2013年乐山中考数学试卷及答案

乐山市 2013 年高中阶段教育学校招生统一考试 数 学 第一部分（选择题 共 30 分） 一、 选择题：本大题共 10 小题，30 分，四选一。 ( B )1. -5 的倒数是 A . -5 B. - 1 5 C. 5 D. 1 5 ( B )2.乐山大佛景区 2013 年 5 月份某周的最高气温（单位：ºC）分别为 29， 31，23，26，29，29，29。这组数据的极差为 A . 29 B. 28 C. 8 D. 6 ( C )3.如图 1，已知直线 a//b,∠1=131º,则∠2 等于 A . 39º B.41º C.49º D.59º ( D )4.若 a>b，则下列不等式变形错误．．的是 A.a+1 > b+1 B. a 2 > b 2 C. 3a-4 > 3b-4 D.4-3a > 4-3b ( D )5.如图 2，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 CD 的中点， AD、BE 的延长线相交于点 F，DF=3,DE=2,则平行四边 形 ABCD 的周长为 A. 5 B. 7 C.10 D. 14 ( A )6.如图 3，在平面直角坐标系中，点 P（3，m）是 第一象限内的点，且 OP 与 x 轴正半轴的夹角α的 正切值为4 3 ，则 sinα的值为 A．4 5 B. 5 4 C. 3 5 D. 5 3 ( A )7.甲、乙两人同时分别从 A、B 两地沿同一条公路骑自行车到 C 地，已知 A、 C 两地间的距离为 110 千米，B、C 两地间的距离为 100 千米。甲骑自行车的平均 速度比乙快 2 千米/时，结果两人同时到达 C 地，求两人的平均速度。为解决此 问题，设乙骑自行车的平均速度为 x 千米/时，由题意列出方程，其中正确．．的是 ( D)8.一个立体图形的三视图如图 4 所示， 根据图中数据求得这个立体图形的表面积为 A．2Π B．6П C．7П D．8П ( C )9.如图 5，圆心在 y 轴的负半轴上，半径为 5 的⊙B 与 y 轴的正半轴交于点 A(0,1)，过点 P(0,-7)的直线 l 与⊙B 相交 于 C、D 两点，则弦 CD 长的所有可能的整数值有（ ）个。 A.1 B.2 C.3 D.4 ( CD=8,9,10 ) ( B )10.如图 6，已知第一象限内的点 A 在反比例函数 y = 2 x 的图象上，第二象限内的点 B 在反比例函数 y = k x 的图 象上，且 OA⊥0B ，cotA= 3 3 ，则 k 的值为 A．-3 B.-6 C.- 3 D.-2 3 二、填空题：本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。 11.如果规定向东为正，那么向西为负，汽车向东行驶了 3 千米记作 3 千米，向 西行驶 2 千米应记作 -2 千米。 12.在一个布口袋内装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色之外没有任何 其他区别，其中有白球 5 只、红球 3 只、黑球 1 只。袋中的球已经搅匀，闭上眼 睛随机地从袋中取出 1 只球，取出红球的概率是 1 3 。 13.把多项式分解因式：ax2-ay2= a(x + y) (x - y) 。 14.如图 7，在四边形 ABCD 中，∠A=45º。直线 l 与边 AB、 AD 分别相交于点 M、N，则∠1+∠2= 225 º. 15.如图 8，小方格都是边长为 1 的正方形，则以格点为圆 心，半径为 1 和 2 的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面 积为 2П-4 。 16.对非负实数 x “四舍五入”到个位的值记为，即当 n 为非负整数时，若 n-1 2 ≤x 0, ∴此方程有两个不相等的实数根。 (2) ∵△ABC 的两边 AB、AC 的长是这个方程的两个实数根，由（1）知， AB≠AC，△ABC 第三边 BC 的长为 5，且△ABC 是等腰三角形， ∴必然有 AB=5 或 AC=5，即 x=5 是原方程的一个解。 将 x=5 代入方程 x2-(2k+1)x+k2+k=0， 25-5(2k+1) +k2 +k=0，解得 k=4 或 k=5. 当 k=4 时，原方程为 x2 -9x +20 = 0 ，x1=5, x2= 4, 以 5，5，4 为边长能 构成等腰三角形； 当 k=5 时，原方程为 x2 -11x +30 = 0 ，x1=5, x2=6, 以 5，5，6 为边长能 构成等腰三角形；（必须检验方程的另一个解大于 0 小于 10 且不等于 5） ∴k 的值为 4 或 5。 24.如图 13，已知直线 y=4-x 与反比例函数 y= m x (m>0,x>0)的图象交于 A、B 两 点，与 x 轴、y 轴分别相交于 C、D 两点. (1)如果点 A 的横坐标为 1，利用函数图象求关于 x 的不等式 4-x0,x>0)的图象的 图象上，m = xy =3 , ∵点 A、B 是直线 y=4-x 与反比例函数 y= 3 x (x>0)的图象的交点，∴4-x= 3 x , 解得 x=1 或 x=3,点 B 的横坐标为 3，∴4-x< m x 的解集为 x3 。 （2）存在以 AB 为直径的圆经过点 P(1,0)。 连结 AP、BP，分别过点 A、B 作 x 轴的垂线 AE、BF，垂足分别为点 E、F。 4-x=m x ,x2-4x+m=0, 令 a、b 是该方程的解，则 a + b = 4, b = 4 – a ， 令点 A 的坐标为（a,4-a），则点 B 的坐标为（4-a,a）； 以 AB 为直径的圆经过点 P（1，0），则∠APB=90º， ∠APB+∠EPA+∠FPB=180 º ，∠EPA+∠FPB=90º，∵AE⊥x 轴，BF⊥x 轴， ∴∠AEP=∠PFB=90º，∠EAP+∠EPA=90º，∠EPA=∠FPB，△AEP∽△PFB， AE EP = PF FB , 4-a 1-a = 4-a-1 a , a=2+ 10 2 或 a=2- 10 2 4-a=2- 10 2 4-a=2+ 10 2 ， ∵点 A（2+ 10 2 ，2- 10 2 ） 或（2- 10 2 ，2+ 10 2 ）在反比例函数 y= m x (m>0,x>0)的图象上，∴ m =(2+ 10 2 )(2- 10 2 )= 3 2 . 六、本大题共 2 小题，第 25 题 12 分，第 26 题 13 分，共 25 分. 25.如图 14.1，在梯形 ABCD 中，AD//BC,点 M、N 分别在 边 AB、DC 上，且 MN//AD，记 AD=a ,BC=b. 若 AM MB = m n ,则有结论：MN = bm+an m+n . 请根据以上结论，解答下列问题： 如图 14.2、14.3，BE、CF 是△ABC 的两条角平分线，过 EF 上一点 P 分别作△ABC 三边的垂线段 PP1、PP2、PP3，交 BC 于点 P1，交 AB 于点 P2，交 AC 于点 P3 . (1)若点 P 为线段 EF 的中点，求证： PP1 = PP2 + PP3 ； (2)若点 P 为线段．．EF 上的任意点，试探究 PP1、PP2、PP3 的数量关系，并给出证 明。 解：（1）证明：过点 E 分别作 BC、AB 的垂线，垂足分别为 M、N，过点 F 分别 作 BC、AC 的垂线，垂足分别为 G、H。 BE、CF 分别为∠ABC、∠ACB 的角平分线，EN=EM，FH=FG， PP2//EN，PP3//FH，点 P 为线段 EF 的中点，PP2=1 2 EN=1 2 EM,PP3=1 2 FH=1 2 FG. PP1//FG//EM , FP PE =1 , PP1= FG+EM 1+1 = FG+EM 2 =1 2 FG+ 1 2 EM = PP2+ PP3. (2) PP1= PP2+ PP3. 证明：过点 E 分别作 BC、AB 的垂线，垂足分别为 M、N，过点 F 分别作 BC、 AC 的垂线，垂足分别为 G、H。 令 FG = a ,EM = b, FP PE = m n , PP1//FG//EM , PP1= bm+an m+n ； EM=EN, PP2 EN = FP FE = FP FP+PE = m m+n ,PP2= m m+n ·EN= m m+n ·EM= bm m+n ； 同理可得：PP3 = n m+n ·FH = n m+n ·FG = an m+n ； bm m+n + an m+n = bm+an m+n , PP1= PP2+ PP3. 26.如图 15.1，已知抛物线 C 经过原点，对称轴 x=-3 与抛物线相交于第三象限 的点 M，与 x 轴相交于点 N，且 tan∠MON = 3. (1)求抛物线 C 的解析式； (2)将抛物线 C 绕原点 O 旋转 180º得到抛物线 C’，抛物线 C’与 x 轴的另一交 点为 A，B 为抛物线 C’上横向坐标为 2 的点. ①若 P 为线段 AB 上一动点，PD⊥y 轴于点 D，求△APD 面积的最大值； ②过线段 OA 上的两点 E、F 分别作 x 轴的垂线，交折线 O –B -A 于点 E1、F1， 再分别以线段 EE1、FF1 为边作如图 15.2 所示的等边△EE1E2、等边△FF1F2,点 E 以每秒 1 个单位长度的速度从点 O 向点 A 运动，点 F 以每秒 1 个单位长度的速度 从点 A 向点 O 运动，当△EE1E2 有一边与△FF1F2 的某一边在同一直线上时，求时 间 t 的值. 解：（1）对称轴 MN 的解析式为 x =-3, ON=3,tan∠MON = 3 ,MN=9,M（-3，-9）， 令抛物线 C 的解析式为 y=a(x+3)2-9，它经过原点，则 0=a(0+3)2-9, a=1, y=1(x+3)2-9=x2+6x ，所以抛物线 C 的解析式为 y=x2+6x； （2）①抛物线 C’的解析式为 y=- x2+6x，当 y=0 时，x=0 或 6，点 A 的坐标为（6，0）， 点 B 在抛物线 C’上， 且其横坐标为 2，y=8,有点 B（2，8），直线 AB 的解析式为 y=-2x +12 ,点 P 在线段 AB 上，令点 P 的坐标为（p,-2p+12）, S△APD = 1 2 p(-2p+12)=- p2+6p =-(p-3)2+9,当 p=3（2