2013年西城区初三二模数学试卷及答案

北京市西城区 2013 年初三二模试卷 数 学 2013. 6 考 生 须 知 1．本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分。考试时间 120 分钟。 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1． 3 的倒数是 A． 3 1 B．3 C． 3 1 D． 3 2．下列运算中正确的是 A． 2aaa  B． 22 aaa  C． 2 2 2( ) ab a b D． 532 )( aa  3．若一个多边形的内角和是 720°，则这个多边形的边数是 A．5 B．6 C．7 D．8 4．若 3 2 0   x y ，则 xy 的值为 A．8 B．6 C．5 D．9 5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A B C D 6．对于一组统计数据：3，3，6，3，5，下列说法中错误．．的是 A．中位数是 6 B．众数是 3 C．平均数是 4 D．方差是 1.6 7．如图，边长为 3 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 30 °后得到正方形 EFCG， EF 交 AD 于点 H，则四边形 DHFC 的面积为 A． 3 B． 33 C． 9 D． 36 8．如图，点 A，B，C 是正方体三条相邻的棱的中点，沿着 A，B，C 三点所在的平面将该正方体的一 个角切掉，然后将其展开，其展开 图可能是 A B C D 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．函数 3 2  y x 中，自变量 x 的取值范围是 ． 10．若把代数式 1782  xx 化为 khx  2)( 的形式，其中 h ，k 为常数，则 h k = ． 11．如图，在△ABC 中，∠ACB=52°，点 D，E 分别是 AB， AC 的中点．若点 F 在线段 DE 上，且∠AFC=90°， 则∠FAE 的度数为 °． 12．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在第一象限， 点 B 在 x 轴的正半轴上，∠OAB=90°．⊙P1 是△OAB 的内切圆，且 P1 的坐标为(3,1)． (1) OA 的长为 ，OB 的长为 ； (2) 点 C 在 OA 的延长线上，CD∥AB 交 x 轴于点 D．将⊙P1 沿水平方向向右平移 2 个 单位得到⊙P2，将⊙P2 沿水平方向向右平移 2 个单位得到⊙P3，按照同样的方法继 续操作，依次得到⊙P4，……⊙Pn．若⊙P1，⊙P2，……⊙Pn 均在△OCD 的内部， 且⊙Pn 恰好与 CD 相切，则此时 OD 的长为 ．（用含 n 的式子表示） 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．计算： 1 01( ) 27 (5 ) 6tan604       ． 14．如图，点 C 是线段 AB 的中点，点 D，E 在直线 AB 的同侧， ∠ECA=∠DCB，∠D=∠E． 求证：AD=BE． 15．已知 2 3 1 0x x   ，求代数式 ( 2)( 3) (2 1)(2 1) 4x x x x x      的值． 16．已知关于 x的一元二次方程 01172  mxx 有实数根． (1) 求 m 的取值范围； (2) 当 m 为负整数时，求方程的两个根． 17．列方程（组）解应用题： 水上公园的游船有两种类型，一种有 4 个座位，另一种有 6 个座位．这两种游船的 收费标准是：一条 4 座游船每小时的租金为 60 元，一条 6 座游船每小时的租金为 100 元．某公司组织 38 名员工到水上公园租船游览，若每条船正好坐满，并且 1 小时共花 费租金 600 元，求该公司分别租用 4 座游船和 6 座游船的数量． 18．为了解“校本课程”开展情况，某校科研室随机选取了若干学生进行问卷调查(要求每 位学生只能填写一种自己喜欢的课程)，并将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计 图： 调查结果的条形统计图 调查结果的扇形统计图 请根据以上信息回答下列问题： (1) 参加问卷调查的学生共有 人； (2) 在扇形统计图中，表示“C”的扇形的圆心角为 度； (3) 统计发现，填写“喜欢手工制作”的学生中，男生人数∶女生人数=1∶6．如果从 所有参加问卷调查的学生中随机选取一名学生，那么这名学生是填写“喜欢手工制 作”的女生的概率为 ． 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 1 9．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y kx b  的图象与 x 轴交于点 A( 3 ,0)， 与 y 轴交于点 B，且与正比例函数 4 3y x 的图象的交点为 C( m ,4) ． (1) 求一次函数 y kx b  的解析式； (2) 若点 D 在第二象限，△DAB 是以 AB 为直角边的 等腰直角三角形，直接写出点 D 的坐标． 20．如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2， tan∠BDC= 6 3 ． (1) 求 BD 的长； (2) 求 AD 的长． 21．如图，以△ABC 的一边 AB 为直径作⊙O， ⊙O 与 BC 边的交点 D 恰好为 BC 的中点， 过点 D 作⊙O 的切线交 AC 边于点 E． (1) 求证：DE⊥AC； (2) 连结 OC 交 DE 于点 F，若 3sin 4  ABC ，求 OF FC 的值． 22．在平面直角坐标系 xOy 中，点 ( , )P x y 经过变换  得到点 ( , )P x y   ，该变换记作 ),(),( yxyx  ，其中      byaxy byaxx , ( ,a b 为常数 ) ．例如，当 1a  ，且 1b  时， )5,1()3,2(  ． (1) 当 1a  ，且 2b   时， (0,1) = ； (2) 若 (1, 2) (0, 2)   ，则 a = ， b = ； (3) 设点 ( , )P x y 是直线 2y x 上的任意一点，点 P 经过变换 得到点 ( , )P x y   ．若点 P 与点 P 重合，求 a 和 b 的值． 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．在平面直角坐标系 xOy 中， A，B 两点在函数 1 1 : ( 0)kC y x x   的图象上， 其中 1 0k  ．AC⊥ y 轴于点 C，BD⊥ x 轴于点 D，且 AC=1． (1) 若 1k =2，则 AO 的长为 ，△BOD 的面积为 ； (2) 如图 1，若点 B 的横坐标为 1k ，且 1 1k  ，当 AO=AB 时，求 1k 的值； (3) 如图 2，OC=4，BE⊥ y 轴于点 E，函数 2 2 : ( 0)kC y x x   的图象分别与线段 BE， BD 交于点 M，N，其中 2 10 k k  ．将△OMN 的面积记为 1S ，△BMN 的面积记为 2S ， 若 1 2S S S  ，求 S 与 2k 的函数关系式以及 S 的最大值． 图 2图 1 24．在△ABC 中，AB=AC，AD，CE 分别平分∠BAC 和∠ACB，且 AD 与 CE 交于点 M．点 N 在射线 AD 上，且 NA=NC．过点 N 作 NF⊥CE 于点 G，且与 AC 交于点 F，再过点 F 作 FH∥CE，且与 AB 交于点 H． (1) 如图 1，当∠BAC=60°时，点 M，N，G 重合． ①请根据题目要求在图 1 中补全图形； ②连结 EF，HM，则 EF 与 HM 的数量关系是__________； (2) 如图 2，当∠BAC=120°时，求证：AF=EH； (3) 当∠BAC=36°时，我们称△ABC 为“黄金三角形”，此时 5 1 2 BC AC  ．若 EH=4， 直接写出 GM 的长． 图 1 图 2 备用图 25．如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 和抛物线 W 交于 A， B 两点，其中点 A 是抛物线 W 的顶点．当点 A 在直线 l 上运动 时，抛物线 W 随点 A 作平移运动．在抛物线平移的过程中，线 段 AB 的长度保持不变． 应用上面的结论，解决下列问题： 如 图 2 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 直 线 1 : 2l y x  ．点 A 是直线 1l 上的一个动点，且点 A 的横坐标为 t ．以 A 为顶点的抛物 线 2 1 :C y x bx c    与直线 1l 的另一个交点为点 B． (1) 当 0t  时，求抛物线 1C 的解析式和 AB 的长； (2) 当点 B 到直线 OA 的距离达到最大时，直接写出此时点 A 的坐标； (3) 过点 A 作垂直于 y 轴的直线交直线 2 1: 2 l y x 于点 C．以 C 为顶点的抛物线 2 2 :C y x mx n   与直线 2l 的另一个交点为点 D． ①当 AC⊥BD 时，求 t 的值； ②若以 A，B，C，D 为顶点构成的图形是凸四边形，直接写出满足条件的 t 的取值 范围． 图 1 图 2 备用图 北京市西城区 2013 年初三二模 数学试卷参考答案及评分标准 2013.6 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B A B A B D 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9 10 11 12 2x   5 64 4 5 2n+3 阅卷说明：第 12 题第一、第二个空各 1 分，第三个空 2 分. 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13．解：原式= 4 3 3 1 6 3    ……………………………………………… 4 分 =5 3 3 ． ……………………………………………… 5 分 14．证明：∵点 C 是线段 AB 的中点， ∴AC=BC. …………………………1 分 ∵∠ECA=∠DCB， ∴∠ECA+∠ECD=∠DCB+∠ECD， 即∠ACD=∠BCE. …………………2 分 在△ACD 和△BCE 中， , , , D E ACD BCE AC BC         ∴△ACD≌△BCE. ……………………………………………… 4 分 ∴AD=BE . ……………………………………………… 5 分 15．解： ( 2)( 3) (2 1)(2 1) 4x x x x x      2 25 6 (4 1) 4x x x x      …………………………………………… 2 分 23 9 7x x    . …………………………………………………… 3 分 ∵ 2 3 1 0x x   ， 即 2 3 1x x  ， ……………………………………………4 分 ∴原式 23( 3 ) 7x x    3 1 7 4     . ……………………………… 5 分 16．解：(1) ∵关于 x 的一元二次方程 2 7 11 0   x x m 有实数根， ∴ 27 4(11 ) 0    m . ….….…..…..…………..……………………1 分 ∴ 5 4  m . …..….….…..…………..……………………2 分 (2) ∵ m 为负整数， ∴ 1 m . .….……..…..…………..…………………… 3 分 此时方程为 2 7 12 0  x x . .…….…..…………………4 分 解得 x1= 3，x2= 4. .…….…..…………………5 分 17．解：设租用 4 座游船 x 条，租用 6 座游船 y 条. .….…..…..…………………… 1 分 依题意得 4 6 38, 60 100 600. x y x y        ….………..……………………3 分 解得 5, 3. x y      ..…………..……………………4 分 答：该公司租用 4 座游船 5 条，6 座游船 3 条. .….….…..…..…………………5 分 18．解：(1) 80； ……………………………………………………………………1 分 (2) 54； ……………………………………………………………………3 分 (3) 3 20 ． …………………………………………………………………… 5 分 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19．解：(1)∵点 C( m ,4)在直线 4 3y x 上， ∴ 44 3 m ，解得 3m  . ……………… 1 分 ∵点 A( 3 ,0)与 C(3,4)在直线 ( 0)y kx b k   上， ∴ 0 3 , 4 3 . k b k b       ……………… 2 分 解得 2,3 2. k b     ∴一次函数的解析式为 2 23y x  . ……………………………………… 3 分 (2) 点 D 的坐标为( 2 ,5 )或( 5 ,3). ……………………………………… 5 分 阅卷说明：两个点的坐标各 1 分. 20．解：(1)在 Rt△BCD 中，∠BCD=90°，BC=2，tan∠BDC= 6 3 ， ∴ 2 6 3  CD . ∴CD= 6. …………………………………… 1 分 ∴由勾股定理得 BD= BC2+CD2= 10 . ……… 2 分 (2)如图，过点 D 作 DE⊥AB 交 BA 延长线于点 E . _ _ ∵∠BAD=135°， ∴∠EAD=∠ADE=45°. ∴AE=ED . ………………………………………………………………… 3 分 设 AE=ED= x ，则 AD= 2x. ∵DE2+BE2=BD2， ∴x2+(x+2)2=( 10)2. ………………………………………………… 4 分 解得 x1= 3(舍)，x2=1 . ∴AD= 2x= 2. ………………………………………………………… 5 分 21．(1)证明：连接 OD . ∵DE 是⊙O 的切线， ∴DE⊥OD，即∠ODE=90° . ……………………………………………1 分 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴O 是 AB 的中点. 又∵D 是 BC 的中点， . ∴OD∥AC . ∴∠DEC=∠ODE= 90° . ∴DE⊥AC . ……………………………………………………………… 2 分 (2)连接 AD . ∵OD∥AC， ∴ EC OD FC OF  . …………………………………………………………………… 3 分 ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB= ∠ADC =90° . 又∵D 为 BC 的中点， ∴AB=AC. ∵sin∠ABC= AD AB = 3 4 ， 故设 AD=3x , 则 AB=AC=4x , OD=2x . ………………………………………… 4 分 ∵DE⊥AC， ∴∠ADC= ∠AED= 90°. ∵∠DAC= ∠EAD， ∴△ADC∽△AED. ∴ AD AC AE AD . ∴ ACAEAD 2 . ∴ 9 4 AE x. ∴ 7 4 EC x. _ ∴ 8 7  OF OD FC EC . ………………………………………………………………… 5 分 22．解：(1) (0,1) = ( 2,2) ； ……………………………………… 1 分 (2) a = 1 ， b = 1 2 ； ……………………………………… 3 分 (3) ∵点 ( , )P x y 经过变换 得到的对应点 ( , )P x y   与点 P 重合， ∴ ( , ) ( , ) x y x y . ∵点 ( , )P x y 在直线 2y x 上， ∴ ( , 2 ) ( , 2 ) x x x x . ∴ 2 , 2 2 . x ax bx x ax bx        ……………………………………… 4 分 即 (1 2 ) 0, (2 2 ) 0. a b x a b x          ∵ x 为任意的实数， ∴ 1 2 0, 2 2 0. a b a b          解得 3 , 2 1 . 4 a b        ∴ 3 2 a  ， 1 4 b   . ………………………………… …… 5 分 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23．解：(1) AO 的长为 5 ，△BOD 的面积为 1； ………………………… 2 分 (2) ∵A，B 两点在函数 1 1 : ( 0)kC y x x   的图象上， ∴点 A，B 的坐标分别为 1(1, )k ， 1( ,1)k . ………………… 3 分 ∵AO=AB， 由勾股定理得 2 2 11AO k ， 2 2 2 1 1(1 ) ( 1)  AB k k ， ∴ 2 2 2 1 1 11 (1 ) ( 1)   k k k . 解得 1 2 3k   或 1 2 3k   . …………………………………………… 4 分 ∵ 1 1k  ， ∴ 1 2 3k   . ………………… 5 分 (3) ∵OC=4， ∴点 A 的坐标为 (1, 4) . ∴ 1 4k  . 设点 B 的坐标为 4( , )m m ， ∵BE⊥ y 轴于点 E，BD⊥ x 轴于点 D， ∴四边形 ODBE 为矩形，且 =4ODBES四边形 ， 点 M 的纵坐标为 4 m ，点 N 的横坐标为 m . ∵点 M，N 在函数 2 2 : ( 0)kC y x x   的图象上， ∴点 M 的坐标为 2 4( , ) 4 mk m ，点 N 的坐标为 2( , )km m . ∴ 2= 2 =OME OND kS S  . ∴ 2 2 2 1 1 4= ( )( 2 2 4 )mk kS BM BN m m m     2 2(4 ) 8 k . ∴ 1 2=S S S 2 2 2=(4 )k S S   2 2=4 2k S  . ∴ 2 22 2 2 2 (4 ) 14 2 8 4 kS k k k        ， ………………………… 6 分 其中 20 4k  . ∵ 2 2 2 2 2 1 1 ( 2) 1 4 4 S k k k       ，而 1 0 4   ， ∴当 2 2k  时， S 的最大值为 1. …………………………………… 7 分 24．解：(1)补全图形见图 1， ………1 分 EF 与 HM 的数量关系是 EF=HM ； ………2 分 (2)连接 MF（如图 2）. ∵AD，CE 分别平分∠BAC 和∠ACB， 且∠BAC=120°， ∴∠1=∠2=60°，∠3=∠4. ∵AB=AC， ∴AD⊥BC. ∵NG⊥EC， ∴∠MDC =∠NGM =90°. ∴∠4+∠6=90°，∠5+∠6=90°. ∴∠4=∠5. ∴∠3=∠5. ∵NA=NC，∠2=60°， ∴△ANC 是等边三角形. ∴AN=AC. 图 1 图 2 在△AFN 和△AMC 中， 5 3, , 2 2,         AN AC ∴△AFN≌△AMC. …………………………………………… 3 分 ∴AF=AM. ∴△AMF 是等边三角形. ∴AF=FM，∠7=60°. ∴∠7=∠1. ∴FM∥AE. ∵FH∥CE， ∴四边形 FHEM 是平行四边形. ……………………………………… 4 分 ∴EH=FM. ∴AF=EH. …………………………………………… 5 分 (3) GM 的长为 5 1 . …………………………………………… 7 分 25．解：(1) ∵点 A 在直线 1 : 2l y x  上，且点 A 的横坐标为 0， ∴点 A 的坐标为 (0, 2) . ∴抛物线 1C 的解析式为 2 2y x   . …………………………… 1 分 ∵点 B 在直线 1 : 2l y x  上， ∴设点 B 的坐标为 ( , 2)x x  . ∵点 B 在抛物线 1C : 2 2y x   上， ∴ 22 2x x    . 解得 0x  或 1x   . ∵点 A 与点 B 不重合， ∴点 B 的坐标为 ( 1, 3)  . …………………………… 2 分 ∴由勾股定理得 AB= 2 2(0 1) ( 2 3) 2     . …………………… 3 分 (2) 点 A 的坐标为 (1, 1) . …………………………… 4 分 (3) ①方法一：设 AC，BD 交于点 E，直线 1 : 2l y x  分别与 x 轴、 y 轴交于点 P 和 Q（如图 1）.则点 P 和点 Q 的坐标分别为 (2,0) ， (0, 2) . ∴OP=OQ=2. ∴∠OPQ =45°. ∵AC⊥ y 轴， ∴AC∥ x 轴. ∴∠EAB =∠OPQ =45°. ∵∠DEA =∠AEB=90°，AB = 2 ， 图 1 ∴EA=EB =1. ∵点 A 在直线 1 : 2l y x  上，且点 A 的横坐标为 t ， ∴点 A 的坐标为 ( , 2)t t  . ∴点 B 的坐标为 ( 1, 3)t t  . ∵AC∥ x 轴， ∴点 C 的纵坐标为 2t  . ∵点 C 在直线 2 1: 2 l y x 上， ∴点 C 的坐标为 (2 4, 2)t t  . ∴抛物线 2C 的解析式为 2[ (2 4)] ( 2)y x t t     . ∵BD⊥AC， ∴点 D 的横坐标为 1t  . ∵点 D 在直线 2 1: 2 l y x 上， ∴点 D 的坐标为 1( 1, ) 2 tt  . …………………………………………… 5 分 ∵点 D 在抛物线 2C ： 2[ (2 4)] ( 2)y x t t     上， ∴ 21 [( 1) (2 4)] ( 2) 2 t t t t        . 解得 5 2 t  或 3t  . ∵当 3t  时，点 C 与点 D 重合， ∴ 5 2 t  . …………………………………………… 6 分 方法二：设直线 1 : 2l y x  与 x 轴交于点 P，过点 A 作 y 轴的平行线，过点 B 作 x 轴的平行线，交于点 N.（如图 2） 则∠ANB=90°，∠ABN=∠OPB. 在△ABN 中，BN=ABcos∠ABN，AN=ABsin∠ABN. ∵在抛物线 1C 随顶点 A 平移的过程中， AB 的长度不变，∠ABN 的大小不变， ∴BN 和 AN 的长度也不变，即点 A 与点 B 的横坐标 的差以及纵坐标的差都保持不变. 同理，点 C 与点 D 的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变. 由(1)知当点 A 的坐标为 (0, 2) 时，点 B 的坐标为 ( 1, 3)  ， ∴当点 A 的坐标为 ( , 2)t t  时，点 B 的坐标为 ( 1, 3)t t  . ∵AC∥ x 轴， ∴点 C 的纵坐标为 2t  . ∵点 C 在直线 2 1: 2 l y x 上， ∴点 C 的坐标为 (2 4, 2)t t  . 图 2 令 2t  ，则点 C 的坐标为 (0,0) . ∴抛物线 2C 的解析式为 2y x . ∵点 D 在直线 2 1: 2 l y x 上， ∴设点 D 的坐标为 ( , ) 2 xx . ∵点 D 在抛物线 2C ： 2y x 上， ∴ 2 2 x x . 解得 1 2 x  或 0x  . ∵点 C 与点 D 不重合， ∴点 D 的坐标为 1 1( , ) 2 4 . ∴当点 C 的坐标为 (0,0) 时，点 D 的坐标为 1 1( , ) 2 4 . ∴当点 C 的坐标为 (2 4, 2)t t  时，点 D 的坐标为 7 7(2 , ) 2 4 t t  . …… 5 分 ∵BD⊥AC， ∴ 71 2 2 t t   . ∴ 5 2 t  . …………………………………………… 6 分 ② t 的取值范围是 15 4 t 或 5t . ………………………………… 8 分 说明：设直线 1l 与 2l 交于点 M.随着点 A 从左向右运动，从点 D 与点 M 重合， 到点 B 与点 M 重合的过程中，以 A，B，C，D 为顶点构成的图形不是凸 四边形.