2013年聊城市初中学业考试数学试题及答案

2013 年聊城市初中学业考试数学试题 满分 120 分，时间 120 分钟 不准使用计算器 一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1 ． 32 的相反数是（ ）． A ． 6 B ．8 C ． 1 6  D ． 1 8 2 ． 2.5PM 是指大气中直径 0.0000025 米的颗粒物， 将 0.0000025用科学记数法表示为（ ）． A ． 50.25 10 B ． 60.25 10 C ． 52.5 10 D ． 62.5 10 3 ．右图是由几个相同的小立方块组成的几何体的三视图， 小立方块的个数是（ ）个． A ．3 B ． 4 C ．5 D ． 6 4 ．不等式组 3 1 2, 4 2 0 x x      的解集在数轴上为（ ）． 5 ．下列命题中的真命题是（ ）． A ．三个角相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C ．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 D ．正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形 6 ．下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其 和大于 1 ；④长分别为 3 、 5 、 9 厘米的三条线段能围成一个三角形．其中确定事件的个数是（ ）个． A ．1 B ． 2 C ．3 D ． 4 7 ．把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处 处高出球面 16 厘米，那么钢丝大约需加长（ ）厘米． A ． 210 B ． 410 C ． 610 D ． 810 8 ．二次函数 2y ax bx  的图象如图所示，那么一次函数 y ax b  的图象大致是（ ）． 9 ．河堤横断面如图所示，堤高 BC=6 米，迎水坡 AB 的坡比为1: 3 ， 则 AB 的长为（ ）米． A ．12 B ． 4 3 C ．5 3 D ． 6 3 10 ．某校七年级共 320 名学生参加数学测试，随机抽取 50 名学生的成绩进行统计，其中 15 名学生的成绩 达到优秀．估计该校七年级学生在这次数学测试中达到优秀的人数大约有（ ）人． A ．50 B ． 64 C ．90 D ．96 11 ．如图，点 D 是  ABC 的边 BC 上任一点，已知 AB=4 ， AD=2 ， ∠ DAC= ∠ B ．若  ABD 的面积为 a ，则  ACD 的面积为（ ）． A ． a B ． 1 2 a C ． 1 3 a D ． 2 5 a 12 ．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 21 2y x 经过平移 得到抛物线 21 22y x x  ，其对称轴与两段抛物线弧所围成 的阴影部分的面积为（ ）． A ． 2 B ． 4 C ．8 D ．16 二、填空题（本题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分，只要求填写最后结果） 13 ．若 1 1x   是关于 x 的方程 2 5 0x mx   的一个根，则此方程的另一个根 2x  ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 14 ．已知一个扇形的半径为 60 厘米，圆心角为 0150 ．用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿厘米． 15 ．某市举办“体彩杯”中学生篮球赛，初中男子组有市直学校的 A 、 B 、 C 三个队和县区学校的 D 、 E 、 F 、 G 、 H 五个队．如果从 A 、 B 、 D 、 E 四个队与 C 、 F 、 G 、 H 四个队中各抽取一个队进行首场比赛，那么参加 首场比赛的两个队都是县区学校队的概率是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 16 ．如图，在等边  ABC 中， AB=6 ，点 D 是 BC 的中点．将  ABD绕点 A 旋转后得到  ACE ，那么线段 DE 的长度为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 17 ．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，按向上、 向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位， 得到点        1 2 3 40,1 , 1,1 , 1,0 , 2,0 ,A A A A  ， 那么点 4 1nA  （ n 是自然数）的坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 三、解答题（本题共 8 个小题，共 69 分．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 18 ．（本题满分 7 分） 计算： 2 2 4 4 1 4 2 2 x x x x x x x          ． 19 ．（本题满分 8 分） 如图，在四边形 ABCD 中，∠ A= ∠ BCD= 090 ， BC=CD ， CE ⊥ AD ，垂足为 E ，求证： AE=CE ． 20 ．（本题满分 8 分） 小亮和小莹自制了一个标靶进行投标比赛，两人各投了 10 次，下图是他们投标成绩的统计图． ⑴根据图中信息填写下表： ⑵分别用平均数和中位数解释谁的成绩比较好． 平均数 中位数 众数 小亮 7小莹 7 9 21 ．（本题满分 8 分）夏季来临，天气逐渐炎热起来．某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了 10% ，将某 种果汁饮料每瓶的价格下调了 5% ．已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费 7 元，调价后买上述碳酸饮料 3瓶和果汁饮料 2 瓶共花费 17.5 元，问这两种饮料在调价前每瓶各多少元？ 22 ．（本题满分 8 分）如图，一只猫头鹰蹲在一颗树 AC 的点 B 处，发现一只老鼠躲进短墙 DF 的另一侧， 猫头鹰的视线被短墙遮住．为了寻找这只老鼠，猫头鹰向上飞至树顶 C 处．已知点 B 在 AC 上， DF=4 米， 短墙底部 D 与树的底部 A 的距离 AD=2.7 米，猫头鹰从 C 点观察 F 点的俯角为 053 ，老鼠躲藏处 M 距 D 点 3 米，且点 M 在 DE 上． （参考数据： 0 0 0sin37 0.60,cos37 0.80,tan37 0.75   ）． ⑴猫头鹰飞至 C 处后，能否看到这只老鼠？为什么？ ⑵要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到 0.1 米）？ 23 ．（本题满分 8 分）如图，一次函数的图象与 x 轴、 y 轴分别相交 于 A 、 B 两点，且与反比例函数 8y x   的图象在第二象限交于点 C ． 如果点 A 的坐标为 2,0 ， B 是 AC 的中点． ⑴求点 C 的坐标； ⑵求一次函数的解析式． 24 ．（本题满分 10 分）如图， AB 是 O 的直径， AF 是 O 的 切线， CD 是垂直于 AB 的弦，垂足为 E ，过点 C 作 DA 的平行线 与 AF 相交于点 F ， CD= 4 3 ， BE=2 ． 求证：⑴四边形 FADC 是菱形； ⑵ FC 是 O 的切线． 25 ．（本题满分 12 分）已知在  ABC 中，边 BC 的长与 BC 边上的高的和为 20 ． ⑴写出  ABC 的面积 y 与 BC 的长 x 之间的函数关系式，并求出面积为 48 时 BC 的长； ⑵当 BC 多长时，  ABC 的面积最大？最大面积是多少？ ⑶当  ABC 面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果 不存在，请给予说明． 参考答案 一、选择题：答案 BDBAC BACAD CB 11 ．【解析】由已知∠ DAC= ∠ B ，∠ ACD= ∠ BCA ，∴  ABC ∽  DAC ，∴ 2 4ABC DAC S AB S DA        ， 即 4ABC DACS S  ，∴ 3ABD DACS S  ，∴ 1 3DACS a  ． 12 ．【解析】依据平移的定义及抛物线的对称性可得： 区域 D 的面积 = 区域 C 的面积 = 区域 B 的面积， ∴阴影面积 = 区域 A 的面积加上区域 D 的面积 = 正方形的面积 4 ． 二、填空题：答案 5 25 0.375 3 3  2 ,1n 13 ．【解析】把 1 1x   代入 2 5 0x mx   得： 4m   ，由根与系数的关系得： 1 2 5x x   ，∴ 2 5x  ． 14 ．【解析】依题意得：  0 0r 360 =60 150 ，解得： 25r  ． 15 ．【解析】依题意得：概率 1 3 3 0.3752 4 8P     ． 16 ．【解析】依题意知：  ACE ≌  ABD ≌  ACD ，∴  ADE 是等边三角形，∴ 3 3DE AD  ． 17 ．【解析】不难发现规律：动点的横坐标每变换 4 次就增加 2 ，纵坐标不变，故点 4 1nA  的坐标为 2 ,1n ． 三、解答题 18 ．【解析】原式      22 1 2 2 2 2 x x x x x x x            2 1 2 2 2 x x x x x x          2 2 2 2 1 1 x x x x       ． 19 ．【证明】连接 BD 、 AC ，∵ BC=CD ，∠ BCD= 090 ，∴  BCD 是等腰直角三角形，∴∠ CBD= 045 ， ∵∠ A= ∠ BCD= 090 ，∴ A 、 B 、 C 、 D 四点共圆， ∴∠ CAE= ∠ CAD= ∠ CBD= 045 ， 又∵ CE ⊥ AD ，∴  ACE 是等腰直角三角形，∴ AE=CE ． 【法二】作 BF ⊥ CE 于 F ，∵∠ BCF+ ∠ DCE= 090 ，∠ D+ ∠ DCE= 090 ， ∴∠ BCF= ∠ D ，又 BC=CD ，∴ Rt  BCF ≌ Rt  CDE ，∴ BF=CE ， 又∠ BFE= ∠ AEF= ∠ A= 090 ，∴四边形 ABFE 是矩形，∴ BF=AE ， 因此 AE=CE ． 20 ．【解析】⑴ ⑵平均数相等说明：两人整体水平相当，成绩一样好；小莹的中位数大说明：小莹的成绩比小亮好． 21 ．【解析】设调价前碳酸饮料每瓶 x 元，果汁饮料每瓶 y 元，依题意得：     7, 3 1 10% 2 1 5% 17.5, x y x y        即 19 19 7 19, 33 19 175, x y x y       解得： 3, 4, x y    答：调价前这种碳酸饮料每瓶的价格为 3 元，这种果汁饮料每瓶的价格为 4 元． 22 ．【解析】⑴依题意得：∠ AGC= 053 ，∠ GFD= ∠ GCA= 037 ， ∴ DG=DF 0tan37 =3 米 =DM ，因此这只猫头鹰能看到这只老鼠； ⑵ ∵ AG=AD+DG=2.7+3=5.7 ，∴ CG=AG 0sin37 =9.5 （米）， 因此猫头鹰至少要飞 9.5 米． 23 ．【解析】⑴作 CD ⊥ x 轴于 D ，则 CD ∥ BO ， ∵ B 是 AC 的中点，∴ O 是 AD 的中点，∴点 D 的横坐标为﹣ 2 ， 把 2x   代入到 8y x   中，得： 4y  ， 因此点 C 的坐标为 2,4 ； ⑵ 设一次函数为 y ax b  ，由于 A 、 C 两点在其图象上， ∴ 0 2 , 4 2 , a b a b       解得： 1, 2, a b     因此一次函数的解析式为 2y x   ． 24 ．【证明】⑴连接 OC ， 依题意知： AF ⊥ AB ，又 CD ⊥ AB ，∴ AF ∥ CD ， 又 CD ∥ AD ，∴四边形 FADC 是平行四边形， 由垂径定理得： CE=ED= 1 2 32CD  ， 设 O 的半径为 R ，则 OC=R ， OE=OB ﹣ BE=R ﹣ 2 ， 平均数 中位数 众数 小亮 7 7 7小莹 7 7.5 9 在  ECO 中，由勾股定理得：    222 2 2 3R R   ，解得： R=4 ， ∴ AD=  22 2 26 2 3 4 3AE DE    ，∴ AD=CD ， 因此平行四边形 FADC 是菱形； ⑵ 连接 OF ，由⑴得： FC=FA ，又 OC=OA ， FO=FO ， ∴  FCO ≌  FAO ，∴∠ FCO= ∠ FAO= 090 ， 因此 FC 是 O 的切线． 25 ．【解析】⑴依题意得：    21 120 10 0 202 2y x x x x x       ， 解方程 2148 102 x x   得： 1 212, 8x x  ，∴当  ABC 面积为 48 时 BC 的长为 12 或 8 ； ⑵ 由⑴得：  221 110 10 502 2y x x x       ， ∴当 10x  即 BC=10 时，  ABC 的面积最大，最大面积是 50 ； ⑶  ABC 的周长存在最小的情形，理由如下： 由⑵可知  ABC 的面积最大时， BC=10 ， BC 边上的高也为 10 ， 过点 A 作直线 L 平行于 BC ，作点 B 关于直线 L 的对称点 'B ， 连接 'B C 交直线 L 于点 'A ，再连接 ' , 'A B AB ， 则由对称性得： ' ' ' , 'A B A B AB AB  ， ∴ ' ' ' ' ' 'A B A C A B A C B C    ， 当点 A 不在线段 'B C 上时，则由三角形三边关系可得： ' 'L AB AC BC AB AC BC B C BC        ， 当点 A 在线段 'B C 上时，即点 A 与 'A 重合，这时 ' ' ' 'L AB AC BC A B A C BC B C BC        ， 因此当点 A 与 'A 重合时，  ABC 的周长最小； 这时由作法可知： ' 20BB  ，∴ 2 2' 20 10 10 5B C    ，∴ 10 5 10L   ， 因此当  ABC 面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10 5 10 ．