密云县 2013 学年初中毕业考试
数 学 试 卷
考
生
须
知
1. 本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分。考试时间 120 分钟。
2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名。
3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1． 1
6
的倒数是（ ）
A．6 B．﹣6 C． 1
6 D． 1
6
2．太阳的半径大约是 696000 千米，用科学记数法可表示为（ ）
A．6.96×103 千米 B．6.96×104 千米 C．6.96×105 千米 D．6.96×106 千米
3．在下列四个黑体字母中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
4．函数 1 2y xx
中，自变量 的取值范围是（ ）
A. 2x B. 2x C. 2x D. 2x
5．在一个不透明的袋子里装有 3 个黑球和 2 个白球，他们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，摸到
黑球的概率是（ ）
A． 1
5
B． 2
5
C． 3
5
D． 2
3
6．下面的几何体中，主视图为三角形的是（ ）
A B C D
7．某射击运动员在一次射击练习中，成绩（单位：环）记录如下：8，9，8，7，10.这组数据的平均数
和中位数分别是（ ）
A．8，8 B．8.4，8 C．8.4，8.4 D．8，8.4
8．如图，一只蚂蚁从点出发，沿着扇形的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为，蚂蚁到点的距离为,
则关于的函数图象大致为（ ）
二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）
9．分解因式： 3 22 ____________.a a a
10．已知扇形的圆心角为120 半径为3cm ，则该扇形的面 积为 c 2m (结果保留 ).
11．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于 .
12．观察下列等式：
第 1 个等式：
3
112
1
31
1
1a ；
第 2 个等式：
5
1
3
1
2
1
53
1
2a ；
第 3 个等式：
7
1
5
1
2
1
75
1
3a ；
第 4 个等式：
9
1
7
1
2
1
97
1
4a ；
………………………………
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第 5 个等式：a5 = = ；
（2）求 a1 + a2 + a3 + a4 + … + a100 的值为 .
三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）
13．计算：
2
0 14 π-2 | 5| 3
14．解不等式： 5( 2) 8 6( 1) 7x x
15．
16．已知：如图，AB=AE，∠1＝∠2，∠B=∠E.
求证：BC=ED.
17．如图，已知直线 l1 经过点 A（-1，0）与点 B（2，3），
另一条直线 l2 经过点 B，且与 x 轴交于点 P（m，0）．
（1）求直线 l1 的解析式；
（2）若△APB 的面积为 3，求 m 的值．
18．列方程或方程组解应用题:
某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800 件投入市场，服装厂有A、B 两个制衣车间，A
车间每天加工的数量是B车间的1．2 倍，A、B 两车间共同完成一半后，A 车间出现故障停产，剩下
全部由B 车间单独完成，结果前后共用20 天完成，求A、B 两车间每天分别能加工多少件．
四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）
19．如图，已知菱形 ABCD，AB=AC，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接 AE、CF
（1）证明：四边形 AECF 是矩形；
（2）若 AB=8，求菱形的面积。
1 1 5 ( ) ( )
a ba ba b b a b a a b
已知： ，求 的值
x
B
y
OA
D
图① 图② 图③
CB
E
CB
E
G HM
N CB
E
G HM
N
A D
20．如图，PA PB、 分别与 O 相切于点 A B、 ，点 M 在 PB 上，且 //OM AP ，MN AP ，垂足为 N ．
（1）求证： =OM AN ；
（2）若 O 的半径 =3R ， =9PA ，求OM 的长．
21．某县对教师试卷讲评课中学生参与的深度和广度进行评价，其评价项目为主动质疑、独立思考、专
注听讲、讲解题目四项，评价组随进抽取了若干名初中生的参与情况，绘制了如下两幅不完整的统
计图，请根据图中所给的信息解答下列问题：
（1） 这次评价中，一共抽查
了 名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）如果全市有 16 万初中学生，
那么在试卷讲评课中，“独立思考”的学生约有多少万人？
22．如图,长方形纸片 ABCD 中,AB＝8cm,AD＝6cm,按下列步骤进行裁剪和拼图:
第一步:如图①,在线段 AD 上任意取一点 E,沿 EB,EC 剪下一个三角形纸片 EBC(余下部分不再使
用)；
第二步:如图②,沿三角形 EBC 的中位线 GH 将纸片剪成两部分,并在线段 GH 上任意取一点 M,线段
BC 上任意取一点 N,沿 MN 将梯形纸片 GBCH 剪成两部分；
第三步:如图③,将 MN 左侧纸片绕 G 点按顺时针方向旋转 180,使线段 GB 与 GE 重合,将 MN 右侧
纸片绕 H 点按逆时针方向旋转 180,使线段 HC 与 HE 重合,拼成一个与三角形纸片 EBC 面积相等的
四边形纸片.(注:裁剪和拼图过程均无缝且不重叠).
（1）所拼成的四边形是什么特殊四边形？
（2）拼成的这个四边形纸片的周长的最小值是多少?
五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）
23
24．如图 1，在等腰梯形 ABCD中，AD BC∥ ，E 是 AB 的中点，过点 E 作 EF BC∥ 交 CD 于点 F． 4 6AB BC ， ，
60B ∠ .
（1）点 E 到 BC 的距离为 ；
（2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PM EF 交 BC 于点 M，过 M 作 MN AB∥ 交折线 ADC 于点 N，
连结 PN，设 EP x .
①点 N 在线段 AD 上时（如图 2）， PMN△ 的形状是否发生改变？若不变，求出 PMN△ 的周长；
若改变，请说明理由；
②当点 N 在线段 DC 上时（如图 3），是否存在点 P，使 PMN△ 为等腰三角形？若存在，请求出
所有满足要求的 x 的值；若不存在，请说明理由.
A D
E
B
F
C
（备用）
A D
E
B
F
C
（备用）
A D
E
B
F
C
图 1
图 2
A D
E
B
F
C
P
N
M
图 3
A D
E
B
F
C
P N
M
25．如图，经过原点的抛物线 2 2 ( 0)y x mx m 与 x 轴的另一个交点为 A.过点 (1, )P m 作直线
PM x 轴于点 M，交抛物线于点 B.记点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 C（B、C 不重合）.连结 CB,CP。
（1）当 3m 时，求点 A 的坐标及 BC 的长；
（2）当 1m 时，连结 CA，问 m 为何值时CA CP ？
（3）过点 P 作 PE PC 且 PE PC ，问是否存在 m ，使得点 E 落在坐标轴上？若存在，求出所
有满足要求的 m 的值，并定出相对应的点 E 坐标；若不存在，请说明理由.
密云县 2013 年初中毕业考试
数学试卷答案及评分标准
一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）
1．B 2.C 3.C 4.C 5.C 6.C 7.B 8.C
二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）
9． 2( 1)a a 10． 3 11． 75 12．各 2 分(1)
119
1
，
11
1
9
1
2
1 （2） 100
201
三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）
13．
14．
17．
18．设 B 车间每天生产 x 件，则 A 车间每天生产 1.2X 件，……………1 分
由题意得 4400 4400 201.2x x x
………………………………………..2 分
解得 x=320……………………………………………………………...3 分
经检验 x=320 是方程的解……………………………………………..4 分
此时 A 车间每天生产 320 1.2=384 件……………………………….5 分
答：A 车间每天生产 384 件，B 车间每天生产 320 件
5( 2) 8 6( 1) 7
5 10 8 6 6 7..............1
5 2 6 1...........................2
3........................................3
3..........................................5
x x
x x
x x
x
x
分
分
分
分
=2+1-5+9...................4
=-7..............................5
原式 分
分
1 115. 5, 5............1a b
a b ab
分
2 2
...............................2( ) ( ) ( )
( )( ) ..........................3( )
........................................4
5...........................................
a b a b
b a b a a b ab a b
a b a b
ab a b
a b
ab
分
分
分
.5分
1 , -1 0 2 3
- 0 ................................. ............................12 3
k=1
1
1........................................2
1(2) 1 32
y kx b
k b
k b
b
y x
m
（ ）设一次函数的解析式为 将（ ，），（ ，）
代入得 分
解得
所求一次函数的解析式为 分
由已知得
1 2
3..........................................................3
3, 1..................................................................5m m
分
解得 分
16. 1 2
1 2 , .......................2
........................................................................4
....................................
BAD BAD BAC EAD
AB AE B E
ABC AED
BC ED
即 分
又 ，
分
............................................5分
四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）
19．（1）四边形 ABCD 是菱形
AB BC
又 AB AC
E 是 BC 的中点
AE BC ……………………………….1 分
01 90
E、F 分别是 AD、BC 的中点
1 1 , EC= BC2 2AF AD
菱形 AECF AD∥BC
AF∥EC
四边形 AECF 是平行四边形………………2 分
又 01 90
四边形 AECF 是矩形………………………3 分
（2）在 Rt ABE 中
2 28 4 4 3AE
=8 4 3=32 3s 菱形 ……………………5 分
20．（1）连接OA，则OA AP ．
∵ MN AP ，
∴ //MN OA．……………………………...分
∵ //OM AP ，
∴四边形 ANMO 是矩形．………………..2 分
∴ =OM AN ．
（2）连接OB ，则OB BP ．……………3 分
∵ =OA MN ， =OA OB ， //OM AP ，[来源:学.科.网]
∴ =OB MN ， =OMB NPM ．
∴ Rt OBM Rt MNP …………………4 分
∴ =OM MP ．
设 =OM x ，则 =9-NP x ．
在 Rt MNP 中，有 22 2=3 + 9-x x ．
∴ =5x ．即 =5OM ．…………………….5 分
21．（1）560………………………………………..…1 分
（2） 8422416884560
补条形统计图如右：……………………….3 分
（3） 16816 4.8560
…………………………………...5 分
∴“独立思考”的学生约有 4.8 万人.
22．(1)平行四边形……………………………………2 分
(2)最小值为 12+2×4=20，………………………5 分
五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）
23．（1）当 2k 时， (1, 2)A
A 在反比例函数图像上
设反比例函数为
ky x
，
代入 A 点坐标可得 2k
2...........................2y x
分
（2）要使得反比例函数与二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大，
0............................3k 分
而对于二次函数 2y kx kx k ，其对称轴为
1
2x ，
要使二次函数满足上述条件，在 0k 的情况下，
则 x 必须在对称轴的左边，
即
1
2x 时，才能使得 y 随着 x 的增大而增大………………..4 分
综上所述，则 0k ，且
1
2x
（3）由(2)可得
1 5( , )2 4Q k
ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形
A 点与 B 点关于原点对称，所以原点O 平分 AB
又 直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半
...........................5OQ OA OB 分
作 AD OC ，QC OC
2 2 21 25
4 16OQ CQ OC k
而 2 2 21OA AD OD k
2 21 25 14 16 k k ，
则 2 33k ，或 2 3...................................73k 分
24．（1）如图 1，过点 E 作 EG⊥BC 于点 G．
∵E 为 AB 的中点，
∴BE=
2
1 AB=2
在 Rt△EBG 中，∠B=60°，∴∠BEG=30 度．
(图为一种可能的情况)
∴BG=
2
1 BE=1，EG= 312 22
即点 E 到 BC 的距离为 3 ……………………………………1 分
（2）①当点 N 在线段 AD 上运动时，周长不变．
∵PM⊥EF，EG⊥EF，
∴PM∥EG．
∵EF∥BC，
∴EP=GM，PM=EG= 3
同理 MN=AB=4．
如图 2，过点 P 作 PH⊥MN 于 H，
∵MN∥AB，
∴∠NMC=∠B=60°，∠PMH=30 度．
∴PH=
2
1 PM=
2
3
∴MH=3/2.
则 NH=MN-MH=4- 3/2=5/2.
在 Rt△PNH 中，PN= .72
3
2
5
22
22
PHNH
∴△PMN 的周长=PM+PN+MN= 3 7 4.................................3 分
②当点 N 在线段 DC 上运动时，存在．
当 PM=PN 时，如图3，作 PR⊥MN 于 R，则 MR=NR．
类似①，MR= 3/2.
∴MN=2MR=3．
∵△MNC 是等边三角形，
∴MC=MN=3．
此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2．…………………………………5分
当 MP=MN 时，如图4，这时 MC=MN=MP= 3
此时，x=EP=GM=6-1- 3 =5- 3
当 NP=NM 时，如图5，∠NPM=∠PMN=30度．
则∠PMN=120°，又∠MNC=60°，
∴∠PNM+∠MNC=180度．
因此点 P 与 F 重合，△PMC 为直角三角形．
∴MC=PM•tan30°=1．
此时，x=EP=GM=6-1-1=4．…………………………………………………7分
综上所述，当 x=2或4或5- 3 时，△PMN 为等腰三角形．
25．（1）当 m=3 时，y=－x²+6x
令 y=0，得－x²+6x=0，
∴ 1 2=0, =6x x ∴A(6,0)
当 x=1 时，y=5，∴B（1,5）
又∵抛物线 2 6y x x 的对称轴为直线 x=3，
又∵B、C 关于对称轴对称，∴BC=4………………………………………………1 分
（2）过点 C 作 CH⊥x 轴于点 H（如图 1）
由已知得∠ACP=∠BCH=90°
∴∠ACH=∠PCB
又∵∠AHC=∠PBC=90°，
∴△ACH∽△PCB
AH PB
CH PC
∵抛物线 2 2 ( 0)y x mx m 的
对称轴为直线 x=m，其中 1m ，
又∵B，C 关于对称轴对称，
∴BC=2(m－1)
∵B(1,2 m－1),P(1,m),
∴BP= m－1，
又∵A(2m,0),C(2m－1,2m－1),
∴H(2m－1,0)
∴AH=1,CH=2m－1
∴
1 -1=2 -1 2(m-1)
3= ..................................32
m
m
m 分
（3）∵B，C 不重合，∴m≠1，
(Ⅰ)当 m＞1 时，BC=2(m－1)
PM=m, BP= m－1.
(ⅰ)若点 E 在 x 轴上（如图 2），
∵∠CPE=90°，
∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP =90°
∴∠MEP=∠BPC
又∵∠PME=∠CBP=90°，PC=EP
∴△BPC≌△MEP
∴BC=PM，
∴2(m－1)=m
∴m=2
此时点 E 的坐标是（2,0）……………………………………………4 分
(ⅱ)若点 E 在 y 轴上（如图 3）
过点 P 作 PN⊥y 轴于点 N，
易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴ m－1=1，
∴m=2，
此时点 E 的坐标是（0,4）…………………………………6 分
(Ⅱ)当 0＜m＜1 时， BC=2(m－1)，PM=m
BP= m－1.
(ⅰ) 若点 E 在 x 轴上（如图 4），
易证△PBC≌△MEP，
∴BC=PM
2(m－1)=m
∴m= 2
3
此时点 E 的坐标是（ 4
3
,0）…………………………8 分
(ⅱ)若点 E 在 y 轴上（如图 5）
过点 P 作 PN⊥y 轴于点 N，
易证△BPC≌△NPE，
∴BP=NP=OM=1，
∴ 1－m =1，
∴m=0，（∵m>0,舍去）
综上所述，当 m=2 时，点 E 的坐标是（2,0）或（0,4）；
当 m= 2
3
时，点 E 的坐标是（ 4
3
,0）
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