2016年连云港市中考数学试题解析版

江苏省连云港市 2016 年中考数学试卷（word 版含解析） 一、选择题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1．有理数﹣1，﹣2，0，3 中，最小的数是（ ） A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．3 【分析】先求出|﹣1|=1，|﹣2|=2，根据负数的绝对值越大，这个数就越小得到﹣2＜﹣1，而 0 大于任何负数，小于任何正数，则有理数﹣1，﹣2，0，3 的大小关系为﹣2＜﹣1＜0＜3． 【解答】解：∵|﹣1|=1，|﹣2|=2， ∴﹣2＜﹣1， ∴有理数﹣1，﹣2，0，3 的大小关系为﹣2＜﹣1＜0＜3． 故选 B． 【点评】本题考查了有理数的大小比较：0 大于任何负数，小于任何正数；负数的绝对值越 大，这个数就越小． 2．据市统计局调查数据显示，我市目前常住人口约为 4470000 人，数据“4470000”用科学记 数法可表示为（ ） A．4.47×106 B．4.47×107 C．0.447×107 D．447×104 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数 绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：数据“4470000”用科学记数法可表示为 4.47×106． 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“美”字一面相对面是的字 是（ ） A．丽 B．连 C．云 D．港 【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是必须相隔一个正方形，据此作答． 【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “美”与“港”是相对面， “丽”与“连”是相对面， “的”与“云”是相对面． 故选 D． 【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入 手，分析及解答问题． 4．计算：5x﹣3x=（ ） A．2x B．2x2 C．﹣2x D．﹣2 【分析】原式合并同类项即可得到结果． 【解答】解：原式=（5﹣3）x=2x， 故选 A 【点评】此题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解本题的关键． 5．若分式 的值为 0，则（ ） A．x=﹣2 B．x=0 C．x=1 D．x=1 或﹣2 【分析】根据分式的值为 0 的条件列出关于 x 的不等式组，求出 x 的值即可． 【解答】解：∵分式 的值为 0， ∴ ，解得 x=1． 故选：C． 【点评】本题考查的是分式的值为 0 的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等 于零，根据此条件列出关于 x 的不等式组是解答此题的关键． 6．姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲： 函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y 值随 x 值的 增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的这个函数表达式可能是（ ） A．y=3x B． C． D．y=x2 【分析】可以分别写出选项中各个函数图象的特点，与题目描述相符的即为正确的，不符的 就是错误的，本题得以解决． 【解答】解：y=3x 的图象经过一三象限过原点的直线，y 随 x 的增大而增大，故选项 A 错 误； 的图象在一、三象限，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，故选项 B 正确； 的图象在二、四象限，故选项 C 错误； y=x2 的图象是顶点在原点开口向上的抛物线，在一、二象限，故选项 D 错误； 故选 B． 【点评】本题考查反比例函数的性质、正比例函数的性质、二次函数的性质，解题的关键是 明确它们各自图象的特点和性质． 7．如图 1，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为 S1、S2、S3；如图 2，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别 为 S4、S5、S6．其中 S1=16，S2=45，S5=11，S6=14，则 S3+S4=（ ） A．86 B．64 C．54 D．48 【分析】分别用 AB、BC 和 AC 表示出 S1、S2、S3，然后根据 AB2=AC2+BC2 即可得出 S1、 S2、S3 的关系．同理，得出 S4、S5、S6 的关系． 【解答】解：如图 1，S1= AC2，S2= BC2，S3= AB2． ∵AB2=AC2+BC2， ∴S1+S2=AC2+BC2=AB2=S3， 如图 2，S4=S5+S6， ∴S3+S4=16+45+11+14=86． 故选 A． 【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质．勾股定理：如果直角三角形的两条直角 边长分别是 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2． 8．如图，在网格中（每个小正方形的边长均为 1 个单位）选取 9 个格点（格线的交点称为 格点）．如果以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内，则 r 的取值范围为（ ） A．2 ＜r＜ B． ＜r＜3 C． ＜r＜5 D．5＜r＜ 【分析】如图求出 AD、AB、AE、AF 即可解决问题． 【解答】解：如图，∵AD=2 ，AE=AF= ，AB=3 ， ∴AB＞AE＞AD， ∴ ＜r＜3 时，以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆 内， 故选 B． 【点评】本题考查点由圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，理解 题意，属于中考常考题型． 二、填空题（本大题共有 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．不需要写出解答过程，请把答案 直接填写在答题卡相应位置上．） 9．化简： ═ 2 ． 【分析】直接利用立方根的定义即可求解． 【解答】解：∵23=8 ∴ =2． 故填 2． 【点评】本题主要考查立方根的概念，如果一个数 x 的立方等于 a，那么 x 是 a 的立方根． 10．分解因式：x2﹣36= （x+6）（x﹣6） ． 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=（x+6）（x﹣6）， 故答案为：（x+6）（x﹣6） 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 11．在新年晚会的投飞镖游戏环节中，7 名同学的投掷成绩（单位：环）分别是：7，9，9， 4，9，8，8，则这组数据的众数是 9 ． 【分析】直接利用众数的定义得出答案． 【解答】解：∵7，9，9，4，9，8，8，中 9 出现的次数最多， ∴这组数据的众数是：9． 故答案为：9． 【点评】此题主要考查了众数的定义，正确把握定义是解题关键． 12．如图，直线 AB∥CD，BC 平分∠ABD，若∠1=54°，则∠2= 72° ． 【分析】由 AB∥CD，根据平行线的性质找出∠ABC=∠1，由 BC 平分∠ABD，根据角平 分线的定义即可得出∠CBD=∠ABC，再结合三角形的内角和为 180°以及对顶角相等即可得 出结论． 【解答】解：∵AB∥CD，∠1=54°， ∴∠ABC=∠1=54°， 又∵BC 平分∠ABD， ∴∠CBD=∠ABC=54°． ∵∠CBD+∠BDC=∠DCB=180°，∠1=∠DCB，∠2=∠BDC， ∴∠2=180°﹣∠1﹣∠CBD=180°﹣54°﹣54°=72°． 故答案为：72°． 【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是 找出各角的关系．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出 相等（或互补）的角是关键． 13．已知关于 x 的方程 x2+x+2a﹣1=0 的一个根是 0，则 a= ． 【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把 x=0 代入方程，即可得到 一个关于 a 的方程，即可求得 a 的值． 【解答】解：根据题意得：0+0+2a﹣1=0 解得 a= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根一定满足该方程的解析式． 14．如图，正十二边形 A1A2…A12，连接 A3A7，A7A10，则∠A3A7A10= 75° ． 【分析】如图，作辅助线，首先证得 = ⊙O 的周长，进而求得 ∠A3OA10= =150°，运用圆周角定理问题即可解决． 【解答】解：设该正十二边形的圆心为 O，如图，连接 A10O 和 A3O， 由题意知， = ⊙O 的周长， ∴∠A3OA10= =150°， ∴∠A3A7A10=75°， 故答案为：75°． 【点评】此题主要考查了正多边形及其外接圆的性质及圆周角定理，作出恰当的辅助线，灵 活运用有关定理来分析是解答此题的关键． 15．如图 1，将正方形纸片 ABCD 对折，使 AB 与 CD 重合，折痕为 EF．如图 2，展开后再 折叠一次，使点 C 与点 E 重合，折痕为 GH，点 B 的对应点为点 M，EM 交 AB 于 N．若 AD=2，则 MN= ． 【分析】设正方形的边长为 2a，DH=x，表示出 CH，再根据翻折变换的性质表示出 DE、 EH，然后利用勾股定理列出方程求出 x，再根据相似三角形的判定性质，可得 NE 的长，根 据线段的和差，可得答案． 【解答】解：设 DH=x，CH=2﹣x， 由翻折的性质，DE=1， EH=CH=2﹣x， 在 Rt△DEH 中，DE2+DH2=EH2， 即 12+x2=（2﹣x）2， 解得 x= ，EH=2﹣x= ． ∵∠MEH=∠C=90°， ∴∠AEN+∠DEH=90°， ∵∠ANE+∠AEN=90°， ∴∠ANE=∠DEH， 又∠A=∠D， ∴△ANE∽△DEH， = ，即 = ， 解得 EN= ， MN=ME﹣BC=2﹣ = ， 故答案为： ． 【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数，设出 DH 的长，然 后利用勾股定理列出方程是解题的关键，也是本题的难点． 16．如图，⊙P 的半径为 5，A、B 是圆上任意两点，且 AB=6，以 AB 为边作正方形 ABCD （点 D、P 在直线 AB 两侧）．若 AB 边绕点 P 旋转一周，则 CD 边扫过的面积为 9π ． 【分析】连接 PA、PD，过点 P 作 PE 垂直 AB 于点 E，延长 AE 交 CD 于点 F，根据垂径定 理可得出 AE=BE= AB，利用勾股定理即可求出 PE 的长度，再根据平行线的性质结合正方 形的性质即可得出 EF=BC=AB，DF=AE，再通过勾股定理即可求出线段 PD 的长度，根据 边与边的关系可找出 PF 的长度，分析 AB 旋转的过程可知 CD 边扫过的区域为以 PF 为内圆 半径、以 PD 为外圆半径的圆环，根据圆环的面积公式即可得出结论． 【解答】解：连接 PA、PD，过点 P 作 PE 垂直 AB 于点 E，延长 AE 交 CD 于点 F，如图所 示． ∵AB 是⊙P 上一弦，且 PE⊥AB， ∴AE=BE= AB=3． 在 Rt△AEP 中，AE=3，PA=5，∠AEP=90°， ∴PE= =4． ∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB∥CD，AB=BC=6， 又∵PE⊥AB， ∴PF⊥CD， ∴EF=BC=6，DF=AE=3，PF=PE+EF=4+6=10． 在 Rt△PFD 中，PF=10，DF=3，∠PFE=90°， ∴PD= = ． ∵若 AB 边绕点 P 旋转一周，则 CD 边扫过的图形为以 PF 为内圆半径、以 PD 为外圆半径 的圆环． ∴S=πPD2﹣πPF2=109π﹣100π=9π． 故答案为：9π． 【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质以及圆环的面积公式，解题的关键 是分析出 CD 边扫过的区域的形状．本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型 题目时，结合 AB 边的旋转，找出 CD 边旋转过程中扫过区域的形状是关键． 三、解答题（本大题共 11 小题，共 102 分．请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算：（﹣1）2016﹣（2﹣ ）0+ ． 【分析】原式利用乘方的意义，零指数幂法则，以及算术平方根定义计算即可得到结果． 【解答】解：原式=1﹣1+5 =5． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．解方程： ． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到 分式方程的解． 【解答】解：去分母得：2+2x﹣x=0， 解得：x=﹣2， 经检验 x=﹣2 是分式方程的解． 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验． 19．解不等式 ，并将解集在数轴上表示出来． 【分析】先去分母、再去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 即可求出此不等式的解集， 再在数轴上表示出其解集即可． 【解答】解：去分母，得：1+x＜3x﹣3， 移项，得：x﹣3x＜﹣3﹣1， 合并同类项，得：﹣2x＜﹣4， 系数化为 1，得：x＞2， 将解集表示在数轴上如图： 【点评】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集的应用，解此题的关键 是能正确求出不等式的解集． 20．某自行车公司调查阳光中学学生对其产品的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷，结 果分“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四种类型，分别记为 A、B、C、D．根 据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图． （1）本次问卷共随机调查了 50 名学生，扇形统计图中 m= 32 ． （2）请根据数据信息补全条形统计图． （3）若该校有 1000 名学生，估计选择“非常了解”、“比较了解”共约有多少人？ 【分析】（1）由 A 的数据即可得出调查的人数，得出 m= ×100%=32%； （2）求出 C 的人数即可； （3）由 1000×（16%+40%），计算即可． 【解答】解：（1）8÷16%=50（人），m= ×100%=32% 故答案为：50，32； （2）50×40%=20（人）， 补全条形统计图如图所示： （3）1000×（16%+40%）=560（人）； 答：估计选择“非常了解”、“比较了解”共约有 560 人． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图 中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统 计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想． 21．甲、乙两校分别有一男一女共 4 名教师报名到农村中学支教． （1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选 1 名，则所选的 2 名教师性别相同的概率是 ． （2）若从报名的 4 名教师中随机选 2 名，用列表或画树状图的方法求出这 2 名教师来自同 一所学校的概率． 【分析】（1）根据甲、乙两校分别有一男一女，列出树状图，得出所有情况，再根据概率 公式即可得出答案； （2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意画图如下： 共有 4 种情况，其中所选的 2 名教师性别相同的有 2 种， 则所选的 2 名教师性别相同的概率是 = ； 故答案为： ； （2）将甲、乙两校报名的教师分别记为甲 1、甲 2、乙 1、乙 2（注：1 表示男教师，2 表示 女教师），树状图如图所示： 所以 P（两名教师来自同一所学校）= = ． 【点评】本题考查列表法和树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用 列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏． 22．四边形 ABCD 中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E、F． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若 AC 与 BD 相交于点 O，求证：AO=CO． 【分析】（1）根据已知条件得到 BF=DE，由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°，根据全 等三角形的判定定理即可得到结论； （2）如图，连接 AC 交 BD 于 O，根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF，由平行线的 判定得到 AD∥BC，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵BE=DF， ∴BE﹣EF=DF﹣EF， 即 BF=DE， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED=∠CFB=90°， 在 Rt△ADE 与 Rt△CBF 中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CBF； （2）如图，连接 AC 交 BD 于 O， ∵Rt△ADE≌Rt△CBF， ∴∠ADE=∠CBF， ∴AD∥BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AO=CO． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三 角形的判定和性质是解题的关键． 23．某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来 到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住 7 人，那么有 7 人无房可住；如果每一间客房住 9 人，那么就空出一间房． （1）求该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费 20 钱，且每间客 房最多入住 4 人，一次性定客房 18 间以上（含 18 间），房费按 8 折优惠．若诗中“众客” 再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【分析】（1）设该店有客房 x 间，房客 y 人；根据题意得出方程组，解方程组即可； （2）根据题意计算：若每间客房住 4 人，则 63 名客人至少需客房 16 间，求出所需付费； 若一次性定客房 18 间，求出所需付费，进行比较，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该店有客房 x 间，房客 y 人； 根据题意得： ， 解得： ． 答：该店有客房 8 间，房客 63 人； （2）若每间客房住 4 人，则 63 名客人至少需客房 16 间，需付费 20×16=320 钱； 若一次性定客房 18 间，则需付费 20×18×0.8=288 千＜320 钱； 答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房 18 间更合算． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键． 24．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化 物的浓度超过最高允许的 1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在 15 天以内（含 15 天） 排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度 y（mg/L）与时间 x（天）的变化规律如 图所示，其中线段 AB 表示前 3 天的变化规律，从第 3 天起，所排污水中硫化物的浓度 y 与 时间 x 成反比例关系． （1）求整改过程中硫化物的浓度 y 与时间 x 的函数表达式； （2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在 15 天以内不超过最高允许的 1.0mg/L？为什 么？ 【分析】（1）分情况讨论：①当 0≤x≤3 时，设线段 AB 对应的函数表达式为 y=kx+b；把 A （0，0），B（3，4）代入得出方程组，解方程组即可；②当 x＞3 时，设 y= ，把（3，4） 代入求出 m 的值即可； （2）令 y= =1，得出 x=12＜15，即可得出结论． 【解答】解：（1）分情况讨论： ①当 0≤x≤3 时， 设线段 AB 对应的函数表达式为 y=kx+b； 把 A（0，0），B（3，4）代入得 ， 解得： ， ∴y=﹣2x+10； ②当 x＞3 时，设 y= ， 把（3，4）代入得：m=3×4=12， ∴y= ； 综上所述：当 0≤x≤3 时，y=﹣2x+10；当 x＞3 时，y= ； （2）能；理由如下： 令 y= =1，则 x=12＜15， 故能在 15 天以内不超过最高允许的 1.0mg/L． 【点评】本题考查了扬州市的应用、反比例函数的应用；根据题意得出函数关系式是解决问 题的关键． 25．如图，在△ABC 中，∠C=150°，AC=4，tanB= ． （1）求 BC 的长； （2）利用此图形求 tan15°的值（精确到 0.1，参考数据： =1.4， =1.7， =2.2） 【分析】（1）过 A 作 AD⊥BC，交 BC 的延长线于点 D，由含 30°的直角三角形性质得 AD= AC=2，由三角函数求出 CD=2 ，在 Rt△ABD 中，由三角函数求出 BD=16，即可 得出结果； （2）在 BC 边上取一点 M，使得 CM=AC，连接 AM，求出∠AMC=∠MAC=15°， tan15°=tan∠AMD= 即可得出结果． 【解答】解：（1）过 A 作 AD⊥BC，交 BC 的延长线于点 D，如图 1 所示： 在 Rt△ADC 中，AC=4， ∵∠C=150°， ∴∠ACD=30°， ∴AD= AC=2， CD=ACcos30°=4× =2 ， 在 Rt△ABD 中，tanB= = = ， ∴BD=16， ∴BC=BD﹣CD=16﹣2 ； （2）在 BC 边上取一点 M，使得 CM=AC，连接 AM，如图 2 所示： ∵∠ACB=150°， ∴∠AMC=∠MAC=15°， tan15°=tan∠AMD= = = ≈ ≈0.27≈0.3． 【点评】本题考查了锐角三角函数、含 30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角 形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx 经过两点 A（﹣1，1），B（2，2）．过 点 B 作 BC∥x 轴，交抛物线于点 C，交 y 轴于点 D． （1）求此抛物线对应的函数表达式及点 C 的坐标； （2）若抛物线上存在点 M，使得△BCM 的面积为 ，求出点 M 的坐标； （3）连接 OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得△AOC 与△OBN 相似（边 OA 与 边 OB 对应）的点 N 的坐标． 【分析】（1）把 A（﹣1，1），B（2，2）代入 y=ax2+bx 求得抛物线的函数表达式为 y= x2 ﹣ x，由于 BC∥x 轴，设 C（x0，2）．于是得到方程 x02﹣ x0=2，即可得到结论； （2）设△BCM 边 BC 上的高为 h，根据已知条件得到 h=2，点 M 即为抛物线上到 BC 的距 离为 2 的点，于是得到 M 的纵坐标为 0 或 4，令 y= x2﹣ x=0，或令 y= x2﹣ x=4，解方 程即可得到结论； （3）解直角三角形得到 OB=2 ，OA= ，OC= ，∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD= ① 如图 1，当△AOC∽△BON 时，求得 ON=2OC=5，过 N 作 NE⊥x 轴于 E，根据三角函数的 定义得到 OE=4，NE=3，于是得到结果；②如图 2，根据相似三角形的性质得到 BN=2OC=5， 过 B 作 BG⊥x 轴于 G，过 N 作 x 轴的平行线交 BG 的延长线于 F 解直角三角形得到 BF=4， NF=3 于是得到结论． 【解答】解：（1）把 A（﹣1，1），B（2，2）代入 y=ax2+bx 得： ，解得 ， 故抛物线的函数表达式为 y= x2﹣ x， ∵BC∥x 轴， 设 C（x0，2）． ∴ x02﹣ x0=2，解得：x0=﹣ 或 x0=2， ∵x0＜0， ∴C（﹣ ，2）； （2）设△BCM 边 BC 上的高为 h， ∵BC= ， ∴S△BCM= h= ， ∴h=2，点 M 即为抛物线上到 BC 的距离为 2 的点， ∴M 的纵坐标为 0 或 4，令 y= x2﹣ x=0， 解得：x1=0，x2= ， ∴M1（0，0），M2（ ，0），令 y= x2﹣ x=4， 解得：x3= ，x4= ，∴M3（ ，0），M4（ ，4）， 综上所述：M 点的坐标为：（0，0），（ ，0），（ ，0），（ ，4）； （3）∵A（﹣1，1），B（2，2），C（﹣ ，2），D（0，2）， ∴OB=2 ，OA= ，OC= ， ∴∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD= ， ①如图 1，当△AOC∽△BON 时， ，∠AOC=∠BON， ∴ON=2OC=5， 过 N 作 NE⊥x 轴于 E， ∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠BON=∠NOE， 在 Rt△NOE 中，tan∠NOE=tan∠COD= ， ∴OE=4，NE=3， ∴N（4，3）同理可得 N（3，4）； ②如图 2，当△AOC∽△OBN 时， ，∠AOC=∠OBN， ∴BN=2OC=5， 过 B 作 BG⊥x 轴于 G，过 N 作 x 轴的平行线交 BG 的延长线于 F， ∴NF⊥BF， ∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠OBN=∠NBF， ∴tan∠NBF=tan∠COD= ， ∴BF=4，NF=3， ∴N（﹣1，﹣2），同理 N（﹣2，﹣1）， 综上所述：使得△AOC 与△OBN 相似（边 OA 与边 OB 对应）的点 N 的坐标是（4，3）， （3，4），（﹣1，﹣2），（﹣2，﹣1）． 【点评】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同 学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质． 27．我们知道：光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线 分别在法线两侧，反射角等于入射角．如右图，AO 为入射光线，入射点为 O，ON 为法线 （过入射点 O 且垂直于镜面的直线），OB 为反射光线，此时反射角∠BON 等于入射角 ∠AON． 问题思考： （1）如图 1，一束光线从点 A 处入射到平面镜上，反射后恰好过点 B，请在图中确定平面 镜上的入射点 P，保留作图痕迹，并简要说明理由； （2）如图 2，两平面镜 OM、ON 相交于点 O，且 OM⊥ON，一束光线从点 A 出发，经过 平面镜反射后，恰好经过点 B．小昕说，光线可以只经过平面镜 OM 反射后过点 B，也可以 只经过平面镜 ON 反射后过点 B．除了小昕的两种做法外，你还有其它做法吗？如果有，请 在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由； 问题拓展： （3）如图 3，两平面镜 OM、ON 相交于点 O，且∠MON=30°，一束光线从点 S 出发，且 平行于平面镜 OM，第一次在点 A 处反射，经过若干次反射后又回到了点 S，如果 SA 和 AO 的长均为 1m，求这束光线经过的路程； （4）如图 4，两平面镜 OM、ON 相交于点 O，且∠MON=15°，一束光线从点 P 出发，经 过若干次反射后，最后反射出去时，光线平行于平面镜 OM．设光线出发时与射线 PM 的夹 角为θ（0°＜θ＜180°），请直接写出满足条件的所有θ的度数（注：OM、ON 足够长） 【分析】（1）如图 1，作 A 关于平面镜 ML 的对称点 A′，连接 A′B 交 ML 于点 P，则点 P 即为所求，只要证明∠3=∠4 即可． （2）如图 2，作 A 关于 OM 的对称点 A′，作 B 关于 ON 的对称点 B′，连接 A′B′分别交 OM、 ON 于点 P、Q． （3）如图 3，光线的行进路线为 S→A→B→C→B→A→S，则光线的行进路线为 A→P→Q→B， 求出 SA+AB+BC+CB+BA+AS 即可． （4）θ=30°，60°，90°，120°，150°，分别作出图形即可解决问题． 【解答】解：（1）如图 1，作 A 关于平面镜 ML 的对称点 A′，连接 A′B 交 ML 于点 P，则 点 P 即为所求． 证明：如图作 PN⊥ML， ∵A 与 A′关于 ML 对称， ∴∠1=∠2， ∵∠2+∠3=90°，∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴∠1+∠4=90°， ∴∠3=∠4， ∴AP 是入射光线，PB 是反射光线，P 即为入射点． （2）如图 2，作 A 关于 OM 的对称点 A′，作 B 关于 ON 的对称点 B′，连接 A′B′分别交 OM、 ON 于点 P、Q． 则光线的行进路线为 A→P→Q→B． （3）如图 3，光线的行进路线为 S→A→B→C→B→A→S． ∵∠SAN=∠OAB=∠MON=∠30°， ∴OB=BA， ∵BC⊥ON， ∴CA= OA= ， ∴AB= ，BC= ， ∴这束光线经过的路程为：SA+AB+BC+CB+BA+AS=（1+ + ）×2=2+ ． （4）θ=30°，60°，90°，120°，150°．理由如图所示， 【点评】本题考查轴对称、翻折变换等知识，解题的关键是充分利用反射角等于入射角解决 问题，第四个问题容易漏解，考虑问题要全面，属于中考压轴题．