08-09学年九年级数学上期中试卷

2008-2009 学年度 第一学期初三数学期中试卷 提示：请大家首先在规定时间内独立完成试卷，然后对照解析和点评，仔细琢磨、领悟每道题的解法，查 缺补漏。如果有另外的解法，欢迎跟帖。切忌在独立完成之前直接看解答。 班级 姓名 学号 一、选择题(本题共 40 分，每小题 4 分，在下列各题中的的四个选项中只有一个是正确的)： 1．方程(m-1)x2+mx+l=0 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值是( ) (A)任意实数 (B) m≠0 (C) m≠l (D) m≠-1 [解析]由一元二次方程的定义知， 1 0m  ，故选 C. [点评]本题考查一元二次方程的概念，属于基础题. 2．若 x2-6x+k2 是一个完全平方式，则 k 的值是( ) (A) 3 (B) -3 (C)±3 (D)以上都不对 [解析] 2 9, 3k k   ，选 C. [点评]本题考查完全平方式的概念，属于基础题. 3．下列一元二次方程中，两实根和为 5 的是( ) (A)x2-5x+8=0 (B) x2+5x-8=0 (C)x2+5x+8=0 (D) x2-5x-8=0 [解析] 1 2 5bx x a     ，故排除 B、C， 0  ，故排除 A，所以选 D. [点评]本题考查一元二次方程的根系关系和判别式. 4．如图，在同一直角坐标系中表示 y=ax2 和 y=ax+b(ab>O)的图象是( ) [解析]首先，由 0ab  可知 ,a b 同号，然后一个选项一个选项的判断：A 选项中，由二次函数的图像可知 0a  ，由一次函数的图像可知 0a  ，故排除 A，同理可以排除 B、C，只有 D 选项没有矛盾. [点评]这是一种常见题型，中考试卷中也屡见不鲜.这种题一是要读懂题意，看清题目中的每个条件，然后 就是一个选项一个选项的“找茬”，将有矛盾的选项依次排除. 5．四张完全相同的卡片上，分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现在从中随机抽取一张，卡片上 画的恰好是中心对称图形的概率为( ) (A) 1 4 (B) 1 2 (C) 3 4 (D) 1 [解析]这 4 个图形中，是中心对称图形的有圆和矩形，故从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称 图形的概率为 2 1 4 2  ，选 B. [点评]本题考查中心对称图形的概念，和基本的概率运算，不难. 6．仔细读一读以下四个命题：(1)等弦对等弧；(2)等弧对等弦；(3)平分一条弧和它所对的弦的直线必过 圆心；(4)平分弦的直径垂直于这条弦.其中正确的命题有( ) (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D)4 个 [解析]（1）和（2）都没有强调是在同圆或者等圆中，错；（3）和（4）都是垂径定理的推论，对.选 B [点评]本题考查圆中的基本概念和基本定理，这种题要求大家的基本功要扎实. 7．0 是△ABC 的内心，∠A=800，则∠BOC 的度数是( ) (A)1600 (B)1300 (C)1000 (D)400 [解析]画图，由内心定义可知 50OBC OCB     ,故 130BOC   ，选 B. [点评]本题考查“内心”的概念，以及画图、计算的能力，简单. 8．一个圆锥形冰淇淋纸筒(无盖)，其底面直径为 6cm，母线长为 5cm，做成一个这样的纸筒所需纸片的面 积是( ) (A) 66 cm2 (B) 28 cm2 (C) 30 cm2 (D) 15 cm2 [解析]由题意，做成一个这样的纸筒所需纸片的面积，等于这个圆锥的侧面积，即 3 5 15   （cm2 ）， 选 D. [点评]本题考查圆锥侧面积的计算，比较简单. 9．⊙ 1O 和⊙ 2O 的半径分别为 l 和 3，⊙ 1O 和⊙ 2O 外切，则半径为 4 且与⊙ 1O 和⊙ 2O 和都相切的圆有( ) (A) 2 个 (B) 3 个 (C) 4 个 (D) 5 个 [解析]首先画图，设半径为 4 的是⊙ 3O ,由题意可知，本题有 4 种情况： （1）⊙ 3O 和⊙ 1O 内切，和⊙ 2O 外切； （2）⊙ 3O 和⊙ 1O 外切，和⊙ 2O 内切； （3）⊙ 3O 和⊙ 1O 、⊙ 2O 都外切，此时 1 2 1 3 3 24, 5, 7O O O O O O   ，可以做到，并且这样的⊙ 3O 有 2 个； （4）⊙ 3O 和⊙ 1O 、⊙ 2O 都内切，此时 1 2 1 3 3 24, 3, 1O O O O O O   ，可以做到，此时 3O 在线段 1 2O O 上， 并且到 2O 的距离为 1. 综上所述，本题有 4 种情况，符合条件的圆有 5 个，选 D. [点评]本题考查圆与圆的位置关系，要求考虑到所有情况，并且判断每种情况是否成立，比较难. 10．如上图，画有脸谱的圆与⊙0 的半径相等，并绕⊙0 按逆时针方向做无滑动的滚动(⊙0 固定)，则其中 四个位置完全正确的是( ) [解析]想象一下即可，选 C. [点评]本题考查旋转和想象能力，属于基础题. 二、填空题(本题共 24 分，每小题 4 分)： 11．如果 2 3 是方程 x2-cx+l=0 的一个根，那么 c 的值是 . [解析]设 1 2 3x   ，由于 1 2 1x x  ，故 2 2 3x   ，所以 1 2 4x x c   . [点评]本题考查根系关系，属于基础题. 12．己知抛物线 y=3x2+4(a+1)x+3 的顶点在 x 轴上，那么 a 的值是 ． [解析] 2 9, 3k k   ，选 C 由题意可知，顶点纵坐标为 0，故 24 3 3 [4( 1)] 04 3 a     ，解得 1 5 2 2a  或- . [点评]本题考查抛物线的顶点坐标公式，以及 x 轴上的点的坐标特点，不难. 13．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有 40 个，除颜色外其它完全相同，小李通过多 次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别为 O.1 5 和 0.45，则口袋中白色球的数目很可能是 . [解析]因为是“多次摸球试验”以后，故口袋中白色球的数目很可能是 40 (1 0.15 0.45) 16    （个）. [点评]本题考查数据统计与分析的基本知识，简单. 14．如图，将△ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 250，B 点落在 B位置，A 点落在 A位置，若 AC A B  , 则∠BAC 的度数是 . [解析]由题意， 90 90 25 65BAC B A C ACA               . [点评]本题考查旋转、垂直等几何概念以及几何计算的能力，属于基础题. 15．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图 放置于桌面上，并量出 AB=3.5cm，则此光盘的直径是 cm． [ 解 析 ] 如 图 ， 设 圆 心 为 O ， 作 OC 垂 直 三 角 板 的 斜 边 于 C 点 ， 则 △ OAC ≌ △ OAB (HL) ， 故 60OAC OAB     ， 73 32OB AB  ，所以此光盘的直径是 7 3 cm. [点评]本题考查直线和圆的位置关系、三角形全等、特殊三角形的边角关系等，有一定的综合性. 16．如图，某大学的校门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽为 8m，两侧距地面 4m 高处各有一个挂校 名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为 6m，则校门的高为 m(精确到 0.1m，水泥建筑物厚度忽略 不计)． [解析]如图建立平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为 2 ( 0)y ax a  ，由题意，设 A 点坐标为 (3, )y ， 则 B 点坐标为 (4, 4)y  ，代入解得 4 7a   ，故此抛物线的解析式为 24 7y x  ，当 4x  时， 64 7y   ， 所以校门的高为9.1m. [点评]本题是一道实际问题，要求自己建立坐标系，然后用待定系数法求解抛物线的解析式，并要求能将 抛物线上的点及坐标与题目中的实际量对应上，较难.本题建立坐标系的方法不唯一. 三、解答题(本题共 47 分)： 17. (本小题 6 分)．解方程：2x2-2x-1=O [解析]法一：原式可以变形为 2 1 32( ) 04 2x x    21 32( )2 2x   21 3( )2 4x   1 3 2 2x    1 3 1 2x   2 1 3 2x  . 法二：应用求根公式. [点评]本题考查一元二次方程的求解，属于基础题. 18. (本小题 6 分)．已知关于 x 的方程 kx2-4kx+k-5=0 有两个相等的实数根，求 k 的值并解这个方程． [解析]∵原方程有两个相等的实数根 ∴ 0k  且 0  即 216 4 ( 5) 0k k k   ∴ 5 3k   或 0k  (舍) ∴原方程可化为: 25 20 20 03 3 3x x    ∴ 25 ( 4 4) 03 x x    ∴ 2( 2) 0x   ∴ 2x  1 2 2x x  . [点评]本题考查一元二次方程根的情况与判别式之间的关系，注意既然题目中说此方程有两个相等的实数 根，则此方程必为一元二次方程，所以 0k  . 19. (本小题 6 分)．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=-x 绕点 O 顺时针旋转 900 得到直线 l，直线 l 与二 次函数 y=x2+bx+2 图象的一个交点为(m,3),试求二次函数的解析式. [解析] 2 9, 3k k   ，选 C 由题意，直线l 的解析式为 y x ，将 ( ,3)m 代入，解得 3m  . 将（3，3）代入二次函数的解析式，解得 8 3b   ∴二次函数的解析式为 2 8 23y x x   . [点评]本题考查直线的旋转、直线和抛物线的交点、待定系数法，不难. 20. (本小题 6 分)．小明、小亮和小强三人准备下象棋，他们约定用 “抛硬币”的游戏方式来确定哪两个 人先下棋，规则如下图： (1)请你画出表示游戏一个回合所有可能出现的结果的树状图： (2)求一个回合能确定两人先下棋的概率． [解析] （2）根据树状图可得，所有可能出现的情况为 8 种,能一个回合确定两人先下棋的可能为 6 种. ∴一个回合能确定两人先下棋的概率为 6÷8=0.75 答:一个回合能确定两人先下棋的概率为 0.75. [点评]本题首先要将题读懂，明白游戏的规则，然后细心画出树状图就可以基本上解决问题. 21. (本小题 7 分).机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为 90 千克，用油的重复利用率为 60％，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为 36 千克.为了建设节 约型社会，减少油耗，该企业的甲乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关. (1)甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70 千克，用油的重复利用率仍 为 60％，问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？ (2)乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且发现在技术革新 前的基础上，润滑用油量每减少 1 千克，用油的重复利用率将增加 1.6％，这样乙车间加工一台大型机械 设备的实际耗油量下降到 12 千克。问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克? 用油的重复利用率是多少? [解析](1)∵加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70 千克. 又∵用油的重复利用率仍为 60%,即实际耗油率为 100%-60%=40% ∴实际耗油量=70×40%=28(千克) 答:技术革新后,加工一台大型机械设备的实际耗油量是 28 千克. (2)解:设润滑用油量减少了 x 千克,所以用油的重复利用率增加了 0.016x. 根据题意:得 (90-x)(1-0.6-0.016x)=12 (90-x)(0.4-0.016x)=12 (90-x)(400-16x)=1200 解得:x1=15 x2=100 又∵x2=100＞90 ∴舍去 ∴加工一台大型机械设备的润滑用油量为 90-15=75(千克) 用油的重复利用率为 60%+15×1.6%=84% 答:加工一台大型机械设备的润滑用油量是 75 千克.用油的重复利用率是 84%. [点评]应用题最重要的是读懂题意.比如本题中出现的“用油的重复利用率”，到底什么意思？一来可以照 字面理解，二来题目中有解释：“按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为 36 千克”.总之， 如果题目意思没有弄明白，这样的题是没法完成的.本题还考了列一元二次方程解应用题.方程的解 要符合实际题目的要求. 22.(本小题 4 分)．阅读下面的例题： 解方程： 2 2 0x x   解：(1)当 x≥O 时，原方程化为 x2-x-2=0，解得：x1=2，x2=-1(不合题意，舍去)． (2)当 x＜O 时，原方程化为 x2+x-2=0，解得：x1=1(不合题意，舍去)，x2=-2 ∴原方程的根是 x1=2，x2=-2． 请参照例题解方程 2 3 3 0x x    ，则此方程的根是 ． [解析]（1）当 3x  时，原方程化为 2 3 3 0x x    .解得 1 0x  （不合题意，舍去）， 2 1x  （不合题 意，舍去）； （2）当 3x  时，原方程化为 2 3 3 0x x    .解得 1 3x   ， 2 2x  . 所以原方程的根是 1 3x   ， 2 2x  . [点评]本题首先要明白例题的解法：分类讨论.带有绝对值的方程，一般来讲，都要用零点分段法分类，一 类一类的求解.求出的解，一定要检验，看是否在这一类别中. 23.(本小题 6 分)如图．正方形 ABCD 中,E、F 分别在边 BC、CD 上，∠EAF=450，BE=2，CF=3． 求：正方形的边长． [解析]法一：延长CB 至G ，连接 AG 、 EF ，先证明△ ADF ≌△ ABG （SAS）， 故 45 AF AG EAF EAG AE AE         有△ AEF ≌△ AEG 所以 5EF EG  故由勾股定理， 2 2 4CE EF CF   从而正方形的边长为 4+2＝6. 法二：连结 AC,作 FG 垂直于 AC 于 G ∴∠CAB=450 即∠CAE+∠EAB=450,∠DCA=450 又∵∠FAG+∠EAC=450 ∴∠FAG=∠EAB 又∵四边形 ABCD 为正方形 ∴∠EBA=900=∠FGA ∴△EAB∽△FAG 又∵∠FGC=900 ∠FCG=450 ∴△FGC 为等腰直角三角形 又∵FC=3 ∴FG2+GC2=9 ∴FG=GC= 3 2 2 又∵△EAB∽△FAG ∴ FG AG EB AB  ∴ 3 2 4AG AB 又∵∠CAB=450 ∠B=900 ∴AB=BC 且 AB2+BC2=AC2 ∴ 2AC AB ∴ 2AG GC AB  ∴ 3 2 3 2 24 2AB AB  ∴ 1 3 4 2AB  ∴AB=6 即正方形的边长为 6. [点评]本题是一类非常非常常见的题型，.方法一的辅助线的画法，实质上是利用旋转，将分散的条件集中 起来，通过三角形全等、勾股定理来解决问题.方法二是某学生在实际考试中的做法，是利用相似形、三角 形全等、等腰直角三角形、方程等方法解决问题，反映出这名学生扎实的功底，但有点繁琐了.像这样的常 见题型和基本图形要熟悉. 24.(本小题 6 分)．己知：如图，⊙D 交 y 轴于 A、B，交 x 轴于 C，过点 C 的直线 2 2 8y x   与 y 轴交 于 P，D 点坐标(0,1) 求证：PC 是⊙D 的切线． [解析]∵直线 2 2 8y x   交于 x 轴于点 C,交 y 轴于 P ∴点 C.P 坐标分别为( 2 2,0 ),(0,-8) ∴OC= 2 2 OP=8 又∵∠COP=900 ∴PC2=OC2+OP2 ∴PC= 6 2 6 2或 又∵ 6 2 ＜0 ∴舍去 ∵点 D 坐标为(0,1) ∴DO=1 又∵OC= 2 2 ∠DOC=900 ∴DC2=DO2+OC2=9 ∴DC=3 或-3 又∵-3＜0 ∴舍去 又∵DO=1 OP=8 ∴DP=9 又∵DP2=81=72+9=PC2+DC2 ∴∠DCP=900 即 PC 是⊙D 的切线. [点评]本题是一道综合题，考查的知识点比较多：坐标系、圆、一次函数、直线与圆的位置关系、坐标与 长度之间的关系、勾股定理等，这种几何与代数结合的题，首先要求大家基本功扎实，其次还要能将所学 的知识融会贯通，综合应用. 四、解答题(本题 9 分)： 25．矩形 ABCD 的边长 AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系中，使 AB 在 x 轴的正半轴上，点 A 在点 B 的左侧，另两个顶点都在第一象限，且直线 3 12y x  经过这两个顶点中的一个． (1)求 A、B、C、D 四点坐标． (2)以 AB 为直径作⊙M，记过 A、B 两点的抛物线 2y ax bx c   的顶点为 P． ①若 P 点在⊙M 和矩形内，求 a 的取值范围． ②过点 C 作 CF 切⊙M 于 E，交 AD 于 F，当 PF // AB 时，求抛物线的函数解析式. [解析](1)首先画图.设点 A 坐标为(x,0) 又∵AB=3 AD=2 且点 A 在点 B 的左侧.AB 在 x 轴的正半轴上. 又∵ABCD 为矩形,则点 B、C、D 的坐标分别为(x+3,0),(x+3,2)，(x,2) ∴直线 3 12y x  经过这两个顶点中的一个.当其经过点 C 时,  3 3 32 x   ∴x=-1 又∵点 A 在 x 轴正半轴上 ∴x＞0 ∴x=-1 舍去 当其经过点 D 时, 3 1 22 x   ∴x=2，符合题意. ∴A.B.C.D 四点坐标分别为(2,0) (5,0) (5,2) (2,2) (2)①∵此抛物线过点 A.B ∴可设抛物线的解析式为 )0(107)5)(2( 2  aaaxaxxxay ∴其顶点 P 的坐标为 7 9,2 4 a    而⊙M 的圆心 M 的坐标为 )0,2 7( ，半径为 2 3 ∴若 P 点在⊙M 和矩形内，则 2 3 4 90  a ， ∴ 03 2  a . ②设点 F 坐标为 ),2( y ，则 yFA  ∵CF 切⊙M 于 E，CB、FA 均为⊙M 的切线，故△CBM≌△CEM(HL),△FAM≌△FEM(HL) ∴CB=CE=2,FA=FE= y , FMEFMACMECMB  , ∴  90FMC 在 Rt△FAM 中，有 4 92222  yAMFAFM 在 Rt△CEM 中，有 4 25 4 94222  EMCECM 在 Rt△CFM 中，有 222 FMCMCF  ∴ 4 25 4 9)2( 22  yy 解得 8 9y 故 P 点纵坐标 8 9 4 9  a ， 2 1a ∴此抛物线的函数解析式为 52 7 2 1)5)(2(2 1 2  xxxxy [点评]本题综合性较强，有相当难度. （1）首先要能根据题意，正确的画出图形，写出四个点的坐标，还要注意分类讨论.求得解后要检验. （2）①设抛物线解析式的时候，此题应根据题意设两点式.很多同学不动脑筋，只知道设一般式，然后用 待定系数法，在这题里是比较繁琐的.得到 P 点坐标的表达式后，应注意到 P 点的横坐标是定值，等于 M 点的横坐标，如果不注意到这一点，也可能找不到最简捷的解法. ②题目条件众多且较复杂，要想考试时很快切入解题要点，需要在平时多练习、多思考.这题的关键是 利用直线 CF,FA,CB 和圆的相切关系，判断并且证明两对全等三角形，然后利用勾股定理列方程求解.这是 解决几何计算问题的常用手段. 五、选做题(本题共 6 分，每小题 3 分)： 26.如图，在⊙O 中，弦 AB⊥AC，AB=a，AC=b，弦 AD 平分∠BAC．求 AD 的长(用 a、b 表示). [解析]连接 BC,BD,CD，设 BC 交 AD 于 E ∵AB⊥AC, ∴BC 经过 O 点. ∵AD 平分∠BAC，∴  45CBDCADBCDBAD ∴ 2 22, 22 22 baBDCDbaBC  ∵ ADCABEDACBAE  , ，∴△ABE∽△ADC, ∴ AD AB CD BE  同理，△CDE∽△ADC, ∴ AD CD AC CE  ∴ CDACADCECDABADBE  , ,两式相加，得 CDACABADCEBE  )()( 解得 )(2 2 baAD  [点评]难题.方法较多，如应用正弦定理或者余弦定理等.解析中的方法充分利用了圆的性质，结合相似形 求解. 27.如图,在平面直角坐标系中，以点 P(1，-1)为圆心，2 为半径作圆，交 x 轴 A、B 两点，抛物线 y=ax2+bx+c(a＞O)过点 A、B，且顶点 C 在⊙P 上． (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上是否存在一点 D,使线段 OC 与 PD 互相平分?若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说 明理由． [解析]（1）作 ABPE  于 E ，连接 PA，则 PA=2,PE=1, ∴ 3AE ∵E 点坐标为（1，0），∴A 点坐标为 )0,31(  ，B 点坐标为 )0,31(  ∴可设抛物线的解析式为 )0(22)31)(31( 2  aaaxaxxxay ∴其顶点 C 的坐标为 )3,1( a 而⊙P 的圆心 P 的坐标为 )1,1(  ，半径为 2 ∴ 1,33  aa ∴此抛物线的解析式为 222  xxy （2）设存在这样的点 D，坐标为（ 22, 2  xxx ） ∵线段 OC 与 PD 互相平分，∴四边形 OPCD 为平行四边形. ∵OD∥PC,P、C 两点的横坐标相等，∴O、D 两点的横坐标也相等. ∴D 点坐标为（0，-2） ∴直线 DC 的解析式为 2 xy ，直线 OP 的解析式为 xy  ∴OP∥DC ∴抛物线上存在一点 D(0,-2),使线段 OC 与 PD 互相平分. [点评]本题较难.（1）类似于 25 题，（2）是存在性问题，这种题一般都假设要求的点存在，然后进行数学 推导.要求对平行四边形的判定、一次函数、直线平行等知识熟练掌握.