2013年老河口市中考适应性考试数学试题及答案

2013 年 老 河 口 市 中 考 适 应 性 考 试 数 学 试 题 本试卷共 4 页，全卷满分 120 分．考试用时 120 分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答 题卡指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号．答在试题卷上无效． 3．将填空题和解答题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题 卡上每题对应的答 题区域内．答在试题卷上无效． 4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一.选择题：本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将序号在答题卡上涂黑作答． 1. 3 的倒数是（ ） A．3 B．－3 C． 3 1 D． 3 1 2.如图 1，把一块含有 45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的 对边上．如果∠1=15°，则∠2 的度数是（ ） A．30° B．55° C．55° D．60° 3．下列计算正确的是（ ） A．2a·4a＝8a B．a2＋a3＝a5 C．(a2)3 ＝a5 D．a5÷a3＝a2 4. 下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） 5．下列说法中正确的是（ ） A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B．想了解某种饮料中含色素的情况，宜采用抽样调查 C．数据 1，1，2，2，3 的众数是 3 D．一组数据的波动越大，方差越小 6．如果□ABCD 的对角线相交于点 O，那么在下列条件中，能判断□ABCD 为矩形的是（ ） A．∠OAB＝∠OBA B．∠OAB＝∠OBC C．∠OAB＝∠OCD D．∠OAB＝∠OAD 7. 央视报道，中国人每年在餐桌上浪费的粮食价值高达 2000 亿元，2000 亿用科学计数法 表示为( ) 图 1 A．2×103 B．2×1010 C．2×1011 D．2×1012 8. 小明到离家 900 米的中百超市买水果，从家中到超市走了 20 分钟，在超市购物用了 10 分钟，然后用 15 分钟返回家中，下列图形中表示小明离家的时间 x（分）与离家的 路程 y（米）之间的关系的是（ ） 9. 若⊙O1 与⊙O2 相交，且 O1O2=5，⊙O1 的半径 r1=2，则⊙O2 的半径 r2 不可能是（ ） A．4 B．5 C．6 D． 7 10.某住宅小区五月 1 日至 6 日每天用水量变化情况如图 2 所示，那 么这 6 天的平均用水量是（ ） A.30 吨 B.31 吨 C.32 吨 D.33 吨 11.如图 3，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点 O、B 的坐 标分别是(0，0)，(2，0)，则顶点 C 的坐标是（ ） A.（1，1） B.（－1，－1） C.（1，－1） D.（－1，1） 12.一个圆锥，它的主视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展 开图的圆心角度数是（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180° 二.填空题：本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分．把答案 填在答题卡的相应位置上． 13.计算： 2 1 2 138  = ． 14.当 x 满足 时，分式 1 122   x xx 的值为正数． 15.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润 y（元） 与每件销售价 x(元)之间的关系满足 750802 2  xxy ，由于某种原因，售价只能 满足 15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是 ． 16.如图 4，在扇形 OAB 中，∠AOB=120°，OA=2，以 A 为圆心，AO 长为半径画弧交AB⌒ 于点 C，则图中阴影部分的面积为_______ _． 17. 如图 5，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝AD， BC＝（ 12  ）AD，以 AD 为边作等边三角形 ADE， 图 2 图 3 图 4 D C B A 图 5 则∠BEC＝ . 三.解答题：本大题共 9 个小题，共 69 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 并且写在答题卡上每题对应的答题区域内． 18.（6 分）已知 0232  xx ，求代数式 2 1)2(1 442    x xxx xx 的值． 19.（6 分）“校园手机”现象越来越受到社会的关注，小记者张明随机调查了某校若干学 生和家长对中学生带手机现象的看法，制作了如图 6 所示的统计图： （1）这次调查的总人数有 人； （2）补全两个统计图； （3）针对随机调查的情况，张明决定从初三一班表示赞成的 4 位家长中随机选择 2 位 进行深入调查，其中包含小亮和小明的家长，小亮和小明的家长被同时选中的概率 是 ．（以上三个问题均不需写过程） 20.（6 分）由 10 块相同的长方形地砖拼成面积为 1.6m2 的矩 形 ABCD（如图 7），则矩形 ABCD 的周长为多少？ 21.（6 分）如图 8，在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东 航行的海监船 A、B，B 船在 A 船的正东方向，且两船保 持 10 海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在 A 的 东北方向，B 的北偏东 15°方向有一不明国籍的渔船 C， 求此时渔船 C 与海监船 B 的距离是多少．（结果保留根 号） 22.（6 分）如图 9，在直角坐标平面内，反比例函数 x ky  的图象经过点 A（2，3），B（a，b），其中 a＞2．过 点 B 作 y 轴垂线，垂足为 C，连结 AB、AC、BC． （1）求反比例函数的解析式； （2）若△ABC 的面积为 6，求点 B 的坐标． 图 6 D C B A 图 7 图 9 图 8 23.（7 分）如图 10，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，Rt△AB′C′ 是由 Rt△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到的，连接 CC′交 斜边于点 E，CC′的延长线交 BB′于点 F． （1）证明：△AC C′∽△AB B′； （2）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关 系时 AC＝BF，并说明理由． 24.（10 分）四川省芦山县 4 月 20 日发生了 7.0 级强烈地震，政府为了尽快搭建板房安置 灾民，给某厂下达了生产 A 种板材 48000m2 和 B 种板材 24000m2 的任务. ⑴如果该厂安排 280 人生 产这两种板材，每人每天能生产 A 种板材 60 m2 或 B 种板材 40 m2，请问：应分别安排多少人生产 A 种板材和 B 种板材，才能确保同时完成各自的 生产任务？ ⑵某灾民安置点计划用该 厂生产的两种板材搭建 甲、乙两种规格的板房共 400 间，已知建设一间甲 型板房和一间乙型板房所 需板材及安置人数如右表所示： ①共有多少种建房方案可供选择？ ②若这个灾民安置点有 4700 名灾民需要安置，这 400 间板房能 否满足需要？若不能满足请说明理由；若能满足，请说明应选 择什么方案． 25．（10 分）如图 11 所示，△ABC 的外接圆圆心 O 在 AB 上，点 D 是 BC 延长线上一点，DM⊥AB 于 M，交 AC 于 N，且 AC=CD．CP 是△CDN 的边 ND 上的中线． （1）求证：AB=DN； （2）试判断 CP 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （3）若 PC＝5，CD＝8，求线段 MN 的长． 26.（12 分）如图 12，已知直线 y=kx＋6 与抛物线 y=ax2＋bx＋c 相交于 A，B 两点，且点 A（1，4）为抛物线的顶点，点 B 在 x 轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）在（1）中抛物线的第三象限图象上是否存在一点 P，使 △POB 与△POC 全等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由； （3）若点 Q 是 y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点 Q 的坐标． 板房 A 种板材（m2） B 种板材（m2） 安置人数 甲型 110 61 12 乙型 160 53 10 图 10 P N M O D C B A 图 11 图 12 2013 年老河口市中考适应性考试数学 参考答案及评分标准 一、选择题 1－5：DADCB 6－10：ACDDC 11－12：CD 二、填空题 13、 23 14、 1x 且 1x 15、1550 元 16、 3 17、75°或 165° 三、解答题 18、解： 2 1)2(1 442    x xxx xx ＝ 2 1 2 1 1 )2( 2    x x xx x …………………………………………1 分 ＝ 2 1 1 2    x x x x ………………………………………………………2 分 ＝ )2)(1( )1)(1()2)(2(   xx xxxx ……………………………………3 分 ＝ 23 3 2   xx ………………………………………………………4 分 ∵ 0232  xx ∴ 232  xx …………………………………………………………5 分 ∴原式＝ 4 3 22 3  ………………………………………………6 分 19、（1）600；（2）家长反对的有 280 人，占 70%，家长赞成的占 10%；（3） 6 1 （每问 2 份） 20、解：设每块长方形地砖的宽为 xm，则长为 4xm………………………1 分 根据题意，得 4x2＝1.6× 10 1 …………………………………………3 分 解得，x=±0.2…………………………………………………………4 分 2×(4x+x+2×4x)＝26 x＝5.2（m）…………………………………5 分 答：矩形 ABCD 的周长为 5.2m…………………………………………6 分 21、解：由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝105°………………………1 分 ∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝ 30°…………………………2 分 作 BD⊥AC 于 D…………………………………………………………3 分 在 Rt△ABD 中， 252 210sin  BADABBD （海里）……4 分 在 Rt△BCD 中， 210 2 1 25 sin  BCD BDBC （海里）……5 分 答：此时渔船 C 与海监船 B 的距离是 210 海里……………………6 分 22、解：（1）由题意得，k＝xy＝2×3＝6 ∴反比例函数的解析式为 xy 6 ………………………………………2 分 （2）作 AD⊥BC 于 D，则 D（2，b） ∵反比例函数 xy 6 的图象经过点 B（a，b） ∴ ab 6 ∴AD＝ a 63 ……………………………………………………………3 分 ∴ 6)63(2 1  aaS ABC 解得 a=6…………………………………………………………………5 分 ∴ 16  ab ∴B（6，1）……………………………………………………………6 分 23、解：（1）证明：∵Rt△AB′C′是由 Rt△ABC 绕点 A 顺时针旋转得到的 ∴AC＝AC′ AB＝AB′ ∠CA C′＝∠B AB′……………………1 分 ∴ / / AB AC AB AC  ………………………………………………………2 分 ∴△AC C′∽△AB B′…………………………………………………3 分 （2）当β＝2α时 AC＝BF……………………………………………4 分 证明：∵AC＝AC′ ∴∠AC C′＝∠A C′C＝ 2 1 （180°－∠C AC′）＝90°－ 2 1 β＝90°－ α ∵∠BCE＝∠ACB－∠A C C′＝90°－（90°－α）＝α…………5 分 ∴∠BCE＝∠ABC ∴BE＝CE ∵∠ACE＝∠ABF ∠AEC＝∠FEB ∴△AEC≌△FEB……………………………………………………6 分 ∴AC＝BF……………………………………………………………7 分 24、解：（1）设安排 x 人生产 A 种板材，则安排（280－x）人生产 B 种板材 根据题意，得 )280(40 24000 60 48000 xx  ………………………………1 分 解得 x＝160……………………………………………………………2 分 经检验 x＝160 是原方程的根，240－x＝120 ∴安排 160 人生产 A 种板材，安排 120 人生产 B 种板材……………3 分 （2）设建甲型 m 间，则建乙型（400－m）间 ①根据题意，得      24000)400(5361 48000)400(160110 mm mm ………………………4 分 解得 320≤m≤350…………………………………………………………5 分 ∵m 是整数 ∴符合条件的 m 值有 31 个…………………………………………………6 分 ∴共有 31 种建房方案可供选择……………………………………………7 分 ②这 400 间板房能满足需要…………………………………………………8 分 由题意，得 12m＋10（400－m）≥4700 解得 m≥350…………………………………………………………………9 分 ∵320≤m≤350 ∴m＝350 ∴建甲型 350 间，建乙型 50 间能满足需要……………………………10 分 25、解：（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°=∠NCD………………………………………………………1 分 ∵DM⊥AB， ∴∠AMN=90°， ∴∠ABC＋∠A =∠ABC＋∠D =90° ∴∠A =∠D…………………………………………………………………2 分 又∵AC=CD，∠ACB=∠NCD ∴△ABC≌△DNC ∴AB=DN…………………………………………………………………3 分 （2）CP 是⊙O 的切线．………………………………………………………4 分 证明：连结 OC ∵CP 是△CDN 的边 ND 上的中线，∠NCD=90° ∴PC=PN= DN2 1 ∴∠PCN =∠PNC…………………………………………………………5 分 ∵∠ANM=∠PNC ∴∠ANM=∠PCN ∵OA=OC ∴∠A=∠ACO ∵∠A＋∠ANM =90° ∴∠ACO＋∠PCN =90°………………………………………………………6 分 ∴∠PCO =90° ∴CP 是⊙O 的切线…………………………………………………………7 分 （3）∵PC＝5 ∴DN=2PC=10 ∵△ABC≌△DNC ∴CN=CB，AC=CD=8，AB=DN=10 ∴ 6810 2222  ACABBCCN ∴AN=AC-CN=2 ∵sinA= AB BC AN MN  ∴ 10 6 2 MN ∴ 5 6MN 26、解：（1）把 A（1，4）代入 y=kx＋6，得 k=－2， ∴y=－2x＋6…………………………………………………………1 分 由 y=－2x＋6＝0，得 x＝3 ∴B（3，0）． ∵A 为顶点 ∴设抛物线的解析为 y=a(x－1)2＋4，解得 a=－1………………………2 分 ∴y=－(x－1)2＋4=－x2＋2x＋3…………………………………………3 分 （2）存在．………………………………………………………………4 分 当 x＝0 时 y＝－x2＋2x＋3＝3，∴C（0,3） ∵OB=OC=3，OP=OP， ∴当∠POB=∠POC 时，△POB≌△POC………………………………5 分 作 PM⊥x 轴于 M，作 PN⊥y 轴于 N，则∠POM=∠PON＝45°． ∴PM=PN ∴设 P（m，m），则 m=－m2＋2m＋3，解得 m= 2 131 ………………6 分 ∵点 P 在第三象限，∴P（ 2 131 ， 2 131 ）…………………7 分 （3）①如图，当∠Q1AB=90°时，作 AE⊥y 轴于 E，则 E（0,4） ∵∠DA Q1＝∠DOB＝90°，∠AD Q1＝∠BDO ∴△DAQ1∽△DOB， ∴ DB DQ OD AD 1 ，即 22 1 22 636 )46(1   DQ ， ∴DQ1= 2 5 ， ∴OQ1= 2 7 ，即 Q1（0， 2 7 ）；…………………8 分 ②如图，当∠Q2BA=90°时，∠DBO＋∠OBQ2＝∠OBQ2 ＋∠O Q2B＝90° ∴∠DBO＝∠O Q2B ∵∠DOB＝∠B O Q2＝90° ∴△BOQ2∽△DOB， ∴ OB OQ OD OB 2 ，即 36 3 2OQ ， ∴OQ2= 2 3 ，即 Q2（0， 2 3 ）……………………………………………9 分 ③如图，当∠AQ3B=90°时，∠AEQ3＝∠BOQ3＝90°， ∴∠AQ3E＋∠E AQ3＝∠AQ3E＋∠B Q3O＝90° ∴∠E AQ3＝∠B Q3O ∴△BOQ3∽△Q3EA………………………………………………………10 分 ∴ AE OQ EQ OB 3 3  ，即 14 3 3 3 OQ OQ  ∴OQ32－4OQ3＋3=0，∴OQ3=1 或 3………………………………………11 分 即 Q3（0，1）或（0，3）． 综上，Q 点坐标为（0， 2 7 ）或（0， 2 3 ）或（0，1）或（0，3）…………12 分