2013年福州市初中质检数学试卷与答案

2013 年福州市初中毕业班质量检查 数 学 试 卷 (本卷共 4 页，三大题，共 22 小题；满分 150 分，考试时间 120 分钟) 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡的相应位置上，答在本试卷一律无效． 一、选择题(共 10 小题，每题 4 分，满分 40 分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填 涂) 1．计算－3＋3 的结果是 A．0 B．－6 C．9 D．－9 2．如图，AB∥CD，∠BAC＝120°，则∠C 的度数是 A．30° B．60° C．70° D．80° 3．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约 3 亿 5 千万人．350 000 000 用科学记数法表示为 A．3.5×107 B．3.5×108 C．3.5×109 D．3.5×1010 4．下列学习用具中，不是轴对称图形的是 5．已知 b＜0，关于 x 的一元二次方程(x－1)2＝b 的根的情况是 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个实数根 6．一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是 A． x≥－1 x＜2 B． x≤－1 x＞2 C． x＜－1 x≥2 D． x＞－1 x≤2 7．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．随机 在大正方形及其内部区域投针，若针扎到小正方形(阴影部分)的概率是1 9 ，则大、小两个正方形的边长 之比是 A．3∶1 B．8∶1 C．9∶1 D．2 2∶1 A B C D 第 2 题图 1 2 3 40 1 2 3 40 1 2 3 40 5 6 A B C D －3 －2 －1 1 2 30 第 7 题图 8．如图，已知△ABC，以点 B 为圆心，AC 长为半径画弧；以点 C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点 D， 且 A、D 在 BC 同侧，连接 AD，量一量线段 AD 的长，约为 A．1.0cm B．1.4cm C．1.8cm D．2.2cm 9．有一种公益叫“光盘”．所谓“光盘”，就是吃光你盘子中的食物， 杜绝“舌尖上的浪费”．某校九年级开展“光盘行动”宣传活动， 根据各班级参加该活动的总人次拆线统计图，下列说法正确的是 A．极差是 40 B．中位数是 58 C．平均数大于 58 D．众数是 5 10．已知一个函数中，两个变量 x 与 y 的部分对应值如下表： x … －2－ 3 … －2＋ 3 … 2－1 … 2＋1 … y … －2＋ 3 … －2－ 3 … 2＋1 … 2－1 … 如果这个函数图象是轴对称图形，那么对称轴可能是 A．x 轴 B．y 轴 C．直线 x＝1 D．直线 y＝x 二、填空题(共 5 小题，每题 4 分，满分 20 分；请将正确答案填在答题卡的相应位置) 11．分解因式：m2－10m＝________________． 12．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝____________度． 13．在一次函数 y＝kx＋2 中，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图象不经过第______象限． 14．若方程组 x＋y＝7 3x－5y＝－3，则 3(x＋y)－(3x－5y)的值是__________． 15．如图，边长为 6 的等边三角形 ABC 中，E 是对称轴 AD 上的一个动点，连接 EC， 将线段 EC 绕点 C 逆时针旋转 60°得到 FC，连接 DF．则在点 E 运动过程中， DF 的最小值是____________． 二、解答题(满分 90 分；请将正确答案及解答过程填在答题卡的相应位置．作图或添轴助线用铅笔画完， A B C 第 8 题图 第 9 题图 1 班 2 班 3 班 4 班 5 班 6 班 班级 总人次 20 30 10 0 50 60 40 70 80 50 80 59 45 62 58 九年级宣传“光盘行动” 总人次拆线统计图 A B C D 第 12 题图 A B C D E F 第 15 题图 再用黑色签字笔描黑) 16．(每小题 7 分，共 14 分) (1) 计算：(π＋3)0―|―2013|＋ 64×1 8 (2) 已知 a2＋2a＝－1，求 2a(a＋1)－(a＋2)(a－2)的值． 17．(每小题 8 分，共 16 分) (1) 如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D、E、F 分别是△ABC 三边的中点． 求证：四边形 ADEF 是菱形． (2) 一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用时间与以 最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 18．(10 分)有一个袋中摸球的游戏．设置了甲、乙两种不同的游戏规则： C A B D E F 第 17(1)题图 甲规则： 乙规则： 第一次 第二次 红 1 红 2 黄 1 黄 2 红 1 (红 1，红 1) (红 2，红 1) (黄 1，红 1) ② 红 2 (红 1，红 2) (红 2，红 2) (黄 1，红 2) (黄 2，红 2) 黄 1 (红 1，黄 1) ① (黄 1，黄 1) (黄 2，黄 1) 黄 2 (红 1，黄 2) (红 2，黄 2) (黄 1，黄 2) (黄 2，黄 2) 请根据以上信息回答下列问题： (1) 袋中共有小球_______个，在乙规则的表格中①表示_______，②表示_______； (2) 甲的游戏规则是：随机摸出一个小球后______(填“放回”或“不放回”)，再随机摸出一个小球； (3) 根据甲、乙两种游戏规则，要摸到颜色相同的小球，哪一种可能性要大，请说明理由． 19．(10 分)如图，由 6 个形状、大小完全相同的小矩形组成矩形网格．小矩形的顶点称为这个矩形网格的 格点．已知小矩形较短边长为 1，△ABC 的顶点都在格点上． (1) 格点 E、F 在 BC 边上，BE AF 的值是_________； (2) 按要求画图：找出格点 D，连接 CD，使∠ACD＝90°； (3) 在(2)的条件下，连接 AD，求 tan∠BAD 的值． 20．(12 分)如图，半径为 2 的⊙E 交 x 轴于 A、B，交 y 轴于点 C、D，直线 CF 交 x 轴负半轴于点 F，连接 红 1 红 2 黄 1 黄 2 红 2 红 1 黄 1 黄 2 黄 1 红 1 红 2 黄 2 黄 2 红 1 红 2 黄 1 第一次 第二次 A B CE F 第 19 题图 EB、EC．已知点 E 的坐标为(1，1)，∠OFC＝30°． (1) 求证：直线 CF 是⊙E 的切线； (2) 求证：AB＝CD； (3) 求图中阴影部分的面积． 21．(12 分)如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，DE＝2，线段 DE 在 AC 边上运动(端点 D 从点 A 开 始)，速度为每秒 1 个单位，当端点 E 到达点 C 时运动停止．F 为 DE 中点，MF⊥DE 交 AB 于点 M，MN ∥AC 交 BC 于点 N，连接 DM、ME、EN．设运动时间为 t 秒． (1) 求证：四边形 MFCN 是矩形； (2) 设四边形 DENM 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数解析式；当 S 取最大值时，求 t 的值； (3) 在运动过程中，若以 E、M、N 为顶点的三角形与△DEM 相似，求 t 的值． 22．(14 分)如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交于 A(1，0)、B(4，0)两点，与 y 轴交于 C(0， A B C D E O x y F 第 20 题图 A B C A B CD E M F N 第 21 题图 备用图 2)，连接 AC、BC． (1) 求抛物线解析式； (2) BC 的垂直平分线交抛物线于 D、E 两点，求直线 DE 的解析式； (3) 若点 P 在抛物线的对称轴上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有满足条件的 P 点坐标． 2013 年福州市初中毕业班质量检查 A B C O x y 第 22 题图 A B C O x y 备用图 数学试卷参考答案 一、选择题(每题 4 分，满分 40 分) 1．A 2．B 3．B 4．C 5．C 6．D 7．A 8．B 9．C 10．D 二、填空题(每题 4 分，满分 20 分) 11．m(m－10) 12．360 13．四 14．24 15．1.5 三、解答题 16．(每题 7 分，共 14 分) (1) 解：原式＝1－2013＋8×1 8 ……3 分 ＝1－2013＋1 ……4 分 ＝－2011 ……7 分 (2) 解：原式＝2a2＋2a－a2＋4 ……3 分 ＝ a2＋2a＋4 ……4 分 ∵a2＋2a＝－1 ∴原式＝－1＋4＝3 ……7 分 另解： ∵a2＋2a＝－1 ∴a2＋2a＋1＝0 ∴(a＋1)2＝0 ∴a＝－1 ……3 分 原式＝2×(－1)×(－1＋1)－(－1＋2)×(－1－2) ＝3 ……7 分 17．(每小题 8 分，共 16 分) (1) 证明：∵D、E、F 分别是△ABC 三边的中点， ∴DE∥＝ 1 2 AC，EF∥＝ 1 2 AB， …………2 分 ∴四边形 ADEF 为平行四边形． …………4 分 又∵AC＝AB， ∴DE＝EF． …………6 分 ∴四边形 ADEF 为菱形． …………8 分 (2) 解：设江水的流速为 x 千米/时，依题意，得： …………1 分 100 20＋x ＝ 60 20－x ， ………………4 分 解得：x＝5． ………………6 分 经检验：x＝5 是原方程的解． …………7 分 答：江水的流速为 5 千米/时． …………8 分 18．(10 分) (1) 4 ……1 分； (红 2，黄 1) ……2 分； (黄 2，红 1) ……3 分 (2) 不放回 ………5 分 (3) 乙游戏规则摸到颜色相同的小球的可能性更大． 理由：在甲游戏规则中，从树形图看出，所有可能出现的结果共有 12 种，这些结果出现的可能性相同， 而颜色相同的两个小球共有 4 种． …………6 分 ∴P(颜色相同)＝ 4 12 ＝1 3 ． …………7 分 在乙游戏规则中，从列表看出，所有可能出现的结果共有 16 种，这些结果出现的可能性相同，而颜色 相同的两个小球共有 8 种． ……………8 分 ∴P(颜色相同) ＝ 8 16 ＝1 2 ． ……………9 分 ∵1 3 ＜1 2 ， ∴乙游戏规则摸到颜色相同的小球的可能性更大． ……………10 分 19．(12 分) (1) 1 2 ………3 分 (2) 标出点 D， ………5 分 连接 CD． ………7 分 (3) 解：连接 BD， ………8 分 ∵∠BED＝90°，BE＝DE＝1， ∴∠EBD＝∠EDB＝45°，BD＝ BE2＋DE2＝ 12＋12＝ 2． ……9 分 由(1)可知 BF＝AF＝2，且∠BFA＝90°， ∴∠ABF＝∠BAF＝45°，AB＝ BF2＋AF2＝ 22＋22＝2 2． ……10 分 ∴∠ABD＝∠ABF＋∠FBD＝45°＋45°＝90°． ……11 分 ∴tan∠BAD＝BD AB ＝ 2 2 2 ＝1 2 ． ……12 分 20．(12 分) D A B CE F A B C E x y F O G H 解：(1) 过点 E 作 EG⊥y 轴于点 G， ∵点 E 的坐标为(1，1)，∴EG＝1． 在 Rt△CEG 中，sin∠ECG＝EG CE ＝1 2 ， ∴∠ECG＝30°． ………………1 分 ∵∠OFC＝30°，∠FOC＝90°， ∴∠OCF＝180°－∠FOC－∠OFC＝60°． ………………2 分 ∴∠FCE＝∠OCF＋∠ECG＝90°． 即 CF⊥CE． ∴直线 CF 是⊙E 的切线． ………………3 分 (2) 过点 E 作 EH⊥x 轴于点 H， ∵点 E 的坐标为(1，1)， ∴EG＝EH＝1． ………………4 分 在 Rt△CEG 与 Rt△BEH 中， ∵ CE＝BE EG＝EH ，∴Rt△CEG≌Rt△BEH． ∴CG＝BH． ………………6 分 ∵EH⊥AB，EG⊥CD，∴AB＝2BH，CD＝2CG． ∴AB＝CD． ………………7 分 (3) 连接 OE， 在 Rt△CEG 中，CG＝ CE2－EG2＝ 3， ∴OC＝ 3＋1． ………………8 分 同理：OB＝ 3＋1． ………………9 分 ∵OG＝EG，∠OGE＝90°，∴∠EOG＝∠OEG＝45°． 又∵∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°－∠EOG－∠OCE＝105°． 同理：∠OEB＝105°． ………………10 分 ∴∠OEB＋∠OEC＝210°． ∴S 阴影＝210×π×22 360 －1 2 ×( 3＋1)×1×2＝7π 3 － 3－1． ………………12 分 21．(12 分) (1) 证明：∵MF⊥AC，∴∠MFC＝90°． …………1 分 ∵MN∥AC，∴∠MFC＋∠FMN＝180°． ∴∠FMN＝90°． …………2 分 ∵∠C＝90°，∴四边形 MFCN 是矩形． …………3 分 (若先证明四边形 MFCN 是平行四边形，得 2 分，再证明它是矩形，得 3 分) (2) 解：当运动时间为 t 秒时，AD＝t， ∵F 为 DE 的中点，DE＝2，∴DF＝EF＝1 2 DE＝1． ∴AF＝t＋1，FC＝8－(t＋1)＝7－t． ∵四边形 MFCN 是矩形，∴MN＝FC＝7－t． …………4 分 又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A＝45°． ∴在 Rt△AMF 中，MF＝AF＝t＋1， …………5 分 ∴S＝S△MDE＋ S△MNE ＝1 2 DE·MF＋1 2 MN·MF ＝1 2 ×2(t＋1)＋ 1 2 (7－t)(t＋1)＝－1 2 t2＋4t＋9 2 …………6 分 ∵S＝－1 2 t2＋4t＋9 2 ＝－1 2 (t－4)2＋25 2 ∴当 t＝4 时，S 有最大值． …………7 分 (若面积 S 用梯形面积公式求不扣分) (3) 解：∵MN∥AC，∴∠NME＝∠DEM． …………8 分 ① 当△NME∽△DEM 时，∴NM DE ＝EM ME ． …………9 分 ∴7－t 2 ＝1，解得：t＝5． …………10 分 ② 当△EMN∽△DEM 时，∴NM EM ＝EM DE ． …………11 分 ∴EM2＝NM·DE． 在 Rt△MEF 中，ME2＝EF2＋MF2＝1＋(t＋1)2，∴1＋(t＋1)2＝2(7－t)． 解得：t1＝2，t2＝－6(不合题意，舍去) 综上所述，当 t 为 2 秒或 5 秒时，以 E、M、N 为顶点的三角形与△DEM 相似． ……12 分 22．(14 分) A B CD E M F N 解：(1) 由题意，得： a＋b＋c＝1 16a＋4b＋c＝0 c＝2 …………1 分 解得： a＝1 2 b＝－5 2 c＝2 ． …………3 分 ∴这个抛物线的解析式为 y＝1 2 x2－5 2 x＋2． …………4 分 (2) 解法一： 如图 1，设 BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 M，交 x 轴于 N，连接 CN，过点 M 作 MF⊥x 轴于 F． ∴△BMF∽△BCO，∴MF CO ＝BF BO ＝BM BC ＝1 2 ． ∵B(4，0)，C(0，2)， ∴CO＝2，BO＝4， ∴MF＝1，BF＝2， ∴M(2，1) ………………5 分 ∵MN 是 BC 的垂直平分线，∴CN＝BN， 设 ON＝x，则 CN＝BN＝4－x， 在 Rt△OCN 中，CN2＝OC2＋ON2， ∴(4－x)2＝22＋x2，解得：x＝3 2 ，∴N(3 2 ，0)． ………………6 分 设直线 DE 的解析式为 y＝kx＋b，依题意，得： 2k＋b＝1 3 2 k＋b＝0，解得： k＝2 b＝－3． ∴直线 DE 的解析式为 y＝2x－3． ………………8 分 解法二： 如图 2，设 BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 M，交 x 轴于 N，连接 CN，过点 C 作 CF∥x 轴交 DE 于 F． ∵MN 是 BC 的垂直平分线，∴CN＝BN，CM＝BM． 设 ON＝x，则 CN＝BN＝4－x， 在 Rt△OCN 中，CN2＝OC2＋ON2， ∴(4－x)2＝22＋x2，解得：x＝3 2 ，∴N(3 2 ，0)． ………………5 分 ∴BN＝4－3 2 ＝5 2 ． ∵CF∥x 轴，∴∠CFM＝∠BNM． ∵∠CMF＝∠BMN， ∴△CMF≌△BMN．∴CF＝BN． xO y A B C M NF 图 1 xO y A B C F N 图 2 M ∴F(5 2 ，2)． …………………6 分 设直线 DE 的解析式为 y＝kx＋b，依题意，得： 5 2 k＋b＝2 3 2 k＋b＝0，解得： k＝2 b＝－3． ∴直线 DE 的解析式为 y＝2x－3． ………………8 分 (3) 由(1)得抛物线解析式为 y＝1 2 x2－5 2 x＋2，∴它的对称轴为直线 x＝5 2 ． ① 如图 3，设直线 DE 交抛物线对称轴于点 G，则点 G(5 2 ，2)， 以 G 为圆心，GA 长为半径画圆交对称轴于点 P1， 则∠CP1B＝∠CAB． …………9 分 GA＝ (5 2 －1)2＋22＝5 2 ， ∴点 P1 的坐标为(5 2 ，－1 2 )． …………10 分 ② 如图 4，由(2)得：BN＝5 2 ，∴BN＝BG， ∴G、N 关于直线 BC 对称． …………11 分 ∴以 N 为圆心，NB 长为半径的⊙N 与⊙G 关于直线 BC 对称． …………12 分 ⊙N 交抛物线对称轴于点 P2，则∠CP2B＝∠CAB． …………13 分 设对称轴与 x 轴交于点 H，则 NH＝5 2 －3 2 ＝1． ∴HP2＝ (5 2 )2－12＝ 21 2 ， ∴点 P2 的坐标为(5 2 ， 21 2 )． 综上所述，当 P 点的坐标为(5 2 ，－1 2 )或(5 2 ， 21 2 )时，∠CPB＝∠CAB． ………14 分 xO y A B C 图 3 G 1P xO y A B C 图 4 G 2P N  H