2013年资阳市中考数学试卷及答案

资阳市 2013 年高中阶段教育学校招生统一考试 数 学 全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 4 页。全卷满分 120 分。考试时 间共 120 分钟。 注意事项： 1．答题前，请考生务必在答题卡上正确填写自己的姓名、准考证号和座位号。考试结束，将试 卷和答题卡一并交回。 2．选择题每小题选出的答案须用 2B 铅笔在答题卡上把对应题目．．．．的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦擦净后，再选涂其它答案。非选择题须用黑色墨水的钢笔或签字笔在答题卡上对应题号位 置作答，在试卷上作答，答案无效。 第Ⅰ卷（选择题 共 30 分） 一、选择题：（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项符合题意． 1．16 的平方根是 A．4 B．±4 C．8 D．±8 2．一个正多边形的每个外角都等于 36°，那么它是 A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形 3．在一个不透明的盒子里，装有 4 个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇 匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球 40 次，其中 10 次摸到 黑球，则估计盒子中大约有白球 A．12 个 B．16 个 C. 20 个 D．30 个 4．在函数 y = 1 1x  中，自变量 x 的取值范围是 A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1 5．如图1，点E在正方形ABCD内，满足 90AEB   ，AE=6，BE=8，则 阴影部分的面积是 A． 48 B． 60 C． 76 D．80 6．资阳市 2012 年财政收入取得重大突破，地方公共财政收入用四舍五入法取近似值后为 27.39 亿元，那么这个数值 A．精确到亿位 B．精确到百分位 C．精确到千万位 D．精确到百万位 7．钟面上的分针的长为 1，从 9 点到 9 点 30 分，分针在钟面上扫过的面积是 A． 1 2  B． 1 4  C. 1 8  D． 8．在芦山地震抢险时，太平镇部分村庄需 8 组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同. 若按每组人数比预定人数多分配 1 人，则总数会超过 100 人；若按每组人数比预定人数少分配 1 人， 图 1 则总数不够 90 人，那么预定每组分配的人数是 A．10 人 B．11 人 C．12 人 D．13 人 9．从所给出的四个选项中，选出适当的一个填入问号所在位置，使之呈现相同的特征 10．如图 2，抛物线 2 + ( 0)y ax bx c a   过点（1，0）和点（0，-2），且 顶点在第三象限，设 P= a b c  ，则 P 的取值范围是 A．-4＜P＜0 B．-4＜P＜-2 C．-2＜P＜0 D．-1＜P＜0 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：（本大题共 6 个小题,每小题 3 分,共 18 分）把答案直接填在题中横线上． 11．(－a2b)2·a =_______. 12．若一组数据 2、-1、0、2、-1、a 的众数为 2，则这组数据的平均数为______ 13．在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，若∠AOB=60°，AC=10， 则 AB=_____. 14．在一次函数 (2 ) 1y k x   中，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围为_______. 15．如图 3，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，点 D 是 BC 边上的点，CD=1， 将△ABC 沿直线 AD 翻折，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，若点 P 是直线 AD 上的 动点，则△PEB 的周长的最小值是________. 16．已知在直线上有 n（n≥2 的正整数）个点，每相邻两点间距离为 1，从左 边第 1 个点起跳，且同时满足以下三个条件：①每次跳跃均尽可能最大；②跳 n 次 后必须回到第 1 个点；③这 n 次跳跃将每个点全部到达.设跳过的所有路程之和为 Sn ，则 25S =______________. 三、解答题：（本大题共 8 个小题，共 72 分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 7 分）解方程： 2 2 1+4 2 2 x x x x    18．（本小题满分 8 分）体考在即，初三(1)班的课题研究小组对本年级 530 名学生的体育达标情况进 行调查，制作出图4 所示的统计图，其中 1 班有50 人.（注：30 分及以上为达标，满分 50 分.） 根据统计图，解答下面问题： （1）初三(1)班学生体育达标率和本年级其余各班学生体育达标率各是多少？（4 分） （2）若除初三(1)班外其余班级学生体育考试成绩在 30—40 分的有 120 人，请补全扇形统计图； （注：请在图中注明分数段所对应的圆心角的度数）（2 分） 图 3 图 2 图 4 （3）如果要求全年级学生的体育达标率不低于 90%，试问在本次调查中，该年级全体学生的体 育达标率是否符合要求？（2 分） 19．（本小题满分 8 分）在关于 x、y 的二元一次方程组 2 2 1 x y a x y      中. （1）若 a =3，求方程组的解；（4 分） （2）若 (3 )S a x y  ，当 a 为何值时， S 有最值；（4 分） 20．（本小题满分 8 分）在⊙O 中，AB 为直径，点 C 为圆上一点，将劣弧沿弦 AC 翻折交 AB 于点 D，连结 CD. （1）如图 5-1，若点 D 与圆心 O 重合，AC=2，求 ⊙O 的半径 r；（6 分） （2）如图 5-2，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC=25°， 请直接写出∠DCA 的度数. （2 分） 21．（本小题满分 9 分）如图 6，已知直线 l 分别与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，与双曲线 ay x  （a≠0，x＞0） 分别交于 D、E 两点. （1）若点 D 的坐标为（4，1），点 E 的坐标为（1，4）： ① 分别求出直线 l 与双曲线的解析式；（3 分） ② 若将直线 l 向下平移 m（m＞0）个单位，当 m 为何值时，直线 l 与双曲线有且只有一个交点？（4 分） （2）假设点 A 的坐标为(a，0)，点 B 的坐标为（0，b），点 D 为线段 AB 的 n 等分点，请直接写出 b 的值. （2 分） 22．（本小题满分 9 分）钓鱼岛历来是中国领土，以它为圆心在周围 12 海里范围内均属于禁区,不允许它国船支进入.如图 7，今有一中国海监船在位于钓鱼岛 A 正南方向距 岛 60 海里的 B 处海域巡逻，值班人员发现在钓鱼岛的正西方向 52 海里的 C 处有一艘日本渔船，正 以 9 节的速度沿正东方向驶向钓鱼岛，中方立即向日本渔船发出警告，并沿北偏西 30°的方向以 12 节的速度前往拦截，其间多次发出警告，2 小时后海监船到达 D 处，与此同时日本渔船到达 E 处， 此时海监船再次发出严重警告. （1）当日本渔船收到严重警告信号后，必须沿北偏东转向多少度 航行，才能恰好避免进入钓鱼岛 12 海里禁区？（4 分） （2）当日本渔船不听严重警告信号，仍按原速度、原方向继续前 进，那么海监船必须尽快到达距岛 12 海里，且位于线段 AC 上的 F 处 强制拦截渔船，问海监船能否比日本渔船先到达 F 处？（5 分） （注：① 中国海监船的最大航速为 18 节，1 节=1 海里/时；②参 考数据：sin26.3°≈0.44，sin20.5°≈0.35，sin18.1°≈0.31， 2 1.4 ， 3 1.7 ） 图 5-1 图 5-2 图 6 图 7 23．（本小题满分 11 分）在一个边长为 a（单位：cm）的正方形 ABCD 中，点 E、M 分别是线段 AC、 CD 上的动点，连结 DE 并延长交正方形的边于点 F，过点 M 作 MN⊥DF 于 H，交 AD 于 N. （1）如图 8-1，当点 M 与点 C 重合，求证：DF=MN；（4 分） （2）如图 8-2，假设点 M 从点 C 出发，以 1cm/s 的速度沿 CD 向点 D 运动，点 E 同时从点 A 出发，以 2 cm/s 速度沿 AC 向点 C 运动，运动时间为 t（t＞0）： ① 判断命题“当点 F 是边 AB 中点时，则点 M 是边 CD 的三等分点”的真假，并说明理由. （4 分） ② 连结 FM、FN，△MNF 能否为等腰三角形？若能，请写出 a、t 之间的关系；若不能，请说 明理由. （3 分） 24. （本小题满分 12 分）如图 9，四边形 ABCD 是平行四边形，过点 A、C、D 作抛物线 2 ( 0)y ax bx c a    ，与x 轴的另一交点为E，连结CE，点A、B、D 的坐标分别为（-2，0）、（3，0）、 （0，4）. （1）求抛物线的解析式；（3 分） （2）已知抛物线的对称轴 l 交 x 轴于点 F，交线段 CD 于点 K，点 M、N 分别是直线 l 和 x 轴上 的动点，连结 MN，当线段 MN 恰好被 BC 垂直平分时，求点 N 的坐标；（4 分） （3）在满足（2）的条件下，过点 M 作一条直线，使之将四边形 AECD 的面积分为 3∶4 的两 部分，求出该直线的解析式. （5 分） 资 阳 市 2013 年 高 中 阶 段 教 育 学 校 招 生 统 一 考 试 数学试题参考答案及评分意见 说 明： 1. 解答题中各步骤所标记分数为考生解答到这一步应得的累计分数． 2. 参考答案一般只给出该题的一种解法，如果考生的解法和参考答案所给解法不同，请参照本答案及评分意见 给分． 3. 考生的解答可以根据具体问题合理省略非关键步骤． 4. 评卷时要坚持每题评阅到底，当考生的解答在某一步出现错误、影响了后继部分时，如果该步以后的解答未 改变问题的内容和难度，可视影响程度决定后面部分的给分，但不得超过后继部分应给分数的一半；如果这一步后 面的解答有较严重的错误，就不给分；若是几个相对独立的得分点，其中一处错误不影响其他得分点的得分． 5. 给分和扣分都以 1 分为基本单位． 6. 正式阅卷前应进行试评，在试评中须认真研究参考答案和评分意见，不能随意拔高或降低给分标准，统一标 准后须对全部试评的试卷予以复查，以免阅卷前后期评分标准宽严不同． 一、选择题（每小题 3 分，共 10 个小题，满分 30 分）： 1－5. BCADC；6－10. DACBA． 图 9图 8-1 图 8-2 二、填空题（每小题 3 分，共 6 个小题，满分 18 分）： 11. 5 2a b ；12. 2 3 ；13. 5；14. k＜2；15. 3+1；16. 312． 三、解答题（共 8 个小题，满分 72 分）： 17. 2( 2) 2x x x    ·····································································································3 分 2 4 2x x x    ········································································································4 分 2 4 2x x x    3x  ························································································································6 分 经检验， 3x  是原方程的解.·······························································································7 分 18. (1) 初三(1)班体育达标率为 90%， 初三年级其余班级体育达标率为 1-12.5%=87.5%；····································································4 分 (2) 成绩在 30—40 分所对应的圆心角为 90°，40—50 分所对应的圆心角为 225°.······························ 6 分 (3) 全年级同学的体育达标率为（420+45）÷530≈87.8%＜90%，所以不达标.···································8 分 19.（1） 1 1 x y    ，··············································································································4 分 （2） 易求 3 1x y a   ，································································································5 分 则 2S a a  ，················································································································ 6 分 ∴ 2 21 1( )2 4S a a a     ，····························································································7 分 ∴当 1 2a   时， S 有最小值.······························································································ 8 分 20. （1） 过点 O 作 AC 的垂线交 AC 于 E、交劣弧于 F，由题意可知，OE=EF，··························· 1 分 ∵ OE⊥AC，∴AE= 1 2 AC ，································································································3 分 在 Rt△AOE 中， 2 2 2AO OE AE  ，················································································· 4 分 ∴ 2 211 ( )2r r  ，∴r= 2 3 3 .····························································································· 6 分 （2）∠DCA=40°.·············································································································· 8 分 21. (1) ①易求反比例函数的解析式为 4y x  ，··········································································1 分 直线 AB 的解析式为 y = -x+5；······························································································3 分 ② 依题意可设向下平移 m（m＞0）个单位后解析式为 5y x m    ，······································ 4 分 由 5 4 y x m y x      ，得 2 (5 ) 4 0x m x    ，···································································· 5 分 ∵ 平移后直线 l 与反比例函数有且只有一个交点，∴△= 2( 5) 16 0m    ， ∴ 1 1m  ， 2 9m  （舍去）.······························································································6 分 即当 1m  时，直线 l 与反比例函数有且只有一个交点；····························································7 分 (2) 2 1 nb n   .·················································································································· 9 分 22. (1) 过点 E 作⊙A 的切线 EG，连结 AG， AE=AC-CE=52-18=34，AG=12，··························································································· 2 分 sin∠GEA= AG AE ≈0.35，·······································································································3 分 ∴转向的角度至少应为北偏东 69.5 度；··················································································4 分 (2) 过点 D 作 DH⊥AB 于 H， 由题意知，BD=24，∴DH=12，BH=12 3 ，···········································································5 分 易求四边形 FDHA 为矩形，∴FD=AH=60-12 3 ，··································································· 7 分 ∴ 海监船到达 F 处的时间为（60-12 3 ）÷18≈ 2.2 时，····························································8 分 日本渔船到达 F 处的时间为（34-12）÷9≈2.4 时， ∴海监船比日本船先到达 F 处.····························································································· 9 分 23. （1） 易证△ADF≌△MDN，则 DF=MN；········································································4 分 （2）① 解法一： 该命题为真命题.················································································································5 分 过点 E 作 EG⊥AD 于点 G， 依题意得，AE= 2 t ，易求 AG=EG=t，·················································································6 分 CM=t，DG=DM= a t 易证△DGE≌△MDN，∴ DN EG t CM   ·······································································7 分 由△ADF∽△DMN，得 DN AF DM AD  ， 又∵点 F 是线段 AB 中点，AB=AD， ∴ 1 2 AF DN AB DM   ，∴DM=2DN，即点 M 是 CD 的三等分点.···················································· 8 分 解法二：该命题为真命题.····································································································5 分 易证△AEF∽△CED， AE AF EC CD  ， 易证△ADF∽△DMN， DN AF DM AD  ， 又∵AD=CD，∴ DN AE DM EC  ，···························································································· 6 分 依题意得：AE= 2 t ，CM= t，EC= 2 2a t ，DM= a t ∴ 2 2 2 t DN a ta t   ， DN t CM  ················································································ 7 分 又∵点 F 是线段 AB 中点，AB=AD， ∴ 1 2 AF DN AB DM   ，∴DM=2DN，即点 M 是 CD 的三等分点.···················································· 8 分 ② 假设 FN=MN，由 DM=AN 知△AFN≌△DNM，∴AF=DN= t， 又由△DAF∽△MDN，得 DN AF DM AD  ，∴ t AF a t a  ，∴ atAF a t   ， ∴ at a t = t， t=0； ∴FN=MN 不成立；············································································································9 分 假设 FN=MF，由 MN⊥DF 知，HN=HM，∴DN=DM=MC，此时点 F 与点 B 重合， ∴ 当 t = 1 2 a 时, FN=MF；········································································································· 10 分 假设 FN=MN，显然点 F 在 BC 边上，易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM= a t ， 又由△NDM∽△DCF，∴ DN DC DM FC  ，∴ t a a t FC  ，∴ ( )a a tFC t  ∴ ( )a a t t  = a t ，∴ a t ，此时点 F 与点 C 重合， 即当 a t 时，FN=MN.······································································································· 11 分 24. （1） ∵点 A、B、D 的坐标分别为（-2，0）、（3，0）、（0，4）， 且四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB=CD=5，则点 C 的坐标为（5，4），··············································································· 1 分 易求抛物线的解析式为 22 10 47 7y x x    ；······································································· 3 分 （2） 解法一： 连结 BD 交对称轴于 G，在 Rt△OBD 中，易求 BD=5， ∴CD=BD，则∠DCB=∠DBC，又∵∠DCB=∠CBE，∴∠DBC=∠CBE，······································ 4 分 过 G 作 GN⊥BC 于 H，交 x 轴于 N，易证 GH=HN，·································································5 分 ∴点 G 与点 M 重合，求出直线 BD 的解析式 y= 4 43 x  , 根据抛物线可知对称轴方程为 5 2x  ,则点 M 的坐标为（ 5 2 ， 2 3 ）， 即 GF= 2 3 ，BF= 1 2 ，∴BM= 2 2 5 6FM FB  ，··································································· 6 分 又∵MN 被 BC 垂直平分，∴BM=BN= 5 6 ， ∴点 N 的坐标为（ 23 6 ，0）；·······························································································7 分 解法二：设点 M（ 5 2 ，b），点 N（a，0）， 则 MN 的中点坐标为（ 5 2 ,4 2 a b ），·····················································································4 分 求得直线 BC 的解析式为 2 6y x  ，代入得 2 7a b  …①···················································· 5 分 延长 CB 交对称轴于点 Q，可求点 Q 的坐标为（ 5 2 ，-1），又易得∠MQB=∠MNF， ∴ 1tan tan 52 2 bMQB MNF a       ，∴ 2 4 5a b  …②·················································6 分 由①、②得， 23 6a  ， 2 3b  ，∴点 N 的坐标为（ 23 6 ，0）.···················································· 7 分 （3）解法一：过点 M 作直线交 x 轴于点 1P ，易求四边形 AECD 的面积为 28，四边形 ABCD 的面积为 20，由“四 边形 AECD 的面积分为 3:4”可知直线 1PM 必与线段 CD 相交，设交点为 1Q ，······································ 8 分 四边形 1 1APQ D 的面积为 1S ，四边形 1 1PECQ 的面积为 2S ，点 P1 的坐标为（a，0），假设点 P 在对称轴的左侧， 则 1 5 2PF a  ， 1 7PE a  ， 由△ 1MKQ ∽△ 1MFP ，得 1 1 MK FM Q K FP  ，易求 1Q K = 1 55 5( )2PF a  ， ∴ 1 5 55( ) 5 102 2CQ a a     ， ∴ 2S = 1(5 10 7 ) 4 122a a      ，则 a= 9 4 ·······································································10 分 根据 1 9( ,0)4P ，M（ 5 2,2 3 ）求出直线 1PM 的解析式为 8 63y x  ，··········································· 11 分 若点 P 在对称轴的右侧，则直线 2P M 的解析式为 8 22 3 3y x   .···············································12 分 解法二：过点 M 作直线交 x 轴于 1P ，易求四边形 AECD 的面积为 28，四边形 ABCD 的面积为 20，由“四边形 AECD 的面积分为 3∶4”可知直线 1PM 必交在线段 CD 上，······························································8 分 若 P 在对称轴的左侧， 由△ 1MKQ ∽△ 1MFP 得，S△MKQ1∶S△MFP1=25:1，···································································· 9 分 又∵S△MKQ1+12-S△MFP1=14，∴S△MFP1= 1 12 ，则 1 1 4FP  , ∴ 1 9( ,0)4P ，根据 M（ 5 2,2 3 ），求出直线 1PM 的解析式为 8 63y x  ，······································ 11 分 若点 P 在对称轴的右侧，则直线 2P M 的解析式为 8 22 3 3y x   .···············································12 分