坐 标 ，并 求 出 点 M 落 在 如 图 所 示 的 正 方 形 网 格 内（ 包 括 边 界 ） 的 概 率 ． 24．如 图 ，在 菱 形 ABCD 中 ，对 角 线 AC、BD 相 交 于 点 O，过 点 D 作 对 角 线 BD 的 垂 线 交 BA 的 延 长 线 于 点 E． （ 1） 证 明 ： 四 边 形 ACDE 是 平 行 四 边 形 ； （ 2） 若 AC=8， BD=6， 求 △ADE 的 周 长 ． 25． 如 图 ， 一 次 函 数 y=kx+b 的 图 象 与 x 轴 交 于 点 A， 与 反 比 例 函 数 y= （ x ＞ 0） 的 图 象 交 于 点 B（ 2， n）， 过 点 B 作 BC⊥x 轴 于 点 C， 点 P（ 3n﹣ 4， 1） 是 该 反 比 例 函 数 图 象 上 的 一 点 ， 且 ∠PBC=∠ABC， 求 反 比 例 函 数 和 一 次 函 数 的 表 达 式 ． 26． 如 图 ， AB 是 ⊙O 的 直 径 ， D、 E 为 ⊙O 上 位 于 AB 异 侧 的 两 点 ， 连 接 BD 并 延 长 至 点 C， 使 得 CD=BD， 连 接 AC 交 ⊙O 于 点 F， 连 接 AE、 DE、 DF． （ 1） 证 明 ： ∠E=∠C； （ 2） 若 ∠E=55°， 求 ∠BDF 的 度 数 ； （ 3） 设 DE 交 AB 于 点 G， 若 DF=4， cosB= ， E 是 的 中 点 ， 求 EG•ED 的 值 ． 27．如 图 ，在 矩 形 ABCD 中 ，AB=6cm，AD=8cm，点 P 从 点 B 出 发 ，沿 对 角 线 BD 向 点 D 匀 速 运 动 ，速 度 为 4cm/s，过 点 P 作 PQ⊥BD 交 BC 于 点 Q，以 PQ 为 一 边 作 正 方 形 PQMN， 使 得 点 N 落 在 射 线 PD 上 ， 点 O 从 点 D 出 发 ， 沿 DC 向 点 C 匀 速 运 动 ，速 度 为 3m/s，以 O 为 圆 心 ，0.8cm 为 半 径 作 ⊙O，点 P 与 点 O 同 时 出 发 ， 设 它 们 的 运 动 时 间 为 t（ 单 位 ： s）（ 0＜ t＜ ）． （ 1） 如 图 1， 连 接 DQ 平 分 ∠BDC 时 ， t 的 值 为 ； （ 2） 如 图 2， 连 接 CM， 若 △CMQ 是 以 CQ 为 底 的 等 腰 三 角 形 ， 求 t 的 值 ； （ 3） 请 你 继 续 进 行 探 究 ， 并 解 答 下 列 问 题 ： ①证 明 ： 在 运 动 过 程 中 ， 点 O 始 终 在 QM 所 在 直 线 的 左 侧 ； ②如 图 3， 在 运 动 过 程 中 ， 当 QM 与 ⊙O 相 切 时 ， 求 t 的 值 ； 并 判 断 此 时 PM 与 ⊙O 是 否 也 相 切 ？ 说 明 理 由 ． 28． 如 图 ， 直 线 l： y=﹣ 3x+3 与 x 轴 、 y 轴 分 别 相 交 于 A、 B 两 点 ， 抛 物 线 y=ax 2﹣ 2ax+a+4（ a＜ 0） 经 过 点 B． （ 1） 求 该 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ； （ 2）已 知 点 M 是 抛 物 线 上 的 一 个 动 点 ，并 且 点 M 在 第 一 象 限 内 ，连 接 AM、 BM， 设 点 M 的 横 坐 标 为 m， △ABM 的 面 积 为 S， 求 S 与 m 的 函 数 表 达 式 ， 并 求 出 S 的 最 大 值 ； （ 3） 在 （ 2） 的 条 件 下 ， 当 S 取 得 最 大 值 时 ， 动 点 M 相 应 的 位 置 记 为 点 M′． ①写 出 点 M′的 坐 标 ； ②将 直 线 l 绕 点 A 按 顺 时 针 方 向 旋 转 得 到 直 线 l′， 当 直 线 l′与 直 线 AM′重 合 时 停 止 旋 转 ，在 旋 转 过 程 中 ，直 线 l′与 线 段 BM′交 于 点 C，设 点 B、M′到 直 线 l′的 距 离 分 别 为 d1、 d2， 当 d1+d 2 最 大 时 ， 求 直 线 l′旋 转 的 角 度（ 即 ∠BAC 的 度 数 ）． 2016 年江苏省苏州市中考数学试卷 参 考 答 案 与 试 题 解 析 一 、 选 择 题 （ 共 10 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 30 分 ） 1． 的 倒 数 是 （ ） A． B． C． D． 【 考 点 】 倒 数 ． 【 分 析 】 直 接 根 据 倒 数 的 定 义 进 行 解 答 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： ∵ × =1， ∴ 的 倒 数 是 ． 故 选 A． 2．肥 皂 泡 的 泡 壁 厚 度 大 约 是 0.0007mm，0.0007 用 科 学 记 数 法 表 示 为（ ） A． 0.7×10 ﹣ 3B． 7×10 ﹣ 3C． 7×10 ﹣ 4D． 7×10 ﹣ 5 【 考 点 】 科 学 记 数 法 —表 示 较 小 的 数 ． 【 分 析 】 绝 对 值 小 于 1 的 正 数 也 可 以 利 用 科 学 记 数 法 表 示 ， 一 般 形 式 为 a×10 ﹣ n， 与 较 大 数 的 科 学 记 数 法 不 同 的 是 其 所 使 用 的 是 负 指 数 幂 ， 指 数 由 原 数 左 边 起 第 一 个 不 为 零 的 数 字 前 面 的 0 的 个 数 所 决 定 ． 【 解 答 】 解 ： 0.0007=7×10 ﹣ 4， 故 选 ： C． 3． 下 列 运 算 结 果 正 确 的 是 （ ） A． a+2b=3ab B． 3a 2﹣ 2a 2=1 C． a2•a4=a 8D．（ ﹣ a2b） 3÷（ a3b） 2=﹣ b 【 考 点 】整 式 的 除 法 ；合 并 同 类 项 ；同 底 数 幂 的 乘 法 ；幂 的 乘 方 与 积 的 乘 方 ． 【 分 析 】 分 别 利 用 同 底 数 幂 的 乘 法 运 算 法 则 以 及 合 并 同 类 项 法 则 、 积 的 乘 方 运 算 法 则 分 别 计 算 得 出 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： A、 a+2b， 无 法 计 算 ， 故 此 选 项 错 误 ； B、 3a 2﹣ 2a 2=a 2， 故 此 选 项 错 误 ； C、 a2•a4=a 6， 故 此 选 项 错 误 ； D、（ ﹣ a2b） 3÷（ a3b） 2=﹣ b， 故 此 选 项 正 确 ； 故 选 ： D． 4．一 次 数 学 测 试 后 ，某 班 40 名 学 生 的 成 绩 被 分 为 5 组 ，第 1～ 4 组 的 频 数 分 别 为 12、 10、 6、 8， 则 第 5 组 的 频 率 是 （ ） A． 0.1 B． 0.2 C． 0.3 D． 0.4 【 考 点 】 频 数 与 频 率 ． 【 分 析 】 根 据 第 1～ 4 组 的 频 数 ， 求 出 第 5 组 的 频 数 ， 即 可 确 定 出 其 频 率 ． 【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 得 ： 40﹣ （ 12+10+6+8） =40﹣ 36=4， 则 第 5 组 的 频 率 为 4÷40=0.1， 故 选 A． 5．如 图 ，直 线 a∥b，直 线 l 与 a、b 分 别 相 交 于 A、B 两 点 ，过 点 A 作 直 线 l 的 垂 线 交 直 线 b 于 点 C， 若 ∠1=58°， 则 ∠2 的 度 数 为 （ ） A． 58° B． 42° C． 32° D． 28° 【 考 点 】 平 行 线 的 性 质 ． 【 分 析 】 根 据 平 行 线 的 性 质 得 出 ∠ACB=∠2， 根 据 三 角 形 内 角 和 定 理 求 出 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： ∵直 线 a∥b， ∴∠ACB=∠2， ∵AC⊥BA， ∴∠BAC=90°， ∴∠2=ACB=180°﹣ ∠1﹣ ∠BAC=180°﹣ 90°﹣ 58°=32°， 故 选 C． 6． 已 知 点 A（ 2， y1）、 B（ 4， y2） 都 在 反 比 例 函 数 y= （ k＜ 0） 的 图 象 上 ， 则 y1、 y2 的 大 小 关 系 为 （ ） A． y1＞ y2B． y1＜ y2C． y1=y 2D． 无 法 确 定 【 考 点 】 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 ． 【 分 析 】 直 接 利 用 反 比 例 函 数 的 增 减 性 分 析 得 出 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： ∵点 A（ 2， y1）、 B（ 4， y2） 都 在 反 比 例 函 数 y= （ k＜ 0） 的 图 象 上 ， ∴每 个 象 限 内 ， y 随 x 的 增 大 而 增 大 ， ∴y1＜ y2， 故 选 ： B． 7．根 据 国 家 发 改 委 实 施 “阶 梯 水 价 ”的 有 关 文 件 要 求 ，某 市 结 合 地 方 实 际 ，决 定 从 2016 年 1 月 1 日 起 对 居 民 生 活 用 水 按 新 的 “阶 梯 水 价 ”标 准 收 费 ，某 中 学 研 究 学 习 小 组 的 同 学 们 在 社 会 实 践 活 动 中 调 查 了 30 户 家 庭 某 月 的 用 水 量 ，如 表 所 示 ： 用 水 量 （ 吨 ） 15 20 25 30 35 户 数 3 6 7 9 5 则 这 30 户 家 庭 该 用 用 水 量 的 众 数 和 中 位 数 分 别 是 （ ） A． 25， 27 B． 25， 25 C． 30， 27 D． 30， 25 【 考 点 】 众 数 ； 中 位 数 ． 【 分 析 】 根 据 众 数 、 中 位 数 的 定 义 即 可 解 决 问 题 ． 【 解 答 】 解 ： 因 为 30 出 现 了 9 次 ， 所 以 30 是 这 组 数 据 的 众 数 ， 将 这 30 个 数 据 从 小 到 大 排 列 ， 第 15、 16 个 数 据 的 平 均 数 就 是 中 位 数 ， 所 以 中 位 数 是 25， 故 选 D． 8． 如 图 ， 长 4m 的 楼 梯 AB 的 倾 斜 角 ∠ABD 为 60°， 为 了 改 善 楼 梯 的 安 全 性 能 ，准 备 重 新 建 造 楼 梯 ，使 其 倾 斜 角 ∠ACD 为 45°，则 调 整 后 的 楼 梯 AC 的 长 为 （ ） A． 2 m B． 2 m C．（ 2 ﹣ 2） m D．（ 2 ﹣ 2） m 【 考 点 】 解 直 角 三 角 形 的 应 用 -坡 度 坡 角 问 题 ． 【 分 析 】先 在 Rt△ABD 中 利 用 正 弦 的 定 义 计 算 出 AD，然 后 在 Rt△ACD 中 利 用 正 弦 的 定 义 计 算 AC 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： 在 Rt△ABD 中 ， ∵sin∠ABD= ， ∴AD=4sin60°=2 （ m）， 在 Rt△ACD 中 ， ∵sin∠ACD= ， ∴AC= =2 （ m）． 故 选 B． 9．矩 形 OABC 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 的 位 置 如 图 所 示 ，点 B 的 坐 标 为（ 3，4）， D 是 OA 的 中 点 ， 点 E 在 AB 上 ， 当 △CDE 的 周 长 最 小 时 ， 点 E 的 坐 标 为 （ ） A．（ 3， 1） B．（ 3， ） C．（ 3， ） D．（ 3， 2） 【 考 点 】 矩 形 的 性 质 ； 坐 标 与 图 形 性 质 ； 轴 对 称 -最 短 路 线 问 题 ． 【 分 析 】如 图 ，作 点 D 关 于 直 线 AB 的 对 称 点 H，连 接 CH 与 AB 的 交 点 为 E， 此 时 △CDE 的 周 长 最 小 ，先 求 出 直 线 CH 解 析 式 ，再 求 出 直 线 CH 与 AB 的 交 点 即 可 解 决 问 题 ． 【 解 答 】解 ：如 图 ，作 点 D 关 于 直 线 AB 的 对 称 点 H，连 接 CH 与 AB 的 交 点 为 E， 此 时 △CDE 的 周 长 最 小 ． ∵D（ ， 0）， A（ 3， 0）， ∴H（ ， 0）， ∴直 线 CH 解 析 式 为 y=﹣ x+4， ∴x=3 时 ， y= ， ∴点 E 坐 标 （ 3， ） 故 选 ： B． 10．如 图 ，在 四 边 形 ABCD 中 ，∠ABC=90°，AB=BC=2 ，E、F 分 别 是 AD、 CD 的 中 点 ， 连 接 BE、 BF、 EF． 若 四 边 形 ABCD 的 面 积 为 6， 则 △BEF 的 面 积 为 （ ） A． 2 B． C． D． 3 【 考 点 】 三 角 形 的 面 积 ． 【 分 析 】 连 接 AC， 过 B 作 EF 的 垂 线 ， 利 用 勾 股 定 理 可 得 AC， 易 得 △ABC 的 面 积 ， 可 得 BG 和 △ADC 的 面 积 ， 三 角 形 ABC 与 三 角 形 ACD 同 底 ， 利 用 面 积 比 可 得 它 们 高 的 比 ，而 GH 又 是 △ACD 以 AC 为 底 的 高 的 一 半 ，可 得 GH， 易 得 BH， 由 中 位 线 的 性 质 可 得 EF 的 长 ， 利 用 三 角 形 的 面 积 公 式 可 得 结 果 ． 【 解 答 】 解 ： 连 接 AC， 过 B 作 EF 的 垂 线 交 AC 于 点 G， 交 EF 于 点 H， ∵∠ABC=90°， AB=BC=2 ， ∴AC= = =4， ∵△ABC 为 等 腰 三 角 形 ， BH⊥AC， ∴△ABG， △BCG 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， ∴AG=BG=2 ∵S △ ABC= •AB•AC= ×2 ×2 =4， ∴S △ ADC=2， ∵ =2， ∴GH= BG= ， ∴BH= ， 又 ∵EF= AC=2， ∴S △ BEF = •EF•BH= ×2× = ， 故 选 C． 二 、 填 空 题 （ 共 8 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 满 分 24 分 ） 11． 分 解 因 式 ： x2﹣ 1= （ x+1）（ x﹣ 1） ． 【 考 点 】 因 式 分 解 -运 用 公 式 法 ． 【 分 析 】 利 用 平 方 差 公 式 分 解 即 可 求 得 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： x2﹣ 1=（ x+1）（ x﹣ 1）． 故 答 案 为 ：（ x+1）（ x﹣ 1）． 12． 当 x= 2 时 ， 分 式 的 值 为 0． 【 考 点 】 分 式 的 值 为 零 的 条 件 ． 【 分 析 】 直 接 利 用 分 式 的 值 为 0， 则 分 子 为 0， 进 而 求 出 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： ∵分 式 的 值 为 0， ∴x﹣ 2=0， 解 得 ： x=2． 故 答 案 为 ： 2． 13．要 从 甲 、乙 两 名 运 动 员 中 选 出 一 名 参 加 “2016 里 约 奥 运 会 ”100m 比 赛 ，对 这 两 名 运 动 员 进 行 了 10 次 测 试 ，经 过 数 据 分 析 ，甲 、乙 两 名 运 动 员 的 平 均 成 绩 均 为 10.05（ s）， 甲 的 方 差 为 0.024（ s2）， 乙 的 方 差 为 0.008（ s2）， 则 这 10 次 测 试 成 绩 比 较 稳 定 的 是 乙 运 动 员 ．（ 填 “甲 ”或 “乙 ”） 【 考 点 】 方 差 ． 【 分 析 】 根 据 方 差 的 定 义 ， 方 差 越 小 数 据 越 稳 定 ． 【 解 答 】 解 ： 因 为 S 甲 2=0.024＞ S 乙 2=0.008， 方 差 小 的 为 乙 ， 所 以 本 题 中 成 绩 比 较 稳 定 的 是 乙 ． 故 答 案 为 乙 ． 14． 某 学 校 计 划 购 买 一 批 课 外 读 物 ， 为 了 了 解 学 生 对 课 外 读 物 的 需 求 情 况 ， 学 校 进 行 了 一 次 “我 最 喜 爱 的 课 外 读 物 ”的 调 查 ， 设 置 了 “文 学 ”、 “科 普 ”、 “艺 术 ”和 “其 他 ”四 个 类 别 ，规 定 每 人 必 须 并 且 只 能 选 择 其 中 一 类 ， 现 从 全 体 学 生 的 调 查 表 中 随 机 抽 取 了 部 分 学 生 的 调 查 表 进 行 统 计 ， 并 把 统 计 结 果 绘 制 了 如 图 所 示 的 两 幅 不 完 整 的 统 计 图 ， 则 在 扇 形 统 计 图 中 ， 艺 术 类 读 物 所 在 扇 形 的 圆 心 角 是 72 度 ． 【 考 点 】 条 形 统 计 图 ； 扇 形 统 计 图 ． 【 分 析 】 根 据 文 学 类 人 数 和 所 占 百 分 比 ， 求 出 总 人 数 ， 然 后 用 总 人 数 乘 以 艺 术 类 读 物 所 占 的 百 分 比 即 可 得 出 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： 根 据 条 形 图 得 出 文 学 类 人 数 为 90， 利 用 扇 形 图 得 出 文 学 类 所 占 百 分 比 为 ： 30%， 则 本 次 调 查 中 ， 一 共 调 查 了 ： 90÷30%=300（ 人 ）， 则 艺 术 类 读 物 所 在 扇 形 的 圆 心 角 是 的 圆 心 角 是 360°× =72°； 故 答 案 为 ： 72． 15． 不 等 式 组 的 最 大 整 数 解 是 3 ． 【 考 点 】 一 元 一 次 不 等 式 组 的 整 数 解 ． 【 分 析 】 分 别 求 出 每 一 个 不 等 式 的 解 集 ， 根 据 口 诀 ： 同 大 取 大 、 同 小 取 小 、 大 小 小 大 中 间 找 、 大 大 小 小 无 解 了 确 定 不 等 式 组 的 解 集 ， 最 后 求 其 整 数 解 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： 解 不 等 式 x+2＞ 1， 得 ： x＞ ﹣ 1， 解 不 等 式 2x﹣ 1≤8﹣ x， 得 ： x≤3， 则 不 等 式 组 的 解 集 为 ： ﹣ 1＜ x≤3， 则 不 等 式 组 的 最 大 整 数 解 为 3， 故 答 案 为 ： 3． 16． 如 图 ， AB 是 ⊙O 的 直 径 ， AC 是 ⊙O 的 弦 ， 过 点 C 的 切 线 交 AB 的 延 长 线 于 点 D， 若 ∠A=∠D， CD=3， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 ． 【 考 点 】 切 线 的 性 质 ； 圆 周 角 定 理 ； 扇 形 面 积 的 计 算 ． 【 分 析 】 连 接 OC， 可 求 得 △OCD 和 扇 形 OCB 的 面 积 ， 进 而 可 求 出 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 ． 【 解 答 】 解 ： 连 接 OC， ∵过 点 C 的 切 线 交 AB 的 延 长 线 于 点 D， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD=90°， 即 ∠D+∠COD=90°， ∵AO=CO， ∴∠A=∠ACO， ∴∠COD=2∠A， ∵∠A=∠D， ∴∠COD=2∠D， ∴3∠D=90°， ∴∠D=30°， ∴∠COD=60° ∵CD=3， ∴OC=3× = ， ∴阴 影 部 分 的 面 积 = ×3× ﹣ = ， 故 答 案 为 ： ． 17． 如 图 ， 在 △ABC 中 ， AB=10， ∠B=60°， 点 D、 E 分 别 在 AB、 BC 上 ， 且 BD=BE=4， 将 △BDE 沿 DE 所 在 直 线 折 叠 得 到 △B′DE（ 点 B′在 四 边 形 ADEC 内 ）， 连 接 AB′， 则 AB′的 长 为 2 ． 【 考 点 】 翻 折 变 换 （ 折 叠 问 题 ）． 【 分 析 】 作 DF⊥B′E 于 点 F， 作 B′G⊥AD 于 点 G， 首 先 根 据 有 一 个 角 为 60° 的 等 腰 三 角 形 是 等 边 三 角 形 判 定 △BDE 是 边 长 为 4 的 等 边 三 角 形 ， 从 而 根 据 翻 折 的 性 质 得 到 △B′DE 也 是 边 长 为 4 的 等 边 三 角 形 ， 从 而 GD=B′F=2， 然 后 根 据 勾 股 定 理 得 到 B′G=2 ， 然 后 再 次 利 用 勾 股 定 理 求 得 答 案 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： 如 图 ， 作 DF⊥B′E 于 点 F， 作 B′G⊥AD 于 点 G， ∵∠B=60°， BE=BD=4， ∴△BDE 是 边 长 为 4 的 等 边 三 角 形 ， ∵将 △BDE 沿 DE 所 在 直 线 折 叠 得 到 △B′DE， ∴△B′DE 也 是 边 长 为 4 的 等 边 三 角 形 ， ∴GD=B′F=2， ∵B′D=4， ∴B′G= = =2 ， ∵AB=10， ∴AG=10﹣ 6=4， ∴AB′= = =2 ． 故 答 案 为 ： 2 ． 18． 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 点 A、 B 的 坐 标 分 别 为 （ 8， 0）、（ 0， 2 ）， C 是 AB 的 中 点 ， 过 点 C 作 y 轴 的 垂 线 ， 垂 足 为 D， 动 点 P 从 点 D 出 发 ，沿 DC 向 点 C 匀 速 运 动 ，过 点 P 作 x 轴 的 垂 线 ，垂 足 为 E，连 接 BP、EC．当 BP 所 在 直 线 与 EC 所 在 直 线 第 一 次 垂 直 时 ， 点 P 的 坐 标 为 （ 1， ） ． 【 考 点 】坐 标 与 图 形 性 质 ；平 行 线 分 线 段 成 比 例 ；相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ． 【 分 析 】 先 根 据 题 意 求 得 CD 和 PE 的 长 ， 再 判 定 △EPC∽△PDB， 列 出 相 关 的 比 例 式 ， 求 得 DP 的 长 ， 最 后 根 据 PE、 DP 的 长 得 到 点 P 的 坐 标 ． 【 解 答 】 解 ： ∵点 A、 B 的 坐 标 分 别 为 （ 8， 0），（ 0， 2 ） ∴BO= ， AO=8 由 CD⊥BO， C 是 AB 的 中 点 ， 可 得 BD=DO= BO= =PE， CD= AO=4 设 DP=a， 则 CP=4﹣ a 当 BP 所 在 直 线 与 EC 所 在 直 线 第 一 次 垂 直 时 ， ∠FCP=∠DBP 又 ∵EP⊥CP， PD⊥BD ∴∠EPC=∠PDB=90° ∴△EPC∽△PDB ∴ ， 即 解 得 a1=1， a2=3（ 舍 去 ） ∴DP=1 又 ∵PE= ∴P（ 1， ） 故 答 案 为 ：（ 1， ） 三 、 解 答 题 （ 共 10 小 题 ， 满 分 76 分 ） 19． 计 算 ：（ ） 2+|﹣ 3|﹣ （ π+ ） 0． 【 考 点 】 实 数 的 运 算 ； 零 指 数 幂 ． 【 分 析 】 直 接 利 用 二 次 根 式 的 性 质 以 及 结 合 绝 对 值 、 零 指 数 幂 的 性 质 分 析 得 出 答 案 ． 【 解 答 】 解 ： 原 式 =5+3﹣ 1 =7． 20． 解 不 等 式 2x﹣ 1＞ ， 并 把 它 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 ． 【 考 点 】 解 一 元 一 次 不 等 式 ； 在 数 轴 上 表 示 不 等 式 的 解 集 ． 【 分 析 】 根 据 分 式 的 基 本 性 质 去 分 母 、 去 括 号 、 移 项 可 得 不 等 式 的 解 集 ， 再 根 据 “大 于 向 右 ， 小 于 向 左 ， 包 括 端 点 用 实 心 ， 不 包 括 端 点 用 空 心 ”的 原 则 在 数 轴 上 将 解 集 表 示 出 来 ． 【 解 答 】 解 ： 去 分 母 ， 得 ： 4x﹣ 2＞ 3x﹣ 1， 移 项 ， 得 ： 4x﹣ 3x＞ 2﹣ 1， 合 并 同 类 项 ， 得 ： x＞ 1， 将 不 等 式 解 集 表 示 在 数 轴 上 如 图 ： 21． 先 化 简 ， 再 求 值 ： ÷（ 1﹣ ）， 其 中 x= ． 【 考 点 】 分 式 的 化 简 求 值 ． 【 分 析 】 先 括 号 内 通 分 ， 然 后 计 算 除 法 ， 最 后 代 入 化 简 即 可 ． 【 解 答 】 解 ： 原 式 = ÷ = • = ， 当 x= 时 ， 原 式 = = ． 22． 某 停 车 场 的 收 费 标 准 如 下 ： 中 型 汽 车 的 停 车 费 为 12 元 /辆 ， 小 型 汽 车 的 停 车 费 为 8 元 /辆 ， 现 在 停 车 场 共 有 50 辆 中 、 小 型 汽 车 ， 这 些 车 共 缴 纳 停 车 费 480 元 ， 中 、 小 型 汽 车 各 有 多 少 辆 ？ 【 考 点 】 二 元 一 次 方 程 组 的 应 用 ． 【 分 析 】 先 设 中 型 车 有 x 辆 ， 小 型 车 有 y 辆 ， 再 根 据 题 中 两 个 等 量 关 系 ， 列 出 二 元 一 次 方 程 组 进 行 求 解 ． 【 解 答 】 解 ： 设 中 型 车 有 x 辆 ， 小 型 车 有 y 辆 ， 根 据 题 意 ， 得 解 得 答 ： 中 型 车 有 20 辆 ， 小 型 车 有 30 辆 ． 23． 在 一 个 不 透 明 的 布 袋 中 装 有 三 个 小 球 ， 小 球 上 分 别 标 有 数 字 ﹣ 1、 0、 2， 它 们 除 了 数 字 不 同 外 ， 其 他 都 完 全 相 同 ． （ 1）随 机 地 从 布 袋 中 摸 出 一 个 小 球 ，则 摸 出 的 球 为 标 有 数 字 2 的 小 球 的 概 率 为 ； （ 2）小 丽 先 从 布 袋 中 随 机 摸 出 一 个 小 球 ，记 下 数 字 作 为 平 面 直 角 坐 标 系 内 点 M 的 横 坐 标 ． 再 将 此 球 放 回 、 搅 匀 ， 然 后 由 小 华 再 从 布 袋 中 随 机 摸 出 一 个 小 球 ，记 下 数 字 作 为 平 面 直 角 坐 标 系 内 点 M 的 纵 坐 标 ，请 用 树 状 图 或 表 格 列 出 点 M 所 有 可 能 的 坐 标 ，并 求 出 点 M 落 在 如 图 所 示 的 正 方 形 网 格 内（ 包 括 边 界 ） 的 概 率 ． 【 考 点 】 列 表 法 与 树 状 图 法 ； 坐 标 与 图 形 性 质 ； 概 率 公 式 ． 【 分 析 】（ 1） 直 接 利 用 概 率 公 式 求 解 ； （ 2） 先 画 树 状 图 展 示 所 有 9 种 等 可 能 的 结 果 数 ， 再 找 出 点 M 落 在 如 图 所 示 的 正 方 形 网 格 内 （ 包 括 边 界 ） 的 结 果 数 ， 然 后 根 据 概 率 公 式 求 解 ． 【 解 答 】 解 ：（ 1） 随 机 地 从 布 袋 中 摸 出 一 个 小 球 ， 则 摸 出 的 球 为 标 有 数 字 2 的 小 球 的 概 率 = ； 故 答 案 为 ； （ 2） 画 树 状 图 为 ： 共 有 9 种 等 可 能 的 结 果 数 ，其 中 点 M 落 在 如 图 所 示 的 正 方 形 网 格 内（ 包 括 边 界 ） 的 结 果 数 为 6， 所 以 点 M 落 在 如 图 所 示 的 正 方 形 网 格 内 （ 包 括 边 界 ） 的 概 率 = = ． 24．如 图 ，在 菱 形 ABCD 中 ，对 角 线 AC、BD 相 交 于 点 O，过 点 D 作 对 角 线 BD 的 垂 线 交 BA 的 延 长 线 于 点 E． （ 1） 证 明 ： 四 边 形 ACDE 是 平 行 四 边 形 ； （ 2） 若 AC=8， BD=6， 求 △ADE 的 周 长 ． 【 考 点 】 菱 形 的 性 质 ； 平 行 四 边 形 的 判 定 与 性 质 ． 【 分 析 】（ 1） 根 据 平 行 四 边 形 的 判 定 证 明 即 可 ； （ 2） 利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 得 出 平 行 四 边 形 的 周 长 即 可 ． 【 解 答 】（ 1） 证 明 ： ∵四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， ∴AB∥CD， AC⊥BD， ∴AE∥CD， ∠AOB=90°， ∵DE⊥BD， 即 ∠EDB=90°， ∴∠AOB=∠EDB， ∴DE∥AC， ∴四 边 形 ACDE 是 平 行 四 边 形 ； （ 2） 解 ： ∵四 边 形 ABCD 是 菱 形 ， AC=8， BD=6， ∴AO=4， DO=3， AD=CD=5， ∵四 边 形 ACDE 是 平 行 四 边 形 ， ∴AE=CD=5， DE=AC=8， ∴△ADE 的 周 长 为 AD+AE+DE=5+5+8=18． 25． 如 图 ， 一 次 函 数 y=kx+b 的 图 象 与 x 轴 交 于 点 A， 与 反 比 例 函 数 y= （ x ＞ 0） 的 图 象 交 于 点 B（ 2， n）， 过 点 B 作 BC⊥x 轴 于 点 C， 点 P（ 3n﹣ 4， 1） 是 该 反 比 例 函 数 图 象 上 的 一 点 ， 且 ∠PBC=∠ABC， 求 反 比 例 函 数 和 一 次 函 数 的 表 达 式 ． 【 考 点 】 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 的 交 点 问 题 ． 【 分 析 】 将 点 B（ 2， n）、 P（ 3n﹣ 4， 1） 代 入 反 比 例 函 数 的 解 析 式 可 求 得 m、 n 的 值 ， 从 而 求 得 反 比 例 函 数 的 解 析 式 以 及 点 B 和 点 P 的 坐 标 ， 过 点 P 作 PD⊥BC， 垂 足 为 D， 并 延 长 交 AB 与 点 P′． 接 下 来 证 明 △BDP≌△BDP′， 从 而 得 到 点 P′的 坐 标 ，最 后 将 点 P′和 点 B 的 坐 标 代 入 一 次 函 数 的 解 析 式 即 可 求 得 一 次 函 数 的 表 达 式 ． 【 解 答 】 解 ： ∵点 B（ 2， n）、 P（ 3n﹣ 4， 1） 在 反 比 例 函 数 y= （ x＞ 0） 的 图 象 上 ， ∴ ． 解 得 ： m=8， n=4． ∴反 比 例 函 数 的 表 达 式 为 y= ． ∵m=8， n=4， ∴点 B（ 2， 4），（ 8， 1）． 过 点 P 作 PD⊥BC， 垂 足 为 D， 并 延 长 交 AB 与 点 P′． 在 △BDP 和 △BDP′中 ， ∴△BDP≌△BDP′． ∴DP′=DP=6． ∴点 P′（ ﹣ 4， 1）． 将 点 P′（ ﹣ 4， 1）， B（ 2， 4） 代 入 直 线 的 解 析 式 得 ： ， 解 得 ： ． ∴一 次 函 数 的 表 达 式 为 y= x+3． 26． 如 图 ， AB 是 ⊙O 的 直 径 ， D、 E 为 ⊙O 上 位 于 AB 异 侧 的 两 点 ， 连 接 BD 并 延 长 至 点 C， 使 得 CD=BD， 连 接 AC 交 ⊙O 于 点 F， 连 接 AE、 DE、 DF． （ 1） 证 明 ： ∠E=∠C； （ 2） 若 ∠E=55°， 求 ∠BDF 的 度 数 ； （ 3） 设 DE 交 AB 于 点 G， 若 DF=4， cosB= ， E 是 的 中 点 ， 求 EG•ED 的 值 ． 【 考 点 】 圆 的 综 合 题 ． 【 分 析 】（ 1） 直 接 利 用 圆 周 角 定 理 得 出 AD⊥BC， 劲 儿 利 用 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 得 出 AB=AC， 即 可 得 出 ∠E=∠C； （ 2） 利 用 圆 内 接 四 边 形 的 性 质 得 出 ∠AFD=180°﹣ ∠E， 进 而 得 出 ∠BDF=∠C+∠CFD， 即 可 得 出 答 案 ； （ 3）根 据 cosB= ，得 出 AB 的 长 ，再 求 出 AE 的 长 ，进 而 得 出 △AEG∽△DEA， 求 出 答 案 即 可 ． 【 解 答 】（ 1） 证 明 ： 连 接 AD， ∵AB 是 ⊙O 的 直 径 ， ∴∠ADB=90°， 即 AD⊥BC， ∵CD=BD， ∴AD 垂 直 平 分 BC， ∴AB=AC， ∴∠B=∠C， 又 ∵∠B=∠E， ∴∠E=∠C； （ 2） 解 ： ∵四 边 形 AEDF 是 ⊙O 的 内 接 四 边 形 ， ∴∠AFD=180°﹣ ∠E， 又 ∵∠CFD=180°﹣ ∠AFD， ∴∠CFD=∠E=55°， 又 ∵∠E=∠C=55°， ∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°； （ 3） 解 ： 连 接 OE， ∵∠CFD=∠E=∠C， ∴FD=CD=BD=4， 在 Rt△ABD 中 ， cosB= ， BD=4， ∴AB=6， ∵E 是 的 中 点 ， AB 是 ⊙O 的 直 径 ， ∴∠AOE=90°， ∵AO=OE=3， ∴AE=3 ， ∵E 是 的 中 点 ， ∴∠ADE=∠EAB， ∴△AEG∽△DEA， ∴ = ， 即 EG•ED=AE 2=18． 27．如 图 ，在 矩 形 ABCD 中 ，AB=6cm，AD=8cm，点 P 从 点 B 出 发 ，沿 对 角 线 BD 向 点 D 匀 速 运 动 ，速 度 为 4cm/s，过 点 P 作 PQ⊥BD 交 BC 于 点 Q，以 PQ 为 一 边 作 正 方 形 PQMN， 使 得 点 N 落 在 射 线 PD 上 ， 点 O 从 点 D 出 发 ， 沿 DC 向 点 C 匀 速 运 动 ，速 度 为 3m/s，以 O 为 圆 心 ，0.8cm 为 半 径 作 ⊙O，点 P 与 点 O 同 时 出 发 ， 设 它 们 的 运 动 时 间 为 t（ 单 位 ： s）（ 0＜ t＜ ）． （ 1） 如 图 1， 连 接 DQ 平 分 ∠BDC 时 ， t 的 值 为 ； （ 2） 如 图 2， 连 接 CM， 若 △CMQ 是 以 CQ 为 底 的 等 腰 三 角 形 ， 求 t 的 值 ； （ 3） 请 你 继 续 进 行 探 究 ， 并 解 答 下 列 问 题 ： ①证 明 ： 在 运 动 过 程 中 ， 点 O 始 终 在 QM 所 在 直 线 的 左 侧 ； ②如 图 3， 在 运 动 过 程 中 ， 当 QM 与 ⊙O 相 切 时 ， 求 t 的 值 ； 并 判 断 此 时 PM 与 ⊙O 是 否 也 相 切 ？ 说 明 理 由 ． 【 考 点 】 圆 的 综 合 题 ． 【 分 析 】（ 1）先 利 用 △PBQ∽△CBD 求 出 PQ、BQ，再 根 据 角 平 分 线 性 质 ，列 出 方 程 解 决 问 题 ． （ 2） 由 △QTM∽△BCD， 得 = 列 出 方 程 即 可 解 决 ． （ 3）①如 图 2 中 ，由 此 QM 交 CD 于 E，求 出 DE、DO 利 用 差 值 比 较 即 可 解 决 问 题 ． ②如 图 3 中 ， 由 ①可 知 ⊙O 只 有 在 左 侧 与 直 线 QM 相 切 于 点 H， QM 与 CD 交 于 点 E．由 △OHE∽△BCD，得 = ，列 出 方 程 即 可 解 决 问 题 ．利 用 反 证 法 证 明 直 线 PM 不 可 能 由 ⊙O 相 切 ． 【 解 答 】（ 1） 解 ： 如 图 1 中 ， ∵四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， ∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°， AB=CD=6． AD=BC=8， ∴BD= = =10， ∵PQ⊥BD， ∴∠BPQ=90°=∠C， ∵∠PBQ=∠DBC， ∴△PBQ∽△CBD， ∴ = = ， ∴ = = ， ∴PQ=3t， BQ=5t， ∵DQ 平 分 ∠BDC， QP⊥DB， QC⊥DC， ∴QP=QC， ∴3t=6﹣ 5t， ∴t= ， 故 答 案 为 ． （ 2） 解 ： 如 图 2 中 ， 作 MT⊥BC 于 T． ∵MC=MQ， MT⊥CQ， ∴TC=TQ， 由 （ 1） 可 知 TQ= （ 8﹣ 5t）， QM=3t， ∵MQ∥BD， ∴∠MQT=∠DBC， ∵∠MTQ=∠BCD=90°， ∴△QTM∽△BCD， ∴ = ， ∴ = ， ∴t= （ s）， ∴t= s 时 ， △CMQ 是 以 CQ 为 底 的 等 腰 三 角 形 ． （ 3） ①证 明 ： 如 图 2 中 ， 由 此 QM 交 CD 于 E， ∵EQ∥BD， ∴ = ， ∴EC= （ 8﹣ 5t）， ED=DC﹣ EC=6﹣ （ 8﹣ 5t） = t， ∵DO=3t， ∴DE﹣ DO= t﹣ 3t= t＞ 0， ∴点 O 在 直 线 QM 左 侧 ． ②解 ： 如 图 3 中 ， 由 ①可 知 ⊙O 只 有 在 左 侧 与 直 线 QM 相 切 于 点 H， QM 与 CD 交 于 点 E． ∵EC= （ 8﹣ 5t）， DO=3t， ∴OE=6﹣ 3t﹣ （ 8﹣ 5t） = t， ∵OH⊥MQ， ∴∠OHE=90°， ∵∠HEO=∠CEQ， ∴∠HOE=∠CQE=∠CBD， ∵∠OHE=∠C=90°， ∴△OHE∽△BCD， ∴ = ， ∴ = ， ∴t= ． ∴t= s 时 ， ⊙O 与 直 线 QM 相 切 ． 连 接 PM， 假 设 PM 与 ⊙O 相 切 ， 则 ∠OMH= PMQ=22.5°， 在 MH 上 取 一 点 F， 使 得 MF=FO， 则 ∠FMO=∠FOM=22.5°， ∴∠OFH=∠FOH=45°， ∴OH=FH=0.8， FO=FM=0.8 ， ∴MH=0.8（ +1）， 由 = 得 到 HE= ， 由 = 得 到 EQ= ， ∴MH=MQ﹣ HE﹣ EQ=4﹣ ﹣ = ， ∴0.8（ +1） ≠ ， 矛 盾 ， ∴假 设 不 成 立 ． ∴直 线 MQ 与 ⊙O 不 相 切 ． 28． 如 图 ， 直 线 l： y=﹣ 3x+3 与 x 轴 、 y 轴 分 别 相 交 于 A、 B 两 点 ， 抛 物 线 y=ax 2﹣ 2ax+a+4（ a＜ 0） 经 过 点 B． （ 1） 求 该 抛 物 线 的 函 数 表 达 式 ； （ 2）已 知 点 M 是 抛 物 线 上 的 一 个 动 点 ，并 且 点 M 在 第 一 象 限 内 ，连 接 AM、 BM， 设 点 M 的 横 坐 标 为 m， △ABM 的 面 积 为 S， 求 S 与 m 的 函 数 表 达 式 ， 并 求 出 S 的 最 大 值 ； （ 3） 在 （ 2） 的 条 件 下 ， 当 S 取 得 最 大 值 时 ， 动 点 M 相 应 的 位 置 记 为 点 M′． ①写 出 点 M′的 坐 标 ； ②将 直 线 l 绕 点 A 按 顺 时 针 方 向 旋 转 得 到 直 线 l′， 当 直 线 l′与 直 线 AM′重 合 时 停 止 旋 转 ，在 旋 转 过 程 中 ，直 线 l′与 线 段 BM′交 于 点 C，设 点 B、M′到 直 线 l′的 距 离 分 别 为 d1、 d2， 当 d1+d 2 最 大 时 ， 求 直 线 l′旋 转 的 角 度（ 即 ∠BAC 的 度 数 ）． 【 考 点 】 二 次 函 数 综 合 题 ． 【 分 析 】（ 1） 利 用 直 线 l 的 解 析 式 求 出 B 点 坐 标 ， 再 把 B 点 坐 标 代 入 二 次 函 数 解 析 式 即 可 求 出 a 的 值 ； （ 2）过 点 M 作 ME⊥y 轴 于 点 E，交 AB 于 点 D，所 以 △ABM 的 面 积 为 DM•OB， 设 M 的 坐 标 为（ m，﹣ m2+2m+3），用 含 m 的 式 子 表 示 DM，然 后 求 出 S 与 m 的 函 数 关 系 式 ， 即 可 求 出 S 的 最 大 值 ， 其 中 m 的 取 值 范 围 是 0＜ m＜ 3； （ 3） ①由 （ 2） 可 知 m= ， 代 入 二 次 函 数 解 析 式 即 可 求 出 纵 坐 标 的 值 ； ②过 点 M′作 直 线 l1∥l′，过 点 B 作 BF⊥l1 于 点 F，所 以 d1+d2=BF，所 以 求 出 BF 的 最 小 值 即 可 ，由 题 意 可 知 ，点 F 在 以 BM′为 直 径 的 圆 上 ，所 以 当 点 F 与 M′重 合 时 ， BF 可 取 得 最 大 值 ． 【 解 答 】 解 ：（ 1） 令 x=0 代 入 y=﹣ 3x+3， ∴y=3， ∴B（ 0， 3）， 把 B（ 0， 3） 代 入 y=ax 2﹣ 2ax+a+4， ∴3=a+4， ∴a=﹣ 1， ∴二 次 函 数 解 析 式 为 ： y=﹣ x2+2x+3； （ 2） 令 y=0 代 入 y=﹣ x2+2x+3， ∴0=﹣ x2+2x+3， ∴x=﹣ 1 或 3， ∴抛 物 线 与 x 轴 的 交 点 横 坐 标 为 ﹣ 1 和 3， ∵M 在 抛 物 线 上 ， 且 在 第 一 象 限 内 ， ∴0＜ m＜ 3， 过 点 M 作 ME⊥y 轴 于 点 E， 交 AB 于 点 D， 由 题 意 知 ： M 的 坐 标 为 （ m， ﹣ m2+2m+3）， ∴D 的 纵 坐 标 为 ： ﹣ m2+2m+3， ∴把 y=﹣ m2+2m+3 代 入 y=﹣ 3x+3， ∴x= ， ∴D 的 坐 标 为 （ ， ﹣ m2+2m+3）， ∴DM=m﹣ = ， ∴S= DM•BE+ DM•OE = DM（ BE+OE） = DM•OB = × ×3 = = （ m﹣ ） 2+ ∵0＜ m＜ 3， ∴当 m= 时 ， S 有 最 大 值 ， 最 大 值 为 ； （ 3） ①由 （ 2） 可 知 ： M′的 坐 标 为 （ ， ）； ②过 点 M′作 直 线 l1∥l′， 过 点 B 作 BF⊥l1 于 点 F， 根 据 题 意 知 ： d1+d 2=BF， 此 时 只 要 求 出 BF 的 最 大 值 即 可 ， ∵∠BFM′=90°， ∴点 F 在 以 BM′为 直 径 的 圆 上 ， 设 直 线 AM′与 该 圆 相 交 于 点 H， ∵点 C 在 线 段 BM′上 ， ∴F 在 优 弧 上 ， ∴当 F 与 M′重 合 时 ， BF 可 取 得 最 大 值 ， 此 时 BM′⊥l1， ∵A（ 1， 0）， B（ 0， 3）， M′（ ， ）， ∴由 勾 股 定 理 可 求 得 ： AB= ， M′B= ， M′A= ， 过 点 M′作 M′G⊥AB 于 点 G， 设 BG=x， ∴由 勾 股 定 理 可 得 ： M′B2﹣ BG 2=M′A2﹣ AG 2， ∴ ﹣ （ ﹣ x） 2= ﹣ x2， ∴x= ， cos∠M′BG= = ， ∵l1∥l′， ∴∠BCA=90°， ∠BAC=45° 2016 年 6 月 30 日