2013年石景山区初三数学一模试卷及答案

石景山区 2013 年初三第一次统一练习暨毕业考试 数 学 试 卷 考 生 须 知 1．本试卷共 8 页．全卷共五道大题，25 道小题． 2．本试卷满分 120 分，考试时间 120 分钟． 3．在试卷密封线内准确填写区（县）名称、毕业学校、姓名和准考证号． 4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回． 题号 一 二 三 四 五 总分 分数 第Ⅰ卷（共 32 分） 一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规 定要求填涂在答题纸第 1-8 题的相应位置上． 1．-1.5 的倒数是 A． 3 2 B． 2 3 C． 5.1 D． - 3 2．今年财政部公布的最新数据显示，1 至 2 月累计，全国公共财政收入 22426 亿元，比去 年同期增加 1508 亿元，数字 1508 用科学记数法表示为 A． 410508.1  B． 4101508.0  C． 21008.15  D． 310508.1  3．无理数 6 在哪两个整数之间 A．1 和 2 B．2 和 3 C．3 和 4 D． 4 与 5 4．函数 1  x xy 中自变量 x 的取值范围是 A． x ≥1 B． 1x  且 0x C． 1x D． x ≥1 且 0x 5．某班有 10 名学生参加篮球的“定点投篮”比赛，每人投 10 次，他们的进球数分别为：6， 1，4，2，6，4，8，6，4，6．这组数据的极差和中位数分别是 A．7、5 B．5、5 C．5、4 D． 7、4 6．如图，AM 为⊙O 的切线，A 为切点，BD⊥AM 于点 D，BD 交⊙O 于点 C，OC 平分∠ AOB.则∠OCD 的度数为 A． 110 B． 115 C． 120 D． 125 7．把同一副扑克牌中的红桃 6、红桃 7、红桃 9 三张牌背面朝上放在桌子上，从 中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为 A． 3 1 B． 3 2 C． 2 1 D． 6 1 8．已知：如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 、F 分别为 AB 、 AD 的中 点， G 为线段CE 上的一个动点，设 xCE CG  ， yS GDF  ， 则 y 与 x 第 6 题图 G D E F A B C 第 8 题图 的函数关系图象大致是 第Ⅱ卷（共 88 分） 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9．将二次函数 762  xxy 配方为 khxy  2)( 形式，则 h ___， k ________． 10．分解因式： 3 24 4x x x  =_______________． 11. 如图，在正方形网格(图中每个小正方形的边长均为 1)中，一段圆弧经过网格的格点 A、 B、C.则弧 AC 所在圆的半径长为 ；弧 AC 的长为 . 12．将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ． ． ． ． ． ． ． 按照以上排列的规律，第 5 行从左到右的第 3 个数为_______；第 n 行（ n ≥3）从左到 右的第 3 个数为 ．（用含 n 的代数式表示） 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13． 1 3127 4cos30 82         ． 14．解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 3( 2) 4 1 2 14 x x x x       ①, ②. 15.已知：如图，点C 是 AB 的中点，CD ∥ BE ，且CD ＝ BE . 求证：△ ACD ≌△CBE . A B C D 第 11 题图 16．已知： 24 5 1 0x x   ，求代数式      22 1 1 2 2x x x x x      的值. 17．已知：一次函数 3 xy 与反比例函数 3my x  ( 0x ,m 为常数)的图象交于点 A （ a ，2）、 B 两点． （1）求 m 的值和 B 点坐标； （2）过 A 点作 y 轴的平行线，过 B 点作 x 轴的平行线，这两条直线交于点 E ，若反比例 函数 ky x  的图象与△ ABE 有公共点，请直接写出 k 的取值范围． 18．如图，一架飞机由 A 向 B 沿水平直线方向飞行，在航线 AB 的正下方有两个山头 C、D. 飞机在 A 处时，测得山头 D 恰好在飞机的正下方，山头 C 在飞机前方，俯角为 30°.飞 机飞行了 6 千米到 B 处时，往后测得山头 C、D 的俯角分别为 60°和 30°.已知山头 D 的 海拔高度为 1 千米，求山头 C 的海拔高度. （精确到 0.01 千米，已知 3 1.732 ） 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19. 已知：如图，在四边形 ABCD 中， ADDC  ，△ DBC 是等边三角形，  45ABD ， 2AD .求四边形 ABCD 的周长. 20．如图，BD 为⊙O 的直径，AB=AC，AD 交 BC 于点 E，AE=1，ED=2. (1)求证：∠ABC=∠ADB； (2)求 AB 的长； B A C D D C B A (3)延长 DB 到 F，使得 BF=BO，连接 FA，试判断直线 FA 与⊙O 的位置关系，并说明理 由． 21．以下是根据北京市 2012 年国民经济和社会发展统计公报中的相关数据绘制成的统计表和 统计图的一部分.电话用户包括固定电话用户和移动电话用户两种. 2008-2012 年全国电话用户到达数和净增数统计表 年份 全国电话用户 2008 2009 2010 2011 2012 到达数（单位：万户） 98160 106095 115335 127135 139031 净增数（单位：万户） 6866 7935 9240 a 11896 请根据以上信息，解答下列问题（注意：所求数据均保留整数）： （1）统计表中的数据 a 的值为_________； （2）通过计算补全条形统计图并注明相应数据； （3）2012 年，全国移动电话用户净增约 12591 万户，求该年固定电话用户减少了多少 万户. 2008-2012 年全国移动电话用户统计图 2008-2012年全国移动电话用户占电话用户的百分比 22．问题解决： 已知：如图， D 为 AB 上一动点，分别过点 A 、 B 作 ABCA  于点 A ， ABEB  于 点 B ，联结CD 、 DE . （1）请问：点 D 满足什么条件时， DECD  的值最小？ （2）若 8AB ， 4AC ， 2BE ，设 xAD  . 用 含 x 的代数式表示 DECD  的长（直接写出结果）. 拓展应用： 参考上述问题解决的方法，请构造图形， 并求出代数式  22 1 4 4x x    的最小值. 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） 23. 如图，直线 3 3y x   交 x 轴于 A 点，交 y 轴于 B 点，过 A、B 两点的抛物线 1C 交 x 轴 于另一点 M（-3,0）. (1)求抛物线 1C 的解析式； (2)直接写出抛物线 1C 关于 y 轴的对称图形 2C 的解析式； (3)如果点 'A 是点 A 关于原点的对称点，点 D 是图形 2C 的顶点，那么在 x 轴上是否存 在点 P，使得△ PAD 与△ 'A BO 是相似三角形？若存在，求出符合条件的 P 点坐标； 若不存在，请说明理由. 24．如图，△ ABC 中，∠ 90ACB  , 2AC ，以 AC 为边向右侧作等边三角形 ACD ． （1）如图 24-1,将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 60 ，得到线段 1AB ，联结 1DB ， 则与 1DB 长度相等的线段为 （直接写出结论）； A B C D E O D A y C x B(E) F J （2）如图 24-2，若 P 是线段 BC 上任意一点（不与点C 重合），点 P 绕点 A 逆时针旋转 60 得到点Q ,求 ADQ 的度数； （3）画图并探究：若 P 是直线 BC 上任意一点（不与点C 重合），点 P 绕点 A 逆时针旋 转 60 得到点Q ,是否存在点 P ，使得以 A 、 C 、 Q 、 D 为顶点的四边形是梯形， 若存在,请指出点 P 的位置，并求出 PC 的长；若不存在，请说明理由． 25．如图，把两个全等的 Rt△AOB 和 Rt△ECD 分别置于平面直角坐标系 xOy 中，使点 E 与点 B 重合，直角边 OB、BC 在 y 轴上．已知点 D (4，2)，过 A、D 两点的直线交 y 轴于点 F．若△ECD 沿 DA 方向以每秒 2 个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为t （秒）， 记△ECD 在平移过程中某时刻为△ ' ' 'E C D ， ' 'E D 与 AB 交于点 M，与 y 轴交于点 N， ' 'C D 与 AB 交于点 Q，与 y 轴交于点 P(注：平移过程中，点 'D 始终在线段 DA 上，且不 与点 A 重合). （1）求直线 AD 的函数解析式； （2）试探究在△ECD 平移过程中，四边形 MNPQ 的面积是否存在最大值？若存在，求 出这个最大值及t 的取值；若不存在，请说明理由； （3）以 MN 为边，在 ' 'E D 的下方作正方形 MNRH，求正方形 MNRH 与坐标轴有两个 公共点时t 的取值范围． 图 24-1 图 24-2 P D C B A B 1 A B C D 备用图 A B C D 备用图 A B C D 石景山区 2013 年初三第一次统一练习暨毕业考试 数学参考答案 阅卷须知： 1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅． 2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考 生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确 做到这一步应得的累加分数． 一、选择题（本题共 8 道小题，每小题 4 分，共 32 分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 A D B C A C B D 二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 4 分，共 16 分） 9． 3 2 ， ； 10．  22xx ； 11． 2 5 ， 5 ； 12．13， 2 6 2 n n  ． 三、解答题（本题共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分） 13．解： -1 3127 4cos30 82         = 33 3 2 4 22     ……………………………4 分 = 3 …………………………………………………5 分 14.解：解不等式①， 1x …………………………………………2 分 解不等式②， 2 3x ……………………………………………4 分 原不等式组的解集为 2 31  x ，在数轴上表示为： ……5 分 15．证明：∵C 是 AB 的中点 ∴ CBAC  …………………………… 1 分 又∵ CD ∥ BE ∴ BACD  …………………………… 2 分 在△ ACD 和△CBE 中       BECD BACD CBAC …………………………… 4 分 ∴△ ACD ≌△CBE …………………………………………………… 5 分 16．解：原式 4144 222  xxxxx …………………………………2 分 24 5 3x x   ………………………… 3 分 当 0154 2  xx 时， 154 2  xx …………………………… 4 分 原式 1 3 2    ． ………………………………5 分 17．解：(1)∵一次函数 3 xy 与反比例函数 x my 3- （ 0x ） (m 为常数)的图象交 于点 A（ a ，2）、 B 两点 ∴ 3 2 2 3 a a m      解得 1 1 a m     …………………………………2 分 ∴反比例函数 3my x  （ 0x ）的解析式为 2y x   由题意解 2 3 y x y x       得 1 1 1 2 x y     ， 2 2 2 1 x y     ………………………………3 分 ∵A（ 1 ，2）， ∴B（ 2 ，1） ………………………………4 分 (2) 9 14 k    ………………………………5 分 18．解：在 Rt△ABD 中，∵∠ ABD = 30°， ∴AD = AB·tan30° = 6 × 3 3 = 2 3．……………1 分 ∵∠ABC = 60°，∠BAC = 30°， ∴∠ACB = 90°， …………………………………2 分 ∴AC = AB·cos30° = 6 × 3 2 = 3 3．……………3 分 过点 C 作 CE⊥AD 于点 E， 则∠CAE = 60°，AE = AC·cos60° = 3 3 2 .……………4 分 ∴DE = AD − AE = 2 3 − 3 3 2 = 3 2 ∴山头 C 的海拔高度为 1+ 3 2  1.87 千米. …………5 分 19. 解：过点 A 作 BDAE  于点 E ………………… 1 分 ∵ ADDC  ∴  90ADC ∵△ DBC 是等边三角形 ∴  60BDC ∴  30ADB ………………… 2 分 在 Rt△ AED 中， 2AD ∴ 12 1  ADAE A B C D E B A C D E 由勾股定理得： 3DE ………………………………3 分 在 Rt△ AEB 中，  45ABD ∴ 1 AEBE ∴ 2AB ………………………………4 分 ∴ 31BD ∴ 31 BDBCDC ∴ 322432222  ADCDBCAB …………5 分[来源:学#科#网] 即四边形 ABCD 的周长为 3224  . 20． (1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， 又∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠ADB. …………1 分 (2) ∵∠ABC=∠ADB 又∵∠BAE=∠DAB， ∴△ABE∽△ADB， …………………………2 分 ∴ AB AE AD AB  ， ∴AB2=AD·AE=(AE＋ED)·AE=(1＋2)×1=3，∴AB= 3 ．…………3 分 (3) 直线 FA 与⊙O 相切，理由如下： 联结 OA，∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD=90°， ∴ 2 2 23 (1 2) 2 3BD AB AD      ，………………………………………4 分 BF=BO= 1 32 BD  ， ∵AB= 3 ，∴BF=BO=AB，可证∠OAF=90°， ∴直线 FA 与⊙O 相切．………………………………………5 分 21.解：（1）11800； …………………… 1 分 （2） 1112258.11122480%139031  …………………2 分 图略 …………………4 分 （3） 69511896-12591  …………………………5 分 22. 解：（1）当点 D 、C 、 E 三点在一条直线上时， DECD  的值最小………1 分 (2)  22 16 8 4CD DE x x      ……………………2 分 (3)如图，令 4AB ， 1AC ， 2BE ，设 xAD  ，则 xBD  4 , 2 2 2 2CD DE AD AC BD BE      22 1 4 4x x     ……………………3 分 ∵ D 、C 、 E 三点在一条直线上时， DECD  的值最小 ∴CE 的长即为  22 1 4 4x x    的最小值. 过点 E 作 AB 的平行线交CA的延长线于点 F ∵ ABCA  于 A ， ABEB  于 B . ∴ AF ∥ BE ∴四边形 AFEB 是矩形 ……………………4 分 ∴ 2AF BE  , 4EF AB  在 Rt△CFE 中， 90F   , 3CF  ……………5 分 ∴  22 1 4 4x x    的最小值为 5． [来源:学,科,网] 23．解：（1）设抛物线的解析式为： 2 ( 0)y ax bx c a    ∵直线 3 3y x   交 x 轴于 A 点，交 y 轴于 B 点， ∴A 点坐标为（1,0）、B 点坐标为（0,3）. ………………1 分 又∵抛物线经过 A、B、M 三点， ∴ 0, 9 3 0, 3. a b c a b c c          解得： 1 2 3 a b c        . ∴抛物线 1C 的解析式为： 2 2 3y x x    ．………………2 分 （2）抛物线 1C 关于 y 轴的对称图形 2C 的解析式为： 2 2 3y x x    . ……3 分 （3） 'A 点的坐标为（-1,0），∵ 2 2 3y x x     2( 1) 4x   ， ∴该抛物线的顶点为 (1,4)D ．………………………………4 分 若△ PAD 与△ 'A BO 相似， ①当 DA AP = 3' BO OA  时， 4 3AP  ， P 点坐标为 1( ,0)3  或 7( ,0)3 ……………5 分 ②当 DA AP = 1 ' 3 BO OA  时， 12AP  ， P 点坐标为 ( 11,0) 或 (13,0) …………6 分 ∴当△ PAD 与△ 'A BO是相似三角形时， P 点坐标为 1( ,0)3  或 7( ,0)3 或( 11,0) 或 (13,0) ………………7 分 24.解：(1) BC …………………………… 1 分 （2 由作图知 AQAP  ，∠  06PAQ ∵△ ACD 是等边三角形． ∴ ADAC  , PAQCAD  06 ∴ QADPAC  在△ PAC 和△QAD 中       ADAC QADPAC AQAP ∴△ PAC ≌△QAD ∴  90ACPADQ …………………………… 3 分 （3）如图 3，同①可证△ PAC ≌△QAD ，  90ACPADQ 当 AD ∥ CQ 时，  90180 ADQCQD ∵  60ADC ∴  30QDC ∵ 2 ACCD ∴ 31  DQCQ ， ∴ 3 DQPC 且 ADCQ  …………………………… 5 分 ∴此时四边形 ACQD 是梯形． 如图 4，同理可证△ PAC ≌△QAD ,  90ACPADQ 当 AQ ∥ CD 时，  60ADCQAD ,  30AQD ∵ 2 ACAD ∴ 4 2 3AQ DQ ， ∴ 2 3PC DQ  此时 DQ 与 AC 不平行，四边形 ACDQ 是梯形． 综上所述，这样的点 P 有两个，分别在 C 点两侧，当 P 点在C 点左侧时， 3PC ； 当 P 点在C 点右侧时， 2 3PC  .…………………………… 7 分 25.解：（1）由题意 A(2.0) …………………………………………………………………1 分 由 D(4,2), 可得直线 AD 解析式： 2 xy …………………………………………………2 分 由 B(0，4)， 可得直线 AB 解析式： 42  xy ，直线 BD 解析式： 42 1  xy ，J（ 21，）. （2）在△ECD 平移t 秒时，由∠CDF=45°， 图 3 图 4 A B C D P Q D B Q P C A 可得 D’（ tt  24 ， ），N（ t2 340 ， ） 设直线 E’D’解析式为： 1 342 2y x t    可得 M( tt 24,  )，…………………………………………………3 分 Q（ tt  22 2， ），P（ t20， ） 由△MQ D’∽△BJD,得 2)3 2 33' t S S BJD MQD     （ ，可得 S△MQD’ 2)2 11(3 t …………………………………………………4 分 S 梯形 E’C’PN tttt 24 1)2 122(2 1 2  ………………………………………5 分 S 四边形 MNPQ= S△E’C’D’― S△MQD’― S 梯形 E’C’PN 2 3)1(2 1 12 1 2 2   t tt ∴当 1t 时,S 最大= 2 3 …………………………………………………6 分 （3）当点 H 在 x 轴上时，有 M( tt 24,  )横纵坐标相等 即 tt 24  ∴ 3 4t ∴ 3 40  t .…………………………………………………8 分