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初中 2015 年一诊检测试题
数 学
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共 4 页，答题卡共 6 页．满分 140 分，考
试时间 120 分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号用 0.5 毫米黑色签字笔填写在答题卡上，并
认真核对条形码上的姓名、考号．
2．选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦
干净后再选涂其它答案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出
答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后将答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题，共 36 分）
一．选择题（本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分，每个小题给出的四个选项中只
有一项是符合要求的）
1. 下列方程中是一元二次方程的是
A． 2x+1=0 B．y2+x=1 C． x2+1=0 D．
x
1 + x 2=1
2. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是
A B C D
3. 若⊙O 的半径为 5cm，点 A 到圆心 O 的距离 OA=3cm，则点 A 与圆 O 的位置关系为
A．点 A 在圆上 B．点 A 在圆内 C．点 A 在圆外 D．无法确定
4. 将抛物线 y=x2 向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到的抛物线的函数
表达式为
A．y=（x+3）2﹣2 B．y=（x-3）2+2 C．y=（x+3）2+2 D．y=（x﹣3）2﹣2
5.如图，正方形 OABC 绕着点 O 逆时针旋转 40°得到正方形 ODEF，
连接 AF，则∠OFA 的度数是[来源:Z-x-x-k.Com]
A．15° B．20° C．25° D．30°
6. 若关于 x 的方程 x2+3x+a=0 有一个根为﹣1，则另一个根为
A．﹣2 B． 2 C． 4 D．﹣3
7. 在平面直角坐标系中，点 P（﹣3，2）关于直线 y=x 对称点的坐标是
A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3）
8. 一次函数 y ax b 与二次函数 2y ax bx 在同一坐标系中的图像大致为
9. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，若直线 PA 与⊙O 相切于点 A，则∠PAB=
A．30° B．35° C．45° D．0°
10. 如图，直线 l 外不重合的两点 A、B，在直线 l 上求作一点 C，使得 AC+BC
的长度最短，作法为：①作点 B 关于直线 l 的对称点 B′；②连接 AB′与直
线 l 相交于点 C，则点 C 为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的
知识或方法是
A． 转化思想 B．两点之间，线段最短
C．三角形的两边之和大于第三边
D． 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
11. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，等腰梯形 ABCD 的顶点坐标分别
为 A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y 轴上一点
P（0，2）绕点 A 旋转 180°得点 P1，点 P1 绕点 B 旋转 180°得点 P2，点
P2 绕点 C 旋转 180°得点 P3，点 P3 绕点 D 旋转 180°得点 P4，……，重复
操作依次得到点 P1，P2，…， 则点 P2010 的坐标是
A．（2010，2） B．（2010，-2） C．（2012，-2） D．（0，2）
12. 如图，在⊙O 中，弦 AD 等于半径，B 为优弧 AD 上的一
动点，等腰△ABC 的底边 BC 所在直线经过点 D．若⊙O 的半
径等于 1，则 OC 的长不可能为
A.2﹣ 3 B. 3 ﹣1 C.2 D. 3 +1
第Ⅱ卷（非选择题，共 104 分）
二．填空题（共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，将答案填写在答题卡相应的横线上）
13. 在平面直角坐标系中，点 P（5，﹣2）关于原点（0，0）的对称点的坐标是 ．
14．已知正六边形 ABCDEF 的边心距为 3 cm，则正六边形的半径为 cm．
15．当 x=m 或 x=n（m≠n）时，代数式 x2﹣2x+3 的值相等，则 x=m+n 时，代数式 x2﹣2x+3
的值为 ．
16．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆
上的两点 A、B，并使 AB 与车轮内圆相切于点 D，半径为 OC⊥AB
交外圆于点 C．测得 CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半
径是 cm．
17．如图，平面直角坐标系的原点 O 是正方形 A′B′C′D′的中心，把
正方形 A′B′C′D′绕原点 O 顺时针旋转 45°得正方形 ABCD，且顶点
A、B 的坐标分别为（1，1）、（﹣1，1），则正方形 A′B′C′D′与正方
形 ABCD 重叠部分所形成的正八边形的周长为 ．
18．当﹣2≤x≤1 时，二次函数 y=﹣（x﹣m）2+m2+1 有最大值 4，则实数 m 的值为 ．
三．解答题（本大题共 7 个小题，共 86 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本小题共 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分）
（1）解方程： 22x 1 x 3x 2 7
（2）先化简，再求值：
22( ) (2 )(2 ) (2 )(3 )a b a b a b a b b a ，其中
2
1 ， 2b ．
20．（本题满分 11 分）如图，某小区有一块长为 18 米，
宽为 6 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形
绿地，它们的面积之和为 60 米 2，两块绿地之间及周边
留有宽度相等的人行通道．则人行道的宽度为多少米？
21. （本题满分 11 分）如图，在△ABC 中，∠CAB=90°，∠CBA=50°，
以 AB 为直径作⊙O 交 BC 于点 D，点 E 在边 AC 上，且满足 ED=EA．
（1）求∠DOA 的度数；
（2）求证：直线 ED 与⊙O 相切．
22. （本题满分 11 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x+m=0．
（1）若方程有实数根，求实数 m 的取值范围；
（2）若方程两实数根为 x1，x2，且满足 5x1+2x2=2，求实数 m 的值．
23. （本题满分 11 分）某经销公司购进一种原料若干千克，价格为每千克 30 元。物价部
门规定其销售单价不高于每千克 60 元，不低于每千克 30 元．经市场调查发现：日销售量
y（千克）是销售单价 x（元）的一次函数，且当 x=60 时，y=80；x=50 时，y=100．在销售
过程中，每天还要支付其他费用 450 元．
（1）求出 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
24. （本题满分 12 分）如图，等边△ABC 内接于⊙O，P 是 上任
一点（点 P 不与点 A、B 重合）.连 AP、BP，过点 C 作 CM∥BP 交
PA 的延长线于点 M.
（1）求证：△PCM 是等边三角形。
（2）若 PA=1，PB=2，求四边形 PBCM 的面积.
25、（本题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 的 A、B 两个顶点在 x 轴
上，顶点 C 在 y 轴的负半轴上．已知 : 1:5OA OB ， OB OC ，△ABC 的面积
15ABCS ，抛物线 2 ( 0)y ax bx c a 经过 A、B、C 三点．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)设 E 是 y 轴右侧抛物线上异于点 B 的一个动点，过点 E
作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 F，过点 F 作 FG 垂直于 x 轴
于点 G，再过点 E 作 EH 垂直于 x 轴于点 H，得到矩形 EFGH．则
在点 E 的运动过程中，当矩形 EFGH 为正方形时，求出该正方形
的边长；
(3)在抛物线上是否存在异于 B、C 的点 M，使△MBC 中 BC
边上的高为 7 2 ？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
AB
（
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