2013年内江市中考数学试卷及答案

2013 年中考数学试题（四川内江卷） （本试卷分 A 卷（100 分）、B 卷（60 分），满分 160 分，考试时间 120 分钟） A 卷（共 100 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．下列四个实数中，绝对值最小的数是【 】 A．－5 B． 2 C．1 D．4 2．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是【 】 A． B． C． D． 3．某公司开发一个新的项目，总投入约 11500000000 元，11500000000 元用科学记数法表 示为【 】 A．1.15×1010 B．0.115×1011 C．1.15×1011 D．1.15×109 4．把不等式组 x> 1 x 2 3     的解集表示在数轴上，下列选项正确的是【 】 A． B． C． D． 5．今年我市有近 4 万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取 1000 名考生 的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是【 】 A．这 1000 名考生是总体的一个样本 B．近 4 万名考生是总体 C．每位考生的数学成绩是个体 D．1000 名学生是样本容量 6．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2 的度数为【 】 A．125° B．120° C．140° D．130° 7．成渝路内江至成都段全长 170 千米，一辆小汽车和一辆客车同时从内江、成都两地相向 开出，经过 1 小时 10 分钟相遇，小汽车比客车多行驶 20 千米．设小汽车和客车的平均速度 为 x 千米/小时和 y 千米/小时，则下列方程组正确的是【 】 A． x y 20 7 7x y 1706 6     B． x y 20 7 7x y 1706 6     C． x y 20 7 7x y 1706 6     D． 7 7x y 1706 6 7 7x y 206 6       8．如图，在 ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F， DEF ABFS S 4 25  ： ： ，则 DE：EC=【 】 A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2 9．若抛物线 2y x 2x c   与 y 轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是【 】 A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是 x=1 C．当 x=1 时，y 的最大值为﹣4 D．抛物线与 x 轴的交点为（－1，0），（3，0） 10．同时抛掷 A、B 两个均匀的小立方体（每个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6），设 两立方体朝上的数字分别为 x、y，并以此确定点 P（x，y），那么点 P 落在抛物线 2y x 3x   上的概率为【 】 A． 1 18 B． 1 12 C． 1 9 D． 1 6 11．如图，反比例函数 ky x  （x＞0）的图象经过矩形 OABC 对角线的交点 M，分别于 AB、 BC 交于点 D、E，若四边形 ODBE 的面积为 9，则 k 的值为【 】 A．1 B．2 C．3 D．4 12．如图，半圆 O 的直径 AB=10cm，弦 AC=6cm，AD 平分∠BAC，则 AD 的长为【 】 A． 4 5 cm B．3 5 cm C．5 5 cm D．4 cm 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．若 m2－n2=6，且 m－n=2，则 m＋n= ▲ ． 14．函数 2x 1y x 1   中自变量 x 的取值范围是 ▲ ． 15．一组数据 3，4，6，8，x 的中位数是 x，且 x 是满足不等式组 x 3 0 5 x>0     的整数，则这 组数据的平均数是 ▲ ． 16．已知菱形 ABCD 的两条对角线分别为 6 和 8，M、N 分别是边 BC、CD 的中点，P 是对 角线 BD 上一点，则 PM+PN 的最小值= ▲ ． 三、解答题（本大题共 5 小题，共 44 分） 17．计算：     1 0 20130 2sin60 5 3 4015 1 3 1             ． 18．已知，如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D 为 AB 边上一点．求证：BD=AE． 19．随着车辆的增加，交通违规的现象越来越严重，交警对某雷达测速区检测到的一组汽车 的时速数据进行整理，得到其频数及频率如表（未完成）： 数据段 频数 频率 30～40 10 0.05 40～50 36 50～60 0.39 60～70 70～80 20 0.10 总计 200 1 注：30～40 为时速大于等于 30 千米而小于 40 千米，其他类同 （1）请你把表中的数据填写完整； （2）补全频数分布直方图； （3）如果汽车时速不低于 60 千米即为违章，则违章车辆共有多少辆？ 20．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树 DE 的高度，他们在这棵树的 正前方一座楼亭前的台阶上 A 点处测得树顶端 D 的仰角为 30°，朝着这棵树的方向走到台 阶下的点 C 处，测得树顶端 D 的仰角为 60°．已知 A 点的高度 AB 为 3 米，台阶 AC 的坡度 为1 3： （即 AB：BC=1 3： ），且 B、C、E 三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树 DE 的高度（侧倾器的高度忽略不计）． 21．某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为 6 千米的公路．如果平均每天 的修建费 y（万元）与修建天数 x（天）之间在 30≤x≤120，具有一次函数的关系，如下表所 示． x 50 60 90 120 y 40 38 32 26 （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修 2 千米，因此在没有增减建设力量 的情况下，修完这条路比计划晚了 15 天，求原计划每天的修建费． B 卷（共 60 分） 四、填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分） 22．在△ABC 中，已知∠C=90°， 7sinA sinB 5   ，则 sinA sinB = ▲ ． 23．如图，正六边形硬纸片 ABCDEF 在桌面上由图 1 的起始位置沿直线 l 不滑行地翻滚一 周后到图 2 位置，若正六边形的边长为 2cm，则正六边形的中心 O 运动的路程为 ▲ cm． 24．如图，已知直线 l： y 3x ，过点 M（2，0）作 x 轴的垂线交直线 l 于点 N，过点 N 作直线 l 的垂线交 x 轴于点 M1；过点 M1 作 x 轴的垂线交直线 l 于 N1，过点 N1 作直线 l 的 垂线交 x 轴于点 M2，…；按此作法继续下去，则点 M10 的坐标为 ▲ ． 25．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A（13，0），直线 y kx 3k 4   与⊙O 交于 B、C 两点，则弦 BC 的长的最小值为 ▲ ． 五、解答题（本大题共 3 小题，每小题 12 分，共 36 分） 26．如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点 C，BD⊥PD，垂 足为 D，连接 BC． （1）求证：BC 平分∠PDB； （2）求证：BC2=AB•BD； （3）若 PA=6，PC=6 2 ，求 BD 的长． 27．如图，在等边△ABC 中，AB=3，D、E 分别是 AB、AC 上的点，且 DE∥BC，将△ADE 沿 DE 翻折，与梯形 BCED 重叠的部分记作图形 L． （1）求△ABC 的面积； （2）设 AD=x，图形 L 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式； （3）已知图形 L 的顶点均在⊙O 上，当图形 L 的面积最大时，求⊙O 的面积． 28．已知二次函数 2y ax bx c   （a＞0）的图象与 x 轴交于 A（x1，0）、B（x2，0）（x1 ＜x2）两点，与 y 轴交于点 C，x1，x2 是方程 2x 4x 5 0   的两根． （1）若抛物线的顶点为 D，求 S△ABC：S△ACD 的值； （2）若∠ADC=90°，求二次函数的解析式． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C A B C D D B C A C A 13. 3 14. 1x 2   且 x≠1 15. 5 16. 5 17. 解：原式= 3 3 1 75 3 1 12 2 2       。 18. 证明：∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE。 ∵∠ACD=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD， ∴∠ACE=∠BCD。 在△ACE 和△BCD 中， AC BC ACE BCD CE CD       ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）。 ∴BD=AE。 19. 解：（1）填表如下： 数据段 频数 频率 30～40 10 0.05 40～50 36 0.18 50～60 78 0.39 60～70 56 0.28 70～80 20 0.10 总计 200 1 （2）如图所示： （3）违章车辆数：56+20=76（辆）。 答：违章车辆有 76 辆。 20. 【答案】解：如图，过点 A 作 AF⊥DE 于 F，则四边形 ABEF 为 矩形， ∴AF=BE，EF=AB=3。 设 DE=x， 在 Rt△CDE 中， 2 DE 3CE xtan60 3   ， 在 Rt△ABC 中，∵ AB 1 BC 3  ，AB=3，∴BC= 3 3 。 在 Rt△AFD 中，DF=DE﹣EF=x﹣3， ∴  0 x 3AF 3 x 3tan30    。 ∵AF=BE=BC+CE，∴   33 x 3 3 3 x3    。解得 x=9。 答：树高为 9 米。 21. 解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y kx b  ，由题意，得 50k b 40 60k b 38      ，解得： 1k 5 b 50      。 ∴y 与 x 之间的函数关系式为： 1y x 505    （30≤x≤120）。 （2）设原计划要 m 天完成，则增加 2km 后用了（m+15）天，由题意，得 6 6 2 m m 15   ，解并检验得：m=45。 ∴ 1y 45 50 415      答：原计划每天的修建费为 41 万元。 22 1 5  23 4 24. （884736，0） 25. 24 26. 【答案】解：（1）证明：连接 OC， ∵PD 为圆 O 的切线，∴OC⊥PD。 ∵BD⊥PD，∴OC∥BD。∴∠OCB=∠CBD。 ∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC。 ∴∠CBD=∠OBC，即 BC 平分∠PBD。 （2）证明：连接 AC， ∵AB 为圆 O 的直径，∴∠ACB=90°。 ∵∠ACB=∠CDB=90°，∠ABC=∠CBD，∴△ABC∽△CBD。 ∴ AB BC CB BD  ，即 BC2=AB•BD。 （3）∵PC 为圆 O 的切线，PAB 为割线，∴PC2=PA•PB，即 72=6PB，解得：PB=12。 ∴AB=PB－PA=12－6=6。∴OC=3，PO=PA+AO=9。 ∵△OCP∽△BDP，∴ OC OP BD BP  ，即 3 9 BD 12  。 ∴BD=4。 27. 解：（1）如图 1，作 AH⊥BC 于 H，则∠AHB=90°。 ∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC=3。 ∵∠AHB=90°，∴BH= 1 2 BC= 3 2 。 在 Rt△ABH 中，由勾股定理，得 AH= 3 32 。 ∴ ABC 33 3 92S 32 4    。 （2）如图 2，当 0＜x≤ 3 2 时， ADEy S 。 作 AG⊥DE 于 G，∴∠AGD=90°，∠DAG=30°。 ∴DG=x，AG= 3 x2 。 ∴ 2 3x x 32y x2 4    。 如图 3，当 3 2 ＜x＜3 时，作 MG⊥DE 于 G， ∵AD=x，∴BD=DM=3－x， ∴DG=  1 3 x2  ，MF=MN=2x－3，MG=  3 3 x2  ∴     22x 3 x 3 3 3 9y 3 x x 3 3x 32 2 4 4         。 综上所述，y 关于 x 的函数解析式为 2 2 3 3x 0